Laboratorio Fisica e di Informatica: teoria della misura

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1 Laboratorio Fisica e di Informatica: teoria della misura Argomenti lezione : - Teoria della misura Metodo Sperimentale Errori sistematici e casuali Errori relativi Propagazione degli errori Valore medio e deviazione standard Cifre significative 1

2 Libri di testo Elaborazione statistica dei dati sperimentali con elementi di laboratorio Giovanni Filatrella e Paola Romano EdiSES Gruppo III Docente: M. Cristina Montesi

3 William Thomson (Lord Kelvin) Quando puoi misurare ciò di cui stai parlando ed esprimerlo in numeri, puoi affermare di sapere qualcosa, se però non puoi misurarlo, se non puoi esprimerlo con numeri, la tua conoscenza sarà povera ed insoddisfacente.

4 Il metodo sperimentale OSSERVAZIONE: consente di inquadrare il fenomeno che si vuole studiare e permette di raccogliere informazioni su di esso. DETERMINAZIONE DEL PROBLEMA: a) individuare variabili significative: in ogni esperimento si sceglie una sola variabile indipendente e si individuano tutte le variabili dipendenti da essa. b) realizzare esperimenti per quantificare tali variabili e riportare i dati ottenuti in tabelle e grafici.

5 Il metodo sperimentale FORMULAZIONE DELLE IPOTESI: Dall osservazione si formulano delle ipotesi. VERIFICA SPERIMENTALE DELLE IPOTESI: Progettare un esperimento per validare il modello proposto. RACCOLTA DATI : processo di misura (quantificare il dato) ELABORAZIONE DEI RISULTATI: se l'ipotesi formulata viene confermata si può formalizzare un modello ed eventualmente inserirlo in una teoria più ampia. DIVULGAZIONE DEI RISULTATI Gruppo III Docente: M. Cristina Montesi

6 Cosa significa fare una misura? Insieme di procedure e convenzioni che consentono di assegnare ad una variabile un valore ed una unità di misura. L operazione di misura fissa il valore numerico di una grandezza (x) rapportandola a un campione unitario G scelto arbitrariamente come unità di riferimento di tutte le grandezze di quel tipo. Definizione operativa di grandezza fisica Una grandezza fisica viene definita mediante la descrizione delle operazioni da compiere per misurarla.

7 Quali sono le grandezze fisiche? grandezze fisiche fondamentale Gruppo III Docente: M. Cristina Montesi

8 Grandezza fisica Fondamentale: la sua definizione non dipende dalla definizione di altre grandezze e la sua misura è effettuata per confronto con un campione di riferimento (sono 7); Derivata: la sua definizione dipende dalla definizione di altre grandezze (sono tantissime) Gruppo III Docente: M. Cristina Montesi

9 Variabile casuale o aleatoria* rappresenta il risultato numerico di una misura Variabile continua rappr. da un numero reale qualsiasi Variabile discreta rappr. da un numero intero Variabile ordinata rappr. da valori che non sono proporzionali alla grandezza studiata (es. voto agli esami) Variabile nominale o categorica rappr. da valori non numerici che non possono essere valutati con un > o < (es. il luogo di nascita di un gruppo di persone) *quantità misurabili, ma non dotate di valore unico! (variabili in un intervallo)

10 Le grandezze fisiche sono un sottoinsieme delle Variabili casuali

11 Misura di una grandezza fisica La misura (valore) di una grandezza fisica è sempre relativa: 1)Si definisce l unità di misura in modo arbitrario, univoco e permanente 2) Si determina il rapporto fra la grandezza fisica che si vuole misurare e l unità di misura scelta Ricordate i Campioni di grandezze fondamentali! Il metro è la lunghezza del tratto percorso dalla luce nel vuoto in 1/ s.

12 Ripetibilità di una misura MA Il valore esatto di una grandezza fisica non può essere misurato: Errore in fisica è sinonimo di inevitabile incertezza presente nelle misure Le misure sono affette da errori! Errore = inevitabile incertezza presente in tutte le misure

13 Indeterminazione, incertezza, errore: perché? Non esistono misure perfette, perché? Modus operandi dello sperimentatore Dipendenza della grandezza da misurare da fattori esterni: ci sono vari fattori che influenzano una grandezza (es. Temperatura volume; rumore elettrico) Qualità delle tecniche e degli strumenti utilizzati Gruppo III Docente: M. Cristina Montesi

14 L incertezza di una misura ci consente di trarre conoscenza? Si, purchè si quantifichi l incertezza/errore Es. Archimede e la corona: di quale materiale è costruita? d oro = 15.5 g/cm 3 d lega = 13.8 g/cm 3 Misure riportate Esperto A Esperto B Miglior stima di d Intervallo Gruppo III Docente: M. Cristina Montesi

15 Perché le misure fluttuano? Esempio 1: Se si effettua una misura con un calibro molto sensibile non si ottiene sempre lo stesso risultato. In questo caso la grandezza potrebbe (forse) essere ben definita, ma il metodo di misura introduce fluttuazioni. Esempio 2: per misurare il numero di globuli rossi nel sangue si considera un piccolo volume al microscopio: in ogni volume non si trova sempre lo stesso numero di globuli rossi. In entrambi i casi possiamo utilizzare tecniche statistiche per trattare i dati!!

16 Gli errori sperimentali Ogni misura è soggetta ad errori sperimentali. Gli errori sono di due tipi: sistematici e casuali 1. Sistematici: spostano la misura sempre dalla stessa parte Per esempio: sistematici sono gli errori dovuti al processo di confronto fra grandezza e strumento di misura non tarato correttamente. 2. Processi casuali: spostano la misura casualmente in modo che risulti talvolta maggiore talvolta minore del valore vero. Gli errori casuali sono caratterizzati da una distribuzione casuale delle misure sperimentali attorno al valore vero della grandezza misurata!

17 Errori sistematici

18 Errori sistematici Producono un Dx caratterizzato dallo stesso segno!! x x Dx x letta (Oppure sempre x D letta x )

19 Errori casuali x x Dx letta

20 Errori casuali x x Dx letta Questa scrittura indica che la grandezza x è compresa tra x Dx letta e x Dx letta Questo tipo di errore si può ridurre aumentando il numero di misure: gli errori casuali si trattano con metodi statistici basati sulla teoria della probabilità. DX è detto errore di lettura, ed è legato alla risoluzione di uno strumento

21 Strumenti di misura Sensibilità Precisione Minima sollecitazione che deve subire uno strumento affinchè fornisca una risposta misurabile Rapporto tra la risposta DR dello strumento e la corrispondente sollecitazione DG: S=DR/DG. 2DG =intervallo di sensibilità DG= errore di sensibilità detto anche errore strumentale Capacità dello strumento di fornire la stessa risposta a parità di sollecitazione Accuratezza/Giustezza Attitudine dello strumento di dare misure prive di errori sistematici (relativa alla taratura)

22 Strumenti di misura Risoluzione Prontezza Fondo scala o portata Ripetibilità Minima variazione apprezzabile della grandezza attraverso tutto il campo di misura dello strumento. Se la scala dello strumento è lineare e la risoluzione è costante lungo tutto il campo di misura allora la risoluzione coincide con intervallo di sensibilità 2DG (Valore ultima cifra significativa) E legata al tempo necessario allo strumento per rispondere a una variazione della grandezza misurata Capacità di uno strumento di fornire misure uguali entro la sua risoluzione Limite superiore del campo di misura: assieme alla sensibilità delimita l intervallo di funzionamento di uno strumento

23 Errori casuali e statistica Sono errori inevitabili nell esecuzione di una misura Dx e si esprimono: x Dx x best x max x min 2 x max x min 2 _ x1... N x N i 1 Errore massimo o strumentale che indica l attendibilità della misura Prendiamo il valore massimo e minimo ottenuti per ottener la miglior stima della grandezza Errore massimo: se la misura è eseguita bene esso rappresenta l errore di sensibilità DG Se abbiamo molti dati possiamo introdurre il concetto di valor medio: N x N x i

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25 Media: Indici di posizione: Media, Mediana e Moda _ x1... N x N i 1 Mediana: è quel valore che, dopo che i dati di un campione sono stati ordinati, lascia lo stesso numero di valori sia a destra sia a sinistra Es. 3.8, 5.8, 6.0, 6.7, 7 mediana=6.0 (nro dispari di dati) Es:3.8, 5.8, 6.0, 6.7, 7, 9.8 mediana=(6+6.7)/2=6.35 x N N x i Moda: valore che si ripete con maggiore frequenza

26 Quando si usano? Media: valori distribuiti simmetricamente attorno a un valore (variabili casuali intere o reali) Mediana: quando misure estreme alterano la media (variabili ordinate) Moda: quando è richiesto un modo rapido per descrivere la tendenza centrale (Tutti i tipi di varabile anche quelle nominali)

27 Errore relativo La misura di una grandezza fisica è sempre affetta da errore: Dx x x Dx Nel caso di una singola misura coincide con la sensibilità di uno strumento Errore massimo o strumentale La precisione con cui viene eseguita una misura è legata all errore relativo: Espresso in % nella forma: (Indice di dispersione) Rapporto tra la risposta DR dello strumento e la corrispondente sollecitazione DG: S=DR/DG. DG= errore di sensibilità detto anche errore strumentale Dx x 100%

28 Misura diretta: si confronta la grandezza con un altra della stessa natura scelta come campione Misura indiretta: la misura si deriva dalla misurazione di grandezze fisiche, non omogenee legate tra loro da una legge fisica nota. Misura del tempo, dello spazio Misura della velocità, misura di un volume (se si passa dalla formula matematica) Definire/analizzare come si propagano gli errori

29 Propagazione degli errori Il valore di una grandezza può derivare dalla misurazione di altre grandezze ognuna delle quali è affetta dal proprio errore massimo: B DB C DC Cosa succede alla loro somma o differenza: C A A max min B B C C DB ( DB DC DC) DA A DB B DC Errore massimo di una grandezza somma o differenza: è dato dalla somma degli errori massimi delle due grandezze

30 Cifre Significative (Errore massimo) Scrittura corretta Gruppo III Docente: M. Cristina Montesi

31 Cifre Significative

32 Cifre Significative Gruppo III Docente: M. Cristina Montesi

33 Notazione scientifica Si utilizza per esprimere grandezze con valori molto piccoli o molto grandi in modo rapido e immediatamente leggibile. In notazione scientifica i numeri sono espressi con il prodotto di un numero decimale compreso tra 1 e 9 (mantissa) e una opportuna potenza di 10:

34 Ordine di grandezza

35 Propagazione degli errori Consideriamo una grandezza G espressa come funzione di una grandezza A con il proprio errore DA e di una grandezza B con errore DB l errore su G:

36 Ecco alcuni esempi

37 Cosa succede alla moltiplicazione G A B B A DG BDA ADB

38 Cosa succede alla divisione G A / B 1/B -A/B 2 DG DA B ADB 2 B

39 Cosa succede se usiamo l errore relativo? L errore relativo è dato dal rapporto fra l errore ed il valore della grandezza: DG Dg rel E adimensionale! G E adimensionale; indica la qualità di una misura Esempio:errore relativo su un prodotto o un quoziente: DG DA DB G A B

40 L errore relativo ci aiuta a Avere informazioni sulla qualità della misura; Errori relativi di grandezze diverse non omogenee (i.e con diverse dimensioni) possono essere confrontati tra loro; La conoscenza dell errore relativo ci permette di valutare l errore massimo DG = Dg rel G

41 Deviazione standard (indice di dispersione*) Supponiamo di aver eseguito molte misure e che la media sia l indice di posizione rappresentativo dei mostri dati; come ne definiamo la dispersione? Con la deviazione quadratica media - o scarto quadratico medio - di x 1,..x n misure/dati dal valor medio Scarto Scarto quadratico Sempre > 0 *fornisce indicazioni su come si distribuisce la variabile casuale attorno all indice di posizione E bene notare che:

42 Deviazione standard della media: indice di dispersione su misure ripetute della stessa grandezza Se x 1,..x n sono i risultati di N misure della stessa grandezza, allora la miglior stima della nostra grandezza x è x, la media. Che incertezza attribuire a questo valore? La deviazione standard della media: / N x x Altri nomi sono: errore standard o errore standard della media Questo errore diminuisce aumentando il numero di misurazioni!!!!

43 Deviazione standard del campione Deviazione standard della media / x x N Misurando una grandezza molte volte con lo stesso strumento e metodo con piccoli (???) errori casuali sulle singole misure, la deviazione standard della media è la miglior stima dell incertezza (Dx). Come si valuta il piccolo?

44 Ricapitolando Il risultato di una misura va indicato come: Se eseguiamo una sola misura x best Dx x Dx best valore misurato sensibilità strum Se eseguiamo poche misure che distano tra loro di un valore più grande dell errore di sensibilità: Misure ripetute x best Dx x best = x max + x min 2 Dx = x max - x min 2 valore medio Gruppo III Docente: M. Cristina Montesi dev.standard media

45 Confronto tra misure: Gruppo III Docente: M. Cristina Montesi

46 Singola misura (non si riscontra variabilità) x± Dx Gruppo III Docente: M. Cristina Montesi

47 NO Gruppo III Docente: M. Cristina Montesi

48 Errore strumentale e errore statistico Se l errore statistico diventa più piccolo di quello strumentale, non ha senso aumentare il numero N di misure, poiché, a questo punto sarebbe la sensibilità a dominare sull incertezza della misura! t = (2.12 ± 0.01)s Errore strumentale Gruppo III Docente: M. Cristina Montesi

49 Errore strumentale e errore statistico Valutare sempre se lo strumento utilizzato ha una sensibilità/risoluzione opportuna per il tipo di misure che vogliamo eseguire; Valutare sempre che le nostre misure siano eseguite con una procedura il più possibile riproducibile. Gruppo III Docente: M. Cristina Montesi

50 Statistica Descrittiva Statistica: scienza che si occupa della raccolta e analisi dei dati provenienti da misure sperimentali allo scopo di trarre conclusioni significative. Statistica descrittiva: insieme dei metodi di rappresentazione dei dati statistici Fino ad ora abbiamo rappresentato i nostri dati fornendo un valor medio/letto con un intervallo di variabilità (definito dall errore strumentale/massimo o deviazione standard), ma è utile comunicare tutti i risultati delle misure Come fare? Gruppo III Docente: M. Cristina Montesi

51 Rappresentazione dei dati Tabelle (primo passo nella raccolta delle misure effettuate): Tabelle non raggruppate (i.e. i voti assegnati a 100 studenti durante il primo appello di un esame) Voti N. stud Frequenza Tabelle di frequenza Tabelle raggruppate Limiti classe Valore centrale N. Stud. Frequenza

52 Rappresentazione dati: dalla tabella al metodo grafico Grafici: mostrano la distribuzione dei dati sperimentali Consentono di trovare relazioni tra diverse grandezze misurate (y=f(x)) Rappresentazione d insieme di molti dati 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0,00 Frequenza Istogramma Frequenza Dispersione Lineare Gruppo III Docente: M. Cristina Montesi

53 Istogrammi Metodo grafico per rappresentare la distribuzione dei risultati; sull asse orizzontale sono riportati i possibili risultati o intervalli di essi; sull asse verticale si riporta la frequenza con cui il risultato si presenta; 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0,00 Frequenza Frequenza f = n N n numero di volte che il risultato di è presentato N numero totale delle misure Gruppo III Docente: M. Cristina Montesi

54 Istogrammi A barre: sull asse delle Y viene riportata la frequenza di un valore discreto (es: risultato di un lancio di un dado) Ad intervalli: riguarda grandezze continue rappresentate sull asse delle X da intervalli, detti classe, a cui corrisponde una frequenza. Si definisce anche una densità di frequenza: frequenza divisa per l ampiezza della classe. Gruppo III Docente: M. Cristina Montesi

55 Densità di frequenza La scelta delle classi e del loro numero è arbitraria; N Numero classi ; Gruppo III Docente: M. Cristina Montesi

56 V(m/s^2) Grafici di grandezze (dispersione):quando si vuole studiare come varia una grandezza rispetto ad un altra Rappresenta la variazione di una grandezza y rispetto a una grandezza x (variabile indipendente) su un piano cartesiano; t(s) Sugli assi ortogonali occorre fissare una unità di misura - scala; Rappresentazione anche dell errore di misura; Gruppo III Docente: M. Cristina Montesi

57 Grafici di due variabili (dispersione):quando si vuole studiare come varia una grandezza Scale non lineari: y = f (x 2 ) Sull asse x si riporta il suo quadrato Oppure y = log x Sull asse x si riporta logaritmo (scala molto utile quando abbiamo misure che spaziano per diversi ordini di grandezza) Gruppo III Docente: M. Cristina Montesi