Possibili problemi d esame per Analisi Reale a.a

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1 Possibili problemi d esame per Analisi Reale a.a giugno 2007

2 2 Qui di seguito sono elencati possibili problemi di analisi reale da risolvere per la prova scritta dell esame. Alcuni di questi problemi provengono dalle prove scritte della sessione estiva. Molto spesso si chiederà al candidato di dimostrare o confutare un affermazione. Si ricorda che un enunciato matematico di carattere generale si confuta quasi sempre con un controesempio. Si osservi anche che i problemi qui indicati sono molto ripetitivi, nel senso che lo stesso ragionamento o lo stesso tipo di esempio può servire a risolvere molti problemi diversi. Alcuni esercizi qui elencati non sono adatti per un compito scritto. Infatti, alcuni sono troppo semlici, altri richiedono dimostrazioni troppo lunghe. Essi sono inclusi per completezza, spesso perché la risposta a questi esercizi può essere utilizzata per svolgere altri esercizi e perché possono essere ripresi nell esame orale. In conclusione chi è in grado di svolgere tutti questi esercizi può ritenersi meritevole di promozione nell esame di analisi reale. E anche possibile essere meritevoli di promozione avendo affrontato alcuni concetti in modo diverso da quello considerato in questi esercizi. Questo si applica specialmente agli esercizi sull insieme di Cantor, e sulla funzione di Cantor Vitali, ed anche alla costruzione della cosiddetta curva di Peano. Si tratta di esempi importantissimi nell analisi reale, ma non è detto che debba essere seguito, per studiarli, il metodo utilizzato negli esercizi che seguono. Ultima raccomandazione: NON SCORAGGIATEVI E, SE AVETE DUBBI, CERCATEMI PER POSTA ELETTRON- ICA, CERCHERO DI RISPONDERVI SE E QUANDO AVRO ACCESSO ALLA POSTA ELETTRONICA Esercizio 1 Dimostrare che se f è una funzione continua definita su R ed esistono i limiti lim x + f(x) e lim x f(x), allora f è uniformemente continua. Esercizio 2 Dimostrare che se f è una funzione definita su R, continua e derivabile in ogni punto e lim x + f(x) = lim x f(x) = 0, allora esiste un punto dove la derivata di f si annulla. Esercizio 3 Dimostrare che se f è una funzione continua definita su R ed esistono i limiti lim x + f(x) = a e lim x f(x) = b, allora f assume tutti i valori compresi tra a e b. Esercizio 4 Una funzione di variabile reale si dice periodica di periodo T 0, se per ogni x reale risulta f(x + T ) = f(x). Dimostrare che l insieme dei periodi di una funzione, con l aggiunta dello zero è un sottogruppo di R, rispetto all addizione.

3 Esercizio 5 Dimostrare che se f è una funzione di variabile reale continua e periodica esiste il più piccolo periodo positivo. Trovare una funzione (non continua) che sia periodica rispetto a periodi arbitrariamente piccoli. Esercizio 6 Dimostrare che se f è una funzione periodica di periodo T 0, e la funzione f(x 2 ) è uniformemente continua, allora f è una funzione costante. Esercizio 7 Dimostrare o confutare che se f è una funzione limitata e infinitamente differenziabile su R, allora f è uniformemente continua. Esercizio 8 Dimostrare o confutare che la funzione caratteristica di un sottoinsieme aperto e limitato di R è integrabile secondo Riemann. Esercizio 9 Dimostrare o confutare che ogni sottoinsieme aperto e non vuoto di R è l unione di una famiglia numerabile di insiemi aperti e disgiunti. Esercizio 10 Dimostrare o confutare che ogni insieme aperto di R, denso in R ha misura di Lebesgue infinita. Esercizio 11 Dimostrare o confutare che ogni insieme misurabile limitato di misura nulla è numerabile. Esercizio 12 Dimostrare o confutare che ogni insieme chiuso che non contiene alcun intervallo aperto ha misura nulla Esercizio 13 Dimostrare o confutare che se f è una funzione limitata integrabile secondo Riemann in un intervallo chiuso e limitato l insieme dei suoi punti di discontinuità è numerabile. Esercizio 14 Dimostrare che esiste un sottoinsieme chiuso di R che non contiene alcun punto interno ed ha misura infinita. Esercizio 15 Dimostrare o confutare che una funzione monotona definita su un intervallo chiuso e limitato (non banale) è continua in almeno un sottointervallo aperto. Esercizio 16 Dimostrare o confutare che la funzione f definita qui di seguito sull intervallo [0, 1] è integrabile secondo Riemann: f(x) = 0 se x è un numero irrazionale, f(0) = 0, f(1) = 1, e f(x) = 1 q, se x = p q, con p e q numeri naturali primi tra loro. 3

4 4 Esercizio 17 Dimostrare o confutare che se l insieme dei punti di discontinuità di una funzione limitata definita in un intervallo è denso nell intervallo di definizione, allora la funzione stessa non è integrabile secondo Riemann. Esercizio 18 Dimostrare o confutare che ogni funzione monotona definita in un intervallo chiuso è integrabile secondo Riemann. Esercizio 19. Dimostrare o confutare che esiste una funzione monotona definita sull intervallo [0, 1] i cui punti di discontinuità sono esattamente i numeri razionali dell intervallo. Esercizio 20 Dimostrare o confutare che esiste un sottoinsieme aperto e denso di [0, 1] di misura di Lebesgue inferiore a 1/2. Esercizio 21 Dimostrare o confutare che, per ogni ε > 0, esiste un sottoinsieme aperto di [0, 1] di misura minore di ε che contiene tutti i punti razionali di [0, 1]. Esercizio 22 Dimostrare o confutare che l insieme dei numeri razionali dell intervallo [0, 1] è l intersezione di una famiglia numerabile di aperti. Esercizio 23 Dimostrare che ogni funzione continua e limitata definisce un solo elemento di L la cui norma coincide con l estremo superiore del valore assoluto della funzione Definizione 1 Uno spazio metrico X si dice compatto se per ogni famiglia U ι di insiemi aperti la cui unione è X esiste una sottofamiglia U 1,... U n finita la cui unione è ancora tutto X. Esercizio 24 Dare un esempio di uno spazio metrico compatto infinito e numerabile Definizione 2 Uno spazio metrico si dice separabile se contiene un sottoinsieme numerabile e denso. Esercizio 25 Dimostrare che uno spazio metrico compatto contiene un sottoinsieme numerabile e denso, ed è quindi separabile. Esercizio 26 Sia C b (R lo spazio di tutte le funzioni continue e limitate a valori complessi definite su R, dotato della distanza d(f, g) = sup R f(x) g(x). Dimostrare che C b (R è uno spazio metrico completo non separabile.

5 Esercizio 27 Dimostrare che un intervallo chiuso [a, b] della retta reale (nella metrica indotta dalla distanza di R) è compatto. 5 Esercizio 28 Dimostrare che ogni successione di punti x n metrico compatto ammette una sottosuccessione convergente. di uno spazio Esercizio 29 Dimostrare che se X è uno spazio metrico in cui ogni successione di punti ammette una sottosuccessione convergente allora X è compatto. Esercizio 30 Dimostrare che ogni spazio metrico compatto è completo, ma non vale il viceversa. Esercizio 31 Dimostrare che un sottoinsieme di R d è compatto se e solo se è chiuso e limitato. Esercizio 32 Dimostrare che esistono spazi metrici completi limitati ma non compatti Esercizio 33 Dimostrare che se φ è una funzione continua definita su uno spazio metrico compatto ed a valori in uno spazio metrico, allora l immagine di φ è compatta. Esercizio 34 Dimostrare che una funzione continua e iniettiva da uno spazio compatto ad uno spazio metrico è invertibile con continuità sulla sua immagine. Definizione 3 Uno spazio metrico si dice totalmente limitato se per ogni ε > 0 esistono, in numero finito, punti dello spazio x 1, x 2,... x n tali che l unione degli sferoidi n j=1 {x : d(x, x j) < ε} ricopre lo spazio. Esercizio 35 Dimostrare che uno spazio metrico completo e totalmente limitato è compatto. Esercizio 36 Sia K l insieme di tutte le successioni ξ = {ξ j }, con ξ j = 0, oppure ξ j = 1. In altre parole sia K l insieme di tutte le funzioni definite sui numeri naturali N e a valori nell insieme di due elementi {0, 1}. Definiamo su K la distanza come segue: d(ξ, ξ) = 0, e d(ξ, η) = 2 n, dove n è il primo numero naturale tale che ξ n η n. Dimostrare che K è uno spazio metrico compatto con questa distanza.

6 6 Osservazione 1.L insieme K può essere identificato con l insieme dei sottoinsiemi dei numeri naturali, come tale esso è talvolta indicato con la notazione 2 ω. Per chi ha studiato topologia la compattezza di K potrebbe derivare dal fatto che si tratta del prodotto (infinito) di spazi compatti, in particolare di spazi finiti. Resterebbe però da mostrare che la topologia del prodotto coincide con quella indotta dalla metrica sopra descrtitta (non è difficile). Esercizio 37 Sia K lo spazio metrico compatto dell esercizio precedente, e sia φ la funzione definita su K ed a valori nell intervallo [0, 1] così definita: φ(ξ) = 2 Dimostrare che φ è iniettiva e continua e che pertanto l immagine C = φ(k) è un sottoinsieme compatto di [0, 1]. Osservazione 2 L insieme C dell esercizio precedente si chiama insieme di Cantor ovvero, talvolta, insieme ternario di Cantor. La funzione φ risulta invertibile con continuità dall insieme C all insieme K. Per chi ha studiato topologia si può osservare che C e K sono omeomorfi, ma se si assegna a C la metrica che eredita dai numeri reali, non sono affatto isometrici. Se poi si assegna a C la metrica che deriva dalla metrica di K si hanno su C due metriche diverse che danno luogo alla stessa topologia. Ad esempio come elementi di C i numeri 1 e 2 hanno distanza 1 nella metrica dei numeri reali, ma hanno distanza 1 nella metrica ereditata da K, infatti 1/3 = φ(ξ), dove 2 ξ 1 = 0 e ξ j = 1, per j > 1, mentre 2/3 = φ(η), dove η 1 = 1 e η j = 0, per j > 1. Esercizio 38 Identificare gli intervalli aperti e disgiunti la cui unione è il complemento dell insieme di Cantor in [0, 1]. Esercizio 39 Dimostrare che l insieme di Cantor ha misura di Lebesgue nulla. Esercizio 40 Sia ψ la funzione definita sull insieme di Cantor C che inverte la funzione ξ j φ(ξ) = 2 3. j Per t C si definisca u(t) = j=1 j=1 j=1 ξ j 3 j. ψ(t) j 2 j.

7 Dimostrare che u è la composizione di due funzioni continue e pertanto è una funzione continua definita su C e a valori in [0, 1] Esercizio 41 Dimostrare che se a < b sono elementi dell insieme di Cantor per i quali risulta u(a) = u(b) allora l intervallo aperto (a, b) è uno degli intervalli aperti e disgiunti la cui unione è il complemento dell insieme di Cantor. Dimostare che viceversa, se a < b non sono gli estremi di un intervallo aperto massimale contenuto nel complemento dell insieme di Cantor, allora u(a) < u(b). Esercizio 42 Sia v(t) la funzione che coincide con u(t) sull insieme di Cantor e che è costante su ognuno degli intervalli aperti e disgiunti la cui unione è il complemento dell insieme di Cantor, assumendo su ciascuno di questi intervalli il valore che u(t) assume agli estremi. Dimostrare che u(t) è una funzione continua definita su [0, 1] e a valori nello stesso intervallo, che è monotona, non decrescente, vale zero in zero, vale uno in uno ed è derivabile con derivata zero in tutti i punti del complemento dell insieme di Cantor. Dimostrare infine che l immagine dell insieme di Cantor v(c) ha misura uno. Osservazione 3 La funzione v(t) dell esercizio precedente si chiama in generale funzione di Vitali o di Cantor-Vitali. Esercizio 43 Sia K K l insieme delle coppie di elementi dell insieme K. Si definisca su K K la distanza: d 2 ((ξ, η), (ξ, η )) = max[d(ξ, ξ ), d(η, η )]. Dimostrare che K K è uno spazio metrico rispetto a questa distanza e che esiste una funzione continua iniettiva e surgettiva κ che trasforma K in K K. [Per ξ = (ξ j ) K, basta definire κ(ξ) = (ξ 1, ξ 2 ) dove ξj 1 = ξ 2j e ξj 2 = ξ 2j 1 ] Esercizio 44 Sia p la funzione, a valori in [0, 1] [0, 1] così definita su C. Per x C sia (ξ, η) = κ(ψ(x)) e sia p(x) = (u(φ(ξ)), u(φ(η)). Dimostrare che la funzione p è continua e surgettiva da C a [0, 1] [0, 1]. [Ricordare che φ e ψ sono luna l inversa dell altra e che φ è definita su K, mentre ψ è definita su C. 7

8 8 Esercizio 45 Sia P la funzione definita su [0, 1], che coincide con p per i punti di C mentre se x / C, e a < b sono gli estremi dell intervallo aperto massimale contenuto nel complemento di C e cui appartiene x, con x = (1 t)a + tb, e 0 < t < 1, allora P (x) = (1 t)p(a) + tp(b). Dimostrare che la funzione P è continua e surgettiva da [0, 1] a [0, 1] [0, 1]. Osservazione 4 La funzione P costruita nell esercizio precedente è nota come una funzione che definisce una curva di Peano o una curva che riempie lo spazio. Prima che Giuseppe Peano trovasse una funzione di questo tipo, si riteneva da molti che qualsiasi funzione continua definita su un intervallo chiuso e a valori nel piano avesse come immagine una curva o un insieme che corrispondeva al nostro concetto intuitivo di curva. L immagine di P è invece un quadrato pieno. La costruzione che abbiamo dato negli esercizi che precedono, è abbastanza vicina a quella originaria di Peano, che usava appunto l espressione dei numeri reali in forma binaria e ternaria, ma non è quella più comunemente usata. Ha il pregio però di mettere in evidenza gli ingredienti sostanziali della costruzione: il fatto che K K è omeomorfo a K e l esistenza di una funzione continua e surgettiva da K a [0, 1]. Esercizio 46 Dimostrare che esiste una funzione strettamente crescente definita e a valori [0, 1] che è continua, invertibile con continuità e per la quale l immagine dell insieme di Cantor ha misura positiva. Esercizio 47 Dimostrare che ogni insieme di misura esterna positiva contiene un insieme non misurabile Esercizio 48 Dimostrare o confutare che se f è una funzione continua e E un insieme di misura esterna nulla allora l insieme {x : f(x) E} ha misura esterna nulla. Esercizio 49 Dimostrare o confutare che se E è un insieme misurabile secondo Lebesgue ed f una funzione continua a valori reali, allora l immagine inversa di E rispetto ad f e cioè {x R : f(x) E} è misurabile. Esercizio 50 Dimostrare o confutare che se f è una funzione continua e g una funzione misurabile, allora la funzione h(x) = f(g(x)) è misurabile. Esercizio 51 Dimostrare o confutare che se f è una funzione continua e g una funzione misurabile, allora la funzione h(x) = g(f(x)) è misurabile. Esercizio 52 Sia B la più piccola σ-algebra che contiene tutti i sottoinsiemi aperti di R, dimostrare che esiste un insieme misurabile che non appartiene a B.

9 Esercizio 53 Dimostrare che se E è un sottoinsieme di R di misura esterna nulla, allora ha misura esterna nulla anche l insieme E 2 = {(x, y) : x y E}. Esercizio 54 Dimostrare che se f è una funzione reale di variabile reale, misurabile secondo Lebesgue allora è anche misurabile secondo Lebesgue in R 2 la funzione g(x, y) = f(x y). Esercizio 55 Sia I un intervallo chiuso e limitato dimostrare o confutare che esiste una funzione che per ogni p 1 apparitiene a L p (I), ma non appartiene a L (I). Definizione 4 Una base algebrica di uno spazio vettoriale rispetto ad un campo è un insieme massimale B di elementi linearmente indipendenti. (Ogni vettore che non è in B può essere espresso come combinazione lineare finita di elementi di B) Uno spazio vettoriale è a dimensione finita se possiede una base algebrica finita. Esercizio 56 Dimostrare che il campo reale R è uno spazio vettoriale rispetto al campo razionale ed ha dimensione infinita. Esercizio 57 Dimostrare che una base ortogonale finita di uno spazio di Hilbert è linearmente indipendente e che quindi è anche una base algebrica. Esercizio 58 Dimostrare che se uno spazio di Hilbert non ha una base ortonormale infinita allora ogni sua base algebrica è più che numerabile Esercizio 59 Dimostrare che la sfera unitaria di uno spazio di Hilbert è compatta nella topologia della norma se e solo se lo spazio ha dimensione finita. Esercizio 60 Dimostrare che uno spazio di Hilbert è separabile come spazio metrico se e solo se ogni sua base ortonormale è al più numerabile. Esercizio 61 Dimostrare o confutare che se f è una funzione non negativa, infinitamente differenziabile ed appartenente ad L 1 (R) allora lim x f(x) = 0. Esercizio 62 Dimostrare che esiste una successione f n di funzioni continue definite su R tale che lim n f(x) = 0 uniformemente, eppure f n 1 1. Può questo fenomeno prodursi se le funzioni f n sono tutte definite su [0, 1]? 9

10 10 Esercizio 63 Dimostrare che esiste una successione f n di funzioni continue non negative definite su un intervallo chiuso e limitato I tali che, per ogni x risulta lim n f(x) = 0 eppure lim f n (x)dx = 1. n I Quale condizione dovremmo aggiungere per ottenere che il limite degli integrali sia zero? Esercizio 64 Sia f una funzione misurabile definita in [0, 1], dimostrare o confutare che se lim x 0 f(x) = 0, allora la funzione 1 f non appartiene a L.. Esercizio 65 Sia I un intervallo chiuso e limitato della retta reale. Dimostrare che se f è una funzione misurabile, definita su I e non negativa, che non appartiene ad L (I), allora esiste g L 1 (I), e non negativa, tale che f(x)g(x) = + I Esercizio 66 Dimostrare o confutare la seguente affermazione: se f è una funzione misurabile definita su un intervallo chiuso e limitato, allora per ogni ε > 0 esiste una funzione g continua tale che l insieme {x : f(x) g(x) > ε} abbia misura minore di ε. Esercizio 67 Dimostrare o confutare che per ogni insieme misurabile di misura finita E esiste un insieme compatto K E tale che m(e \ K) < ε. Esercizio 68 Dimostrare o confutare che ogni insieme misurabile di misura finita è l unione di una famiglia numerabile di compatti in esso contenuti. Esercizio 69 Dimostrare o confutare che ogni insieme misurabile di misura finita è l intersezione di una famiglia numerabile di insiemi aperti che lo contengono. Esercizio 70 Sia m e la misura esterna dei sottoinsiemi della retta reale definita per tutti i sottoinsiemi. Dimostrare che esiste una successione E n di sottoinsiemi di R a due a due disgiunti tale che m e ( n E n ) n m e (E n ).

11 Esercizio 71 Dimostrare che se f è una funzione periodica di periodo T > 0 e S > 0, allora la funzione f(t x/s) ha periodo S. Esercizio 72 Sia f una funzione periodica e sia H il sottogruppo di R generato dai suoi periodi. Allora f è costante su ognuna delle classi laterali x+h, e pertanto identifica univocamente una funzione f, definita su R/H. Se f è continua allora è continua f, rispetto alla topologia quoziente di R/H. Dimostrare che se f è continua, allora H è il sottogruppo generato dall elemento positivo minimo appartenente ad H. Esercizio 73 Dimostrare che se f è una funzione integrabile, periodica di periodo T > 0 ed a R, allora T 0 f(x)dx = T 0 f(x + a)dx. Dedurne che se I e J sono intervalli di lunghezza T, risulta I f(x)dx = J f(x)dx. Definizione 5 I coefficienti di Fourier di una funzione f L 1 ([0, 2π]) sono, per ogni n Z, ˆf(n) = 1 2π f(x)e inx dx. 2π 0 La serie di Fourier di una funzione f L 1 ([0, 2π]) è la serie di funzioni 11 + n= ˆf(n)e inx. Definizione 6 Una combinazione lineare complessa delle funzioni e inx dice polinomio trigonometrico. si Esercizio 74 Se f L 2 allora n Z ˆf(n) 2 f 2. (Questa disuguaglianza si dice disuguaglianza di Bessel)

12 12 Definizione 7 Sia T l intervallo [0, 2π) dotato della struttura di gruppo commutativo derivante dalla identificazione con il gruppo quoziente R/2πZ. La convoluzione di due funzioni f, g L 1 (T) è definita per ogni x T come f g(x) = 1 2π f(x t)g(t)dt. 2π 0 Osservare che l operazione x t può essere interpretata come l ordinaria sottrazione se si prolungano le funzioni f e g a tutto R come funzioni periodiche di periodo 2π. Esercizio 75 Dimostrare che la funzione di due variabili f(x t)g(t) è misurabile rispetto alla misura prodotto definita su T T, ed applicare il teorema di Fubini per mostrare che 1 2π f g(x) dx f 1 g 1. 2π 0 Dimostrare inoltre che f g(n) = ˆf(n)ĝ(n). Esercizio 76 Se f è una funzione continua e periodica derivabile nel punto 0, allora N f(0) = lim ˆf(n) = ˆf(n). N n= N n= Esercizio 77 Osservare che se si definisce f y (x) = f(x y), allora ˆf y (n) = ˆf(n)e iny. Dedurne che se f è una funzione periodica continua derivabile nel punto y, allora f(y) = lim N N n= N ˆf(n)e iny = n= ˆf(n)e iny. Esercizio 78 Se f è una funzione continua e periodica, derivabile con continuità, e Df è la sua derivata, allora Df(n) = in ˆf(n). Osservare che la disuguaglianza di Bessel applicata a Df fornisce n= n 2 ˆf(n) 2 1 2π Df(x) 2 dx, 2π 0

13 e pertanto la disuguaglianza di Schwarz implica ˆf(n) <. n= Esercizio 79 Sia u n una funzione positiva definita su [0, 2π] con le seguenti proprietà: 1 2π u n (x)dx = 1. 2π 0 Per ogni δ > 0, lim sup u n (x) = 0. n δ<x<2π Allora per ogni funzione continua e periodica f 13 lim n f u n (x) = f(x), uniformemente. Esercizio 80 La funzione n K n (x) = (1 k n + 1 )eikx = 1 n+1 {sin( x 2 n + 1 sin( 1x }2, 2 k= n verifica le proprietà indicate nell ipotesi dell esercizio precedente e pertanto, per ogni f continua e periodica lim n K n f(x) = f(x), uniformemente. Dedurne che ogni funzione continua e periodica è il limite uniforme di polinomi trigonometrici. Esercizio 81 Se f k è una successione di funzioni integrabili su [0, 2π] che converge nella norma di L 1 ad una funzione integrabile f, allora ˆf k (n) converge a ˆf(n) per ogni n. Esercizio 82 Le funzioni e inx formano un sistema ortonormale completo in L 2 ([0, 2π]. Esercizio 83 Dimostrare che gli spazi L p (I), dove I è un intervallo chiuso e limitato e 1 p < sono separabili come spazi metrici, ma che L non è separabile. Estendere questo risultato al caso degli spazi L p (R. Dimostrare che è separabile lo spazio C(I) con la morma dell estremo superiore, ma non è separabile lo spazio di tutte le funzioni continue e limitate definite su R, sempre con la norma dell estremo superiore.