Esercitazione 1: Equazione di bilancio. Tassi generici e specifici. Tassi di incremento. Viviana Amati

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1 Esercitazione 1: Equazione di bilancio. Tassi generici e specifici. Tassi di incremento Viviana Amati /04/009

2 La popolazione si muove Una popolazione è un insieme di individui che, accomunati da caratteristiche territoriali, o etniche, o sociali, o religiose o di altro tipo, risultano soggetti ad un processo di rinnovamento sotto il profilo quantitativo o qualitativo. Per esempio dai quattordici censimenti, tenutisi in Italia a partire dall unificazione fino ai giorni nostri, si osserva come la popolazione italiana si sia modificata dal punto di vista quantitativo nel corso del tempo (Tabella 1). Come misurare tali cambiamenti? Censimenti Popolazione 31 dicembre dicembre dicembre febbraio giugno dicembre aprile aprile novembre ottobre ottobre ottobre ottobre ottobre Tabella 1: Popolazione italiana (in migliaia) censita a partire dal 1861 L equazione di bilancio della popolazione La conoscenza del numero di unità che formano la popolazione oggetto d esame costituisce una delle informazioni base da cui partire per descrivere il collettivo demografico e analizzarne l evoluzione. Gli individui che compongono la popolazione sono sottoposti ad un processo di rinnovo e ad un processo di estinzione (Figura 1). L entità dei processi di rinnovo e di estinzione determinano il segno della variazione dell ammontare della popolazione e la velocità della variazione. Per calcolare l ammontare (P ) della popolazione all istante t + 1, noto l ammontare all istante t, è quindi necessario tener conto dei due processi precedenti con le relative due componenti. In particolare: t+1p = t P + (t,t+1) N (t,t+1) M + (t,t+1) I (t,t+1) E dove: t+1p = ammontare della popolazione all istante t+1 tp = ammontare della popolazione all istante t (t,t+1)n = numero di nati tra l istante t e l istante t+1 (t,t+1)m = numero di decessi tra l istante t e l istante t+1 (t,t+1)i = numero di immigrati tra l istante t e l istante t+1 (t,t+1)e = numero di emigrati tra l istante t e l istante t+1 1

3 N E I D Il flusso di rinnovo è composto dagli individui che si aggiungono per nascita (N) e per immigrazione (I) Il flusso di estinzione è composto dagli individui che muoiono (M) o emigrano (E) Figura 1: Flusso di rinnovo e flusso di estinzione Questa equazione è detta equazione di bilancio della popolazione. La differenza tra le nascite e le morti nello stesso lasso di tempo si chiama saldo naturale (SN), mentre la differenza tra immigrati ed emigrati si chiama saldo migratorio (SM). Dunque l equazione di bilancio può anche essere riscritta come: t+1p = t P + (t,t+1) SN + (t,t+1) SM L equazione di bilancio della popolazione può essere generalizzata per calcolare l ammontare della popolazione in n anni, dall istante t all istante t + n. Proviamo ora a fare qualche conto. Esercizio 1 Sapendo che t+np = t P + (t,t+n) N (t,t+n) M + (t,t+n) I (t,t+n) E Popolazione Nati 1993 Morti 1993 Immigrati 1993 Emigrati calcolare la popolazione al , il saldo migratorio e il saldo naturale.

4 Esercizio Sapendo che (dati in migliaia): 1. la popolazione censita presente in Italia il fu pari a ;. quella censita il 4 ottobre 1971 risultò di ; 3. i nati vivi durante il decennio furono i morti durante il decennio furono calcolare il saldo migratorio nel periodo intercensuario considerato. Esercizio 3 Determinare l ammontare della popolazione residente nel comune di Milano al sulla base dei dati seguenti: Periodo Nati Morti Immigrati Emigrati 1.1.8/ / / / e sapendo che la popolazione all ammontava a Tassi generici e tassi specifici Si supponga che nella città A si siano verificate 000 nascite e nella città B solo 500. E possibile affermare che l incidenza di nati sia maggiore nella città A che nella città B o, detto altrimenti, che la natalità nella città A sia più elevata che nella città B? Riflettiamo... Supponiamo che l ammontare della popolazione nella città A sia pari a e quella della popolazione B sia pari a Alla luce di queste nuove informazioni cosa è possibile concludere? Proviamo a considerare le frequenze relative = = Le dimensioni assolute dei fenomeni demografici dicono assai poco. Per poter valutare l intensità con la quale si manifestano i fenomeni di movimento è opportuno rappresentare la loro frequenza assoluta all ammontare della popolazione cui si riferisce Questo equivale a calcolare un tasso. Esistono due diversi tipi di tassi, i tassi generici e i tassi specifici. Un tasso generico è espresso come rapporto tra la dimensione assoluta di un fenomeno 3

5 demografico e la dimensione della popolazione e risponde alla seguente domanda: Quanti eventi di un certo tipo (nascite, morti,...) si sono verificati nell unità di tempo considerata (in genere l anno) per ogni elemento (o per 100, 1000,... elementi) costitutivo della popolazione? Esempio. Esempi di tassi generici sono: Tasso di natalità n = N P 1000 Tasso di mortalità m = M P 1000 Tasso di emigrazionee = E P 1000 Tasso di immigrazione i = I P 1000 I tassi vengono generalmente moltiplicati per 1000, per rendere significativa la cifra che ne risulta. Per procedere al calcolo dei tassi generici è opportuno fissare 1. l intervallo temporale al quale si riferisce l evento la cui frequenza è riportata a numeratore. l ammontare della popolazione da porre a denominatore Per quanto riguarda il punto 1, per l intervallo temporale viene generalmente adottato l anno ma i tassi possono anche riferirsi a periodi pluriennali. Quanto al valore da porre a denominatore solitamente si adotta la media aritmetica semplice della popolazione al 1 gennaio e al 31 dicembre dell anno a cui si riferisce il tasso. Concettualmente ciò equivale a supporre che la popolazione abbia avuto uno sviluppo crescente lineare durante l anno e pertanto la popolazione media equivale anche alla popolazione a metà anno (30 giugno). Esempio. La popolazione residente in provincia di Como all 1 gennaio 006 ammontava a individui, mentre al 31 dicembre 006 essa ammontava a Pertanto la popolazione media nell anno 006 è: P = P P = = Si può osservare che la popolazione media viene a coincidere con gli anni vissuti, entro le stesse date, dai soggetti che hanno fatto parte della popolazione sotto l ipotesi che gli individui che sono entrati e sono usciti dalla medesima abbiano vissuto esattamente metà anno. Esempio. Riconsideriamo i dati relativi al bilancio demografico della provincia di Como nell anno 006 e calcoliamo gli anni vissuti P N 5569 M 5003 I 596 E P

6 Anni vissuti da coloro che nel 006 non hanno subito eventi (popolazione inziale meno morti ed emigrati) = Anni vissuti dai nati nel = Anni vissuti dai morti nel = Anni vissuti dagli immigrati nel = 1981 Anni vissuti dagli emigrati nel = Totale anni vissuti e come si osserva questo risultato coincide proprio con la popolazione media. I tassi generici sono misure ambigue dei fenomeni demografici in quanto sono influenzati dalla struttura per età della popolazione. I fenomeni demografici sono molto variabili secondo l età, poiché ad alcune di esse approssimano o raggiungono frequenza zero (le morti fra i giovanissimi, i matrimoni prima dell età minima legale, le nascite prima della pubertà o dopo la menopausa), mentre in alcune età raggiungono frequenze massime o comunque molto elevate. Esempio. Sul tasso di mortalità non influisce solo il livello di salute della popolazione ma anche la sua distribuzione per età. Infatti a seconda che la popolazione sia più o meno vecchia si avranno decessi più o meno numerosi. Per tale motivo si fa riferimento ai tassi specifici, cioè dei tassi calcolati su distinti sottoinsiemi della popolazione, definiti dalle modalità di alcune prefissate caratteristiche (es. genere, età, stato civile...). I tassi specifici più utilizzati sono quelli per età, calcolati rapportando gli eventi relativi ad una classe di età (annuale o pluriennale) alla popolazione media (persone-anno) di quella classe. Analogamente ai tassi generici, i tassi specifici rispondono alla domanda: Quanti eventi relativi a una certa classe di età, si verificano in un anno per ogni k individui mediamente presenti nella popolazione aventi quel carattere? Supposto di considerare l età in classi di ampiezza h il calcolo dei tassi specifici può essere effettuato in modo del tutto analogo al calcolo dei tassi generici: Esempio. Il tasso specifico di mortalità per età può essere calcolato come: m x,x+h = M x,x+h P x,x+h Esiste una relazione tra tassi generici e tassi specifici: il tasso generico coincide con la media aritmetica, opportunamente ponderata, dei tassi specifici. Dunque i tassi specifici non contano tutti ugualmente nella media ma ciascuno conta con peso proporzionale alla numerosità della classe cui si riferisce. Esempio. Il tasso generico di mortalità può essere calcolato come media ponderata dei tassi specifici di mortalità per età: 5

7 m = x,x+h P x,x+h P x,x+h Esercizio 4 Avendo a disposizione le seguenti informazioni relative alla popolazione italiana residente nel 007 (in migliaia): Popolazione al 1 gennaio Nati 560 Morti 570 Immigrati 050 Emigrati 1600 Popolazione al 31 Dicembre calcolare il tasso di natalità, di mortalità, di emigrazione e di immigrazione e fornirne un interpretazione. Esercizio 5 Calcolare i tassi di emigrazione specifici per genere e verificare empiricamente la relazione con il corrispondente tasso generico. Esercizio 6 Uomini Donne Totale Popolazione al 1 Gennaio Emigrati Popolazione al 31 Dicembre Calcolare il tasso generico di mortalità i tassi specifici di mortalità per età avendo a disposizione i seguenti dati Classi di età M x,x+h 1.1.t P (x,x+h) 31.1.t P (x,x+h) Tassi di flusso e tassi di incremento I tassi di natalità, mortalità, emigrazione e immigrazione riguardano i movimenti della popolazione e pertanto vengono chiamati tassi di flusso. Un tasso però può essere utilizzato anche per descrivere l incremento di una popolazione. A partire dall equazione di bilancio della popolazione si può definire l incremento assoluto come la differenza tra l ammontare della popolazione al tempo t e l ammontare della popolazione al tempo t + 1. = t+1 P t P Si supponga ora di considerare due popolazioni: la popolazione A e la popolazione B nel corso dell anno 1965 hanno manifestato un incremento di 97 abitanti. Si può affermare 6

8 che l entità dell incremento sia la medesima nelle due città? Riflettiamo... Solitamente si moltiplica il tasso per Qual è il senso del tasso di incremento? Esercizio 7 Supponiamo che l ammontare della popolazione nella città A sia pari a e quella della popolazione B sia pari a Alla luce di queste informazioni possiamo ancora dire che i due incrementi hanno la stessa magnitudine sulla popolazione? r a = = 16.9 r b = = La risposta è No!. Infatti nel caso in cui si voglia fare un confronto fra la variazione di una popolazione e quella di altre, spesso assai diverse sotto il profilo della consistenza numerica, occorre utilizzare un indicatore che tenga conto anche dell ammontare della popolazione all inizio del periodo considerato. Dunque occorre calcolare un tasso di incremento. Esso viene determinato rapportando l incremento assoluto all ammontare degli individui che hanno contribuito a quell incremento, cioè alla popolazione iniziale. In formule: tr = t+1 P t P = tp tp Così come si esprime la velocità di un veicolo in termini di chilometri percorsi in un ora, il tasso di incremento esprime il numero di individui che si aggiungono durante un intervallo di tempo standard (l anno) per ogni 1000 persone che hanno contribuito a determinare la variazione osservata. Potremmo dunque dire che il tasso fornisce la velocità con la quale la popolazione varia nel tempo. Si calcolino l incremento assoluto e il tasso di incremento della popolazione P nell anno 000 avendo a disposizione i seguenti dati: Popolazione

9 Altri esercizi Esercizio 8 Con i seguenti dati: Calcolare e commentare: Nati nell anno t 1000 Morti nell anno t 800 Popolazione residente (1.1.t) 0000 Popolazione residente (31.1.t) a) il saldo naturale ed il saldo migratorio; b) il tasso di natalità e di mortalità; c) l incremento assoluto e il tasso di incremento. Esercizio 9 Completare la seguente tabella: Esercizio 10 Avendo a disposizione i seguenti dati: Popolazione al 1 Gennaio Nati 8400 Morti Saldo Naturale Immigrati Emigrati 6600 Saldo Migratorio 5300 Popolazione al 31 Dicembre 00 Bolzano Trento Popolazione al 1 Gennaio Nati Morti Immigrati Emigrati Popolazione al 31 Dicembre a) Confrontare le città di Trento e Bolzano rispetto a: natalità, mortalità, immigrazione ed emigrazione. b) Quale delle due città ha manifestato un incremento maggiore? 8

10 Soluzioni Esercizio 1 Dall equazione di bilancio della popolazione si ricava che: ( )P = ( ) P N 1993 M I 1993 E = = 1018 RImangono ora da calcolare il saldo naturale ed il saldo migratorio: 1993SN = 1993 N 1993 M = = 1993SM = 1993 I 1993 E = 40 6 = 34 Considerando i valori dei saldi si osserva che la varizione della popolazione è imputabile in primo luogo ai movimenti migratori. Esercizio A partire dall equazione di bilancio della popolazione scritta nella seguente formulazione: (t+n)p = (t) P + (t,t+n) SN + (t,t+n) SM si ricava che il saldo migratorio può essere calcolato come: (t,t+n)sm = (t+n) P (t) P (t,t+n) SN = (t+n) P (t) P (t,t+n) N + (t,t+n) M Pertanto sostituendo i dati a disposizione si ottiene: ( , )SM = = ( ) P ( ) P ( , ) N + ( , ) M = = = 539 In questo caso il saldo è negativo poiché, in questo periodo, il numero di emigrati superava il numero di immigrati di circa 539 mila unità. L Italia, infatti, nel secondo dopoguerra si configurava come un paese d emigrazione. Si consideri anche questa osservazione. Nelle popolazioni con sistemi statistici evoluti le nascite e le morti sono in genere contate con grande esattezza mentre i dati sui movimenti migratori sono spesso manchevoli. Si è soliti perciò calcolare il saldo migratorio come un residuo, partendo dall equazione della popolazione. Esercizio 3 Per determinare l ammontare della popolazione al occorre calcolare il numero di nati, di morti, di emigrati e di immigrati tra il 198 e il (198,1985)N = 198 N N N N = = 4600 (198,1985)M = 198 M M M M = = (198,1985)I = 198 I I I I = = (198,1985)E = 198 E E E E = =

11 A questo punto è possibile calcolare l ammontare della popolazione al applicando l equazione di bilancio: ( )P = 198 P + (198,1985) N (198,1985) M + (198,1985) I (198,1985) E = = = Dunque, per effetto dei processi di rinnovo e di estinzione, la popolazione residente nel comune di Milano tra il 198 e il 1985 è diminuita. Esercizio 4 Per calcolare un tasso è necessario determinare l ammontare della popolazione media del periodo considerato, che come detto in precedenza è fornita dalla semisomma dell ammontare della popolazione a inizio periodo e di quello a fine periodo. P = ( ) P + ( ) P = = 5930 Disponendo ora di tutte le quantità necessarie per determinare i tassi si può procedere al calcolo: n = N = 1000 = P 5930 m = M P = 1000 = i = I P e = E P = 1000 = = 1000 = I quattro tassi ci dicono nell ordine che all incirca ogni 1000 residenti italiani sono nati 9 bambini, sono deceduti 10 individui, ne sono immigrati 34 e ne sono emigrati 7. Esercizio 5 Si comincia con il calcolare il tasso di emigrazione per la popolazione maschile. La popolazione media è dunque costituita da: Pertanto: P M = 1.1 P M P M = = 800 e M = E M 1000 = = 1.49 P M

12 In modo del tutto analogo per la popolazione femminile: P F = 1.1 P F P F = = 900 Dunque: e F = E F 1000 = = P F 900 Confrontando i due tassi si osserva che le donne presentano un tasso di emigrazione maggiore rispetto agli uomini e pertanto sono più soggette ad emigrare. Si calcola ora il tasso generico di emigrazione: P = 1.1 P P = = 5700 e = E = 1000 =.807 P 5700 e si verifica che esso corrisponde alla media aritmetica ponderata dei tassi specifici e = e MP M + e F P F P M + P F 1000 = =.807 Esercizio 6 Si calcolano i tassi specifici di mortalità m x,x+h = M x,x+h P x,x+h. Per esempio per le età comprese tra 0 e 9 anni: m 0,9 = M 0,9 P 0, = =. ( ) E procedendo in modo analogo si ottengono gli altri tassi specifici per età riportati nella tabella seguente: Classi di età M x,x+h P x,x+h m x,x+h Osservando i tassi specifici si nota come la mortalità aumenti all aumentare dell età (come è naturale che sia). Rimane ora da calcolare il tasso generico. A tale scopo si sfrutta la relazione tra tassi generici e tassi specifici: 11

13 m = m 0,9P 0,9 + m 30,59 P 30,59 + m 60+ P 60+ P 0,9 + P 30,59 + P 60+ = = Si poteva calcolare il tasso generico anche direttamente: m = M P 1000 = = ( ) 1 e come si osserva i due risultati coincidono. Così facendo si è provato empiricamente che il tasso di mortalità generico può essere calcolato anche come media ponderata dei tassi di mortalità specifici. Esercizio 7 L incremento assoluto è: = P P = = 54 Mentre il tasso di incremento si ottiene rapportando l incremento assoluto alla popolazione iniziale: 54 00r = 1000 = 1000 = Esercizio P a) Il saldo naturale coincide con la differenza tra il numero di nati e il numero di decessi, pertanto: tsn = t N t M = = 00 A partire dall equazione di bilancio della popolazione scritta nella seguente formulazione: (t+n)p = (t) P + (t,t+n) SN + (t,t+n) SM si ricava che il saldo migratorio può essere calcolato come: tsm = (31.1.t) P (1.1.t) P t SN = = 00 Dunque nella popolazione considerata il saldo migratorio è negativo. Ricordando che il saldo migratorio è calcolato come differenza tra immigrati ed emigrati si può concludere che la popolazione in questione è più soggetta all emigrazione che all immigrazione. 1

14 b) Per calcolare i tassi di natalità e di mortalità è necessario determinare l ammontare della popolazione media nel periodo considerato: I tassi assumono valore P = (1.1.t) P + (31.1.t) P = = n = N P m = M P = 1000 = = 1000 = Pertanto, all incirca, ogni 1000 residenti nascono 53 bambini e muoiono 4 individui. Si nota inoltre che il tasso di natalità è superiore al tasso di mortalità, poichè all interno della popolazione le nascite sono più frequenti dei decessi. c) L incremento assoluto è: = 1.1.t P 1.1.tP = = 000 Il tasso di incremento si ottiene rapportando l incremento assoluto alla popolazione iniziale: tr = = 1000 = tP 0000 L incremento della popolazione è negativo poichè la popolazione considerata nell anno t vede una diminuzione del suo ammontare. Di conseguenza anche il tasso di incremento è negativo e il suo valore consente di affermare che nell anno considerato la popolazione per effetto dei flussi in entrata e in uscita è diminuita di 1/10 (100/1000=1/10)della sua consistenza iniziale. Esercizio 9 Il saldo naturale è definito come la differenza tra il numero di nati e il numero di decessi, pertanto: 00SN = 00 N 00 M = = 700 Per calcolare il numero di immigrati si può osservare che si dispone del saldo migratorio e del numero di emigrati. Ricordando che il saldo migratorio è pari alla differenza tra immigrati ed emigrati si ha: 00SM = 00 I 00 E 00 I = 00 SM + 00 E = = Infine per calcolare l ammontare della popolazione al si applica l equazione di bilancio della popolazione in una delle due versioni: ( )P = (1.1.00) P + 00 N 00 M+ 00 I 00 E = = P = P + 00 SN + 00 SM = = Ecco dunque la tabella completa: 13

15 Popolazione al 1 Gennaio Nati 8400 Morti Saldo Naturale -700 Immigrati Emigrati 6600 Saldo Migratorio 5300 Popolazione al 31 Dicembre Esercizio 10 a) Per calcolare i tassi è necessario determinare la popolazione media nel 003 per entrambe le province: BZP = I valori assunti dai tassi sono: i) Tasso di natalità: = T NP = = ii) Tasso di mortalità: n BZ = N BZ BZP n T N = N T N T NP = 1000 = = 1000 = m BZ = M BZ BZP m T N = M T N T NP ii) Tasso di immigrazione = 1000 = = 1000 = i BZ = I BZ BZP = 1000 = i T N = I T N T NP iv) Tasso di emigrazione = 1000 = e BZ = E BZ BZP e T N = E T N T NP = 1000 = = 1000 = permil Dai valori assunti dai tassi, si osserva che la provincia di Bolzano presenta un accentuamento dei fenomeni considerati rispetto alla provincia di Trento. 14

16 b) Se si considera l incremento assoluto, la città di Trento manifesta una maggior aumento del numero di individui: BZ = P BZ P BZ = = 680 T N = P T N P T N = = 450 Ma passando al relativo tasso si osserva che è la città di Bolzano a mostrare una velocità di incremento maggiore. r BZ = r T N = BZ 1000 = = P BZ T N 1000 = = P T N