1 Teorema Π. DISPENSE-morfodinamica/note1.tex

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1 DISPESE-morfodinamica/note1.tex 1 Teorema Π Supponiamo di analizzare un fenomeno in cui una certa grandezza fisica Q 0 dipende da altre M grandezze Q 0 = F 1 Q 1, Q 2, Q 3, Q 4,..., Q M ) 1) e di voler determinare la funzione F 1. Puó accadere di non avere a disposizione un modello matematico del fenomeno o di non essere in grado di determinare analiticamente la soluzione del problema matematico. In tali circostanze, é possibile/ragionevole cercare di determinare la funzione F 1 utilizzando esperienze di laboratorio. Tuttavia, spesso non é possibile eseguire rilievi della funzione F 1 eseguendo misure sul problema prototipo ed é necessario utilizzare un modello in scala. Ció nonostante é possibile ottenere risultati corretti se le misure sono effettuate su un modello opportunamente realizzato. A tal fine é necessario ricordare il cosidetto teorema Π che viene sinteticamente descritto nel seguito. Supponiamo che fra le M grandezze fisiche che appaiono nella 1) sia possibile individuarne dimensionalmente indipendenti, essendo il massimo numero di grandezze dimensionalmente indipendenti. Il valore di dipende dalla natura del fenomeno. Ad esempio = 2 se il fenomeno é di natura cinematica, = 3 se di natura dinamica, = 4 se nel fenomeno sono coinvolte anche grandezze termodinamiche e cosí via. Trasformiamo ora la relazione 1) in una nuova relazione che coinvolge solo numeri, cioé grandezze adimensionali. É evidente che é lecito assumere che le grandezze dimensionalmente indipendenti siano le prime e quindi dividiamo la 1) per un monomio di Q 1,..., Q che abbia le stesse dimensioni di Q 0 tale monomio certamente esiste in quanto é il massimo numero di grandezze indipendenti a quindi scegliendone un altra, essa deve avere certamente dimensioni che possono essere generate con un monomio delle grandezze scelte come fondamentali) Q 0 Chiaramente F 2 = F 1Q 1,Q 2,Q 3,Q 4,...,Q M ) 1,..., Q a = F 2 Q 1, Q 2, Q 3, Q 4,..., Q M ) 2) 1 Qa Qa e i valori di a 1,..., a sono facilmente individuabili proprio imponendo che la dimensione di 1 Q a Q a sia uguale a quella di Q 0. In modo Q analogo, al posto di Q +1 é possibile sostituire la quantitá +1 1 Q b Q b 1 Q b Q b e cosí via per tutte le altre grandezze in modo tale da poter scrivere ) Q 0 1,..., Q a = F M Q 1, Q 2, Q 3,... essendo la funzione F M ancora non specificata. Q +1 1 Q b Q b,..., Q M Q z 1 1 Q z Q z 3) 1

2 La 3) puó anche essere scritta nella forma Π 0 = F M Q 1, Q 2, Q 3,..., Q, Π +1, Π +2,..., Π M ) 4) dove Π 0 = Q 0 1 Q a Q a Π +1 = Q +1 1 Q b Q b Q +2 Π +2 = Q c 1 1 Q c Q c e cosí via. Considerato che é possibile variare l unitá di misura di Q 1 e quindi il suo valore senza far variare le altre grandezze e senza far variare il valore dei numeri adimensionali, segue che la F M non puó dipendere esplicitamente da Q 1. Analogamente posso variare l unitá di misura e quindi il valore di Q 2 senza far variare le altre grandezze e senza far variare il valore dei numeri adimensionali, mostrando che la F M non puó dipendere esplicitamente da Q 2 e cosí via. É possibile quindi concludere che la 4) diviene Π 0 = FΠ +1, Π +2,..., Π M ) 5) dove i numeri adimensionali di cui F é funzione sono in numero pari a M ). Ad esempio supponiamo di considerare un fenomeno dinamico tale che = 3 e in particolare supponiamo di considerare la forza esercitata da un fluido che investe una sfera di diametro D con velocitá U. Si ha F = fρ,, U, D) 6) Essendo il fenomeno dinamico, risulta uguale a 3 ed é possibile scegliere ρ, U, D come grandezze dimensionalmente indipendenti, infatti [ρ] = ML 3, [U] = LT 1, [D] = L 7) e uguagliano a zero le dimensioni ρ α U β D γ si ottiene α = β = γ = 0. In forza del teorema Π é quindi possibile trasformare la 6) nella dove e = F ) ρu 2 D = f 2 UD o anche e = f Re) 8) Re = UD 9) Se il moto che investe il corpo é periodico di periodo T in questo caso U é l ampiezza delle oscillazioni della velocitá del moto esterno), come avviene quando si considera una 2

3 sfera investita dal moto ondoso, e la sfera é posizionata a una profonditá h, é facile concludere che la forza F dipende anche dall accelerazione di gravitá g, dalla profonditá h e dal periodo T e quindi ) e = f Re, Fr, Kc, h D 10) dove Fr = U gd, Kc = UT D 11) Definiamo ora prototipo il problema in esame e modello la riproduzione in scala del prototipo. Per ottenere risultati corretti é necessario che il modello sia realizzato in similitudine geometrica, similitudine cinematica e similitudine dinamica, cioé in modo tale che i numeri adimensionali che appaiono nella 5) assumano lo stesso valore sia nel prototipo che nel modello, indipendentemente dai valori assunti delle grandezze fisiche che intervengono nel problema. La similitudine geometrica é soddisfatta se qualunque dimensione del modello é in un rapporto costante con la corrispondente dimensione del prototipo. La similitudine cinematica é rispettata se nel modello la velocitá ha la stessa direzione e verso della corrispondente velocitá nel prototipo e il rapporto tra i moduli delle velocitá é costante al variare del punto considerato. Infine la similitudine dinamica é soddisfatta se ogni forza che é presente nel modello ha la stessa direzione e lo stesso verso dell analoga forza del prototipo. Inoltre, il rapporto tra i moduli delle forze presenti nel modello e quello delle forze presenti nel prototipo deve essere uguale. Ció comporta l uguaglianza dei numeri adimensionali del prototipo con quelli del modello. Ad esempio il rapporto fra la forza inerziale e quella peso pari a ρu 2 L 2 ρgl 3 = U2 gl = Fr2 valutato nel prototipo deve essere uguale a quello del modello e ció accade solo se il numero di Froude Fr del prototipo é uguale a quello del modello. Analogamente deve essere uguale il rapporto fra la forza inerziale e quella viscosa ρu 2 L 2 µul = UL = Re valutato nel prototipo e nel modello e quindi il numero di Reynolds Re si deve conservare passando dal prototipo al modello. E cosí via. Indicando con il pedice p le grandezze del prototipo e con il pedice m le grandezze del modello, si deve avere Re p = D p = Re m = D m 3 12)

4 dove si é supposto che il fluido del modello sia uguale a quello del prototipo. Indicando con λ = Lm L p la scala di riduzione delle lunghezze e con τ = Tm T p la scala di riduzione dei tempi la 12) porge τ = λ 2 13) Imponendo invece che si mantenga inalterato il numero di Froude si ha Fr p = gdp = Fr m = gdm 14) che conduce a τ = λ 15) Appare quindi evidente l impossibilitá di realizzare modelli che mantengano inalterato sia il numero di Reynolds Re sia il numero di Froude Fr il numero di Keulegan-Carpenter del modello risulta invece sempre uguale a quello del prototipo) se, come spesso accade, il fluido utilizzato nel modello é uguale a quello del prototipo. ella pratica si adotterá quindi una similitudine di Reynolds tale per cui τ = λ 2 se il fenomeno é controllato dagli effetti viscosi, mentre si adotterá una similitudine di Froude, tale per cui τ = λ, se il fenomeno é dominato dagli effetti della gravitá. Ad esempio, volendo riprodurre in scala la propagazione di un onda di mare caratterizzata da un periodo 10 s e la sua interazione con una struttura, sapendo che la propagazione di un onda comporta una continua trasformazione di energia cinetica in energia potenziale e viceversa e sapendo che gli effetti viscosi influenzano la dinamica delle onde in modo trascurabile, si dovrá adottare un modello in scala di Froude. Fissato quindi il valore di λ pari a 1, il periodo dell onda del modello dovrá essere imposto pari a 1.58 s. 40 Consideriamo ora un ulteriore esempio. Supponiamo di voler realizzare un modello che rappresenti il comportamento di un corso d acqua in cui il fondo puó essere ipotizzato fisso, per misurare sperimentalmente nel modello la forza di resistenza al moto e trarre quindi informazioni sul valore che essa assume nel prototipo. Come giá accennato é necessario che il modello sia realizzato in similitudine geometrica, cinematica e dinamica. Ipotizziamo che il regime di moto nel prototipo sia assolutamente turbolento, cosí da considerare trascurabili le forze viscose che quindi dovranno essere trascurabili anche nel modello, anche se non in scala. Ricordiamo che il regime di moto é assolutamente turbolento se la scabrezza y r é tale che u τ y r > ) dove u τ indica la velocitá di attrito e la viscositá cinematica. La relazione tra la forza di resistenza F R e le altre grandezze puó essere espressa nella forma F R = f 1 ρ, g, U, R i, L) 17) dove F R é la forza di resistenza, ρ la densitá del fluido, g denota l accelerazione di gravitá, U la velocitá caratteristica del fluido U = Q/Ω), R i il raggio idraulico della sezione e L la 4

5 scala geometrica caratteristica delle dimensioni orizzontali dell area che si vuole simulare. Essendo M = 5 e = 3, il teorema Π permette di scrivere F R ρu 2 R 2 i U = f 2, R ) i gri L E quindi per una corretta modellazione é necessario mantenere il numero di Froude del fenomeno e il rapporto R i e controllare che le forze viscose e gli effetti della scabrezza L siano riprodotti correttamente. Chiaramente la similitudine geometrica é rispettata se viene fissata un unica scala geometrica di riduzione) delle lunghezze. Per garantire la corretta modellazione delle forze dovute alla gravitá é necessario che 18) Fr p = grip = Fr m = grim 19) che conduce a = λ 20) quindi il rapporto fra le portate che defluiscono nel modello e quelle che sono presenti nella realtá risulta Q m Q p = λ ) Rammentiamo che la scala di riduzione dei tempi τ risulta anch essa pari a λ. Infine l uguaglianza del numero di ewton permette di valutare il rapporto fra la forza rilevata sul modello e quella che é presente nel prototipo F Rm F Rp = ρu2 m R2 im ρu 2 p R2 ip = λ 3 22) Tali relazioni consentono di progettare il modello. el fissare il valore della scala di riduzione delle lunghezze é peró necessario tener conto che l effetto delle forze viscose deve essere trascurabile nel modello cosí come nel prototipo e che gli effetti della scabrezza devono essere gli stessi. Assumendo che sia valida la relazione di Chezy e il fattore di resistenza possa essere valutato con la relazione di Manning, si ha U 1 n R 2 3 i if 23) da cui = n p n m Rim R ip )2 3 ifm 24) i fp 5

6 i La similitudine geometrica implica che fm i fp n m n p = Rim sia uguale a 1 e dunque R ip )2 3 = λ ) É evidente che il rapporto nm n p puó essere valutato adottando opportune scabrezze del modello, essendo fissata la scabrezza del prototipo n [m 1/3 s]=0.011 per pareti in cemento perfettamente lisciato o pareti metalliche senza risalti nei giunti; =0.013 per pareti in cemento non lisciato o pareti metalliche con chiodature, = per pareti in muratura; =0.018 per pareti in muratura irregolare o terra regolare senza vegetazione; = per pareti in vecchia muratura o pareti in terra; =0.025 per pareti in terra con erba sul fondo o corsi d acqua naturali regolari; = per corsi d acqua con ciotoli e ghiaia; = per canali in abbandono e corsi d acqua con alveo in ghiaia e movimento di sedimenti.) Resta da verificare che le forze viscose siano trascurabili anche nel modello e quindi il numero di Reynolds del modello sia maggiore di Considerato che Re m Re p = R im R ip = λ ) il numero di Reynolds del modello risulta pari a Re p λ 3 2, valore che potrebbe risultare minore di 10 3 qualora λ fosse scelto troppo piccolo. 6