Numero Aleatorio Semplice

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1 Numero Aleatorio Semplice Dati n eventi E 1,E 2,,E n ed n numeri reali 1, 2,, n si definisce numero aleatorio semplice la seguente quantità: X = 1 E E n E n (45) Al variare in tutti i modi possibili, deivalori1 o 0 degli indicatori E i, con i =1,,n, il numero aleatorio X definisce una funzione reale Osserviamo che a priori non è conosciuto il valore assunto da X, mentre è noto il suo codominio che è dato da tutte le possibili somme ottenute considerando i costituenti C 1,,C m generati dagli eventi E 1,,E n Se gli eventi E 1,,E n sono logicamente indipendenti, il numero dei costituenti è pari a m =2 n IntalcasoXpuò avere al più 2 n valori possibili (distinti) Esempio Dato un evento E, il suo indicatore è un (particolare) numero aleatorio con valori possibili 0 e 1 X =1 E +0 E c = E, Esempio Consideriamo il lancio di un dado e definiamo gli eventi E i = 00 esce il numero i 00, i =1, 2,,6 G Sanfilippo - CdP pag 170

2 Il risultato aleatorio X del lancio si può rappresentare nel modo seguente X = 1 E 1 +2 E E 6 In questo caso E 1,E 2,,E 6 formano una partizione e quindi i coe cienti 1 = 1, 2 =2,, 6 =6rappresentano i possibili valori di X Forma Canonica Dato un numero aleatorio X = x 1 H 1 + x 2 H x n H n, dove {H 1,H 2,,H n } è una partizione di, il codominio di X è {x 1,x 2,,x n } In generale non è così semplice determinare il codominio di un numero aleatorio X Esempio Dati tre eventi E 1,E 2,E 3, con le seguenti relazioni logiche E 1 E 2 = ;, E 3 E 1, determiniamo i valori possibili del numero aleatorio X =2 E 1 E 2 + E 3 =2 E 1 +( 1) E 2 +1 E 3 G Sanfilippo - CdP pag 171

3 Calcoliamo i costituenti generati da E 1,E 2,E 3 (che non formano una partizione) ed i corrispondenti valori di X C 1 = E 1 E c 2 E 3, x 1 =3; C 2 = E 1 E c 2 Ec 3, x 2 =2; C 3 = E c 1 E 2E c 3, x 3 = 1; C 4 = E c 1 Ec 2 Ec 3, x 4 =0 Pertanto l insieme dei possibili valori (o codominio) di X è { 1, 0, 2, 3} In una situazione generale, con eventi arbitrari e con certe relazioni logiche, per ottenere la forma canonica occorre calcolare i costituenti e i valori possibili di X Sia {E 1,E 2,,E n } una famiglia di eventi e siano C 1,C 2,,C m i relativi costituenti Sia inoltre X il numero aleatorio X = 1 E E n E n Se si verifica il costituente C h, X assume un ben determinato valore x h C 1! x 1 C 2! x 2 C m! x m Possiamo esprimere il numero aleatorio X in funzione degli indicatori dei costituenti X = x 1 C 1 + x 2 C x m C m G Sanfilippo - CdP pag 172

4 In questo caso i possibili valori di X saranno x 1,x 2,,x m (alcuni dei quali potrebbbero anche coincidere) Il legame che esiste tra i e x h è il seguente: x h = X i:c h E i i Riportiamo alcune motivazioni che de Finetti propone per giustificare la nozione di numero aleatorio rispetto a quella di variabile aleatoria [] evento è sempre un caso singolo [] stessa avvertenza per numero aleatorio [] Dire variabile aleatoria (o casuale) può significare alludere all interpretazione statistica dove si pensa a molte prove in cui quel numero aleatorio può variare assumendo diversi valori da prova a prova Ciò è contrario al nostro modo d intendere il problema Bruno de Finetti, Teoria delle Probabilità, vol1 e vol2, Giu rè (ristampa 2005), pag26 G Sanfilippo - CdP pag 173

5 Previsione o Valore atteso Siano dati n eventi E 1,E 2,,E n esiano p 1 = P (E 1 ),p 2 = P (E 2 ),,p n = P (E n ) le rispettive valutazioni di probabilità Considerato il numero aleatorio X = 1 E E n E n si definisce Previsione (o Speranza Matematica o Valor Medio) di X la seguente quantità: P(X) =E(X) =p p p n n (46) Diamo un interpretazione in termini di scommessa della previsione di X Supponiamo che il na X sia una vincita aleatoria, nel senso che se si verifica E 1 ( E 1 =1) ) si vince 1 se si verifica E 2 ( E 2 =1) ) si vince 2 se si verifica E n ( E n =1) ) si vince n G Sanfilippo - CdP pag 174

6 dove X rappresenta il totale di quello che si riceve In termini di scommessa P(X) indica la quantità che si è disposti a pagare per ricevere X, oppure la quantità che si è disposti a pretendere per pagare X Infatti osservando che si paga p 1 1 per ricevere ( 1, se si verif E 1, 0, se si verif E c 1, (ovvero, per ricevere 1 E 1 ) si paga p 2 2 per ricevere 2 E 2 si paga p n n per ricevere n E n Allora sommando tali termini si può dire che si paga P n i= p i i per ricevere P n i=1 i E i cioè: si paga P per ricevere X G Sanfilippo - CdP pag 175

7 Esempio Sia esiap = P (E) Siha X = E =1 E +0 E c P(X) =P( E ) =1 p +0 (1 p) =p, cioè la previsione dell indicatore di un evento coincide con la probabilità dell evento (E( E ) =p) Baricentro Sia {H 1,,H n } una partizione di Siano p 1 = P (H 1 ),p 2 = P (H 2 ),,p n = P (H n ) le rispettive probabilità Ricordiamo che P n i=1 p i =1 La previsione E(X) del numero X = x 1 H 1 + x 2 H x n H n si può interpretare come il baricentro di una distribuzione di n masse di pesi p i e di ascisse x i con i = 1, 2,,n (vedi Fig 29) In particolare se le x i sono tutte diverse tra di loro, si ha la seguente forma canonica di X: X = x 1 X = x 1 + x 2 X = x x n X = x n G Sanfilippo - CdP pag 176

8 In tal caso sia ha E(X) =x 1 P (X = x 1 )+x 2 P (X = x 2 )+ +x n P (X = x n )= x i P (X = x h ) h=1 Se ad esempio X Bin(n,p) cioè X 2 {0, 1, 2,,n} con P (X = h) = n h ph (1 p) n h,siha E(X) = hp (X = h) = h=1 h=1 n h p h h (1 p) n h = = np Figura 29: Previsione e Baricentro Osservazione La previsione E(X) di un n a X gode della seguente proprietà min(x) apple E(X) apple max(x) (47) G Sanfilippo - CdP pag 177

9 Dim Consideriamo solo il caso in cui con {H 1,,H n } una partizione di X = x 1 H 1 + x 2 H x n H n Come sappiamo, a nchè le probabilità p 1,p 2,,p n siano coerenti dev essere p i =1, p i 0, i =1,,n i=1 Quindi E(X) =p 1 x 1 + p 2 x p n x n è combinazione lineare convessa dei punti (ascisse) x i Osserviamo che, per ogni i =1,,n,siha equindi min(x) apple x i apple max(x), p i min(x) apple p i x i apple p i max(x) Allora, sommando per i che va da 1 a n, siha ( p i )min(x) apple p i x i apple ( p i )max(x), i i i ovvero min(x) apple E(X) apple max(x) G Sanfilippo - CdP pag 178