INDICE INTRODUZIONE 3

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1 INDICE INTRODUZIONE 3 1. Il problema della continuità da un punto di vista istituzionale Il problema Discontinuità e incoerenze educative Le ragioni della continuita Motivazioni di ordine psicologico Motivazioni di ordine socio-culturale Motivazioni di ordine pedagogico-didattico I principali riferimenti normativi Un quadro teorico Artefatti e intelligenza L approccio strumentale di Rabardel L approccio di Vygotskij agli artefatti La zona di sviluppo prossimale L interiorizzazione Il sistema dei segni nel processo di interiorizzazione Artefatti e segni Mediazione Un particolare tipo di mediazione: la mediazione semiotica Un artefatto culturale come strumento di mediazione semiotica Polisemia degli artefatti e nascita dei segni Ciclo didattico Categorie di segni Mediazione semiotica nella classe 48 INTERMEZZO Un primo artefatto : le mani La mano per contare: i sistemi di conteggio nella storia La mano per eseguire calcoli e per esplorare proprietà dei numeri Una buona pratica Pallottolieri e abaci Sistemi di registrazione dei numeri: l intaglio Sistemi di calcolo: breve storia di alcuni strumenti Una buona pratica Numerali orali e scritti Numeri e numerali: alcune ricerche dalle scienze cognitive Il contributo di Annette Karmiloff-Smith: il modello RR I gesti Una ricerca sulla costruzione delle competenze sintattiche in prima elementare Il caso dell abaco Un esperimento di insegnamento in prima elementare 122 Appendice 138 BIBLIOGRAFIA 147 1

2 INTRODUZIONE La seguente tesi di laurea prende l avvio trattando, nel primo capitolo, il problema della continuità da un punto di vista istituzionale: per quale motivo, oggi più che mai, è così importante che nel percorso formativo di un bambino le esperienze di apprendimento vengano proposte tenendo in considerazione le conoscenze, le competenze, le abilità che lui possiede quando si presenta a scuola? Perché è così importante collegare ciò che viene realizzato ed appreso nella scuola dell infanzia con quello che viene offerto nella scuola primaria? E perché, alla luce di ciò, nonostante le prescrizioni di programmi, leggi e circolari ministeriali, continua ad essere così difficoltosa e problematica la realizzazione di una linea di continuità effettiva e coerente? Verranno allora indicate le ragioni di ordine psicologico, socio-culturale e pedagogico-didattico che stanno alla base del problema, legate ai riferimenti dichiarati a livello normativo, nel corso della storia fino alla più recente Legge di Riforma n. 53/2003. In questa sede ci si propone di studiare il problema della continuità circoscrivendolo ad un caso molto specifico: l utilizzo di materiale di tipo manipolativo in relazione alla costruzione di competenze numeriche. Vedremo allora come insegnanti di scuola dell infanzia e di scuola primaria possono usare a tale scopo materiale concreto significativo, che cercheremo di interpretare alla luce del quadro di riferimento teorico presentato nel secondo capitolo. Gli artefatti culturali possono essere considerati strumenti di mediazione semiotica? Con quali modalità? Quali processi di costruzione di competenze numeriche attivano? La mano è il primo strumento di conteggio e di calcolo utilizzato dall uomo nel corso della storia e, come tale, può essere considerata il primo artefatto culturale di cui l essere umano si sia servito per rappresentare visivamente le quantità, risolvere operazioni aritmetiche ed esplorare proprietà dei numeri. Questo sarà oggetto di trattazione nel terzo capitolo, unitamente ad una serie di esperienze relative all esplorazione del concetto di quantità attraverso attività di conteggio, realizzate utilizzando le mani e condotte nelle sezioni della scuola dell infanzia Diana del Comune di Reggio Emilia. La mano però, nonostante le notevoli opportunità che consente di realizzare, costituisce solo una momentanea modalità di registrazione del concetto numerico dal momento che, pur rispondendo a diverse ed importanti esigenze, non consente la memorizzazione dei numeri: all interno del quarto capitolo si illustreranno, pertanto, i sistemi di 3

3 registrazione dei numeri che l uomo ha ideato nel corso della storia per garantire una risposta a tale necessità. Nel quinto ed ultimo capitolo, infine, verranno esaminate alcune ricerche dalle scienze cognitive relative a numeri e numerali; significativo è il contributo apportato da Annette Karmiloff-Smith che, mediante l elaborazione del modello di Ridescrizione Rappresentazionale, ha cercato di esplicitare i modi in cui le rappresentazioni del bambino divengono progressivamente manipolabili e flessibili, in relazione all emergere dell accesso conscio alla conoscenza e alla costruzione di teorie relative al numero. Si ringraziano Paola Strozzi e Marina Mori, pedagogista e insegnante rispettivamente delle scuole dell infanzia Anna Frank e Diana del Comune di Reggio Emilia e Mara Boni, insegnante della Scuola Primaria G. Mazzini di Vignola per la disponibilità offerta nel fornire e discutere materiali di documentazione appartenenti alle loro scuole. 4

4 CAPITOLO 2 UN QUADRO TEORICO Questo capitolo è la traduzione relativa alla prima parte del capitolo di Bartolini Bussi & Mariotti (in corso di stampa). I riferimenti bibliografici qui contenuti sono ripresi dal capitolo citato in bibliografia Artefatti e intelligenza La costruzione e l uso di artefatti in particolare artefatti complessi sembra essere caratteristica dell attività umana, ma ancora più caratteristica degli esseri umani pare essere la possibilità che tali artefatti offrono di andare oltre il livello pratico, per esempio il contributo che offrono a livello cognitivo. Nel campo della pratica, gli strumenti hanno sempre giocato un ruolo cruciale; spesso, i problemi pratici sono collegati all uso di un artefatto, al punto che spesso il processo di soluzione di un problema dato e la progettazione di un artefatto, espressamente concepito per supportare tale soluzione, vengono sviluppati con mutuo vantaggio. In senso lato, la conoscenza teorica può essere considerata come avente origine da questa reciproca relazione e in un processo di lungo termine, le tracce di questo possono, in certi casi, essere ricostruite. Norman (1993) ha scritto un libro (Le cose che ci fanno intelligenti) il cui titolo fa esattamente riferimento alla doppia natura di ciò che egli definisce artefatti cognitivi: - l aspetto/carattere pragmatico o esperienziale (cioè l orientamento verso l esterno che consente di modificare l ambiente circostante); - l aspetto/carattere riflessivo (cioè l orientamento verso l interno che permette ai soggetti di sviluppare l intelligenza). Questa doppia natura e questo doppio orientamento saranno il motivo conduttore dell intero capitolo. L idea di artefatto è molto generale e comprende diversi tipi di oggetti, prodotti dagli esseri umani nel corso dei secoli: suoni, gesti; utensili e strumenti; forme orali e scritte del linguaggio naturale; testi e libri; strumenti musicali; strumenti scientifici; strumenti informatici, ecc.. Il contributo degli artefatti in campo educativo non è una novità, dal momento che da molto tempo i libri sono i principali artefatti utilizzati nelle scuole, senza dimenticare carta e matita e la lavagna! Più generalmente, il passaggio dalla sfera 29

5 pratica a quella dell intelletto e viceversa, può essere considerata uno dei motori principali dell evoluzione e del progresso. L era cognitiva ebbe inizio quando gli esseri umani cominciarono a usare suoni, gesti e simboli per riferirsi a oggetti, cose e concetti. (Norman 1993, pag. 59). Esempio 1: forme scritte e orali di linguaggio naturale Certamente il linguaggio in tutte le sue forme, orali e scritte, ha un ruolo centrale tra gli artefatti prodotti ed elaborati dagli esseri umani. Gli studi relativi allo sviluppo della cultura da orale a scritta ci raccontano la storia di un affascinante evoluzione dei modi di pensare. Gli studi prima di McLuhan (1962) e successivamente di Ong (1967/1970) hanno dimostrato che l inizio della scrittura non ha solo rinforzato le capacità della mente, ma anche che questa può essere considerata la sorgente di sviluppo di specifici schemi di pensiero. In effetti, l introduzione della scrittura ha modificato i tradizionali schemi della comunicazione attraverso l introduzione di nuovi mezzi comunicativi. La comunicazione orale è pragmatica, nel senso che è finalizzata a far sì che gli interlocutori possano condividere un esperienza comune, come è mostrato dall uso esteso di forme deittiche: di qui viene, secondo Ong (1967/1970) la difficoltà di elaborare concetti astratti che prescindono da situazioni concrete e chiaramente riconoscibili. L introduzione e lo sviluppo della lingua scritta sembra essere la sorgente di sviluppo di schemi logici di per sé senza un preciso riferimento a situazioni reali (Goody, 1987/1989). Il passaggio dalla lingua orale alla lingua scritta è stato l origine di un grande cambiamento: ad un primo sguardo la scrittura può essere semplicemente considerata un modo di realizzare l espressione orale, con il vantaggio che ciò che è detto può essere ricordato. Una volta scritta, un affermazione può essere letta e detta ancora e ancora, ogni volta che si rende necessario e da chiunque voglia parlare. Ma, come ben sappiamo, considerare la scrittura solo come una simulazione dell espressione orale sarebbe limitativo e fuorviante; la storia della scrittura, dalle prime documentazioni sulle tavole di argilla in avanti, dimostra l evidenza del suo contributo nella trasformazione del modo di pensare: la scrittura crea la differenza: non solo nell espressione del pensiero, ma anche e soprattutto nel come tale pensiero viene pensato. (Goody, 1987/1989, p. 266). Nel più recente passato possiamo citare il riferimento classico: la nostra indagine, [ ] ha dimostrato che tramite la scrittura cambia la forma di base delle attività, si raggiunge una nuova attività sociale, si 30

6 creano nuove motivazioni d azione e cambiano i processi cognitivi. (Luria, 1976, p.161). Per ciò che riguarda la matematica, vale la pena di ricordare la relazione tra la lingua scritta e lo sviluppo della dimostrazione; come spiegato da Cambiano (1997), sembra plausibile affermare che l origine della matematica come disciplina teorica deve essere messo in relazione con la comparsa di ciò che potrebbe essere chiamata la cultura del libro. Contemporaneamente alla comparsa del primo corpo di leggi scritte da Solone, comunemente considerata la nascita della legge, l uso della scrittura viene generalmente messo in relazione alla nascita del ragionamento deduttivo nel campo della geometria, che vede in Talete uno degli iniziatori e in Euclide il maggiore esponente. La conclusione che può essere tratta da tutto ciò è che lo sviluppo della scrittura riguarda la manifestazione di ciò che viene definito come pensiero razionale, che corrisponde ad un modo di pensare basato su idee astratte, su affermazioni universali e sul ragionamento deduttivo. L esempio della scrittura e della sua storia nel dar forma ai diversi modi di pensare, e alla matematica in particolare, conduce a riflettere sul ruolo cognitivo della rappresentazione e sul fatto che ogni rappresentazione è supportata da un artefatto. Gli esseri umani hanno prodotto numerosi artefatti che hanno supportato rappresentazioni di diverso tipo. Un caso particolarmente significativo è quello degli strumenti scientifici, come il compasso. Esempio 2. Un caso di strumento scientifico: il compasso È facilmente riconoscibile lo stretto legame tra l utilizzo di strumenti quali la riga e il compasso nell origine della geometria euclidea classica. Lo stretta relazione tra il funzionamento del cervello e l esperienza corporea (con o senza strumenti) anche nella più sofisticata ed astratta evoluzione della matematica è oggi comunemente riconosciuta (Arzarello, 2006). Credo che oggi si possa considerare la geometria, grazie alle ricerche dei biologi e dei fisiologi, come una scienza dell azione e della previsione del movimento nello spazio: il segmento, la curva, il cerchio non sono la forma astratta di un oggetto materiale e neppure delle figure ideali, ma piuttosto la previsione di un percorso. E la previsione è già un astrazione: la traiettoria, prevista o anticipata dallo sguardo e dal gesto è astratta (Longo 1997, p.217). Secondo questo autore, il gesto di tracciare deve essere considerato all origine dell idea di linea (sia la retta che il cerchio), ma quello che a noi sembra più interessante è il fatto che il gesto è da mettere in relazione all uso di un particolare artefatto: per esempio, una fune tirata 31

7 tra due chiodi, o che gira attorno a un perno, o una riga o un compasso. Nonostante ciò, comunque, il processo di costruzione della conoscenza matematica non è direttamente e semplicemente legato alla pratica, e nemmeno semplicemente legato all utilizzo degli artefatti. Forse, uno degli esempi più evidenti è quello del cerchio. La definizione del cerchio come figura geometrica è certamente legata all uso del compasso, che d altra parte consente di realizzare la rappresentazione grafica del cerchio stesso; ma il passaggio dal disegnare forme rotonde al concetto di cerchio in senso geometrico il luogo dei punti equidistanti dal centro non è immediato (Bartolini Bussi et al. in stampa). Si possono considerare due semplici problemi: - traccia due cerchi con centro in due punti A e B e raggio di 3 cm; - trova un punto le cui distanze dai punti A e B siano entrambe di 3 cm. In entrambi i casi è possibile trovare una soluzione utilizzando un compasso. Ancora il compasso, inteso come artefatto cognitivo, è nel primo caso orientato verso l esterno (per produrre un disegno) e nell ultimo caso è orientato sia all interno che all esterno, dal momento che esso produce allo stesso tempo sia un disegno che una costruzione geometrica L approccio strumentale di Rabardel Gli esempi precedenti mostrano che la relazione tra artefatti e sapere è complessa e richiede una attenta analisi perché siano evitate eccessive semplificazioni. Negli ultimi decenni una nuova categoria di artefatti è divenuta rapidamente disponibile: gli artefatti di natura informatica. E banale riconoscere che essi hanno potenziato e modificato il modo di pensare degli esseri umani. Il loro ingresso nella scuola ha, da un lato, incoraggiato gli educatori a riformulare i curricoli e, dall altro, ha richiamato l attenzione sulle relazioni tra gli studenti e i computer. Questo fatto spiega la diffusione di studi caratterizzati da approcci strumentali (Rabardel, 1995), nei quali si studia la complessità del contesto in cui ha luogo l attività degli studenti. L approccio strumentale di Rabardel si basa sulla differenza fondamentale tra artefatto e strumento. Fino ad ora, la parola artefatto è stata utilizzata come un termine generico per indicare qualcosa prodotto dagli esseri umani. In questa sezione il significato verrà specificato e paragonato con la parola strumento, anch essa da utilizzare in senso tecnico. Tale distinzione conduce ad analizzare separatamente le potenzialità di un artefatto e il reale utilizzo che è consentito, non separando le intenzioni del progettista da ciò che accade nell uso pratico, per sottolineare sia la prospettiva oggettiva che 32

8 quella soggettiva. Secondo la terminologia di Rabardel, l artefatto è l oggetto materiale o simbolico di per sé (o una parte di un artefatto complesso). Uno degli esempi offerti da Rabardel riguarda il braccio di un robot controllato da un dispositivo che può muovere oggetti nello spazio (Rabardel e Samurçay, 1991). Lo strumento è definito da Rabardel come un entità mista composta sia da componenti legate alle caratteristiche dell artefatto che le componenti soggettive (schemi d uso). Questa entità mista tiene conto dell oggetto e ne descrive l utilizzo funzionale per il soggetto. Gli schemi d uso sono progressivamente elaborati nel corso dell azione determinata da un compito particolare; così lo strumento è la costruzione di un individuo, ha un carattere psicologico ed è strettamente collegata al contesto in cui ha origine e sviluppo. Possiamo citare, a questo riguardo, un brano classico di Leont ev (1964/76, p. 315) che descrive la costruzione da parte del bambino degli schemi d uso di un artefatto semplice come una tazza: Quando un adulto prova per la prima volta a far bere un bambino dalla tazza, il contatto con il liquido provoca nel bambino movimenti riflessi incondizionati [ ] tuttavia, molto presto, il bambino impara a bere correttamente dalla tazza, i suoi movimenti, cioè, si riorganizzano in modo che la tazza viene adoperata in conformità alla sua destinazione. Il suo bordo viene stretto dall alto al labbro inferiore e la bocca del bambino si distende, la punta della lingua tocca la superficie interna della mascella inferiore, le narici si allargano e il liquido scorre dalla tazza inclinata nella bocca. Nasce un sistema motorio funzionale nuovo, che realizza l atto del bere includendo in sé nuovi elementi. L azione dell adulto che aiuta il bambino ad orientare e controllare i suoi movimenti appare essenziale. L imitazione dei comportamenti degli adulti che usano artefatti (oltre alla particolare forma di questi ultimi) sta alla base della costruzione degli schemi d uso nell età infantile. Si vedano nella pagina seguente, ad esempio, le foto riprese da: due bambini (di 11 e 13 mesi) usano due artefatti della vita quotidiana dei loro rispettivi gruppi sociali (un machete; un libro illustrato), mostrando schemi d uso simili a quelli degli adulti delle loro comunità (tagliare; leggere). 33

9 Fig.1 Fig.2 L elaborazione e l evoluzione degli strumenti è un processo lungo e complesso che Rabardel denomina genesi strumentale. La genesi strumentale può essere articolata in due processi: - strumentalizzazione, relativa alla comparsa e all evoluzione delle diverse componenti dell artefatto, per esempio la progressiva ricognizione dei suoi potenziali e dei suoi limiti; - strumentazione, relativa alla comparsa e allo sviluppo degli schemi di utilizzo. I due processi sono orientati sia verso l esterno che verso l interno, rispettivamente dal soggetto all artefatto e viceversa, e costituiscono le due parti inseparabili della genesi strumentale (Rabardel, 1995). Gli schemi di utilizzo possono o meno coincidere con gli obiettivi pragmatici per i quali l artefatto è stato designato, fondamentalmente essi sono in relazione con l esperienza fenomenologica dell utente, e secondo tale esperienza essi possono essere modificati o integrati. Rabardel teorizza l impatto dell uso degli strumenti sull attività cognitiva: l uso di uno strumento non è mai neutro (Rabardel e Samurçay, 2001), al contrario esso dà origine ad una riorganizzazione delle strutture cognitive, così come mostrato nel classico esempio dell evoluzione nella concettualizzazione dello spazio durante l attività mediata dal robot. La dimensione sociale è definita da Rabardel nel descrivere l azione reciproca che avviene tra gli schemi di utilizzo individuali e gli schemi sociali. In particolare, espliciti processi di addestramento, possono incrementare una vera e propria appropriazione da parte dei soggetti (op.cit.). L approccio di Rabardel è stato sviluppato nel campo dell ergonomia 34

10 cognitiva, dunque non mira ad affrontare tutte le esigenze della ricerca educativa nella scuola. Esso è, tuttavia, divenuto assai diffuso ed è stato impiegato in diversi studi di ricerca sull educazione matematica e in particolare la didattica negli ambienti informatici. Questo approccio si è mostrato molto potente ed ha gettato luce su alcuni aspetti cruciali soprattutto collegati alle possibili discrepanze tra i comportamenti degli allievi e le aspettative degli insegnanti (Lagrange, 1999; Artigue, 2002; Guin, Ruthven & Trouche, 2004). Come verrà spiegato in seguito, l approccio strumentale deve essere ulteriormente elaborato per adattarsi alla complessità dell attività nella classe e in particolare dell insegnamento-apprendimento della matematica; infatti esso può offrire un quadro per analizzare i processi cognitivi collegati all uso di un artefatto specifico e di conseguenza a quello che sarà considerato il suo potenziale semiotico L approccio di Vygotskij agli artefatti La nozione di artefatto cognitivo, introdotta da Norman, ed alcune delle idee ad essa collegate hanno le sue basi nel lavoro di Vygotskij (e dei suoi successori, come Luria, 1976, Leont ev, 1976/1964, si veda anche Wertsch, 1985). La prospettiva Vygotskiana, che include una dimensione evolutiva, interpreta la funzione degli artefatti cognitivi come elemento principale dell apprendimento e, per tale ragione, sembra offrire un adeguata cornice per studiare l uso degli artefatti nel campo dell educazione. Nelle pagine seguenti ci limiteremo a riassumere brevemente alcuni elementi, per poter raggiungere molto velocemente lo scopo specifico di tale capitolo, in altre parole la definizione precisa di strumento di mediazione semiotica, e la sua applicazione nelle ricerche sulla didattica della matematica in classe. Vygotskij, confrontando gli animali e gli esseri umani, ha postulato due linee per l origine dell attività mentale umana: la linea naturale (per le funzioni mentali elementari) e la linea sociale/culturale (per le funzioni psichiche superiori). La natura specifica dello sviluppo cognitivo umano è il prodotto dell intreccio di queste due linee. Ciò che pare interessante, specialmente quando studiamo lo sviluppo durante l età scolare, e in particolare all interno del contesto scolastico, è l evoluzione dello cognizione umana come effetto dell interazione sociale e culturale. Questi due elementi (sociale e culturale) trovano corrispondenza nei due concetti chiave introdotti da Vygotskij: quello della zona di sviluppo prossimale e quello di interiorizzazione, e in particolare nel ruolo cruciale dell uso degli artefatti che Vygotskij ha postulato in relazione al processo di interiorizzazione. 35

11 2.3.1 La zona di sviluppo prossimale: sviluppo e apprendimento Il concetto di zona di sviluppo prossimale modella il processo di apprendimento attraverso l interazione sociale ed è definito da Vygotskij come la distanza tra il livello reale di sviluppo del soggetto determinato dalla capacità di risolvere da solo un problema e il livello di sviluppo potenziale determinato dalla capacità di risolvere il problema sotto la guida dell adulto o in collaborazione con un suo coetaneo più capace. (1978, p.86). Secondo tale definizione lo sviluppo è perciò possibile grazie alla collaborazione tra un individuo, le cui attitudini cognitive presentano un potenziale che può modificarsi e un altro individuo (o una collettività) che coopera intenzionalmente, per perseguire uno scopo comune. Senza entrare nel dibattito riguardante la relazione tra sviluppo e apprendimento, noi sosteniamo che l asimmetria della definizione di zona di sviluppo prossimale ben si adatta, nel contesto scolastico, con l intrinseca asimmetria che si ritrova nella relazione tra insegnante e alunni relativamente alla conoscenza. Similmente, sosteniamo che la nozione di zona di sviluppo prossimale sottolinea la necessità di armonizzare l attitudine potenziale che l allievo ha verso l apprendimento con l azione dell insegnante. Nella zona di sviluppo prossimale lo sviluppo cognitivo è modellato dal processo di interiorizzazione L interiorizzazione Il processo di interiorizzazione, definito da Vygotskij (1978, p. 56) come la ricostruzione interna di un operazione esterna descrive il processo di costruzione della conoscenza individuale come generato da esperienze sociali condivise. La relazione tra processi interni (o psichici) ed esterni (dipendenti dall interazione sociale) è un problema molto dibattuto in psicologia, con opzioni teoriche diverse. L approccio Vygotskiano, sviluppato successivamente da altri autori (come Leont ev, 1976; Luria, 1976), suppone una stretta dipendenza dei processi interni da quelli esterni e una relazione secondo la quale i processi esterni vengono trasformati per generare quelle che Vygotskij chiama funzioni psichiche superiori. Per la prima volta in psicologia, ci troviamo di fronte ad un problema così importante come quello della relazione tra funzioni mentali interne ed esterne ogni processo interno superiore è sempre stato esterno, cioè è stato per gli altri ciò che ora è per il soggetto. Ogni funzione psichica superiore, necessariamente attraversa un passaggio esterno nel suo sviluppo perché inizialmente è una funzione sociale. Questo è il centro dell intero problema del comportamento interno ed esterno Quando parliamo di un processo, con il termine 36

12 esterno intendiamo sociale. Ogni funzione psichica superiore è stata esterna poiché è stata sociale in qualche momento prima di divenire una funzione interna, veramente mentale (Vygotskij, 1981, p. 162, citato da Wertsc & Allison, 1985, p. 166). Due sono gli aspetti principali che caratterizzano il processo di interiorizzazione, così come viene assunto dalla prospettiva vygotskiana: Il processo esterno è essenzialmente sociale Il processo di interiorizzazione è diretto da processi semiotici In effetti, come conseguenza della sua natura sociale, il processo esterno possiede una dimensione comunicativa che implica la produzione e l interpretazione dei segni. Ciò significa che il processo di interiorizzazione ha la propria base nell uso dei segni (principalmente il linguaggio naturale ma anche ogni tipo di segni, dai gesti a quelli più sofisticati come il sistema semiotico matematico) nello spazio interpersonale (Cummins, 1996). Per tale ragione, l analisi del processo di interiorizzazione può essere centrata sull analisi del funzionamento del linguaggio naturale e di ogni altro sistema semiotico che sia implicato in attività sociali (Wertsch & Addison Stone, 1985, pp ) Il sistema dei segni nel processo di interiorizzazione Come è noto, Vygotskij ha focalizzato l attenzione sullo studio del funzionamento del linguaggio naturale, cioè quello dei processi semiotici collegati all apprendimento e all uso del linguaggio (in particolare l uso delle parole, considerate dallo studioso l unità di analisi). L uso delle parole e delle forme linguistiche, è interpretato secondo l ipotesi generale che lo sviluppo del bambino consiste in una appropriazione progressiva e un uso riflessivo dei modi di comportamento che gli altri usano nei suoi confronti. L analisi del processo di interiorizzazione va dunque centrata sull analisi del funzionamento del linguaggio naturale ed altri sistemi semiotici usati nella società. L uso dei segni nella soluzione di un compito possiede due importanti funzioni cognitive: il soggetto produce segni da un lato proprio per realizzare il compito, dall altro per comunicare con i diversi compagni che collaborano a tale compito. Nel secondo caso, la produzione di segni risulta strettamente legata al processo di interpretazione che permette lo scambio di informazione e, conseguentemente, la comunicazione. Le funzioni psichiche superiori si sviluppano attraverso la produzione ed interpretazione dei segni: in particolare parlare (o scrivere) e interpretare cosa viene 37

13 detto (o scritto), in altre parole, interagire attraverso la comunicazione. Questa osservazione si rende necessaria e cruciale, poiché la funzione cognitiva relativa all uso dei segni cambia a seconda della funzione che i segni hanno nell attività. Questa distinzione emergerà in seguito quando introdurremo la nozione di strumento di mediazione semiotica Artefatti e segni Vygotskij ha mostrato che, nella sfera pratica, gli esseri umani utilizzano artefatti per raggiungere scopi altrimenti non raggiungibili, mentre le attività mentali sono supportate e sviluppate per mezzo dei segni prodotti nei processi di interiorizzazione, che nella terminologia vygotskiana vengono anche definiti strumenti psicologici. I primi sono orientati verso l esterno, mentre gli altri sono orientati verso l interno. Tale prospettiva è perfettamente coerente con quanto precede: il fondamentale ruolo degli artefatti nello sviluppo cognitivo è largamente riconosciuto e, a differenza di altri approcci psicologici che separano chiaramente gli artefatti tecnologici e concreti dai segni, la prospettiva vygotskiana afferma un analogia tra di essi. Così, Vygotskij sostiene che l invenzione e l utilizzo dei segni come mezzi ausiliari per la risoluzione di un problema dato (ricordare, confrontare qualcosa, scegliere e così via), sono analoghe all invenzione e all utilizzo di strumenti sotto il profilo psicologico. I segni hanno funzione di strumento durante l attività psicologica, analogamente al ruolo di un utensile nel lavoro. (Vygotskij, 1978, p.52). Nella maggior parte della letteratura successiva i segni sono stati interpretati come segni linguistici (Hasan, 2005), e questo per la grande importanza attribuita da Vygotskij al linguaggio. Ma lo psicologo russo, anche senza elaborare nei dettagli i vari casi, ha suggerito una serie più ampia di possibili esempi: si possono citare alcuni esempi di strumenti psicologici e dei loro complessi sistemi, come segue: il linguaggio, vari sistemi di conteggio, tecniche mnemoniche, sistemi simbolici algebrici, opere d arte, scrittura, schemi, diagrammi, mappe, disegni meccanici e tutti i tipi di segni convenzionali, ecc. (Vygotskij, 1981, p. 137). Alcuni di essi sono legati alla matematica e, dunque, al campo dell educazione matematica in generale. Ciò non deve sorprendere, se si pensa alla particolare natura degli oggetti matematici, che richiede una rappresentazione esterna di essi per poterli manipolare (Duval, 1995). 38

14 Mediazione Come già affermato, l analogia tra segni ed artefatti si basa sulla funzione di mediazione che entrambi hanno nello svolgimento di un compito. Considerata la centralità di questa funzione nella discussione che seguirà, si pensa sia necessario chiarire alcune parole chiave per spiegare cosa si intende per mediazione. Hasan (2005) afferma che il sostantivo mediazione deriva dal verbo mediare, che si riferisce ad un processo con una complessa struttura semantica che include i seguenti partecipanti e circostanze che sono potenzialmente rilevanti in questo processo: 1. qualcuno che media, il mediatore; 2. qualcosa che viene mediato, il contenuto/forza/energia rilasciato dalla mediazione; 3. qualcuno/qualcosa soggetto alla mediazione, il ricevente a cui la mediazione apporta qualche differenza; 4. la circostanza della mediazione; a. i mezzi della mediazione, la modalità; b. il luogo, il sito in cui la mediazione può avvenire. Queste complesse relazioni semantiche non sono evidenti in ogni uso grammaticale del verbo, ma sommerse sotto la superficie e possono essere riportate alla luce tramite associazioni paradigmatiche, per esempio le loro relazioni sistemiche (Hasan, 2002). La mediazione è un termine molto comune all interno della letteratura educativa. Il termine è usato proprio per riferirsi alla potenzialità di incoraggiare la relazione tra gli allievi e la matematica, e soprattutto in relazione allo svolgimento di un compito. L idea di mediazione in relazione alle tecnologie informatiche è ampiamente presente nella letteratura attuale sull educazione matematica. A partire dall affermazione che è necessario superare la dicotomia tra esseri umani e tecnologie, l unità tra esseri umani e media diviene l obiettivo fondamentale: lo strumento diviene trasparente (Meira, 1998), il violino è tutt uno con il violinista (Moreno, in corso di stampa). Borba (2005) discute le potenzialità di queste circostanze, creando un termine specifico: umani-con-media. Chiappino & Bottino (2002) sottolineano il fatto che gli artefatti non solo consentono ma anche vincolano l azione del soggetto sull oggetto: L introduzione di un nuovo artefatto in una attività influenza sia le norme che regolano l interazione dei partecipanti nell attività che i ruoli che i partecipanti possono assumere. In questo modo essi affrontano alcuni aspetti della complessità delle interazioni nella classe, in particolare l interazione tra pari mediata da un software. Più di altri, Noss & Hoyles (1996, p. 6) sottolineano la prospettiva della comunicazione: la funzione di mediazione 39

15 del computer è legata alla possibilità di creare un canale di comunicazione tra insegnante e allievo, basato essenzialmente su una lingua condivisa. Tutte queste posizioni sono coerenti con il modello di Hasan, anche se non tutti gli elementi di quest ultimo ricevono la stessa attenzione. Il modello di Hasan è inserito esplicitamente nella cornice vygotskiana e include tutti gli elementi rilevanti per quanto riguarda la modellizzazione delle attività di insegnamento-apprendimento da un punto di vista semiotico. Prima di procedere è necessaria una ulteriore elaborazione delle idee vygotskiane per ciò che riguarda la natura e il ruolo del mediatore e le caratteristiche delle circostanze in cui si realizza la mediazione Un particolare tipo di mediazione: la mediazione semiotica Secondo la fondamentale ipotesi Vygotakiana citata, durante lo svolgimento di un compito avviene l uso sociale di artefatti (da parte del mediatore e del ricevente) e si producono segni condivisi. Da una parte, questi segni sono legati allo svolgimento di un compito, in particolare all artefatto utilizzato, dall altra essi possono essere in relazione al contenuto che deve essere mediato (si veda il punto 2 nel modello di Hasan). Dunque, il legame tra artefatti e segni supera la pura analogia del loro funzionamento per la mediazione di un attività umana. Essa si appoggia sulla relazione riconoscibile e reale tra particolari artefatti e particolari segni che nascono direttamente dai primi, come sarà illustrato nell esempio dell abaco. Il legame tra artefatti e segni può essere facilmente riconoscibile, ma quello che deve essere sottolineato è il legame tra i segni e i contenuti da mediare e il modo in cui tutti questi legami possono essere sfruttati in una prospettiva educativa Un artefatto culturale come strumento di mediazione semiotica La relazione tra artefatti e segni all interno della risoluzione di un compito ha una controparte nello sviluppo storico/culturale del sapere, dove tale relazione è cristallizzata nella conoscenza condivisa della società (Leont ev, 1964/1976, p.245) ed espressa dal sistema condiviso di segni, che si tratti di linguaggio naturale o di sistemi più specializzati di diversi domini scientifici. Un legame potenziale con gli artefatti può, in linea di principio, essere ricostruito anche nei casi in cui sembra completamente perduto (Wartofsky, 1979). Il nostro approccio elabora questo assunto in una prospettiva educativa ed in particolare all interno del contesto scolastico. Il punto principale è quello di sfruttare il sistema di relazioni tra artefatto, compito e conoscenza matematica. Da un lato un artefatto è messo in relazione ad un compito specifico (si 40

16 vada la definizione di strumento data da Rabardel) a cui fornisce mezzi di soluzione adatti, d altra parte lo stesso artefatto è collegato ad una specifica conoscenza matematica. In ciò, un doppio legame semiotico è riconoscibile tra un artefatto e una conoscenza. In tal senso è possibile parlare della polisemia di un artefatto. In linea di principio, un esperto può dominare tale polisemia, anche se in molti casi ciò può avvenire in modo inconscio Polisemia degli artefatti e nascita dei segni La polisemia dell artefatto trova una controparte nell esistenza di sistemi paralleli di segni, che a volte si sovrappongono o semplicemente si fondono all interno dello stesso sistema semiotico, secondo il modello di Wartofsky (1979). Secondo questo autore, il termine artefatto deve essere inteso in senso ampio; dunque, aggiungiamo, può comprendere strumenti come i martelli, i compassi, gli abaci, i software, ma anche i testi, le fonti storiche, il linguaggio verbale, i gesti, i film didattici, gli esperimenti dei musei della scienza, le teorie matematiche ecc..wartofsky (1979), identifica tre tipologie di artefatto: artefatto primario, strumento tecnico orientato verso l esterno, direttamente usato per scopi intenzionali (ad esempio compasso, prospettografi, curvigrafi, ), artefatto secondario, strumento psicologico orientato verso l interno, usato nel mantenimento e nella trasmissione di specifiche competenze tecniche acquisite (ad esempio scrittura, schemi, tecniche di calcolo, trattati d uso, ) e artefatto terziario, sistema di regole formali che hanno perso l aspetto pratico legato allo strumento (ad esempio le teorie matematiche). Da un lato la relazione tra artefatto e conoscenza può essere espressa da alcuni segni, culturalmente determinati, prodotti dallo sviluppo culturale e cristallizzanti il significato delle operazioni compiute con l artefatto; dall altro, la relazione tra l artefatto e il compito può essere espressa dai segni, spesso contingenti alla situazione determinata dalla soluzione di un compito particolare; comunque, una caratteristica fondamentale di tali segni è che il loro significato mantiene un forte legame con le operazioni svolte. 41

17 Fig.3 Gesti, disegni o parole possono essere i diversi mezzi semiotici utilizzati per produrre questi segni, la produzione dei quali può essere spontanea o esplicitamente richiesta dal compito stesso. Può inoltre succedere che l esperto introduca i nuovi significati di questi segni. Questo ultimo caso pare rilevante da una prospettiva educativa (si veda Douek, 1999). La relazione (si veda la figura sopra) tra questi due sistemi paralleli di segni, correlati ad un artefatto, non è certamente né evidente né spontanea. È proprio per questa ragione che noi affermiamo che: la costruzione di questa relazione diventa un cruciale scopo educativo che può essere realizzato promuovendo l evoluzione dei segni che esprimono la relazione tra l artefatto e i compiti in segni che esprimono la relazione tra artefatto e conoscenza. I segni che emergono dalle attività svolte con gli artefatti, sono elaborati da un punto di vista sociale: in particolare, essi possono essere intenzionalmente utilizzati dall insegnante per sfruttare i processi semiotici, con lo scopo di guidare l evoluzione dei significati all interno della classe. In particolare, l insegnante può guidare lo sviluppo verso ciò che è riconoscibile come matematica. Dal nostro punto di vista questo corrisponde al legame tra sensi personali (nella prospettiva di Leont ev, 42

18 1964/1976, p. 244) e significati matematici, ovvero alla relazione tra concetti quotidiani e concetti scientifici (Vygotskij, 1934/1990, p. 286). Così facendo, l insegnante agirà sia a livello cognitivo che meta-cognitivo, in entrambi i casi promuovendo lo sviluppo dei significati e guidando gli alunni alla consapevolezza del loro status matematico. In sintesi: Da un lato i significati personali sono legati all uso di artefatti, in particolare allo scopo di svolgere un compito; dall altro i significati matematici possono essere legati all artefatto e al suo uso. A causa di questa doppia relazione, l artefatto può funzionare come un mediatore semiotico e non semplicemente come un mediatore, ma una tale funzione di mediazione semiotica non è attivata automaticamente; noi sosteniamo che la funzione di mediazione semiotica di un artefatto possa essere utilizzata da un esperto (in particolare l insegnante) che sia consapevole del potenziale dell artefatto sia in termini di significati matematici che in termini di significati personali. Tale evoluzione è favorita dall azione dell insegnante, che guida il processo di produzione e sviluppo dei segni centrati sull utilizzo di un artefatto. In termini di mediazione noi possiamo esprimere questo complesso processo come segue: l insegnante agisce come mediatore che utilizza l artefatto per mediare contenuti matematici agli studenti. In altre parole: l insegnante utilizza l artefatto come strumento di mediazione semiotica A causa dell importanza culturale di questo processo, noi possiamo definire l insegnante un mediatore culturale. Tale espressione non si riferisce all atto concreto dell utilizzare uno strumento per svolgere un compito, piuttosto al fatto che significati nuovi, legati al reale utilizzo di uno strumento, possono essere generati e possono evolvere sotto la guida di un esperto. 43

19 Ciclo didattico La struttura di una sequenza di insegnamento può essere evidenziata come una iterazione di cicli, dove differenti tipologie di attività prendono posto, finalizzate allo sviluppo del complesso processo semiotico descritto sopra. Gli elementi minimi individuabili all interno di un ciclo didattico possono essere così rappresentati: Attività con gli artefatti Ruolo dell insegnante: progetto Produzione individuale di segni Ruolo dell insegnante: gestione Produzione collettiva di segni (Discussione matematica) s o t t o la g u id a d e ll in s e g n a n t e Fig.4 Attività con artefatti: gli studenti devono affrontare compiti che devono essere svolti tramite l utilizzo di artefatti. Questo tipo di attività è generalmente utilizzato come attività di inizio di un ciclo che promuove l uso di segni specifici in relazione all uso di particolari artefatti o strumenti, come il lavoro a coppie, o piccolo gruppo, con l artefatto che promuove lo scambio sociale, accompagnato da parole, schemi, gesti. Produzione individuale di segni (per esempio disegnare, scrivere). Gli studenti sono coinvolti individualmente in diverse attività semiotiche, concernenti soprattutto produzioni scritte. Ad esempio, dopo aver utilizzato un artefatto, agli studenti è richiesto di scrivere, a casa, un resoconto individuale della loro esperienza e relative 44

20 riflessioni, inclusi dubbi e domande che sono sorti. Nel caso di bambini piccoli, i compiti specifici vengono definiti chiedendo di disegnare, per esempio spiegare attraverso un disegno il funzionamento di un artefatto. Si può anche chiedere loro di scrivere, sul proprio taccuino di matematica, la principale formula matematica proveniente dalla discussione collettiva (si veda sotto). Tutte queste attività sono centrate su processi semiotici, per esempio la produzione e l elaborazione di segni, legati alle precedenti attività con gli artefatti. Sebbene l interazione sociale durante tali attività, o la discussione collettiva che le segue coinvolgano anche processi semiotici, questo tipo di attività differiscono nel fatto che richiedono un contributo personale al fine di produrre testi scritti e, conseguentemente segni grafici, che per la loro stessa natura cominciano ad essere separati dalla contingenza dell azione situata. A causa della loro natura e diversamente da altri segni, come i gesti, i segni scritti (in particolare le parole) sono permanenti e possono essere condivisi; possono essere utilizzati in discussioni collettive e anche divenire oggetto stesso della discussione. Questo può farli evolvere. Produzione collettiva di segni (per esempio, narrativa, mimica, produzione collettiva di testi e disegni). Tra le altre discussioni collettive, la Discussione Matematica (Bartolini Bussi, 1998) gioca un ruolo cruciale. Le discussioni collettive costituiscono una parte essenziale nel processo di insegnamento-apprendimento e rappresentano il cuore del processo semiotico, sul quale l insegnamento-apprendimento è basato. In una discussione matematica l intera classe è collettivamente impegnata in un discorso matematico, solitamente lanciato dall insegnante, che formula esplicitamente l argomento della discussione. Per esempio, dopo le sessioni in cui si è risolto un problema, le varie soluzioni sono discusse collettivamente, ma può anche accadere che i testi scritti dagli studenti vengano collettivamente analizzati, commentati, elaborati. Molto spesso, e talvolta esplicitamente, esse sono reali discussioni matematiche, nel senso che la loro caratteristica principale è che l insegnante fa da guida per correlare esperienza personale, significato matematico e l uso di segni specifici (il più delle volte termini matematici) (Bartolini Bussi, 1998). Il ruolo dell insegnante è cruciale, infatti lo sviluppo dei segni in segni matematici, principalmente legati all attività con artefatti, non è né semplice né spontaneo, è proprio per questa ragione sembra richieda la guida dell insegnante. È piuttosto difficile spiegare completamente la natura di tale guida, che non può essere completamente assimilata a ciò che viene definito il processo di istituzionalizzazione (Brousseau, 45

21 1997), sebbene sia compatibile con esso. L obiettivo principale dell azione dell insegnante in una discussione matematica è quello di promuovere il movimento verso segni matematici, tenendo in considerazione i contributi individuali e sfruttando i potenziali semiotici che provengono dall utilizzo di particolari artefatti. L analisi semiotica condotta ci conduce ad assumere la presenza di una particolare categoria di segni. I criteri di tale classificazione si riferiscono allo statuto di questi segni nel processo di sviluppo, così com è previsto nel ciclo didattico, dai segni legati all attività con gli artefatti verso segni matematici che sono da relazionare ai significati matematici condivisi dalla comunità, e di solito espressi da una definizione matematica. I diversi segni possono essere identificati nel processo evolutivo assunto sopra, generando ciò che viene definito una catena semiotica, similmente alla catena di significati come Warlkendine (1990) la descrive: Producendo una catena particolare di relazioni di significati, nella quale il riferimento esterno è soppresso e tuttavia è tenuto là in una catena di significati che si sposta gradualmente (Warlkendine, 1990, p. 121). Tale catena semiotica muove da segni altamente contestualizzati, strettamente legati all uso di artefatti, verso segni matematici che sono l obiettivo dell attività di insegnamento-apprendimento. Oltre la categoria dei segni matematici, noi abbiamo identificato altre due categorie caratterizzate dalla loro funzione nel processo di mediazione semiotica Categorie di segni Ci sono sostanzialmente tre tipi di segni: i segni matematici, i segni artefatto e i segni pivot. Segni matematici, che si riferiscono al contesto matematico, ad esempio la parola <decina> o <funzione>, con i significati matematici condivisi dalla comunità dei matematici. Essi possono essere espressi da una definizione. Segni artefatto, che si riferiscono al contesto di utilizzo degli artefatti e molto spesso fanno riferimento ad una delle sue parti e/o all azione realizzata tramite esso. Questi segni nascono dall attività svolta con l artefatto, i loro significati sono personali e comunemente impliciti, strettamente legati all esperienza del soggetto, essi probabilmente sono legati a ciò che Ratford (2003) definisce generalizzazione contestuale, ossia una generalizzazione che si riferisce fortemente alle azioni del soggetto nel tempo e nello spazio e nel preciso contesto del compito. Estendendo la terminologia di Noss e Hoyles (1997), si può parlare di segni situati. Contrariamente a 46

22 ciò che ci si può aspettare, può succedere che non emergano significati condivisi per i segni di un artefatto, ma il riferimento diretto ad una esperienza comune può assicurare la possibilità di negoziare un significato condiviso all interno della classe. Sebbene possa succedere che i segni si manifestino spontaneamente, sicuramente essi appaiono e i significati vengono espressi a seconda del bisogno specifico legato al contesto, in particolar modo sotto lo stimolo di un compito specifico: Quando il compito richiesto deve essere portato avanti in coppia: questo genera il bisogno di comunicare e conseguentemente la produzione di segni. Quando viene richiesto di elaborare un resoconto scritto, sia esso accompagnato o meno da disegni. Quando agli alunni viene richiesto di preparare una relazione scritta relativamente a ciò che hanno fatto: sintetizzare il contenuto di una discussione, rendere espliciti i loro dubbi, ecc. Questa categoria di segni di artefatti include tanti e diversi tipi di segni e, ovviamente, i segni non verbali come gesti o disegni, o combinazioni di essi (Arzarello 2006). Anche se i nostri esempi non prenderanno in considerazione il caso dei gesti, vogliamo sottolineare che quello che diciamo consiste e, per certi aspetti, è complementare all analisi di Arzarello. In effetti, i gesti sono spesso precursori di espressioni verbali, principalmente nel caso dell assenza di elementi verbali adatti. I segni-artefatto, a causa del loro diretto riferimento all artefatto e al suo utilizzo, sono soprattutto impiegati per identificare un particolare aspetto dell artefatto da mettere in relazione ai significati matematici che sono l oggetto dell intervento. Essi sono gli elementi di base dello sviluppo del processo semiotico centrato sull utilizzo di artefatti e finalizzato alla costruzione della conoscenza matematica. Di fatto, l insegnante crea una rete semiotica mettendo in relazione i segni di artefatti a segni matematici. In questo lungo e complicato processo un ruolo cruciale è svolto dagli altri tipi di segni, che sono stati definiti segni pivot. Segni pivot, che, come illustrerà l esempio seguente, hanno la caratteristica della polisemia, cioè possono riferirsi sia all attività con l artefatto, che anche al linguaggio naturale e al dominio matematico. La loro polisemia fa sì che essi possano essere utilizzati come perno per favorire il passaggio dal contesto di artefatto al contesto matematico. Molto spesso essi segnano un processo di generalizzazione, e questo è il caso di espressioni generiche come <oggetto/i> o <cosa/e>, come termini del linguaggio naturale che hanno una corrispondenza nella terminologia matematica. Il 47

23 loro significato è in relazione al contesto dell artefatto, ma assume generalità attraverso il suo utilizzo nel linguaggio naturale. Talvolta essi sono termini ibridi, prodotti e utilizzati all interno della classe, ed intendono esprimere un primo distacco dall artefatto, tuttavia mantenendo il legame con esso, per non perdere il significato. Il diagramma della fig.1 può ora essere rielaborato come appare nella fig.2. Fig Mediazione semiotica nella classe Il quadro teorico presentato può essere utilizzato per analizzare o per pianificare diverse esperienze di insegnamento coinvolgenti allievi di diverse età. Tratteremo in particolare esempi riguardanti le mani (capitolo 3), pallottolieri ed abaci (capitoli 4 e 5). Vedremo come nella prima situazione sia il corpo stesso ad assumere il ruolo di artefatto culturale, mentre nella seconda entrano in gioco artefatti che si ritrovano nella storia dell uomo fin dall antichità. 48

24 Il caso dell Abaco Analisi del potenziale semiotico: l abaco e il sistema posizionale di rappresentazione dei numeri L abaco, nelle sue diverse forme di tavole di conteggio, è un artefatto culturale ben conosciuto. La sua origine è correlata alla storia del conteggio e della registrazione. I segni avevano due funzioni principali: essi servivano come contatori per calcolare quantità di beni, erano cioè espedienti mnemonici utilizzati per immagazzinare dati, con lo scopo di avere tanti articoli (segni, palline, tacche) quanti gli oggetti (animali, giorni, pezzi di cibo); le tavole di conteggio con palline o gettoni furono poi utilizzate per fare computi (specialmente addizioni e sottrazioni). L idea di base era quella di interrompere la raccolta di unità-palline e trattare il gruppo invece che l individuo. Ogni gruppo veniva rappresentato da una pallina (segno) che, per poter essere distinta da una unità, veniva posta in una diversa posizione in una tavola o tavoletta divisa in colonne o strisce. Il numero di palline all interno di ogni gruppo era definito dalla base, solitamente cinque o dieci, come ricordo dell antica numerazione attraverso le dita o le mani. Per secoli, questa strategia fu utilizzata per fare calcoli e non per la rappresentazione scritta dei numeri. Così, nei calcoli la gente utilizzava un sistema valutativo avanzato (dove anche le colonne vuote erano permesse) mentre nella scrittura venivano utilizzati diversi tipi di segni (si veda Menninger 1958, p.223). Per fare addizioni, i due numeri erano rappresentati insieme nello stesso abaco, prima di raggruppare i gettoni (se necessario) in ogni colonna. Lo storico processo di costruzione di significati aritmetici ha lasciato tracce nei segniartefatto che originano dalle pratiche antiche e, in alcuni casi, sono divenuti veri simboli matematici, per esempio: - il nome stesso dell abaco, proveniente dalla parola greca abax (a sua volta dall ebraico abaq, ossia polvere o sabbia utilizzata come superficie di scrittura); - il nome stesso dell attività (calculus) per indicare le palline (calculi in latino); - il nome stesso di zero per indicare lo spazio vuoto in alcune colonne (si veda Menninger, 1958: 401). L utilizzo dell abaco nello svolgimento di addizioni può essere sostituito o evocato da una rappresentazione scritta dei numeri focalizzata solo sulla posizione. La perdita di materialità permette di prendere distanza dai fatti empirici. 121

25 Un esperimento di insegnamento in prima elementare Questo esempio serve per illustrare come può essere utilizzato il quadro presentato nel secondo capitolo per analizzare e, soprattutto, per pianificare interventi didattici efficaci a livello di prima elementare. Riprendiamo allora la definizione di mediazione semiotica indicata da Hasan (si veda cap. 2). In generale: - il mediatore è l insegnante; - il contenuto/forza/energia è il contenuto del sapere; - il ricevente è l alunno/i; - la circostanza della mediazione è l attività di insegnamento-apprendimento; - la modalità è il ciclo didattico; - il sito, il luogo in cui la mediazione può avvenire è la classe. Nel nostro caso, l insegnante utilizza l artefatto come strumento di mediazione semiotica. - il mediatore è l insegnante Mara Boni; - il contenuto/forza/energia è la rappresentazione polinomiale dei numeri naturali in base dieci (il problema sintattico che abbiamo osservato in precedenza); - il ricevente sono gli alunni; - la circostanza della mediazione è la particolare attività di insegnamentoapprendimento che verrà descritta; - la modalità è un ciclo didattico aumentato, nel senso che rispetto al ciclo didattico standard, è presente un ulteriore attività; - il sito, il luogo in cui la mediazione avviene è una prima elementare. Il problema didattico che viene trattato è relativo ad incertezze ed errori sistematici commessi dagli allievi, ampiamente documentati nella letteratura internazionale, ancora alla fine della scuola elementare. Di seguito vengono riportati gli errori tipicamente commessi dagli alunni di scuola primaria nel momento in cui viene richiesto di trasformare i numeri dettati verbalmente nel codice posizionale decimale (Lucangeli, 2004). Gli errori possono essere classificati come errori del sistema dei numeri (comprensione e produzione) o come errori di calcolo. 122

26 Per quanto riguarda il sistema dei numeri, gli errori sono attribuibili ai meccanismi lessicali e sintattici. Diverse ricerche dimostrano che la maggior parte degli errori commessi dai bambini, sia in produzione che in comprensione, è di tipo sintattico. Errori sintattici sono tutti quelli in cui risulta compromessa la capacità di stabilire i rapporti tra le cifre in una struttura sintattica corretta, pur rimanendo integra la capacità di codificare le singole cifre. Ad esempio, dato un numero composto da più cifre, il soggetto produce una risposta contenente tutte le cifre, ma di ordini di grandezza diversi (13-31; ). Questi infatti sembrano anche nascondere un apprendimento carente o non consolidato, come nei seguenti casi. 1.Errori di conteggio dovuti al mancato controllo della struttura sintattica, ad esempio: - 1, 2, 3, 4, 15, 16, 17 (rispetto dell incremento, ma confusione nella categoria lessicale); - 13, 14, 40, 41, 42 (mancato incremento della posizione e confusione del livello). 2.Mancato riconoscimento del valore dello zero nella transcodifica tra codice verbale (in cui la parola zero non viene utilizzata) e codice arabo (in cui lo 0 ha un valore posizionale al pari delle altre cifre), ad esempio: - scrivere 1047 quando viene dettato centoquarantasette ; - nella maggior parte dei casi lo zero viene utilizzato eccessivamente ogni volta che si incorre nei moltiplicatori -cento e -mila, ad esempio scrivere quando viene dettato trecentocinquantasei, quando viene dettato settecentocinquantuno, al posto di ottomilatrecentoventidue ecc.; - in altri casi lo zero viene utilizzato troppo poco, ad esempio 2609 quando viene dettato ventiseimilanove 3.Gli elementi miscellanei del lessico dei numeri vengono uniti ai numeri primitivi come potenze di 10 oppure con relazioni additive. Questa duplice funzione può essere confusa e dare origine a errori di due tipi: - relazioni moltiplicative rese additive (trecento = 103; tremilasettanta = 1073); - relazioni additive rese moltiplicative (centocinque = 500; centotrentadue = 3200). In sintesi, si tratta di errori di transcodifica, relativi cioè al passaggio dal codice numerico a quello verbale o viceversa. Pur sapendo contare oralmente e per iscritto in 123

27 uno dei due codici e avendo consolidato il significato di ciascun numero, è possibile avere difficoltà nel passaggio dallo stimolo uditivo a quello numerico o viceversa, a seconda di quale codice è meglio appreso. Per quanto riguarda i sistemi di calcolo, invece, gli errori analizzati dalla letteratura possono essere attribuiti a differenti categorie di difficoltà. 1. Errori nel recupero di fatti aritmetici: - errori di confine, determinati dalla inappropriata attivazione di tabellone confinanti (6 x 3 = 21) - errori di slittamento, in cui una cifra è corretta e l altra è sbagliata (4 x 3 =11). 2. Errori nella applicazione di procedure, le difficoltà possono riguardare i seguenti aspetti: - la scelta delle prime cose da fare per affrontare una delle quattro operazioni (incolonnamento o meno, posizione dei numeri, posizione del segno operatorio e di altri segni grafici come la riga separatoria, ecc.); - la condotta da seguire per la specifica operazione e il suo mantenimento fino a risoluzione ultimata. Ad esempio, per la sottrazione si ha la regola di togliere le unità dal sottraendo da quelle del minuendo e, se queste ultime sono minori, si deve prendere in prestito una decina dalla cifra precedente. Ad esempio, per svolgere 85 6 inizialmente si deve fare In molti casi il bambino ha presente che è impossibile sottrarre un numero più grande da un numero più piccolo, per cui prende per prima la cifra più grande dimenticando la regola della direzione, e così risulta 85 6 = 81; - il passaggio ad una nuova operazione. Il bambino persevera nel ragionamento precedente e applica procedure tipiche di un operazione (ad esempio una sottrazione) ad un altra (ad esempio un addizione); - la progettazione e la verifica. Spesso un bambino comincia immediatamente il processo di risoluzione senza un analisi iniziale che gli permetta di individuare difficoltà e strategie da utilizzare; una volta ottenuto, il risultato viene accettato senza riflettere sull operazione nella sua globalità. Di seguito analizzeremo pallottoliere e abaco. 124

28 Analisi del potenziale semiotico del pallottoliere Nel pallottoliere ci sono, dal punto di vista del significato matematico, una corrispondenza uno-a-uno (ogni volta che sposto una pallina, conto un oggetto) e l idea di raggruppamento per dieci (in ogni fila sono presenti dieci palline); In relazione alla corrispondenza uno-a-uno, gli schemi d uso che vengono attivati sono due: - sposta una pallina per ogni oggetto da contare (eventualmente da aggiungere); - contali tutti. In relazione al raggruppamento per dieci lo, schema d uso attivato è sostanzialmente uno: - conta un asta piena come dieci e le rimanenti palline come unità. Se introduciamo l abaco, possiamo notare che, dal punto di vista del significato matematico, rimangono la corrispondenza uno-a-uno e il raggruppamento per dieci, quindi gli schemi d uso restano infila una pallina per ogni oggetto da contare e, quando si tratta di piccoli numeri, contali tutti. Viene però introdotta, dal punto di vista del significato matematico, una novità: il cambio. Lo schema d uso allora diviene: cambia dieci palline sulla prima asta di destra con una pallina della seconda asta, cambia dieci palline sulla seconda asta con una pallina della terza asta, e così via. Se noi li confrontiamo, ci rendiamo conto che lo schema d uso contali tutti quando sono pochi crea un conflitto tra la situazione del pallottoliere e quella dell abaco, tant è vero che, più avanti, vedremo come i bambini conteranno le palline presenti sull abaco come fossero palline del pallottoliere. Questi due strumenti hanno quindi schemi d uso diversi che, come noteremo, entrano in conflitto al primo compito che viene assegnato. Quali sono i tipi di compiti che vengono assegnati all interno del particolare caso che ci accingiamo a descrivere? Innanzi tutto, i bambini devono memorizzare la sequenza numerica verbale, poi: 1. disegnare un pallottoliere 2. disegnare un abaco. Questi due tipi di compiti sono legati al fatto che il bambino deve familiarizzare con l artefatto in quanto tale (è costretto ad osservarlo e a focalizzare l attenzione sulle sue componenti: si veda il processo di strumentalizzazione di Rabardel); 125

29 3. rappresentare sul pallottoliere, e successivamente sull abaco, numeri dati in forma orale o scritta; 4. leggere e/o scrivere un numero rappresentato sul pallottoliere, e poi sull abaco; 5. leggere un numero rappresentato sull abaco grafico; e così via. Ciclo didattico agli elementi minimi in questo caso si aggiunge Dialogo scritto Fig.1 Abbiamo parlato di ciclo didattico aumentato perché, oltre a svolgere le attività descritte individuate nel secondo capitolo come gli elementi minimi l insegnante aggiunge un ulteriore funzione: il dialogo scritto, che viene messo in opera individualmente con ogni bambino. Esso possiede di per sé un potenziale semiotico molto forte, perché colloca segni scritti su un foglio, sui quali il bambino è costretto a riflettere, per poi costruire un ulteriore messaggio in risposta a quello dell insegnante che a sua volta, se necessario, lascia un nuovo feedback. In classe, tra settembre e dicembre, vengono svolte sistematicamente attività di memorizzazione della sequenza numerica orale, attività di conteggio, di scrittura di numeri (date, temperatura ecc.) per copiatura. Tra gennaio e febbraio viene introdotto il pallottoliere (un esemplare a 30 palline e uno a 100), che viene disegnato; vengono realizzate attività di rinforzo del conteggio sullo 126