DETERMINAZIONE DELLA SUPERFICIE DI RISPOSTA IN UN CASO REALE

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1 Statistica Applicata Vol. 7, n. 3, DETERMINAZIONE DELLA SUPERFICIE DI RISPOSTA IN UN CASO REALE Pierattilio Grazioli 3M Italia S.p.A. Segrate (Mi) pgrazioli@mmm.com Egidio Cascini Studio Esercizi di Qualità 2004 Via Mosè Bianchi 03, 204 Milano Riassunto Nel lavoro è descritta la strategia complessiva, utilizzata per la determinazione e l utilizzazione della superficie di risposta di una caratteristica fondamentale di un prodotto di largo consumo. Lo scopo è di mostrare come l uso di metodi statistici classici sia talvolta necessario per risolvere, in modo definitivo, alcuni problemi in campo industriale, e per ottenere, in questo modo, un reale miglioramento qualitativo.. INTRODUZIONE Una delle caratteristiche fondamentali di un prodotto di largo consumo è rappresentata dalla costanza dello spessore. L unità di prodotto è costituita da un rotolo, di spessore medio misurabile. Definito RUN ( =,2,) un numero di n rotoli, prodotti in sequenza temporale ed in condizioni omogenee, l unità statistica di riferimento, utilizzata in questo lavoro, è costituita dal RUN. Indicando con S t lo spessore medio del rotolo t mo (t =,2,) di un RUN, ciascun RUN può essere caratterizzato da una media e da una deviazione standard: Media del RUN : M = S n n t = t ; Deviazione standard del RUN : Y = n n t = 2 ( S M ). t I valori numerici Y ( = 2,,...,; 0 M < ) sono realizzazioni di due

2 420 Grazioli P., Cascini E. variabili casuali indipendenti, diciamo M, Y di media rispettivamente M, Y. Y è la risposta del processo studiata in questo lavoro. La soluzione del problema proposto è consistito, dapprima nella individuazione di un insieme di variabili d intervento utili, diciamo X, X 2,, X k, successivamente nella selezione di quelle più importanti, ed infine nello studio quantitativo della relazione intercorrente tra la risposta Y e queste ultime, per rendere minima Y. I risultati ottenuti sono stati il miglioramento della qualità del prodotto ed una contemporanea riduzione dei costi di fabbricazione; questo secondo risultato è dipeso dal fatto che, dovendo risultare lo spessore medio di ogni singolo rotolo sempre maggiore di un limite di specifica predefinito, L, deve essere sempre soddisfatta la relazione, M > L +3Y, essendo normale la variabile casuale S, di cui S t sono le realizzazioni; la minimizzazione di Y ha, quindi, permesso una riduzione di M, che è direttamente collegata al costo della materia prima impiegata. 2. DATI SPERIMENTALI Le figure e 2 seguenti mostrano due successioni di valori; i punti di entrambe le figure rappresentano i valori di spessore medio rilevati in due RUNS di produzione. La successione della figura è rappresentativa della qualità tipica, prima dell intervento che ha costituito l oggetto del lavoro, mentre quella della figura 2 è un confronto tra due RUNS, uno precedente e uno successivo a questo lavoro. Nella figura è anche visibile il correlogramma dei dati che ci ha assicurato assenza di fenomeni di autocorrelazione. Nei paragrafi successivi viene descritto il percorso metodologico che ha prodotto il miglioramento rilevabile dalla figura 2. Un RUN tipico di produzione, Autocorrelation Function,0 s t Autocorrelation 0,8 0, 0,4 0,2 0,0-0,2-0,4-0, -0,8 -, Lag Corr T LBQ Lag Corr T LBQ 0,04 0,34 0,2 8 0,3,04,53 2 0,2,0,37 0, 0,0 2,70 3-0,0-0,83 4-0,2 -,8 2,3,0 0-0,04-0,35 2,88 5-0,4 -,4 7, t 7 0,0 0,3 0,8,04 8,54 0,00 Fig. : Un RUN tipico di produzione,, prima dell intervento di miglioramento.

3 Determinazione della superficie di risposta in un caso reale 42 Un RUN prima dell intervento 5.0 Un RUN prima dell intervento 5.0 UnRUN2 dopo l intervento Un RUN 2 dopo l intervento 2.5 s t s t UCL=0.8 _ UCL=0.8 X=7.80 _ LCL=5.42 X= n rotoli n 2 rotoli 20 LCL= n rotoli n 2 rotoli Fig. 2: Due RUNS di produzione, e 2, prima e dopo l intervento. 3. IL PROCESSO DI FABBRICAZIONE Il processo di fabbricazione è illustrato nelle figure 3 e 4 a due livelli di dettaglio diversi; generale il primo, più particolareggiato il secondo; una prima indagine qualitativa, basata, cioè, sulle sole conoscenze tecniche e storiche ha consentito di restringere l attenzione su una sua particolare sezione, che è stata successivamente investigata in modo quantitativo. La sezione risultata di maggiore interesse è quella indicata con la lettera C. MATERIE PRIME PREPARAZIONE MESCOLE PROCESSO PRODOTTO FINALE Fig. 3: Schema di massima del processo di produzione studiato. 4. SELEZIONE DELLE VARIABILI DI INTERVENTO Una volta stabilita la sezione dell impianto che maggiormente influenza il valore della risposta Y, si è proceduto allo studio delle variabili, che in questa sezione, sono in grado, eventualmente, di variare il valore numerico di Y. Il metodo

4 422 Grazioli P., Cascini E. A: Ricevimento e Stoccaggio R. M. B: Preparazione Mix x A. Controllo Materiale A.2 Movimentazione A.4 Movimentazione A.3 Stoccaggio B. Carico Materiali B.2 Dosaggio B.4 Alimentazione B.3 Preparazione mix C. Filtrazione C.2 Se rbatoio Polmone C: Spalmatura C.4 Spalmatura M ix C.3 Dosaggio C.5 Asciugatura C. Avvolgimento Jumbo D: Taglio D.2 Svolgimento Jumbo D. Movimentazione D.3 Taglio D.4 Avvolgimento rotoli E: Confezionamento F: Stoccaggio P. F. e Spedizione E.0 Preparazione Scatole F.2 Stoccaggio F.3 Movimentazione E. Confezionamento E.2 Pallet F. Movimentazione F.4 Spedizione Fig. 4: Particolari del processo studiato. La sezione C è risultata la candidata per un ulteriore studio quantitativo. utilizzato è stato quello di elencare tutte le variabili d intervento X k, presumibilmente efficaci sulla risposta Y, di intestare con queste variabili le righe di una matrice (figura 5), di intestare le colonne della matrice con le caratteristiche di qualità del prodotto richieste dal Cliente, che includono, ovviamente, la risposta Y, e di riempirne le celle con i numeri, 0,, 3,,, utilizzando una serie di conoscenze pregresse, a seconda, rispettivamente, che la relazione tra variabile d intervento e caratteristica corrispondente fosse considerata nulla, scarsa, bassa, media o alta. Ciascuna variabile d intervento è stata, alla fine, caratterizzata da un punteggio complessivo, somma dei prodotti tra ciascun numero di ciascuna cella per il peso di importanza, associato, a sua volta, a ciascuna caratteristica richiesta dal Cliente. Questo valore numerico è stato utilizzato per definire una classifica d importanza delle variabili X k sulla risposta Y. In figura 5 è indicato uno schizzo del procedimento descritto. La funzione di questa analisi è stata quella di selezionare solo un piccolo numero di variabili d intervento per ulteriori analisi quantitative.

5 Determinazione della superficie di risposta in un caso reale 423 Caratteristiche richieste dal Cliente Caratteristica Caratteristica 2 Caratteristica 3 Peso = Peso = 3 Peso = 3 Punteggio complessivo X 2 X 2 2 X 3 2 X 4 X 5 02 VARIABILI SELEZIONATE Fig. 5: Le variabili d intervento X k d ingresso alla sezione del processo di fabbricazione C sono state selezionate sulla base di elementi tecnici e di conoscenza pregressa. 5. STRATEGIA SPERIMENTALE E RISULTATI OTTENUTI Le 3 variabili selezionate sono indicate con X, X 2, X 3. Indicando il campo di variazione sperimentale di ciascuna di queste variabili con X i min, X i max (i =, 2, 3) ed il valore intermedio tra X i min, X i max, con X i sono state, in corrispondenza, definite le variabili standardizzate A, B, C con A = 2 (X X )/(X i max X i min ) e B, C definite in modo analogo. In figura è riportato lo schema di un esperimento fattoriale 2 3 con replicazione, utilizzato per studiare la relazione quantitativa Y = Y (A, B, C). L analisi statistica dei dati ed i risultati sono sintetizzati nella figura 7. Questo primo risultato fornisce una chiara indicazione di una diminuzione di Y al variare di A e B in modo combinato. Si è, allora, predisposta una serie di rilievi sperimentali di Y in corrispondenza di alcuni valori di A e B scelti in modo tale che il punto P(A, B) sul piano A, B seguisse la proiezione della direzione di discesa più ripida sul piano della figura 7. Nella figura 8 è indicato il percorso seguito con i risultati sperimentali ottenuti, che sono confrontati graficamente con quelli attesi, in base alla relazione della figura 7 ; il confronto ci ha consentito di valutare il punto in cui il modello lineare della figura 7 non sembrava più adeguato. Con centro in questo punto è stato progettato l esperimento centrale composto, schematizzato in figura.

6 424 Grazioli P., Cascini E. StdOrder RunOrder A B C Y Fig. : Esperimento fattoriale 2 3 replicato due volte, per lo studio della dipendenza tra Y ed A, B e C. Fractional Factorial Fit: Y versus A; B; C Estimated Effects and Coefficients for Y (coded units) Term Effect Coef SE Coef T P Constant,7275 0,0243 5,5 0,000 A 0,5825 0,2842 0,0243 0,75 0,000 B 0,4300 0,2800 0,0243 8,25 0,000 C 0,0325 0,03 0,0243 0,74 0,47 A*B -0, , ,0243-0,77 0,43 A*C -0,0350-0,0825 0,0243-0, 0,50 B*C -0, ,042 0,0243-0,53 0,08 A*B*C -0, ,0025 0,0243-0,05 0,3 Factorial Fit: Y versus A; B Estimated Effects and Coefficients for Y (coded units) Term Effect Coef SE Coef T P Constant A B Y 2,4 2,2 2,0,8,,4,2,0 - A 0 Y =, ,284 A + 0,28 B - 0 B Fig. 7: Analisi statistiche e risultati dell esperimento della figura. I parametri finali del modello derivano da una seconda analisi statistica dei dati sperimentali, dopo aver eliminato gli effetti non significativi individuati nella prima analisi completa.

7 Determinazione della superficie di risposta in un caso reale Percorso di massima discesa Y attesi Y sperimentali Livello iniziale Livello punto Livello punto Livello punto Livello punto Livello punto Y attesi Y sperimentali Fig. 8: Confronto tra risultati sperimentali e valori attesi lungo il percorso di massima discesa sul piano della figura 7. StdOrder RunOrder Blocks A B Y Fig. : Schema dell esperimento centrale composto eseguito intorno al punto in cui il modello lineare della figura 7 non sembrava più adeguato. I risultati di quest ultimo esperimento sono indicati nella figura 0.. CONCLUSIONI Il lavoro ha mostrato come l applicazione di una metodologia sperimentale classica, come è quella degli esperimenti fattoriali, e della determinazione delle superfici di risposta, ha consentito di ridurre in modo consistente e significativo la variabilità di spessore di un prodotto di largo consumo; ciò ha consentito di migliorare sensibilmente la qualità del prodotto e di ottenere contemporaneamente

8 42 Grazioli P., Cascini E. Response Surface Regression: Y versus A; B The analysis was done using coded units. Estimated Regression Coefficients for Y Term Coef SE Coef T P Constant 0, ,007524,8 0,000 A 0, , ,472 0,000 B 0,0780 0, ,3 0,020 A*A 0,2300 0, ,34 0,000 B*B 0,5800 0, ,77 0,000 A*B -0,0500 0, ,783 0,8 Response Surface Regression: Y versus A; B The analysis was done using coded units. Estimated Regression Coefficients for Y Term Coef SE Coef T P Constant A B Y,35,25,5 5,05 0,5 0,85 - A 0-0 B A*A B*B Y=0,874+0,044A+0,08B+0,23A 2 +0,58B 2 Fig. 0: Modello Y = Y(A, B) determinato mediante l analisi statistica dell esperimento centrale composto della figura. I parametri finali del modello derivano da una seconda analisi statistica dei dati sperimentali, dopo aver eliminato gli effetti non significativi individuati nella prima analisi completa. un notevole beneficio economico, per la riduzione delle materie prime impiegate, che è derivata da una riduzione della media dello spessore del materiale; quest ultima possibilità è una conseguenza diretta della riduzione dello scarto quadratico medio, da un valore iniziale di,70 ad un valore finale di 0,87, come si può verificare osservando la figura 2.

9 Determinazione della superficie di risposta in un caso reale 427 RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI GRAZIOLI P. e CASCINI E. (2003). Rapporto interno 3M, Progetto di miglioramento di un processo di produzione. COCHRAN W.G. e COX G. M. (57). Experimental Designs. John Wiley & Sons. MONTGOMERY D.C. (7). Introduction to Statistical Quality Control. John Wiley & Sons. STRATEGY FOR BUILDING AND USING A SURFACE RESPONSE IN A REAL CASE Summary The overall strategy, to build the surface response for a characteristic of a common use product, is presented in this work. The aim is to show how the classical statistical methods, well stated since long time, are not only useful, but also, some time, necessary, to solve definitely the industrial problems, allowing, in this way, a real quality improvement.

10 428 Grazioli P., Cascini E.