IL CREEPING FLOW: LA SFERA DI STOKES. P. Di Marco Termofluidodinamica Appl. ST-AD -1

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1 IL CREEPING FLOW: LA SFERA DI STOKES P. Di Marco Termofluidodinamica Appl. ST-AD -1

2 DEFINIZIONE DEL PROBLEMA Una sfera di raggio ainvestita da un fluido newtoniano con velocità uniforme U, a basso numero di Reynolds (creeping flow). Moto stazionario. Le equazioni del moto sono: div v = 0 grad p =µ Per simmetria si ha, in un sistema di coord. sferiche con asse parallelo a U v ϕ =0 E condizioni al contorno vr = vϑ = 0 r = a v U r v In alternativa a N-S si può usare l equazione di vorticità, che a basso Re diviene ζ = 0 Da questa deriva che il flusso è simmetrico (se v è soluzione, lo è anche v); da N-S deriva poi che il campo di pressione è antisimmetrico. P. Di Marco Termofluidodinamica Appl. ST-AD -

3 FUNZIONE DI CORRENTE Dato che il moto è bidimensionale e incomprimibile, ammette una funzione di corrente Ψ. In coordinate sferiche le componenti di velocità sono 1 ψ v r = r sin ϑ ϑ 1 ψ vϑ = r sin ϑ r Sostituendo nell equazione di vorticità si ottiene (con molti passaggi) ( E ) E E ψ = 0 ψ sin ϑ 1 ψ dove E ψ = + r r ϑ sin ϑ ϑ E le corrispondenti condizioni al contorno ψ = 0 r = a ( v = 0 per r = a) ψ = 0 r = a ( vϑ = 0 per r = a) r r U r v U r ψ sin ϑ ( per ) r P. Di Marco Termofluidodinamica Appl. ST-AD -3

4 CAMPO DI VELOCITA E VORTICITA La soluzione generale ha la forma 1 4 r r r r ψ = a U sin ϑ C 1 + C1 + C + C4 a a a a dopp. sferico "stokeslet" moto unif. Dove si riconoscono alcune funzioni di corrente già viste. Il cosiddetto stokeslet è invece una novità e non è irrotazionale. Imponendo le condizioni al contorno si ha C = 1, C1,, = C 4 = C = Sostituendo, si ha per le velocità ed il modulo della vorticità r 3 r vr = U cos ϑ + 1 a a v ϑ r 3 r = U sin ϑ a 4 a U r ζ = sin ϑ a a P. Di Marco Termofluidodinamica Appl. ST-AD -4

5 CAMPO DI PRESSIONE Le derivate del campo di pressione si ottengono da N-S grad p v rot = µ = µ ζ dopodichè il campo di pressione può essere ottenuto integrando - r p ϑ p 3 µ U r ϑ 0 =, ϑ= 0 ϑ ϑ 0, r= cost p ( r, ) p d r + d = cos r ϑ a a La pressione relativa è positiva per ϑ<90 e negativa per ϑ>90. Ai punti di ristagno si ha p R p = ± 0 3 µ U a Oppure, introducendo la pressione dinamica pr p0 6 = ± 1 ρu ReD Ma attenzione! Così facendo si introduce un apparente dipendenza dalla densità che in realtà non esiste. P. Di Marco Termofluidodinamica Appl. ST-AD -5

6 TENSIONI DEVIATORICHE Per completare l analisi delle forze resistenti, è necessario determinare le tensioni deviatoriche. Su una superficie solida, le componenti normali delle tensioni deviatoriche sono nulle. Infatti, limitandosi per semplicità al caso di coordinate cartesiane, sulla superficie solida (piano x,z) si ha v y vz x = 0, vy = vz = 0 = = 0 y z Dall equazione di continuità, quindi, anche vi E quindi per x = 0 τ i, i =µ = 0, i x Sulla superficie ( r = a ) i P. Di Marco Termofluidodinamica Appl. ST-AD -6 v x x Per quanto riguarda le tensioni di taglio, per simmetria τ, = τ, = = 0-4 vϑ 1 vr 3 µ U r τ r, ϑ =µ r + = sin ϑ 3 µ U τ r, ϑ = sin ϑ a r r r ϑ a a = 0 r ϕ ϑ ϕ

7 CALCOLO DELLA FORZA RESISTENTE La forza resistente sulla sfera è data da π D ( cos rϑ sin ) d ( cos r sin ) sin A ϑ 0, r= a F = p ϑ + τ ϑ A= p ϑ + τ ϑ π r ϑd ϑ= = πµ U a + 4 πµ U a = 6 πµ U a form drag (1/ 3) + skin drag ( / 3) Nel creeping flow, la forza di attrito dipende solo dalla viscosità e non dalla densità, e varia linearmente con U. Introducendo il cofficiente di resistenza C D C D FD FD 4 = = = ρu ρu π a Re A Anche in questo caso, l introduzione di Re fa apparire una falsa dipendenza da ρ D P. Di Marco Termofluidodinamica Appl. ST-AD -7

8 CONFRONTO TRA CREEPING FLOW E MOTO POTENZIALE vr /U, ϑ = pot. flow creeping flow p/p pot. flow creeping (Re=6) r / a ϑ vϑ /U, ϑ = pot. flow creeping flow Andamento della pressione sulla superficie r / a Andamento delle velocità per ϑ= 0 e ϑ= 90 P. Di Marco Termofluidodinamica Appl. ST-AD -8

9 IL CASO DELLA SFERA FLUIDA Nel caso di sfera fluida (bolle o gocce), la condizione all interfaccia è data da: continuità della velocità (di valore diverso da zero); continuità della tensione di taglio. v = v ϑ,1 ϑ, vϑ,1 1 vr,1 vϑ, 1 vr, τ rϑ,1 = τrϑ, µ 1 r + = µ r + r r r ϑ r r r ϑ r= a r= a La soluzione è stata trovata indipendentemente da Hadamard e Rybczynski nel 1911 e vale C D 8 + 3k µ =, k = Re 1+ k µ D In particolare, per una bolla di gas in un liquido ( k 0 ) E per la sfera solida ( k ) si ritrova int ext C D = 4 Re D C D = 16 Re D P. Di Marco Termofluidodinamica Appl. ST-AD -9

10 CREEPING FLOW IN ALTRE GEOMETRIE: CILINDRO Nel caso del cilindro (e degli altri corpi bidimensionali) non esiste una funzione di corrente in forma chiusa come per la sfera che soddisfi contemporaneamente le condizioni asintotiche all infinito e quelle di noslip sulla superficie. La soluzione viene ottenuta con l approssimazione di Oosen, ponendo v= U nei termini convettivi dell equazione di N-S, ovvero risolvendo ρ = +µ C U grad v grad p v Il coefficiente di drag si esprime come una serie e vale (Panton, p.606) D π = ln 0.87 ln +... ReD Re Re Notare che in questo caso la forza viscosa dipende sempre dalla densità. Altri casi notevoli di creeping flow sono illustrati in Panton, Incompressible Flow, Wiley, cap. 1. P. Di Marco Termofluidodinamica Appl. ST-AD -10

11 ESEMPIO Velocità di sedimentazione Particelle ferrose, ρ s = 7800 kg/m 3, a = 0.1 mm Recipiente con olio, µ = 0.5 Pa s, ρ f = 800 kg/m 3, altezza H = 0.5 m TROVARE: tempo di sedimentazione delle particelle Calcolo della velocità di regime U T di una particella che cade in un fluido: ρ V g = ρ V g + 6 πµ U a s f T forza peso = forza di Arch. + forza di drag U T ( ρs ρ f ) g = a = 9 µ 0.3mm/s Quindi, trascurando il transitorio iniziale e le interazioni tra particelle e con le pareti T S H = U T 1638 s Calcolo di Re per verificare che sia applicabile il creeping flow: Re D ρ f UT ( a) = = µ (OK) P. Di Marco Termofluidodinamica Appl. ST-AD -11

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13 SIMILITUDINE E ANALISI DIMENSIONALE P. Di Marco Termofluidodinamica Appl. ST-AD -13

14 INTRODUZIONE Adimensionalizzare: trasformare le variabili del problema in grandezze prive di dimensione dividendole per opportuni fattori di scala. Analisi dimensionale: tecnica che consente di individuare le dipendenze funzionali dei fenomeni da varabili fisiche e geometriche basandosi su considerazioni di omogeneità dimensionale. Vantaggi della adimensionalizzazione: relazioni più semplici, con minor numero di parametri; compattazione degli ordini di grandezza: in genere le variabili adimensionalizzate (velocità, pressione, temperatura) hanno valori dell ordine dell unità; ciò porta a vantaggi in termini di calcolo numerico. valutazione dell importanza dei termini all interno delle equazioni: se un termine adimensionale è piccolo ha poca inflluenza sul fenomeno; leggi di scala: possibilità di stabilire criteri di similitudine; maggiore universalità delle relazioni ottenute. nella sperimentazione: riduzione del numero di parametri da variare, riduzione del numero di esperimenti da fare; possibilità di fare esperimenti significativi in scala ridotta. P. Di Marco Termofluidodinamica Appl. ST-AD -14

15 IL TEOREMA PI GRECO DI BUCKINGHAM Dimensione di riferimento: una delle dimensioni fondamentali della fisica: massa, lunghezza, tempo, temperatura (M L T Θ) oppure forza, lunghezza, tempo, temperatura (F L T Θ). Gruppo adimensionale o gruppo pi greco: un gruppo (monomio) di variabili fisiche disposte in modo da non avere dimensioni, es. il numero di Reynolds. Teorema di Buckingham Se una equazione in Kvariabili indipendentiè dimensionalmente omogenea, e Rè il minimonumero di dimensioni di riferimento richieste per descrivere le variabili stesse, l equazione può essere ridotta ad una relazione tra K-R gruppi adimensionali (gruppi pi greco). (,,... ) (,,... ) u = f u u u π =Φ π π π 1 3 K 1 3 K R P. Di Marco Termofluidodinamica Appl. ST-AD -15

16 ALCUNE OSSERVAZIONI DI METODO Arbitrarietà: l analisi dimensionale presenta molti aspetti (selezione delle variabili, scelta dei gruppi) soggetti a valutazione abitraria. Selezione delle variabili: sono variabili fisiche (grandezze, proprietà fisiche), geometriche (dimensioni caratteristiche, forma), effetti esterni (gravità, campi elettrici, etc.). La scelta è dettata fondamentalmente dall esperienza e dalla comprensione dei fenomeni, ma anche dall analisi delle leggi fisiche che governano il fenomeno (es., le equazioni di Navier- Stokes). Scelta delle dimensioni di riferimento: il minimo numero di dimensioni necessarie per descrivere il fenomeno; quindi vanno scelte tra le dimensioni fondamentali della fisica; generalmente sono 3 (problemi meccanici) o 4 (problemi termici); si può scegliere tra il sistema SI (massa, lunghezza, tempo, temperatura) oppure il sistema tecnico (forza, lunghezza, tempo, temperatura). Scelta dei gruppi adimensionali:anche questa è arbitraria, sebbene esistano dei criteri razionali per definirli (v. es. Munson); conviene scegliere i gruppi tradizionali che si usano in fisica o comunque gruppi che abbiano un significato fisico (v. in seguito). P. Di Marco Termofluidodinamica Appl. ST-AD -16

17 GRUPPI ADIMENSIONALI FONDAMENTALI Problemi dinamici: Reynolds (Re) Froude (Fr) Eulero (Eu) Weber (We) Mach (M) Strouhal (St) Fr = Eu Re ρv L = µ v g L opp. v g L f. inerzia f. viscose f. inerzia f. gravitaz = p p f. pressione ρ opp. ρ ρv ρv f. inerzia v We = ρv L σ v M = c L St = vt opp. v ωl v f. inerzia f. tens. sup. f. inerzia comprimib. inerzia loc. inerzia conv. importante in tutte le applicazioni flussi con superfici libere o forze gravitazionali problemi con differenze di pressione problemi con interfacce (tensione superficiale) problemi in cui la comprimibilità è importante moti non stazionari e/o oscillatori P. Di Marco Termofluidodinamica Appl. ST-AD -17

18 GRUPPI ADIMENSIONALI FONDAMENTALI Problemi termici: Prandtl (Pr) Nusselt (Nu) Eckert (Ec) Biot (Bi) Grashof (Gr) c Pr p µ υ = = λ a hc L Nu = λ Ec v = c T p f h L c Bi = λ s βg T L Gr = υ 3 diff. q.d.m. diff. termica T parete T medio en. cinetica en. interna T interno T esterno f. galleggiam. f. viscose problemi di strato limite convezione forzata e naturale moti ad alta velocità o con dissip. viscosa significativa transitori conduttivi in corpi raffreddati convezione naturale P. Di Marco Termofluidodinamica Appl. ST-AD -18

19 IL TEOREMA PI GRECO DI BUCKINGHAM: ESEMPIO 1 Velocità terminale di caduta di un grave: si ipotizza (,, ) v = f m h g Si ha K= 4, R= 3 (M,L,T, problema meccanico) K-R=1 π =v m g h 1 L T a a b c d Quindi il seguente prodotto deve essere adimensionale Ovvero: L : a + c + d = 0 M : b = 0 T : a + c = 0 L T b ( M ) ( L) 1 v a = 1 b = 0 c = = K v = K gh gh Da un esperimento si può ora ricavare, come è noto, che K = P. Di Marco Termofluidodinamica Appl. ST-AD -19 c d

20 IL TEOREMA PI GRECO DI BUCKINGHAM: ESEMPIO Caduta di pressione in un condotto: si ipotizza (,,,, ) p = g D v ρ µ L Si ha K= 6, R= 3 (M,L,T, problema meccanico) K-R=3 Anche se vi sono dei criteri, la scelta dei gruppi adimensionali è arbitraria. In questo caso si sceglie p π 1 = = Eu ρv L L ρv L π = Eu =Φ Re, p = f ( Re) D D D ρv D π 3 = = Re µ L aggiunta di ogni ulteriore variabile (es., la rugosità del tubo ε) porta all aggiunta di un nuovo gruppo adimensionale. Eu Re, L ε =Φ, D D P. Di Marco Termofluidodinamica Appl. ST-AD -0

21 IL TEOREMA PI GRECO DI BUCKINGHAM: ESEMPIO 3 Coefficiente di convezione forzata. Si ipotizza c (,,, p,, ) h = f ρ µ λ c v D Si ha K= 7, R= 4 (M,L,T,Θ) K-R=3 Il problema è descritto da tre gruppi adimensionali; si sceglie hc D π 1 = = Nu λ c µ υ Pr λ a ρv D π 3 = = Re µ p π = = = Quindi si ha Nu =Φ ( Re, Pr) ad esempio Nu = 0.03Re Pr Dove i coefficienti sono ricavati da esperienze o da considerazioni teoriche (v. in seguito). P. Di Marco Termofluidodinamica Appl. ST-AD -1

22 ADIMENSIONALIZZAZIONE DELLE EQUAZIONI DI N-S Le equazioni di N-S, in caso di forze di volume gravitazionali e moto D vx µ 1 p + v grad vx = vx t ρ ρ x vz µ 1 p + = t ρ ρ z v grad vz vz g possono essere adimensionalizzate in base ad una lunghezza, una velocità ed un tempo caratteristici, U, L, T=L/U v 1 p t Re x * * x * * * + v grad v * x = vx * v 1 p 1 t Re z Fr * * z * * * + v grad v * z = vz * Dove compaiono il numero di Reynolds e Froude ρu L U Re=, Fr = µ gl P.e. a basso Resi può trascurare il termine inerziale, ad alto Rediviene trascurabile il termine viscoso. P. Di Marco Termofluidodinamica Appl. ST-AD -

23 ADIMENSIONALIZZAZIONE DELL EQUAZIONE DELL ENERGIA TERMICA L equazione di bilancio dell entalpia per fluido incomprimibile (β=0) e assenza di generazione volumetrica (q =0) diviene T ρ cp + v gradt = div q" + Dɺ v t posto q = -λgrad T e sviluppando la dissipazione viscosa (fluido newt.no) T ρ cp + v gradt = λ T + t v v x y v v x v x y v v x v z v z y + µ x + + y z y x z x y z Si adimensionalizza sulla base di massa, lunghezza e tempoe su un T caratteristico(la temperatura compare solo come variazione) T 1 Ec v t Re Pr Re c T * * * * + v gradt = T + Dɺ * v Ec = p Se Re Pr(= Pe, Peclet) è grande la conduzione è trascurabile. Se Ec/Re <<1 la dissipazione viscosa è trascurabile. P. Di Marco Termofluidodinamica Appl. ST-AD -3

24 PER APPROFONDIMENTI B.R. Munson, D.F. Young e T.H. Okihishi, Fundamentals of Fluid Mechanics, 4th ed., Wiley, 00, cap.7. P. Di Marco Termofluidodinamica Appl. ST-AD -4