Strato limite compressibile

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1 Capitolo 9 Strato limite compressibile Dopo aver derivato le equazioni di Navier-Stokes nel Cap. 1 e con l eccezione di quanto visto nel 5.9, si è sempre considerato il caso di un fluido ideale, governato quindi dalle equazioni di Eulero o, nel caso di flusso irrotazionale, dall equazione del potenziale. L adozione del modello semplificato di fluido non viscoso e non conducente è dovuta al fatto che la maggior parte dei fluidi ha viscosità e conducibilità molto piccole. Inoltre, mentre la soluzione del sistema completo delle equazioni di Navier-Stokes può essere ottenuta solo per via numerica, il modello semplificato consente di ottenere soluzioni con metodi semplici ed a volte anche in forma chiusa. Sorge tuttavia il problema di valutare in che misura le soluzioni ottenute con il modello semplificato approssimino le soluzioni delle equazioni di Navier- Stokes e siano quindi di utilità nella determinazione delle caratteristiche di un flusso (ad esempio la portanza e la resistenza di un profilo alare). E noto infatti che la soluzione che si ottiene trascurando la viscosità nelle equazioni non necessariamente coincide con quella ottenuta risolvendo le equazioni complete e facendo poi tendere a zero la viscosità nella soluzione. E anche noto che nel passaggio dalle equazioni di Navier-Stokes a quelle di Eulero si abbassa l ordine del sistema e non si può più imporre la condizione al contorno di aderenza alla parete che deve essere sostituita da quella di tangenza alla parete, la quale però non rispecchia la realtà fisica. Malgrado queste incongruenze, l assunzione di fluido non viscoso in molti casi fornisce risultati in buon accordo con i dati sperimentali, in particolare per quanto riguarda la distribuzione della pressione sulla superficie di un corpo. La formulazione euleriana consente quindi di calcolare la portanza e la resistenza di pressione (o resistenza di forma) ma non consente evidentemente di determinare la resistenza di attrito. Quest ultima può essere ottenuta solo includendo nelle equazioni i termini viscosi. uttavia, rispetto alla soluzione delle equazioni di Navier-Stokes, il problema può essere semplificato dall osservazione 155

2 156 Capitolo 9 che gli effetti viscosi non sono importanti in tutto il campo ma solo in regioni limitate quali gli strati di mescolamento o la zona in prossimità della parete di un corpo, cioè lo strato limite cinematico. Il fatto che lo strato limite sia di piccolo spessore è una diretta conseguenza del fatto che la viscosità della maggior parte dei fluidi è molto piccola. Infatti lo sforzo viscoso in prossimità di una parete è dato da τ = µ u/ y (essendo y la direzione normale alla parete). Poichè µ è molto piccola, lo sforzo può essere grande (e quindi non trascurabile rispetto ai termini convettivi) solo se è grande il gradiente di velocità. Affinchè quest ultimo sia grande deve essere piccola la distanza δ attraverso la quale la velocità passa dal valore esterno u e al valore nullo in corrispondenza alla parete, cioè deve essere piccolo lo spessore dello strato limite. L introduzione del concetto di strato limite consente di ridurre il problema della soluzione di un flusso viscoso a due sottoproblemi: i) la soluzione del flusso esterno nel quale gli effetti viscosi sono trascurabili e le equazioni si riducono a quelle di Eulero; ii) la soluzione dello strato limite cinematico nel quale le equazioni possono essere semplificate tenendo conto del fatto che lo strato limite è sottile. Considerazioni del tutto analoghe alle precedenti si possono fare per quanto riguarda il problema della soluzione del campo termico e della determinazione dello scambio di calore fra un corpo ed il fluido circostante. Consideriamo un corpo immerso in un fluido che abbia, ad esempio, una temperatura inferiore a quella del corpo stesso. Se il fluido è in quiete, l influenza del corpo caldo, ovvero il campo di temperatura, si estende uniformemente in tutte le direzioni e si ha un flusso di calore dal corpo verso il fluido per effetto della sola conduzione termica. Se invece il fluido è in moto, la corrente trasporta verso il corpo l energia interna della corrente indisturbata e la temperatura in ogni punto deriva dal bilancio fra il flusso di calore convettivo e quello diffusivo. La regione influenzata dalla temperatura del corpo si riduce ad uno strato in prossimità della parete ed alla scia dietro al corpo (Fig. 9.1). Questo strato, che prende il nome di strato limite termico, è tanto più sottile quanto più è grande la velocità e può essere definito come la regione nella quale i termini diffusivi sono dello stesso ordine di grandezza di quelli convettivi. V w Figura 9.1: Come nel caso dello strato limite cinematico, si può dedurre che lo strato

3 Capitolo limite termico è sottile in conseguenza del fatto che la maggior parte dei fluidi di interesse (gas e liquidi) hanno una conducibilità termica molto piccola. Infatti il flusso di calore di conduzione in direzione normale alla parete è dato da q = k / y e, se la conduttività termica è molto piccola, esso potrà essere grande solo in presenza di forti gradienti della temperatura. Valutando il termine conduttivo come q = k( w )/δ, si deduce che il flusso di calore di conduzione può essere grande, e quindi dello stesso ordine di grandezza del flusso di calore per convezione, solo se è molto piccolo lo spessore δ dello strato limite termico attraverso il quale la temperatura passa dal valore w al corpo al valore che si ha nel fluido indisturbato. Analogamente al caso del campo fluidodinamico, il campo di temperatura può essere suddiviso in due zone: i) il campo esterno nel quale il flusso di calore è dovuto solo al trasporto convettivo e la conduzione è trascurabile; ii) lo strato limite termico all interno del quale i termini conduttivi non possono essere trascurati ma l equazione di conservazione dell energia può essere semplificata in base al fatto che lo spessore è piccolo. 9.1 Accoppiamento tra campo cinematico e campo termico Le soluzioni del campo termico e di quello cinematico non sono in generale fra loro indipendenti. La conoscenza del campo di velocità è infatti sempre indispensabile per determinare il flusso di calore convettivo e quindi il campo termico. Viceversa non sempre la soluzione del campo cinematico dipende da quella del campo termico. Per comprendere meglio il problema, riprendiamo le equazioni di Navier- Stokes (1.31), (1.32) e (1.34) tenendo conto anche della forza gravitazionale Dρ + ρ V = 0 (9.1) Dt ρ DV Dt + p = µ 2 V + (λ + µ) ( V) + ρg (9.2) ρc p D Dt Dp Dt = k 2 + µφ (9.3) In condizioni di equilibrio idrostatico (V = 0) l equazione di conservazione della quantità di moto si riduce a p s = ρ g (9.4)

4 158 Capitolo 9 Sottraendo quest ultima alla (9.2) si ha ρ DV Dt + p = µ 2 V + (λ + µ) ( V) + (ρ ρ )g (9.5) essendo p la differenza fra la pressione e la pressione idrostatica p s. Per valutare l importanza relativa dei diversi termini che compaiono nelle equazioni di bilancio, è opportuno riscriverle in forma adimensionale. Introduciamo le variabili adimensionali x = x l, t = V t, Ṽ = V, ρ = ρ, p = p l V ρ ρ V 2, = 0 essendo l una dimensione caratteristica del corpo. Si osservi che la temperatura viene in genere adimensionalizzata non rispetto alla temperatura del fluido indisturbato ma rispetto ad una differenza di temperatura (in genere quella fra fluido e corpo). Sostituendo le variabili adimensionali nelle (9.1), (9.5) e (9.3) si ha D ρ + ρ Ṽ = 0 (9.6) D t ρ DṼ D t + p = 1 [ ( 2 Ṽ λ ) ( ) ] Re µ Ṽ + 1 ( ρ 1)j (9.7) Fr2 ρ D D t = 1 D p PrRe 2 + Ec D t + Ec ϕ (9.8) Re nelle quali j rappresenta il versore della direzione della forza gravitazionale ed i numeri adimensionali sono definiti come numero di Reynolds numero di Froude Re = V l ν Fr = V gl numero di Prandtl Pr = µc p k numero di Eckert Ec = V 2 C p 0 Il numero di Reynolds rappresenta il rapporto fra le forze d inerzia e le forze viscose ed il numero di Froude quello fra le forze d inerzia e la forza

5 Capitolo gravitazionale (o forza di galleggiamento). Il numero di Prandtl invece dipende unicamente dalla natura del fluido. Per quanto riguarda il numero di Eckert esso può essere espresso come il rapporto fra due differenze di temperatura caratteristiche. Ricordando infatti la definizione di temperatura di ristagno 0 = + V 2 2C p si ha V 2 C p = 2( 0 ) = 2 a essendo a l incremento di temperatura in una compressione adiabatica. Il numero di Eckert può allora scriversi Ec = 2 a 0 (9.9) Esprimiamo ora le variazioni di densità in funzione delle variazioni di temperatura e pressione ρ = ρ + ρ ( ) + ρ p (p p ) (9.10) Valutando ρ e ρ in corrispondenza delle condizioni di fluido indisturbato, si p ha ρ = ρ β ρ p = 1 a 2 essendo β il coefficiente di espansione termica. In termini delle variabili adimensionali, la (9.10) risulta ρ = 1 + β 0 ( ) + M 2 ( p p ) (9.11) Consideriamo ora le diverse situazioni che si verificano al variare della velocità V. Convezione naturale E questo il caso in cui il fluido non è dotato di una velocità propria (V = 0) ed il moto è originato dalla forza di galleggiamento conseguente alle differenze di densità. Non essendoci una velocità caratteristica del flusso, si assume come velocità di adimensionalizzazione V = ν l

6 160 Capitolo 9 e di conseguenza Re = 1 Fr = ν gl 3 Ec = ν 2 l 2 C p 0 (9.12) Ricordando che ν = m 2 /sec per l aria e ν = 10 6 m 2 /sec per l acqua, è immediato verificare che M è molto piccolo e la (9.11) mostra che la densità può essere ritenuta indipendente dalla pressione (ipotesi di incomprimibilità). Inoltre, essendo β K 1, la (9.11) mostra che sono molto piccole anche le variazioni di densità dovute alle variazioni di temperatura, a meno che queste ultime non siano molto grandi. Nella maggior parte dei casi di interesse pratico si può quindi assumere che la densità sia costante ρ = 1. Ciò però non vale per il termine di galleggiamento in quanto ( ρ 1) che è piccolo è diviso per Fr 2 che è a sua volta molto piccolo come si rileva dalle (9.12). Infine, poichè anche il numero di Eckert è molto piccolo, gli ultimi due termini della (9.8) possono essere trascurati. Le equazioni che governano un flusso a convezione naturale possono quindi scriversi Ṽ = 0 (9.13) DṼ ( ) D t + p = 2 Ṽ + Gr j (9.14) D D t = 1 Pr 2 (9.15) avendo introdotto il numero di Grashof Gr = β 0gl 3 ν 2 Dall esame del sistema di equazioni si vede che il campo cinematico dipende da quello termico tramite il termine di galleggiamento e pertanto nel caso della convezione naturale le equazioni sono tutte accoppiate tra di loro e devono essere risolte contemporaneamente. Flussi a bassa velocità Consideriamo i flussi aventi M <.3, il che corrisponde grosso modo ad una velocità V < 100m/sec. Anche in questo caso si può trascurare la dipendenza della densità sia dalla pressione che dalla temperatura tenendo conto che tipicamente 0 è dell ordine della decina di gradi. In questo caso però il numero di Froude è grande e si può quindi trascurare l effetto della forza

7 Capitolo di galleggiamento. Poichè per V = 100m/sec. si ha a 5 K, il numero di Eckert è in generale sufficientemente piccolo da poter trascurare nell equazione dell energia sia il termine di dissipazione che quello di compressione. Le equazioni che governano il problema risultano pertanto Ṽ = 0 (9.16) DṼ D t + p = 1 Re 2 Ṽ (9.17) D D t = 1 PrRe 2 (9.18) Come si vede in questo caso le equazioni di conservazione della massa e della quantità di moto non dipendono da ed il campo cinematico può quindi essere risolto indipendentemente da quello termico. Flussi a velocità intermedie Con questa denominazione intendiamo i flussi aventi.3 < M < 1, anche se naturalmente i valori che delimitano i diversi tipi di flusso hanno carattere puramente indicativo. In questo caso non è più possibile adottare l ipotesi di incomprimibilità ma è ancora lecito trascurare la dipendenza della densità dalla temperatura. Infatti per V = 300m/sec. si ha a 50 K, che rappresenta la massima differenza di temperatura all interno del campo, ed il termine β 0 ( ) nella (9.11) risulta pertanto trascurabile. Il numero di Eckert risulta ora di ordine uno ed il termine di compressione nella (9.8) non può più essere trascurato, mentre è ancora trascurabile il termine dissipativo in quanto è diviso per Re che è di ordine Le equazioni che governano il problema risultano D ρ + ρ Ṽ = 0 (9.19) D t ρ DṼ D t + p = 1 [ ( 2 Ṽ λ ) ( Ṽ) ] (9.20) Re µ ρ D D t = 1 D p PrRe 2 + Ec D t (9.21) Anche in questo caso il campo cinematico non dipende da quello termico che può essere risolto separatamente.

8 162 Capitolo 9 Flussi ad alta velocità All aumentare di M il valore di a cresce molto rapidamente e le variazioni di temperatura all interno del campo diventano così grandi da non poter più trascurare le variazioni di densità che ne conseguono. Inoltre anche i coefficienti di viscosità e di conducibilità termica non possono più essere considerati costanti in quanto si deve tener conto della loro variabilità con la temperatura. Il campo cinematico dipende pertanto da quello termico ed il sistema (9.6), (9.7), (9.8), completato dall equazione di stato e dalle leggi µ() e k(), deve essere risolto simultaneamente. Naturalmente nella (9.7) può essere trascurato il termine di galleggiamento, essendo grande il numero di Froude. 9.2 Semplificazione dell equazione dell energia nell ipotesi di strato limite Come già accennato in precedenza, l equazione di conservazione dell energia può essere semplificata in base al fatto che sia lo spessore dello strato limite cinematico δ sia quello dello strato limite termico δ sono piccoli rispetto alla dimensione caratteristica del corpo l, ovvero δ 1, δ 1 (9.22) Consideriamo per semplicità l equazione (9.8) nel caso bidimensionale e stazionario, non tenendo conto per ora della variabilità di µ e k ρ ( ũ x ) ( ) + ṽ = ( ỹ Pr Re x ỹ 2 + Ec ũ p x + ṽ p ) + 1 ỹ Re 1 1 δ 1 δ δ2 1 1 δ 2 Ec φ 1 1 δ δ δ2 1 δ 2 (9.23) Ricordiamo che in base alla teoria dello strato limite cinematico si ha ṽ = 0( δ), p/ ỹ = 0( δ), Re = 0(1/ δ 2 ) e che all interno dello strato limite cinematico y = 0( δ), mentre all interno di quello termico y = 0( δ ). Dal confronto degli ordini di grandezza riportati sotto ognuno dei termini della (9.23), si rileva che nel termine conduttivo 2 / x 2 è trascurabile rispetto a 2 / ỹ 2 e nel termine di compressione ṽ p/ ỹ è trascurabile rispetto a ũ p/ x. Per quanto riguarda il termine dissipativo φ, che è costituito dalla somma dei quadrati delle diverse derivate delle componenti di velocità, tutti i termini sono trascurabili rispetto a ( ũ/ ỹ) 2 che è di ordine 1/ δ 2. Il termine dissipativo ed il termine di compressione risultano quindi di ordine di grandezza

9 Capitolo comparabile con gli altri termini solo se Ec = 0(1). Poichè poi all interno dello strato limite termico il termine conduttivo deve essere dello stesso ordine di grandezza dei termini convettivi, nel caso in cui δ/ δ 1 il termine convettivo dominante è quello in x e quindi dovrà essere ( δ δ ) 2 1 Pr = 0(1) ovvero δ δ = 0( Pr) (9.24) relazione che è verificata quando Pr 1 il che accade per i metalli liquidi (ad esempio il sodio liquido usato come refrigerante nei reattori nucleari ha Pr =.005). Invece nel caso in cui δ/ δ 1 il termine convettivo dominante è quello in y e dovrà aversi ( δ δ ) 2 1 ( ) δ Pr = 0 δ ovvero δ δ = 0(Pr) (9.25) Questa relazione vale quando il fluido ha Pr 1 come nel caso dei liquidi (l acqua ha Pr = 7 mentre per gli oli si ha Pr = ). Infine nel caso dei gas che hanno Pr 1 (l aria ha Pr =.7) lo strato limite cinematico e quello termico hanno lo stesso ordine di grandezza ed i due termini convettivi hanno pari importanza. La dipendenza del rapporto δ/δ dal numero di Prandtl ha anche una spiegazione fisica. Il numero di Prandtl può infatti essere espresso come Pr = ν α con α = k ρc p ovvero come il rapporto fra la diffusività di quantità di moto ν e la diffusività termica α. Se Pr > 1, il frenamento dovuto alla parete (ovvero la distruzione di quantità di moto) diffonde nel fluido più di quanto non diffonda la temperatura e quindi l effetto sul campo cinematico si risente ad una distanza dalla parete maggiore di quella a cui si risente l effetto della diversa temperatura di parete. Con le semplificazioni effettuate e tornando alle variabili dimensionali, le equazioni che governano lo strato limite nel caso stazionario, bidimensionale, compressibile risultano (ρu) x + (ρv) = 0 y (9.26) ( ρ u u ) x + v u = ( µ u ) dp y y y dx (9.27) ( ρc p u ) x + v = ( k ) + u dp ( ) u 2 y y y dx + µ (9.28) y

10 164 Capitolo 9 dove si è anche tenuto conto della variabilità di µ e k. Si osservi che la pressione non è un incognita ma è da ritenersi nota in base alla soluzione del campo esterno e che essendo all interno dello strato limite p/ y = 0 la pressione dipende unicamente da x. Le equazioni (9.26) (9.28) assieme all equazione di stato ed alle leggi µ = µ() k = k() (9.29) costituiscono un sistema di 5 equazioni nelle incognite u,v,ρ,,µ,k. 9.3 L analogia termica Consideriamo un flusso uniforme, caratterizzato da una velocità V e da una temperatura, lungo una lastra piana avente temperatura uniforme w. Assumiamo l asse x in direzione parallela alla lastra e l asse y normale ad essa. Consideriamo poi il caso in cui V sia sufficientemente piccola, cosicchè il flusso sia governato dalle equazioni (9.16, 17, 18), ed assumiamo Pr = 1, il che rappresenta con buona approssimazione il caso di un gas. Poichè nel flusso esterno allo strato limite si ha p/ x = 0 ed all interno dello strato limite p/ y = 0, la pressione è uniforme in tutto il campo, ovvero p = 0. Le equazioni (9.17) e (9.18) risultano pertanto identiche, salvo il diverso significato della variabile dipendente. Se poi assumiamo la temperatura adimensionale come = w w anche le condizioni al contorno cui deve soddisfare diventano identiche a quelle cui deve soddisfare la componente di velocità ũ lungo la lastra piana. Si ha infatti y = 0 = 0, ũ = 0 y = = 1, ũ = 1 Pertanto la soluzione è identica alla soluzione ũ, ovvero = u V ( w ) + w (9.30) Il campo termico è quindi completamente noto, una volta che sia noto il campo cinematico. uttavia nella pratica ciò che interessa non è tanto l andamento di u e all interno del campo, quanto i valori dello sforzo e dello scambio termico alla parete che sono dati rispettivamente da

11 Capitolo τ = µ ( ) u y y=0 ( ) q = k y y=0 (9.31) (9.32) Utilizzando le (9.30) e (9.31) il flusso di calore può scriversi c f q = k ( w ) V τ µ (9.33) Lo sforzo τ può anche essere espresso in funzione del coefficiente di attrito τ = 1 2 ρ V 2 c f (9.34) ed il flusso di calore in funzione del coefficiente di adduzione h q = h( w ) (9.35) Introducendo infine il numero di Nusselt locale ed il numero di Reynolds locale Nu x = hx k Re x = ρ V x µ (9.36) la (9.33) risulta Nu x = 1 2 c fre x (9.37) che è nota come l analogia di Reynolds e che permette di ottenere il coefficiente di adduzione e quindi il flusso di calore una volta noto c f. Nel caso della lastra piana si ha c f =.664 Rex e quindi Nu x =.332 Re x

12 166 Capitolo 9 alvolta risulta più conveniente definire il flusso di calore, anzichè mediante il numero di Nusselt, utilizzando il numero di Stanton St = h ρ C p V = Nu RePr Essendo Pr = 1, l analogia di Reynolds può allora scriversi (9.38) St = 1 2 c f (9.39) 9.4 Scambio termico su lastra piana Consideriamo nuovamente lo strato limite lungo una lastra piana già esaminato nel paragrafo precedente, nel caso in cui la velocità del flusso sia così alta da non poter trascurare il termine dissipativo nell equazione di conservazione dell energia. Il problema è quindi retto dalle equazioni (9.26, 27, 28) nelle quali dp/dx = 0. L equazione (9.28) può essere riscritta utilizzando come variabile dipendente, al posto della temperatura, la temperatura totale 0 = + u2 2C p (9.40) Moltiplicando la (9.27) per u e sommandola membro a membro alla (9.28) si ha [ ρc p u ( ) + u2 + v ( )] [ ( u ) ] + u2 = k 2 2 x 2C p y 2C p y 2 + µ + u 2 u y y 2 che, con semplici passaggi analitici, si riduce a ( ρ u ) 0 x + v 0 = µ [ 2 0 y Pr y 2 + (Pr 1) 2 (u 2 ] /2C p ) y 2 (9.41) Nel caso in cui Pr = 1, quest equazione risulta identica alla (9.27) in assenza di gradiente di pressione e pertanto se u è soluzione della (9.27), la (9.28) sarà soddisfatta dalla soluzione 0 = au + b nella quale le costanti a,b devono essere determinate in modo da soddisfare le

13 Capitolo condizioni al contorno Si ottiene y = 0 0 = = w, u = 0 y = 0 = 0 = + V 2 2C p, u = V a = 0 w V b = w e la temperatura è quindi data da = w + ( 0 w ) u V u2 2C p Mediante la (9.32) si può poi calcolare il flusso di calore alla parete q y=0 = k ( ) u ( w 0 ) V y y=0 (9.42) Poichè u/ y alla parete è positiva, il flusso di calore è diretto dalla parete verso il fluido o viceversa a seconda che w sia maggiore o minore di 0. Si osservi che, mentre nel caso di bassa velocità lo scambio di calore è determinato dalla differenza di temperatura fra il fluido e la parete, nel caso di flusso ad alta velocità ciò che conta è la differenza fra la temperatura del corpo e la temperatura totale del flusso. Infatti all interno dello strato limite si ha la trasformazione dell energia cinetica in energia interna per effetto delle forze viscose e pertanto nel caso stazionario (q = 0, parete adiabatica) il corpo assume una temperatura maggiore della temperatura del fluido indisturbato e pari proprio alla temperatura totale. E questo il fenomeno del riscaldamento aerodinamico, che riveste grande importanza nei flussi ipersonici (si pensi che per M = 6 e = 273 k si ha a 2000 k). In Fig. 9.2 sono riportati gli y 0 2 V /2Cp y 0 2 V /2Cp y 0 2 V /2Cp δ 0 d ( > 0 d y ) y=0 0 ( d d y) = 0 y=0 0 ( d d y ) < 0 y=0 w w w Figura 9.2:

14 168 Capitolo 9 andamenti qualitativi della temperatura e della temperatura totale all interno < dello strato limite nei tre casi di w > 0. Come si vede, solo nel caso di parete adiabatica la temperatura totale si mantiene costante all interno dello strato limite, mentre nel caso di w < 0 l energia all interno dello strato limite termico è minore di quella della corrente indisturbata, in quanto si ha cessione di calore dal fluido alla parete. 9.5 Fattore di recupero La soluzione per la lastra piana adiabatica, vista nel paragrafo precedente, è valida sotto l ipotesi Pr = 1. Poichè in realtà l aria ha un numero di Prandtl leggermente inferiore ad uno, la soluzione vista è solo un approssimazione della realtà. Se Pr < 1, la soluzione 0 = cost. non soddisfa più l equazione (9.41). In corrispondenza alla parete il primo membro della (9.41) si annulla (u = v = 0) e l ultimo termine è negativo, cosicchè 2 0 / y 2 > 0. Inoltre, essendo la parete adiabatica, ( 0 / y) y=0 = 0 ed il valore medio di 0 all interno dello strato limite deve essere uguale a 0, in quanto il fluido non cede nè riceve calore dalla parete. Pertanto l andamento di 0 all interno dello strato limite dovrà essere del tipo indicato il Fig. 9.3, tale che le due aree tratteggiate siano fra loro equivalenti. y 0 0 aw Figura 9.3: Di conseguenza la temperatura adiabatica di parete aw risulta minore di 0. ale differenza può essere quantificata introducendo il fattore di recupero r = aw 0 (9.43) che rappresenta il rapporto fra l aumento di temperatura dovuto all attrito e

15 Capitolo quello dovuto ad una compressione adiabatica. Per Pr = 1 si ha evidentemente r = 1, mentre nel caso più generale di Pr 1 è stato mostrato che si ha r = Pr (9.44) Esprimendo la temperatura totale come 0 = (1+δM 2 ) ed utilizzando le (9.43) e (9.44), la temperatura adiabatica di parete risulta aw = (1 + δ PrM 2 ) (9.45) 9.6 Strato limite cinematico compressibile Come già detto, nel caso di flussi ad alta velocità la soluzione dello strato limite cinematico richiede la contemporanea soluzione di quello termico. Il problema può però essere notevolmente semplificato nel caso di lastra piana adiabatica con Pr = 1. In questo caso infatti la pressione è costante e l equazione di conservazione dell energia si riduce alla condizione che la temperatura totale sia costante, ovvero che può anche scriversi Poichè la pressione è costante si ha + u2 2C p = + V 2 2C p = 1 + δm 2 (1 ũ 2 ) (9.46) ( ) ρ 1 = (9.47) ρ mentre la variabilità della viscosità con la temperatura può essere espressa nella forma ( ) µ α = (9.48) µ ove α è un coefficiente variabile fra.5 e 1 a seconda del campo di temperatura. Alle basse temperature si ha circa α = 1.

16 170 Capitolo 9 Sostituendo nelle (9.26) e (9.27) le (9.47) e (9.48) ed in queste ultime la (9.46) si perviene al seguente sistema di equazioni delle sole incognite ũ e ṽ nelle quali ( B ) ũ Aũ2 + 2B x Aũṽ ũ ỹ + ṽ ỹ = 0 ũ ũ x + ṽ ũ ỹ = 1 [ ( ) ] A α+1 2 ũ ũ 2 Re ỹ 2 2αBAα ũ = 0 ỹ A = 1 + B Bũ 2 e B = δm 2 ranne che per l espressione dei coefficienti, queste equazioni non differiscono sostanzialmente da quelle per il caso incompressibile e possono essere risolte numericamente in modo analogo. La soluzione per il caso di α = 1, dovuta a Crocco, è illustrata nella figura 9.4 dove sono riportate gli andamenti di u = u/v e di = / in funzione della variabile adimensionale η = y x Rex per diversi valori del numero Mach η 10 η 10 M=5 M=5 M=4 M=4 5 M=3 M=2 M=1 M=0 5 M=2 M=1 M= u a) b) Figura 9.4: Si osserva che, al crescere del numero di Mach, la distribuzione della velocità all interno dello strato limite tende a diventare sempre più rettilinea e che lo spessore dello strato limite aumenta (per M = 5 è circa 4 volte più spesso che nel caso incompressibile). Ciò è dovuto alla diminuzione della densità in conseguenza dell aumento della temperatura all interno dello strato limite (Fig. 9.4b).