Lezione 3. Algebra di Boole e circuiti logici. A. Borghese, F. Pedersini Dip. Scienze dell Informazione Università degli Studi di Milano

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1 rchitetture dei calcolatori e delle reti Lezione 3 lgebra di oole e circuiti logici. orghese, F. Pedersini Dip. Scienze dell Informazione Università degli Studi di Milano L 3 /25 Sommario! lgebra di oole " Variabili ed operatori semplici.! Implementazione circuitale delle porte logiche L 3 2/25

2 lgebra di oole George oole, 854: n Investigation of the Laws of Thought on which to found the Mathematical Theories of Logic and Probabilities lgebra ooleana! Variabili binarie: FLSE(=); TRUE(=)! Operatori logici sulle variabili: NOT, ND, OR! pplicazioni: " nalisi dei circuiti digitali! Descrizione del funzionamento in modo economico. " Sintesi (progettazione) dei circuiti digitali! Data una certa funzione logica, svilupparne una implementazione efficiente. L 3 3/25 Operatore NOT! Operazione logica di negazione " Se è vera, NOT() è falsa = NOT =! Operazione definita dalla tabella della verità " Funzione definita per tutte le combinazioni di variabili Tabella della verità Negazione logica ( Inverter ) L 3 4/25

3 Operatore ND! Operazione di prodotto logico " Solo se sia che sono veri, ND è vera. = ND = = Tabella della verità Prodotto logico (porta ND) L 3 5/25 Operatore OR! Operazione di somma logica " Se o sono veri, che OR è vera. = OR = + Tabella della verità Somma logica (porta OR ) L 3 6/25

4 Priorità degli operatori! Priorità " In assenza di parentesi, ND ha la priorità sull OR ed il NOT su entrambi: NOT # ND # OR! Esempi: OR NDC = + " C = + ( " C) NOT NDC = NOT " C = ( NOT ) " C = " C L 3 7/25 Dualità e Postulati! Le proprietà commutativa, distributiva, identità, inverso sono postulati: assunti veri per definizione " Le altre proprietà sono teoremi dimostrabili! Nell algebra di oole vale il: principio di dualità! Il DULE di una funzione booleana si ottiene: " scambiando ND con OR (OR"ND, ND"OR) " scambiando TRUE () con FLSE () (", ") L 3 8/25

5 Proprietà degli operatori logici ND OR (duale) Identità x = x + x = x Elemento x = + x = Idempotenza x x = x x + x = x Inverso x ~x = x + ~ x = Commutativa x y = y x x + y = y + x ssociativa (x y) z = x (y z) (x+y) + z = x + (y+z) ND rispetto OR OR rispetto a ND Distributiva x (y + z) = x y+x z x + y z = (x+z) (x+y) ssorbimento x (x + y) = x x + x y = x De Morgan xy = x + y x + y = x! y L 3 9/25 Operatore NND! Operatore ND negato NND = NOT( ND ) operatore NND = L 3 /25

6 Operatore NOR! Operatore OR negato NOR = NOT( OR ) operatore NOR = L 3 /25 Porte universali Quale è il numero minimo di porte con cui è possibile implementare tutte le altre?! Con la legge di De-Morgan riusciamo a passare da 3 a 2: " con NOT e ND si ottiene OR: NOT( NOT() ND NOT() ) = OR! E possibile usarne una sola? " Sì, ad esempio la porta NND e la NOR che sono chiamate porte universali L 3 2/25

7 Porta Universale NOR NOT = NOR = NOR OR = ( NOR ) NOR ND = ( NOR ) NOR ( NOR ) L 3 3/25 Porta Universale NND NOT = NND = NND ND = ( NND ) NND OR = ( NND ) NND ( NND ) not or and L 3 4/25

8 Esercizi! Usare la sola porta NND per realizzare ND, OR e NOT e disegnarne gli schemi logici! Dimostrare le seguenti uguaglianze: + ~ = + ( + ~ )( + C) = + C + ~C usando le proprietà dell algebra di oole.! Calcolare le TT per le seguenti funzioni: D + C + ~ + + C + D ~D~C + ~DC + ~D~~C + ~D~C! Trasformare in funzioni equivalenti le seguenti: ~(CD) ~(D) + ~( + ~C) L 3 5/25 Sommario lgebra di oole Variabili ed operatori semplici. Implementazione circuitale delle porte logiche L 3 6/25

9 Elettronica digitale! 2 soli stati stabili (livelli di tensione): " LTO (H) = 3 Volt < V H < 5 Volt (TTL) " SSO (L) = Volt < V L <,4 Volt " 2 range di tensioni, separati da un grosso gap, per essere resistente al rumore. lto (H) = asso (L) = L 3 7/25 Il Transistor! Modello: interruttore tra Emettitore e Collettore, comandato dalla tensione sulla ase.!! 2 casi estremi : " Tensione V E bassa! C, E isolati! Transistor in stato di INTERDIZIONE # " Tensione V E alta! C, E collegati! Transistor in stato di STURZIONE "!! # # V E " V E " L 3 8/25

10 INVERTER (porta NOT) Funzionamento: V IN = V H! V E alta! E e C collegati! V OUT = V L V IN = V L! V E bassa! E e C scollegati! V OUT = V H Tabella della verità V IN V OUT V H = V L = V L = V H = V OUT V IN L 3 9/25 Porta NND Funzionamento: Solo se: V =V 2 = V H! V OUT = V L altrimenti:! V OUT = V H Tabella della verità V V H = V H = V L = V L = V 2 V H = V L = V H = V L = V OUT V L = V H = V H = V H = L 3 2/25

11 Porta NOR Funzionamento: Se V o V 2 = V H! V OUT = V L altrimenti! V OUT = V H Tabella della verità V V H = V H = V L = V L = V 2 V H = V L = V H = V L = V OUT V L = V L = V L = V H = L 3 2/25 Circuiti di base L 3 22/25

12 La tecnologia CMOS (98 oggi)! CMOS: Complementary MOS " MOS: Metal Oxide Semiconductor " MOS complementari (N-MOS + P-MOS) che lavorano in coppia Inverter CMOS! Vantaggi: " Tensione di alimentazione flessibile : " V CC = 2 5 Volt " V LOW = V CC /2 " V HIGH = V CC /2 V CC In 2 5 Volt N-MOS Out " Consumo bassissimo:! Consuma solo nella transizione! In condizioni statiche, consumo nullo! Volt P-MOS L 3 23/25 Porte CMOS Porta NND Porta NOR L 3 24/25

13 Logica three-state! 3 stati: CS " = LOW " = HIGH In Out " Z = uscita scollegata! Ingresso di abilitazione: CS CS = # Porta attiva CS = # LT IMPEDENZ (uscita scollegata) CS= / / CS= / Z! È possibile scollegare l uscita dal resto del circuito Vantaggio: permette di collegare più uscite tra loro evitando conflitti. CS In Out Z Z L 3 25/25