6. Le distribuzioni di probabilità in meccanica quantistica

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1 6. Le distribuzioni di probabilità in meccanica quantistica I nodi concettuali La meccanica quantistica prevede la probabilità con cui si manifestano i fenomeni. L obiettivo della teoria non è quello di determinare la legge oraria delle particelle, ma quello di trovare la distribuzione di probabilità della sua posizione e della sua quantità di moto. Fa attenzione a queste domande chiave: Come si misura la probabilità di un evento? Cos è una distribuzione di probabilità? Come si rappresenta una distribuzione di probabilità con una mappa a falsi colori? In meccanica quantistica esiste la legge oraria? E la traiettoria? Questo capitolo è dedicato a J. C. F. Gauss e a A. N. Kolmogorov. Gauss fu tra i maggiori matematici della sua epoca. Tra molti altri brillanti risultati, introdusse il primo Sistema di Unità di Misura completo e introdusse l analisi statistica nella Fisica sperimentale. Il teorema di Gauss è un risultato fondamentale per la gravitazione e l elettromagnetismo. Kolmogorov ha dato un contributo fondamentale alla moderna teoria delle probabilità e allo studio dei fenomeni stocastici. Johann Carl Friederick Gauss Germania Andrey Nikolaevich Kolmogorov Russia

2 6.1 La definizione sperimentale di probabilità Proposizioni ed eventi Probabilità Una proposizione logica è un affermazione che descrive un fatto del quale si possa dire se è vero, oppure falso. Un evento rappresenta il realizzarsi di una delle due alternative. Un esempio di proposizione logica e degli eventi collegati è dato in fig A ciascun evento possiamo associare un numero che indichi il grado di confidenza che abbiamo, riguardo al fatto che esso si verifichi. Chiamiamo questo numero probabilità. a b Figura 4.2. Consideriamo la proposizione logica In questa stanza c è un gatto. I due eventi associati sono: a) E Vero che in questa stanza ci sia un gatto b) E Falso che in questa stanza ci sia un gatto La misura della probabilità Supponiamo di voler misurare la probabilità dell evento in figura 6.1a: E Vero che in questa stanza ci sia un gatto Procederemo seguendo questa ricetta, che ci dà la definizione operativa di probabilità: Casi favorevoli e casi totali 1. troviamo un nascondiglio dal quale osservare senza essere notati dal gatto 2. (per esempio) ogni 5 minuti annotiamo su un taccuino se vediamo il gatto nella stanza; 3. contiamo quante volte abbiamo ripetuto l osservazione: questo è il numero totale dei casi N 4. contiamo quante volte abbiamo visto il gatto: questo è il numero dei casi favorevoli n 5. calcoliamo infine il rapporto p tra il numero dei casi favorevoli e il numero totale: p = n N La probabilità p è il rapporto tra il numero di casi favorevoli e il numero totale di casi 2

3 Approfondimento#6.1 Quali sono le proprietà matematiche delle probabilità? Approfondimento#6.2 La probabilità è una grandezza fisica? 6.2 Le distribuzioni di probabilità Introduciamo il concetto di distribuzione di probabilità con un esempio. Immaginiamo di essere in una classe di asilo. Abbiamo lasciato un mucchietto di caramelle su un banco e i bimbi possono prendere e mettere in tasca quante caramelle desiderano. La variabile aleatoria Noi non conosciamo il numero di caramelle prese da ciascun bambino; diremo che questo numero è una variabile aleatoria. Possiamo però chiederci: con che probabilità un bambino ha preso 3 caramelle? con che probabilità ne ha prese 4? e così via: ad ogni possibile valore della variabile aleatoria, associamo la sua probabilità. Questa associazione è una distribuzione di probabilità. In fig è mostrato come misurare e come rappresentare questa distribuzione di probabilità. Figura 6.2. a) Per misurare le probabilità, facciamo un indagine: contiamo quanti bambini hanno preso 0 caramelle, quanti 1 caramella, ecc. Supponiamo ad esempio di aver trovato i risultati riportati nella tabella a fianco. Notiamo che x indica il numero di caramelle e n indica il numero di bambini che hanno preso x caramelle. Notiamo inoltre dai dati che in classe ci sono N = 17 bimbi: N è il numero totale. b) Possiamo ora aggiungere una colonna in cui a ogni valore di x facciamo n corrispondere la probabilità p =. N Troviamo così la corrispondenza x p(x), che è la distribuzione di probabilità. c) usualmente, p(x) è rappresentata con un grafico a barre. Attenzione: non si tratta di un istogramma: l altezza delle barre semplicemente indica il valore della funzione p(x). 3

4 6.3 Le distribuzioni di probabilità in meccanica quantistica Come abbiamo osservato nel capitolo precedente, la meccanica quantistica è una teoria probabilistica. Approfondiamo allora, con l aiuto di un esempio, quali informazioni ci può dare la teoria. Immaginiamo che una particella micro sia contenuta in una regione di spazio stretta e lunga. Abbiamo già incontrato questa situazione fisica nell approfondimento #5.7: si tratta del famoso problema della particella nella scatola. La posizione della particella Le mappe a falsi colori Possiamo eseguire una serie di misure consecutive per determinare la posizione della particella. A questo scopo, dividiamo la scatola in cellette numerate (figura 6.3a) e contiamo quante volte la particella ci appare in ciascuna celletta. Da queste misure possiamo ricavare la distribuzione di probabilità p(x) che la particella si trovi nella posizione x (figura 6.3b). Un modo conveniente per rappresentare la distribuzione di probabilità p(x) è utilizzare una mappa a falsi colori (figura 6.3c). Il principale motivo per cui usiamo queste mappe è però che funzionano molto bene anche in due dimensioni (figura 6.4). a b c Figura 6.3. a) Una particella micro si trova in una scatola. Dividiamo lo spazio disponibile in cellette, numerate da 0 a 10 e chiamiamo p(x) la probabilità di trovare la particella nella celletta x. b) Il grafico di p(x) rappresenta la distribuzione di probabilità calcolata con le regole della meccanica quantistica. 1 c) Per realizzare la mappa a falsi colori si colorano le cellette, rendendole tanto più scure, quanto più grande è la probabilità che la particella le occupi. Le cellette 0 e 10 hanno probabilità 0 e sono colorate di bianco; la celletta 5 ha probabilità massima ed è colorata di nero. Approfondimento#6.3 In generale, a che servono le mappe a falsi colori? 1 Questa distribuzione p(x) fu calcolata per la prima volta da Schrödinger. 4

5 Figura 6.4. In questo caso, la particella può occupare una delle cellette di una scatola quadrata. Ancora una volta l interpretazione è semplice: la probabilità di trovare la particella in una celletta è tanto più alta, quanto più la celletta è scura. 6.4 Il confronto tra fisica classica e meccanica quantistica Riassumendo, in tabella 6.1 mettiamo a confronto cosa possiamo dire in fisica classica e ciò che possiamo dire in meccanica quantistica del moto di una particella. Meccanica classica Meccanica quantistica La legge oraria ci dice dove si trova la particella in ogni istante Non possiamo sapere dove si trova la particella in un dato istante, ma solo che probabilità c è di trovarla in un certo punto Dalla legge oraria ricaviamo la legge di velocità, sicché possiamo dire che quantità di moto ha la particella in ogni istante Non possiamo sapere che quantità di moto ha la particella in un dato istante, ma solo che probabilità c è che abbia una certa quantità di moto Dalla legge oraria ricaviamo la traiettoria La traiettoria non esiste Tabella 6.1 5

6 Approfondimenti Approfondimento #6.1 Quali sono le proprietà matematiche delle probabilità? Kolmogorov ha fissato le proprietà matematiche della probabilità in modo molto semplice e generale. L elenco si riduce a quattro punti: 1. Se un evento non può mai accadere, gli attribuiamo probabilità 0 2. Se un evento accade certamente, gli attribuiamo probabilità 1 3. Negli altri casi, la probabilità è compresa tra 0 e 1 4. Se due eventi sono disgiunti, e cioè non capitano mai insieme, la probabilità che capiti o l uno o l altro è pari alla somma delle probabilità (fig. 6.5) a b Figura 6.5. I puntini neri rappresentano i casi possibili. 5 4 a) Ci sono 9 casi totali. L evento E 1 ha 5 casi favorevoli; quindi p 1 =. E 2 ha 4 casi favorevoli; quindi p 2 =. 9 9 Si tratta di eventi disgiunti, perché nessun caso è favorevole insieme all uno e all altro; quindi la probabilità che si verifichi l uno o l altro (e cioè, che si verifichi l evento E 1 E 2 ) è data dalla somma delle probabilità. 7 b) Ci sono 11 casi totali. L evento E 1 ha 7 casi favorevoli; quindi p 1 =. E 2 ha 6 casi favorevoli; quindi 11 6 p 2 =. Gli eventi E 1 e E 2 questa volta non sono disgiunti, perché ci sono due casi in cui si verificano insieme. 11 Quindi, la probabilità che si verifichi l uno o l altro (e cioè, che si verifichi l evento E 1 E 2 ) non è uguale alla somma delle probabilità. Approfondimento #6.2 La probabilità è una grandezza fisica? Come abbiamo visto nel paragrafo 6.1, si può dare una definizione operativa sperimentale di probabilità; quindi sì, la probabilità è una grandezza fisica. Approfondimento #6.2 In generale, a che servono le mappe a falsi colori? Nel paragrafo 6.3 abbiamo introdotto le mappe a falsi colori per rappresentare le probabilità, ma questa rappresentazione grafica è di uso molto più generale: nelle mappe a falsi colori si può riportare punto per punto il valore di una qualunque grandezza fisica tramite una scala cromatica. Ne diamo tre esempi nelle figure 6.6, 6.7,

7 Figura 6.6. Questa mappa a falsi colori è la termografia di un gatto. In questo caso, i toni di grigio sono associati alla temperatura: le zone più chiare sono più calde, quelle più scure più fredde. Figura 6.7. Questa mappa riporta la profondità di un fondale marino in una certa regione dell oceano. Sono rappresentate anche le curve di livello, che congiungono punti caratterizzati dallo stesso valore della profondità (quelle più marcate sono al confine tra colori diversi). Siamo abituati a queste rappresentazioni: fanno parte delle mappe geografiche fisiche che conosciamo dalle scuole elementari. Figura 6.8. Questa mappa riporta il potenziale elettrostatico generato da tre cariche (al centro la carica 2q, ai lati due cariche q). In questo caso la scala va dai valori più negativi (in blu) a quelli più positivi (in rosso). In verde sono riportate le linee del campo elettrico. 7