DIETRO LE QUINTE DELLA MATEMATICA

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1 DIETRO LE QUINTE DELLA MATEMATICA TEKNOTRE Anno Accademico Lezione n. 9 ( ) PERUCCO Pieraldo

2 Da ZERO a INFINITO e dintorni Noi stiamo tra i due estremi contrassegnati dallo zero e dall infinito Lo zero è (diventato) un concetto chiaro e incontrovertibile : l infinito non si lascia manipolare così agevolmente La storiella dell Albergo Infinito I matematici hanno tentato di comprenderlo e definirlo in termini razionali (anche se non è un numero, e per esso hanno inventato un simbolo)

3 Dal dizionario (aggettivo) che non ha principio né fine, incommensurabile, che si prolunga senza limiti, a una distanza infinitamente grande. (s.m.) Ciò che non comporta limiti di spazio e di tempo. All infinito: a una distanza infinitamente grande, un numero grandissimo di volte (filosofia) Come categoria metafisica, è l opposto di ciò che è limitato; come categoria teologica indica l'illimitatezza della potenza di Dio (matematica) Come categoria matematica l infinito è un tipo speciale di grandezza dotato di proprie caratteristiche. Quantità variabile, maggiore, in valore assoluto, di ogni quantità prefissata grande a piacere. Infinito potenziale: concetto di infinito ammesso dai greci e formalizzato dal matematico Cauchy, per cui dopo un qualsiasi numero di eventi esiste la possibilità di rilevarne altri.

4 INFINITO POTENZIALE Nel pensiero greco prevale il concetto di infinito come ciò che non è compiuto, o come ciò che non ha limite. Per Aristotele il termine infinito non designa una realtà, ma un processo; si chiama infinito quello che ha sempre qualcosa oltre di sé. Lucrezio definisce l infinito con un operazione attraverso la quale si verifica mentalmente che non è possibile fissare un limite allo spazio Per Kant è difficile pensare l idea del mondo come totalità dei fenomeni, data l infinità spaziale e temporale e l infinita divisibilità

5 INFINITO ATTUALE La metafisica, e poi la matematica, hanno contrapposto all infinito potenziale, l infinito attuale, cioè realmente esistente come tale. Fa parte della tradizione della teologia e della filosofia cristiane. Il concetto di infinito attuale è, sul piano più propriamente logico-formale, una conquista del pensiero matematico moderno (Dedekind e Cantor, seconda metà del XIX sec.) In una classe infinita di grandezze la parte è equivalente al tutto; conseguente necessità di concepire infiniti maggiori di altri infiniti

6 Interpretazione fisica Gli infiniti si manifestano a livello fisico? La loro comparsa in un calcolo indica che la teoria impiegata ha raggiunto i propri limiti di validità e deve essere aggiornata con una nuova versione perfezionata in grado di sostituire all infinito matematico una quantità misurabile finita. Rimane il dubbio su situazioni particolari, come quella dell ipotetico inizio dell espansione dell universo, in cui non è possibile accertarsi, mediante l osservazione, che ogni grandezza fisica sia finita.

7 Infinito spaziale e temporale Considerando l universo come metafora dell infinito, l infinità spaziale e temporale dell universo ha fatto dire a Pascal: «L universo è un cerchio, il cui centro è ovunque e la circonferenza da nessuna parte». Ma si potrebbe anche dire: L universo è una sfera il cui centro è ovunque e la superficie da nessuna parte. Per le nostre categorie mentali, l universo infinito è incomprensibile; ma l universo limitato è assurdo. Infinito temporale e infinito spaziale; i due infiniti sono inseparabili. L uno implica l altro, pena la contraddizione e l assurdità.

8 I primi dilemmi La concezione pitagorica : - un segmento è costituito da un numero finito di punti, immaginati come piccolissimi granellini (monadi). - due segmenti di uguale lunghezza contengono lo stesso numero di punti. - tra segmenti diversi quello più lungo contiene un maggior numero di punti rispetto all altro ( il tutto è maggiore della parte ). Si scoprì invece : - l incommensurabilità fra il lato e la diagonale del quadrato - un segmento maggiore di un altro non contiene più punti di quello minore.

9 Confronto fra elementi di due insiemi Confronto tra insiemi : 3 casi possibili 1) qualche elemento di A rimane spaiato: l insieme A ha un numero di elementi maggiore; 2) qualche elemento di B rimane spaiato: l insieme A ha un numero di elementi minore; 3) nessun elemento, né in A né in B, rimane spaiato: i due insiemi sono in corrispondenza biunivoca e contengono lo stesso numero di elementi.

10 Confronto fra i punti di due segmenti A ogni punto di CD corrisponde uno e un solo punto di AB e viceversa ; i due insiemi di punti sono in corrispondenza biunivoca. Conclusione: i due segmenti contengono lo stesso numero di punti. Un segmento, piccolo o grande che sia, contiene infiniti punti ; il confronto tra due quantità infinite porta a conclusioni apparentemente assurde.

11 Equipotenza e Cardinalità Equipotenza di un insieme infinito con un suo sottoinsieme. Un insieme può avere la stessa cardinalità di un suo sottoinsieme proprio, ossia il tutto è uguale alla parte. Definizione di insieme infinito: un insieme è infinito quando è in corrispondenza biunivoca (ovvero ha uguale cardinalità, ovvero è equipotente) con un suo sottoinsieme proprio. Conseguenza: un insieme è finito quando ha cardinalità maggiore di ogni suo sottoinsieme proprio. Non tutti gli insiemi infiniti si equivalgono in cardinalità : per gli insiemi infiniti esistono diversi gradi di cardinalità Un insieme equipotente a N ha la potenza del numerabile; ogni insieme equipotente a R ha la potenza del continuo. La potenza del continuo è molto maggiore rispetto all insieme della potenza del numerabile

12 Grandezze infinitesime Il punto è privo di dimensioni ; tra due punti di un segmento, per quanto vicini, è sempre possibile inserire almeno un altro punto. Non esiste il successivo di un punto dato

13 I Paradossi sull Infinito L antitesi tra zero e infinito costituiva, per il pensiero greco, una mina vagante nella rigida struttura logica di causa ed effetto. I paradossi portavano un attacco alla coerenza dei concetti di nulla e di infinito Paradosso di ZENONE : Achille e la Tartaruga

14 Paradosso di Zenone sul movimento Anche detto paradosso della dicotomia : non può esserci movimento perché qualunque cosa si muova deve arrivare a metà strada prima di raggiungere la meta AC, CD, DE, EF,

15 L Infinito fisico per i Greci La divisibilità infinita della materia avrebbe comportato l irreversibile distruzione della sua identità, fino a precipitarla nella non esistenza. Si apre una netta distinzione tra realtà matematica e realtà fisica; nella prima, la divisione all infinito di una qualsiasi grandezza era possibile; nella seconda, non lo era. Si doveva scegliere quale struttura matematica applicare all esistenza fisica. Per Democrito, e tutti gli altri atomisti, il numero degli atomi è infinito, così come le dimensioni e l età dell universo.

16 L infinito come Concetto astratto Concetto che si deve formare nella nostra mente con una costruzione del pensiero L infinito potenziale dei greci è il risultato di successive inclusioni di nuovi elementi in un insieme finito La retta (linea infinita) pensata come un segmento (cioè una linea finita) prolungabile da entrambe le parti. Infinito potenziale : l'infinito che rappresenta l'insieme dei numeri interi positivi

17 Insiemi infiniti : Aritmetica e Geometria Corrispondenza tra numeri pari e numeri naturali Calcolo dell area di una figura a contorno curvilineo : si riempiono gli spazi rimasti con poligoni (in numero illimitato) che si possono rimpicciolire a piacere

18 Il metodo di ESAUSTIONE Esempio : la circonferenza è il limite al quale tendono i perimetri dei poligoni regolari inscritti e circoscritti al crescere indefinitamente del numero dei loro lati. Si può facilmente ampliare l osservazione e affermare che il cerchio è il limite al quale tendono le aree dei poligoni e il raggio è il limite al quale tendono le apoteme dei poligoni. In altri termini, al tendere all infinito del numero dei lati, le differenze tra circonferenza e perimetro, cerchio e area del poligono, raggio e apotema, diventano sempre più piccole, cioè infinitesime.

19 Proprietà matematiche dell infinito E rappresentato dal simbolo. Una funzione f(x) diventa infinita per un valore a della variabile, quando, essendo dato a priori un numero A grande quanto si voglia, è possibile determinare un numero positivo ε tale che, per ogni valore di x per cui : x - a < ε, si abbia f (x) > A. Quando due quantità a, b diventano infinite, se il rapporto a/b ha un limite che non è nullo, si dice che gli infiniti di a e b sono dello stesso ordine ; se a/b aumenta indefinitamente, si dice che a è infinito di ordine superiore a b; in questo caso, se esiste un numero n tale che a/b n tende a un limite finito, si dice che a è infinito di ordine n rispetto a b.

20 L iperbole e i suoi asintoti L iperbole e l asintoto che non si incontrano, pur avvicinandosi costantemente l una all altro, ripropone la questione dell infinito e dell infinitesimo. Si pone l interrogativo che riguarda il parallelismo; se l iperbole non incontra l asintoto, le due linee possono considerarsi parallele? Secondo Euclide, poiché diminuisce la distanza, certamente no. Ma se non lo sono, come spiegare che non si incontrano?