Il limite: dall impensato al concetto

Transcript

1 Il limite: dall impensato al concetto Amy Dahan-Dalmedico, Jean Peiffer Il calcolo infinitesimale ha la sua origine nella concezione intuitiva che avevano i greci della nozione di continuo, di infinito matematico e di limite, [oltre che] delle difiicoltà di formulare precisamente queste nozioni. Tutte tre non saranno correttamente definite prima del secolo XIX quando i matematici vollero sistematizzare i progressi ottenuti ritornando ai fondamenti per assicurare l edificio matematico su basi solide. 1 Numeri e grandezze geometriche Il concetto di numero, e a maggior ragione quello di numero reale ha impiegato molto tempo a [svilupparlo] dai suoi supporti concreti. I pitagorici ( a. C.) furono i primi a riconoscere la necessità di un tale concetto e cominciarono a svilupparlo. Abbiamo visto che i pitagorici assimilano i numeri a punti geometrici. Un unità a un punto, un numero a un gruppo di punti che disegnano una figura geometrica. Poiché ogni numero è una collezione discreta di unità, l aritmetica pitagorica si limita allo studio dei numeri interi e positivi e ai rapporti di numeri interi, che non verranno mai considerati come dei numeri. Tutte le grandezze continue linee superficie e corpi potevano essere identificate a un numero, un quantum (lunghezza, area volume), [opportuno]. Come l unità è una misura comune ai numeri interi, le grandezze dovevano avere un unità di misura comune essere commensurabili e ogni grandezza si identifica al numero intero di unità che la compone. Questo tentativo di identificare i numeri interi le grandezze continue, di interpretare il continuo in termini del discreto non poteva aver successo e doveva fallire rapidamente. È la scoperta dei numeri irrazionali che segna il naufragio di questa corrispondenza tra le grandezze e i numeri interi. In un quadrato di lato 1 il rapporto tra la diagonale e il quadrato vale e non si può dunque esprimere con un numero intero e non ha quindi diritto di cittadinanza nel campo dell aritmetica pitagorica.n Il lato e la diagonale non hanno ammettono una unità di misura comune e si diranno incommensurabili. La reciprocità tra grandezze e numeri, familiare ai pitagorici, viene distrutta. A ogni numero corrisponde 1

2 1 Numeri e grandezze geometriche una lunghezza, ma quale numero associare a grandezze incommensurabili? (Cfr. riquadro [?]) RIQUADRO: la scoperta degli irrazionali Secondo Proclo, Euclide avrebbe commentato la leggenda secondo la quale il primo che avesse divulgato l irrazionalità di sarebbe morto annegato in un naufragio. «Gli autori della leggenda hanno voluto parlare per allegoria. Han voluto dire che tutto ciò che è irrazionale e privato di forma [deve restare nascosto]. Perché se l anima vuol penetrare in questa regione segreta e la si lascia scoperta, allora essa è [risucchiata] nel mare del divenire e annega nell incessante movimento delle sue correnti.» 1.1 L intrusione dell infinito: i paradossi di Zenone È precisamente a causa della scoperta delle grandezze incommensurabili che l infinito fa irruzione nella matematica greca. Nella loro ricerca di un unità di misura comune tutte le grandezze, i geometri greci [avrebbero potuto prendere in considerazione] le grandezze divisibili all infinito ma l idea di infinito li poneva in un profondo stato di scompiglio. Se le speculazioni sull infinito erano all ordine del giorno, i Greci tentarono sempre tentarono sempre nelle loro teorie matematiche di delimitarlo e di svuotarlo. Il loro disagio nell esplicitare le nozioni astratte di infinito e del, si traduce in maniera rimarchevole nei paradossi du Zenone d Elea. continuo, in opposizione al finito e al discreto All epoca di Zenone (seconda metà del quinto secolo a.c.), si opponevano due concezioni: la concezione continuista che pensava il numero, lo spazio, il tempo e la materia come divisibile all infinito; la concezione atomista che preconizzava l esistenza di elementi primi e indivisibili. Gli argomenti di Zenone sono delle «aporie» ([problemi le cui possibilità di soluzione risultano annullate in partenza dalla contraddizione.]), che tentano di di stabilire a partire da entrambe le ipotesi si arriva ad un punto morto. Quello di Achille e la tartaruga si oppone alla divisibilità infinita dello spazio e del tempo. Achille, sfidando la tartaruga, si comporta sportivamente e accorda un vantaggio alla tartaruga. Mentre percorre la distanza che lo separa dal punto di partenza della tartaruga, quest ultima avanza a sua volta; lo scarto tra Achille e la tartaruga si riduce, certo, ma la tartaruga conserva il vantaggio. Mentre Achille copre la nuova distanza che lo separa dalla tartaruga, la tartaruga continua ad avanzare. Se lo spazio è divisibile all infinito, Achille non potrà mai raggiungere la tartaruga. Quello che entra

3 1 Numeri e grandezze geometriche 3 in gioco nel paradosso, è la possibilità di sommare una infinità di quantità sempre più piccole e l impossibilità di concepire intuitivamente che questa somma possa essere uguale a una grandezza finita. L argomento è ancora più esplicito nella dicotomia: prima di poter percorrere interamente un segmento, un corpo in moto deve percorrere la metà di questo segmento, poi la metà della metà, e così di seguito fino all infinito. Zenone costruisce mentalmente la serie 1 + ( 1 ) + ( ) ( ) , dove la somma vale 1, ma non arriva mai ad afferrare intuitivamente il contenuto. Le nozioni moderne di limite e convergenza di una serie ci permettono di affermare che a partire da un certo [punto] lo scarto tra Achille e la tartaruga diviene minore di ogni numero ɛ dato che si era scelto piccolo a piacere (cfr. riquadro 1.1.1). Il paradosso della freccia suppone che lo spazio e il tempo siano composti di parti indivisibili, dette «punti e istanti». A un «istante? del suo volo, una freccia occupa un «punto» dello spazio ed è a riposo. Poiché questo è vero in ciascun istante del suo volo, la freccia non può essere in movimento. Qui è in discussione la nozione di velocità istantanea. Quale valore attribuire al rapporto x della distanza percorsa x nell intervallo di tempo t t se la quantità t diventa sempre più piccola? Incapaci di immaginare un minimo non nullo, gli antichi gli assegnavano un valore zero. Oggi la nozione di limite fornisce immediatamente la buona risposta: la velocità istantanea è il limite del rapporto x quando t tende a zero. t È dunque la nozione di limite che vediamo all opera nei paradossi citati; esso sarà il concetto centrale del calcolo infinitesimale 1. Conosciamo i paradossi di Zenone grazie ad Aristotele che li ha riportati nella Phsica al fine di criticarli. È in questa occasione che distingue tra l infinito secondo l addizione e l infinito secondo la divisione e stabilisce che il continuo è divisibile all infinito. I tempi si comportano allo stesso modo e in un intervallo finito di tempi è possibile percorrere una distanza divisibile all infinito. Il paradosso della freccia che «è conseguenza dell ipotesi che i tempi siano composti di istanti» viene a cadere quando si ammetta che i tempi siano divisibili all infinito. 1 NdT Si comprenderà pienamente la centralità del concetto di limite per il calcolo differenziale solo due secoli dopo la sua fondazione, con il lavoro di Cauchy.

4 1 Numeri e grandezze geometriche RIQUADRO: definizione di limite 1. Il metodo di esaustione: la negazione dell infinito La scoperta dell incommensurabilità della diagonale del quadrato e del suo lato ha [portato alla scoperta di] altre grandezze incommensurabili. La teoria delle proporzioni di Eudosso (nato intorno al 408 a.c.), esposta nel libro V degli elementi di Euclide, è il tentativo di dare uno statuto alle grandezze incommensurabili e testimonia di in una certa maniera di ammettere i numeri irrazionali nella matematica greca. È alla base del metodo di esaustione, che permetterà ai Greci di risolvere alcuni problemi che [verranno inclusi] più tardi [nel dominio] del calcolo infinitesimale: calcolo delle lunghezze delle curve; calcolo delle aree o dei volumi delimitati da curve o da superfici curve, determinazione dei centri di gravità, costruzione delle tangenti, ecc. Questo metodo si fonda inoltre su un assioma di misurabilità, l assioma di Archimede, divenuto necessario dopo che la scoperta degli irrazionali aveva reso impossibile l identificazione delle grandezze geometriche e dei numeri (cfr. riquadri 1..1). Misurare, qual è il significato di questa parola per i geometri greci? Eudosso evita di associare un numero alla lunghezza di un segmento di curva,ad un area curvilinea, ecc. Incapace di trovare una unità di misura comune tra grandezze incommensurabili, i Greci non misurano le grandezze geometriche ma le confrontanotra loro calcolandone i rapporti. Confrontano le lunghezze curve a quelle rettilinee rettificano le curve le aree curvilinee a quelle rettilinee. La quadratura di una superficie è allora etimologicamente la costruzione di un quadrato, o per abuso di linguaggio, di un triangolo et avente la stessa area della superficie considerata. La cubatura è la generalizzazione nello spazio della nozione di quadratura, le costruzioni dovendosi fare, secondo la tradizione greca con l uso esclusivo della riga e del compasso. Calcolare la misura dell area di una superficie è un falso problema per i greci, ma determinare il rapporto tra due aree è un problema suscettibile di essere risolto nel quadro della loro matematica. Così il metodo di esaustione sviluppato da Eudosso, Euclide e Archimede permette loro di confrontare l area di una superficie A (di un segmento di parabola, per esempio) con l area di una superficie S conosciuta (di un quadrato o di un triangolo, per esempio). Il metodo di esaustione consiste nel costruire due superfici U e V che incapsulano la superficie di cui si vuole determinare l area e la superficie S data e tale che la differenza V \ U sia piccola a piacere. Si dimostrerà quindi per assurdo che A è uguale ad S. Nella quadratura della parabola Archimede (87-1 a.c.) dimostra rigorosamente che «un segmento qualunque compreso tra una retta e una parabola

5 1 Numeri e grandezze geometriche 5 è uguale a quattro volte il [triplo] di un triangolo che ha la stessa base e la stessa altezza del segmento». (Proposizione 17). Ecco come si procede (cf. fig. 1) RIQUADRO: l assioma di Archimede L assioma di Archimede come è enunciato nel libro X degli Elementi di Euclide: «Sottraendo alla più grande di due grandezze date più della sua metà, dalla parte rimanente, ancora una parte maggiore della sua metà, ecc., si arriva ad una grandezza minore della grandezza iniziale più piccola» E in termini moderni: Se a e b sono due numeri reali positivi, a > b, allora esiste sempre un numero naturale m tale che mb > a. Questa formulazione moderna è essenzialmente identica a quella contenuta nella definizione?? del Libro V.