Una nota sullo sviluppo della derivata di ordine n (n intero positivo) Development of derivatives of order n (n positive integer) of the trigonometric
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- Lino Longo
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1 U ot llo vlo dll drvt d ord tro otvo dll fzo trgoomtrc P T C Sc. Codrzo d orvzo d Pql Ctolo.ctolo@wd.t Dvlomt of drvtv of ordr otv tgr of t trgoomtrc fcto P T d C Sc. Som rmr y Pql Ctolo Itrozo- Co l rt tdo l tor tlzzdo forml ot m lo vlo dll drvt d ord - d ord 3 dll fzo trgoomtrc P T C Sc dtrmdo l ro c dfcoo coffct fzo d d olom rltt ottdo forml coml trordr d l. All f v ggt trt lczo. Atrct : I t rort t tor wll ow forml to rvt t dvlomt of t drvtv of ordr - d 3 of t trgoomtrc fcto P T d C Sc. T forml for t fcto of gvg t coffct of t rltg olyoml o r drvd trog l dvlomt of mrv comlty. I t coclo trtg lcto rtd. A..- Co A P T E ot l gt rlzo d comlmt: z z < z < A... S z
2 do z z z t R z > l ot fzo d Elro d cod c. Podo ll A... z rl rddo l logrtmo trl d mo mmr dll A... ottmo: l l l l Co A... Drvdo rtto d mmr dll A... rcvmo: Ψ Ψ T A...3 ' do Ψ T è l tgt trgoomtrc d. t Rcorddo c Ψ dt γ Vd. 9.5 g. 7 do t γ l cott d Elro-Mcro dll A...3 rcvmo: t t dt t t S S T < A... A..- Drvt d ord - dll fzo P T. Drvdo - volt l A... rtto d trovmo: Co T T S No è dffcl vrfcr l rlzo: l rlzo T T T T A... A... A.. - Dtrmzo dl trm oto dl olomo rrtto dllo vlo dll fzo Dll A... rcvmo: T T T A...
3 ottdo mo: T A... Podo ll A... A... trovmo: A...3 S Orvmo c: ζ A... rcorddo c ζ ζ Vd. 9.5 g. 7 trovmo c: do l mro d roll d dc mtr ζ è l fzo Zt d Rm dft d: ζ R > Sottdo l rltto dll A...5 ll A...3 ottmo: A...5 Rcorddo oltr c mlfcdo mo: A...6 c rrt l ro dl trm oto fzo d dl olomo T d grdo. Orvmo c r tro otvo rlt mr tro otvo océ è dto dl rorto d mr tr dcdo co q dtt mr tr q l ro A...6 dc c rrt mro c è mltlo tro dl mro tro q d. L ro d omo rcvrl c tlzzdo l rlzo A...3 ftt:! S! m 3
4 ζ A...7 rcorddo c: ζ A...8! 9.5 g. 7 ottmo: Vd.!!! A...9 d c: L rlzo A...6 è tt vrfct co rogrmm d mtmtc. Rortmo vlor d r vrl d Dll A...9 rcvmo: A...! A... Dtrmzo dll ro dll Somm fzo d. Utlzzdo l rlzo A... A... odo ¼ trovmo: ggldo l rt rl dll rcdt rlzo trovmo: tlzzdo l A... o l A...5 mo: ζ coè: A... L rlzo A... è tt vrfct co rogrmm d mtmtc. Rortmo rm vlor d r vrl d
5 5 Dvddo l rltto dll A... co qllo dll A...6 ottmo: A... A..3 -Dtrmzo dll ro c dfcoo fzo d coffct... 3 d trm dl olomo T Rrdmo l forml dct co A... T T A..3. omo t T d c: ArcTt t t l c ottt ll A..3. forc: t l t t t t A..3. drvdo l A..3. volt rtto t odo doo t mo:! t t t or t t t lm t t t... rcordmo c llo vlo dll drvt mo tlzzt l forml gt: D α α α α D β β β β Vd. 5 oltr rcordmo l ot rlzo: -- - A..3.3 dov coffct rrto mr d Strlg d rm c. Vd. 8 Prtto:... qd:!
6 6 mo c ζ tro > qd:! rcordmo c: ζ qd:! A..3. orvmo c llo vlo dll rlzo rcdt A..3. l vrr d rto vlor dtrmt. Pr lmr dtt covt clcolmo l ro A..3. r r r >. Coì ordo trovmo: r......! ζ r......! rtto:!
7 7. I dftv rcvmo:!. A..3.5 Podo ll A..3.5 rtrovmo l forml A...6: coè: Pr rcvmo:! -! A..3.6 L rlzo A..3.5 A..3.6 oo tt vrfct co rogrmm d mtmtc. E trordro vrfcr c ro molto coml com qll d c l mmro dll A..3.6 rlt gl -! A.. Orvmo c odo ¼ ll A... trovmo: S Co A... Svldo clcol mo: S Co 3 3! 3! A... d c tdo rt l A... rcvmo: 3! A...3
8 Ioltr dll A... ottmo: Co S S!! d c:! A... c è rfttmt dtc ll A... Dl cofroto tr l A... l A...3 trovmo com r trl c: 3 A...5 A..5 Codrdo l co grl forto dll A... mo: Co S T A..5. Dll tgrl dl mmro dll A..5. rcvmo: Co S! T < A..5. d c:! T A..5.3 rcordmo c -! dll.5. r rtrovmo l forml:! A..5. 8
9 coè:! A..5.5 dtc ll A... Pr ¼ rtrovmo l forml A...3. Dll ltmo mmro dll A..5. rcvmo:!!! rcordmo c tdo rt l A...5 trovmo:! qd:! Dll A..5.6 rcvmo: A..5.6!!!! T A..5.7 c r forc l A..5. r ¼ forc: 3!!! A
10 A..- Drvt d ord dll fzo P T Drvdo l A... volt rtto d trovmo: S T S T No è dffcl vrfcr l rlzo l rlzo T T T T A... A..- Dtrmzo dl coffct dl olomo rrtto dllo vlo dll fzo Ordo ll A... mo: S T S T T T A... Podo ll A... T t d c ArcTt ottmo: S ArcT t t A... S Drvdo l rcdt A... rtto t odo doo t trovmo: lm S ArcT t D t t S d c: S! 3! lcdo l A...7 trovmo: ζ qd: 3!! ζ ζ m: ζ rtto:! L rlzo A...3 è tt vrfct co rogrmm d mtmtc. A...3
11 Rortmo rm vlor d r vrl d A.. -Dtrmzo dll ro dll Somm fzo d. Utlzzdo l rlzo A... odo ¼ trovmo: S S d c: m qd:. Dll rcdt ggldo l rt rl rcvmo: océ A... oltr Vd. g. A... rcorddo c: ζ 3 ottmo: Rcorddo l A...5 mo : orvmo c: rtto: A...3 qd: A... L rlzo A... è tt vrfct co rogrmm d mtmtc.
12 Rortmo rm vlor d r vrl d A..3 - Dtrmzo dll ro c dfcoo fzo d coffct... 3 d trm dl olomo T Podo ll A... t T d c ArcTt t t l ottmo: t l t t t t A..3. drvdo l A..3. volt rtto t odo doo t mo:! t t t or t t t lm t t t... rtto:!
13 3. A..3. Ac q orvmo c llo vlo dll rlzo rcdt A..3. l vrr d rto vlor dtrmt. Pr lmr dtt covt clcolmo l ro rcdt r r r >. Coì ordo trovmo: r......! r......! Prtto rcvmo:!
14 d c:! A..3.3 Pr rtrovmo l formla...3: Pr rcvmo:!! A..3. L rlzo A oo tt vrfct co rogrmm d mtmtc. E trordro vrfcr c ro molto coml com qll d c l mmro dll A..3. rlt gl! A.. Codrmo l rlzo A... S S T T odo dtt rlzo ottmo: A...
15 5 o r l A... ζ 3 rtto: r l A...5 ottmo: rcorddo c: trovmo: d c: A... L forml A... è tt vrfct co rogrmm d mtmtc. A..5 - Podo ll rlzo A... ¼ trovmo: S S T S S Co!!! ggldo l rt rl trovmo:! r l A... rcorddo c ζ 3 ottmo:
16 6 A..5. qd:! - coè:! A..5. Orvmo c: 3 L forml A..5. è tt vrfct co rogrmm d mtmtc. A..6. Codrmo l co grl forto dll rlzo A... S S T Svldo mo: S S! T A..6. Ioltr:! A..6. r rl l ltmo mmro dll A..6. è rl olmt r dr qd: T!!!
17 Prtto:! T A..6.3! Pr ¼ trovmo:! 3 A..6.! d c: 3!!! Dll A..6. ottmo:!! A..6.5 A Co - C Sc Utlzzdo l gt rlzo d comlmt: z z < z < S z odo z rl ottmo: <... Co dt Or t t dt t t t Co Sc <... Co Co 7
18 ..- Drvdo - volt rtto d l rlzo... ottmo: S <... Co Co Dll... do l lmt r mo: lm S coè: Co Co Co d c:... or d c:...3 Nl rocdmto r rcvr l...3 mo tlzzto l gt ot forml: A...5 A... ζ ζ L rlzo...3 è tt vrfct co rogrmm d mtmtc... Dll... do l lmt r mo: lm S Co Co or S Co 8
19 9 3 3! 3! mtr: qd: Prddo l rt rl dll rcdt ro mo: rtto:
20 ! 3 d c: 3....! L rlzo... è tt vrfct co rogrmm d mtmtc...3 Rrdmo l... S Co Co <..3. Ordo mo: S Co!..3. Co Co S Co S DT S T S T S T Orvmo c: S Co..3.3
21 S S..3. Alcdo l A... l A... rcvmo:! T S { T Co } T S { } T Co..3.5 I coffct oo fort rttvmt dll forml A..3.5 A Pr ¼ ottmo: 3! { }..3.6 vrtù dll rlzo A... A... trovmo: 3! { 3 } Drvdo volt rtto d l.. ottmo:
22 Co <... Co Co Podo ll... trovmo: lm Co Co Co!! mo tlzzto l A..5. r c:!... L... è rfttmt dtc ll A Podo ll... ¼ ottmo: Co Co Ordo mo: Co Co Co 3! 3! 3
23 3 or rddo l rt rl dll rlzo rcdt mo: R 3! d c: 3!..3. L rlzo..3. è tt vrfct co rogrmm d mtmtc... Rcodrmo l... Co Co Co... Ordo mo:
24 Co Co!! Pr rl l rcdt rlzo è rl olmt qdo è r qd:! Alcdo l A..5. mo: rtto:!...! J Pr rtrovmo l... r ¼ rtrovmo l..3.. Ioltr ordo ll..3. ottmo: Co Co S Co S DT S T K S T S T K K Rcorddo l rlzo mo: S Co...3 S S... Alcdo l A... l A... rcvmo: Co Co T K S T K...5 I coffct oo fort rttvmt dll forml A..3.5 A Prtto:!
25 { Co T K S T } K <...6 r mo:! { K...7 K Pr ¼ ottmo:! { 3 K K } C..- Utlzzdo l ot rlzo t z dt t < z < Sz odo z co > ottmo: t dt t t S. Or dov t dt t 3 - qd: S rtto: l 5 l l C... l l{ Co S } S l{ Co S } ArcT Co
26 S Co ArcT ArcT Co S S{ } ArcT. Co{ } Sottdo ll C... d ggldo l rt rl rcvmo: t dt { } t S S S coè: S S Rcorddo c : Co - Co- -SS ottmo: Co Co ottdo ll rcdt rlzo trovmo: Co Co C... Ioltr orvmo c: Co Co qd dll C... rcvmo: Co Co coè: Co Co C...3 L rlzo C...3 è tt vrfct co rogrmm d mtmtc. Rtmo tl rortr co cm l trt forml trovt. P T T T! A...6 A... 3 A... 6
27 7 A... 5!. A ! -! A !! T! A T T A A...3 A...! A..3.3
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29 9 3!..3.!! J... 3! K T Co { } K T S <...6 Co Co C...3 Ottor Dott. Ig. Pql Ctolo Rfrmt I.S.Grdty d I.M.Ryz TALE OF INTEGRALS SERIES AND PRODUCTS Acdmc Pr INC. - N. Y. 98
30 T. J. I A. romwc AN INTRODUCTION To t tory of INFINITE SERIES Clrdo Pr - Oford 99 3 Ert Ldlöf L CALCUL DES RÉSIDUS t lcto l Téor d Focto Cl Plg Comy Nw Yor 97 Pql Ctolo : U ot ll r dvrgt loro tlzzzo 5 Kt S. MILLER rtr ROSS AN INTRODUCTION TO THE FRACTIONAL CALCULUS AND FRACTIONAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Jo Wly d So INC. N.Y WHITTAKER E. T: d WATSON G. N. MODERN ANALISYS t Ed. Cmrdg t t UNIVERSITY PRESS 95 7 A.Gzztt-L. Mrctt-A.Oc Lzo d Comlmt d Mtmtc Uvrtà dgl td d Rom Lo Comtt ADVANCED COMINATORICS T Art of Ft d Ift Eo D. Rdl Plg Comy Dordrct-oto 97 9 Rom S. T Umrl Clcl Acdmc Pr N.Y. 98 H. M. Edwrd Rm Zt Fcto Acdmc Pr N.Y. 97 3
31 Il dott.g.pql Ctolo Commdtor dll Rlc Itl cogto l Lr Iggr Elttrotcc ro l Uvrtà d Nol cogto oltr l Dlom d Sclzzzo Tlcomczo r Iggr ro l Ittto Sror dll Pot dll Tlcomczo or Ittto Sror dll Comczo dll Tcolog dll Iformzo. Doo vr rto l cocoro d gro l Rolo Tcco dgl Iggr dll Tlcomczo dll Mtro dll Pot dll Tlcomczo rcoro l tr crrr drgzl ro l rdtto Mtro volgdo l ror ttvtà ll mto d Srvz d Tlcomczo. Mmro d Commo d Cocor r Iggr. H gto mtmtc cor d qlfczo r ddt. E tor d dvr rtcol d Al Mtmtc..ctolo@wd.t 3
32 3
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