Logica proposizionale classica. Studia il comportamento dei connettivi proposizionali quali ( And ) e ( Or )

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1 Logica proposizionale classica Studia il comportamento dei connettivi proposizionali quali ( And ) e ( Or ) Parte da una famiglia di enunciati atomici di cui non analizziamo la struttura interna, che rappresentiamo con delle lettere, di cui ci interessa conoscere solo il valore di verità Da queste lettere proposizionali costruiamo enunciati più elaborati usando i connettivi proposizionali Sapere quali enunciati composti sono veri a causa della loro struttura: le tautologie, e quali enunciati sono conseguenza logica di altri 1

2 Linguaggio della logica proposizionale classica insieme P = {p 1,p 2,p 3,...} di lettere proposizionali simboli di costante: (vero) e (falso) connettivi proposizionali: unari: (negazione) binari:,,,,... parentesi: (,) 2

3 Definizione delle formule proposizionali Una formula atomica è una lettera proposizionale, o. Indichiamo con ATProp l insieme di tutte le formule atomiche L insieme delle formule proposizionali Prop viene definito come il più piccolo insieme S Σ + che gode delle seguenti proprietà: 1. ATProp S 2. X S X S 3. X,Y S (X Y ) S, per ogni connettivo binario 3

4 Principio di induzione strutturale Metodo di dimostrazione che sfrutta la struttura induttiva delle formule Sia Q Prop, se CASO BASE: 1. ATProp Q PASSO INDUTTIVO: 2. X Q X Q 3. X,Y Q (X Y ) Q, per ogni connettivo binario Allora Q = Prop 4

5 Principio di ricorsione strutturale C è una ed una sola funzione f definita su Prop tale che CASO BASE Il valore di f è specificato esplicitamente sulle formule atomiche attraverso una funzione g : ATProp D PASSO INDUTTIVO il valore di f su X viene specificato in termini del valore di f su X attraverso una funzione f : D D il valore di f su (X Y ) viene specificato in termini dei valori di f su X e su Y mediante una funzione l : BinarySymbol D D D 5

6 Definizione di funzioni per induzione Sia A U definito induttivamente dalla base B e dall insieme di costruttori K. Sia V un insieme arbitrario. Associamo ad ogni elemento a B un elemento h(a) V ad ogni costruttore r U n U K, (n 1), una funzione h(r) : V n V 6

7 Definizione di funzioni per induzione (ctnd.) Una definizione induttiva di una funzione g : A V viene data da a) g(a) = h(a) per ogni elemento a B b) g(a) = h(r)(g(a 1 ),...,g(a n )) cioé (a,h(r)(b 1,...,b n )) g se (a 1,b 1 ),...,(a n,b n ) g per tutti gli r U n U, e a 1,...,a n A con ((a 1,...,a n ),a) r Questa definizione è consistente solo se ad ogni a A viene assegnato esattamente un valore mediante a) oppure b) (cioé se g è una funzione) Se questa condizione viene soddisfatta diciamo che g è ben definita 7

8 Definizione di funzioni per induzione (ctnd 1.) Teorema di ricorsione Se la definizione induttiva di un insieme A mediante l insieme base B e l insieme dei costruttori K è libera, allora la funzione g : A V definita induttivamente come nella definizione precedente è ben definita 8

9 Unicità del parsing Ogni formula proposizionale è esattamente in una delle tre categorie: Atomica X per un unica formula proposizionale X (X Y ) per un unico simbolo binario e formule proposizionali uniche X e Y 9

10 Sottoformula Le sottoformule immediate sono definite come segue: 1. Una formula atomica non ha sottoformule immediate 2. La sola sottoformula immediata di X è X 3. Per un simbolo binario, le sottoformule immediate di (X Y ) sono X e Y L insieme delle sottoformule di una formula X è il più piccolo insieme S tale che: X S per ogni Y S, tutte le sottoformule immediate di Y sono contenute in S 10

11 Semantica della logica proposizionale La logica classica è a due valori. Prendiamo come spazio dei valori di verità l insieme Tr = {t, f} Come interpretiamo ciascuno dei simboli di operazione del linguaggio? Per la negazione assumiamo di avere una mappa : Tr Tr data da (t) = f e (f) = t Possiamo individuare dieci connettivi. Otto primari e due secondari 11

12 Connettivi binari t t t t t t f f f f t f t f f t f t t f t f f t f t f t t f t f f t f t f f f f t t t t f f t f 12

13 Valutazioni booleane Una valutazione booleana è un applicazione v : Prop Tr che soddisfa le condizioni 1. v( ) = t, v( ) = f 2. v( X) = v(x) 3. v(x Y ) = v(x) v(y ), dove sta per uno dei connettivi proposizionali Lemma Data f : {p 1,p 2,...} Tr, esiste un unica valutazione booleana v f tale che v f (P) = f(p), per ogni lettera proposizionale P. 13

14 Valutazioni booleane Lemma Siano S un insieme di lettere proposizionali, X una formula proposizionale coinvolgente solo lettere proposizionali in S, e v 1,v 2 due valutazioni booleane tali che v 1 (P) = v 2 (P) per ogni P S, allora v 1 (X) = v 2 (X). 14