CAPITOLO TERZO ELEMENTI DI TEORIA DEI GIOCHI

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1 CPITOLO TERZO ELEMENTI DI TEORI DEI GIOCHI SOMMRIO: 3.1 Che cos è un gioco e quali sono i suoi elementi definitori Tipologie di giochi Classificazione dei giochi non cooperativi Rappresentazione grafica dei giochi: giochi in forma normale e giochi in forma estesa Soluzione nei giochi statici Strategie dominanti Strategie dominate Equilibrio di Nash Soluzione nei giochi dinamici: induzione a ritroso e credibilità I giochi ripetuti. - Esercizi e problemi. I fondamenti della teoria dei giochi risalgono, con tutta probabilità, ai primi giorni della seconda guerra mondiale, quando le forze navali britanniche erano impegnate nell individuazione e nella cattura dei sottomarini tedeschi. Nel costante tentativo di comprendere meglio degli avversari i meccanismi del gioco cui stavano partecipando, esse si resero conto che le mosse strategiche migliori non corrispondevano a quelle che i piloti e i capitani di nave avrebbero posto in essere intuitivamente. pplicando i concetti che, in seguito, sarebbero stati fatti propri dalla teoria dei giochi, le flotte britanniche ottennero risultati eccellenti. La formalizzazione teorica di tali concetti seguì di lì a poco, quando il matematico Von Neumann e l economista Morgenstern pubblicarono il libro «Teoria dei giochi e comportamento economico». Questo testo, di per sè altamente teorico, aprì tuttavia la strada a tutta una serie di studi circa le possibili applicazioni della teoria dei giochi, dalla sociologia alla politica, dalla strategia militare alla giurisprudenza, dall informatica alla biologia. Ed è oggi possibile affermare che in ciascuno di questi campi la teoria dei giochi ha fornito un contributo determinante alle più importanti scoperte. La teoria dei giochi però ha conosciuto la sua massima diffusione grazie agli studi del matematico John F.Nash e in particolare a quelli relativi ai giochi non cooperativi. La teoria dei giochi è utile all analisi economica in quanto analizza situazioni nelle quali i destini di differenti soggetti sono interdipendenti e, di conseguenza, fornisce un modo sistematico di definire le strategie migliori in situazioni di questo tipo. Essa può, dunque, aiutare gli economisti a comprendere ciò che è avvenuto in passato e a prevedere ciò che avverrà in futuro in un certo contesto economico, caratterizzato dall interdipendenza fra i differenti soggetti che ne fanno parte. Gli studi di economia industriale relativi alle strutture competitive di settore e, in particolare, all oligopolio e alle forme di concorrenza imperfetta (cfr. Cap. 4) testimoniano il contributo fondamentale della teoria dei giochi all analisi economica. In questo capitolo descriveremo i principi fondamentali della teoria dei giochi, partendo dal concetto stesso di gioco e arrivando a una classificazione delle differenti tipologie di giochi e delle modalità di risoluzione degli stessi. L attenzione sarà posta, soprattutto, sui giochi non cooperativi, con particolare riferimento al concetto di giochi one-shot e di giochi ripetuti. L obiettivo è quello di fornire al lettore un quadro teorico adeguato all acquisizione di una piena padronanza degli elementi di base della teoria dei giochi e, in particolare, degli strumenti utilizzati negli studi di economia industriale.

2 20 Capitolo Terzo Per questo motivo si è preferito utilizzare una forma prevalentemente discorsiva, pur non omettendo, laddove necessario, la descrizione dei passaggi matematici alla base della teoria. 3.1 CHE COS È UN GIOCO E QULI SONO I SUOI ELEMENTI DEFINITORI Quando si parla di teoria dei giochi una prima necessaria definizione è, ovviamente, quella relativa al concetto stesso di gioco. In prima approssimazione è possibile parlare di «gioco» ogni qualvolta 2 soggetti (che d ora in poi chiameremo giocatori) si trovano in una situazione di interdipendenza strategica, in virtù della quale le azioni effettuate da ciascuno dei due influiscono direttamente sul risultato (d ora in poi payoff) ottenuto dall altro. Ciascun gioco si basa su delle regole che devono specificare almeno i seguenti aspetti del gioco stesso: 1) chi sono i giocatori; 2) quando spetta a ciascuno di loro muovere, ossia compiere determinate azioni; 3) quali sono le azioni, o più in generale le alternative, tra le quali ogni giocatore può scegliere; 4) di quali informazioni dispone ciascun giocatore; sotto questo profilo, occorre precisare che tutti i ragionamenti che verranno sviluppati in seguito si basano sull ipotesi secondo la quale i giocatori effettuano le proprie scelte in modo razionale. Il concetto di razionalità è, tuttavia, relativo in quanto strettamente connesso al tipo di informazioni di cui i soggetti dispongono al momento di decidere. La presenza di un asimmetria informativa fra i diversi giocatori può, dunque, far apparire irrazionale una scelta che, invece, si giustifica proprio in base al tipo di informazioni di cui disponeva il soggetto che l ha posta in essere. Il problema della razionalità/irrazionalità di comportamento alla base delle scelte strategiche è ulteriormente complicato dal fatto che i differenti giocatori hanno, solitamente, diverse preferenze. Il concetto di preferenza è un concetto strettamente soggettivo (legato a fattori psicologici, comportamentali, ambientali, ecc.) che influisce sul livello di utilità che ciascun giocatore associa alle diverse opzioni strategiche. In molti casi, la soggettività delle preferenze fa sì che un giocatore non sia in grado di valutare con precisione l utilità che gli altri giocatori associano alle alternative strategiche. Ciò può essere fonte di asimmetria informativa e può dar luogo ai cosiddetti giochi ad informazione incompleta; 5) quali sono gli esiti possibili del gioco, ossia, le conclusioni di ogni possibile partita e l utilità che ogni giocatore consegue in ciascun esito. enché si sia soliti riferirsi ad un gioco pensando solo a due giocatori, la teoria dei giochi prevede anche il caso in cui gli attori siano «n», con n > 2. Si può senz altro affermare che, anzi, nella realtà è questa la situazione più frequente. L esistenza di più di due giocatori coinvolti fa sì che si creino delle interrelazioni articolate tra gli attori. Pertanto, il risultato di un gioco dipende criticamente da quante persone vi partecipano. L equilibrio stabilito tra due giocatori potrebbe, ad esempio, essere alterato dalla presenza di un terzo, ma essere successivamente ristabilito con l arrivo di un quarto. Nei giochi a tre spesso il terzo giocatore rappresenta l ago della bilancia affinché il

3 Elementi di Teoria dei Giochi 21 gioco abbia un determinato esito. Negli «n-person games» i conflitti di interesse sono più evidenti e spesso cosa è buono per i giocatori e C non lo è per gli altri, per cui e C potrebbero stipulare un alleanza. Un gioco con «n» persone è matematicamente rappresentabile con una funzione a «n» variabili o con una matrice a «n» dimensioni TIPOLOGIE DI GIOCHI La teoria dei giochi analizza: 1) giochi non cooperativi: sono i giochi in cui non sono fattibili accordi vincolanti tra i giocatori; ciò significa che ciascun giocatore mantiene intatta la propria autonomia decisionale per tutta la durata del gioco e adotta, di conseguenza, quella strategia che gli permette di raggiungere il più elevato payoff possibile, date le mosse degli avversari e un insieme ben definito di regole e vincoli; 2) giochi cooperativi: sono i giochi nei quali è possibile realizzare accordi vincolanti fra tutti i giocatori o nell ambito di alcuni sottoinsiemi degli stessi. Più precisamente, si parla di giochi pienamente cooperativi, quando l accordo vincolante è realizzabile nell ambito di qualsiasi sottoinsieme di giocatori, e di giochi parzialmente cooperativi, quando, invece, solo alcuni giocatori sono in grado di realizzarlo. Un tipico gioco cooperativo è costituito dalla creazione di un «cartello» che, sulla base di un preciso contratto, ponga limiti all autonomia decisionale dei singoli partecipanti al fine di accrescere il loro benessere complessivo a danno dei concorrenti e/o dei consumatori. 3.3 CLSSIFICZIONE DEI GIOCHI NON COOPERTIVI I giochi non cooperativi possono essere classificati in base: a) al numero di volte in cui il gioco viene ripetuto: 1) giochi «one shot», cioè giocati una sola volta; 2) giochi ripetuti, cioè composti da un gioco costituente che si ripete nel tempo un numero finito o infinito di volte; Occorre, tuttavia, sottolineare che in quest ultimo caso non è del tutto corretto parlare di ripetizione infinita del gioco (non esistono giochi che si ripetono all infinito) ma, piuttosto, di situazione nella quale i giocatori si comportano come se dovessero giocare all infinito. b) alla simultaneità o meno delle mosse effettuate dai giocatori: 1) giochi statici, in cui i giocatori effettuano la loro scelta contemporaneamente; 2) giochi dinamici, in cui le mosse avvengono in modo sequenziale, nel senso che un giocatore muove per primo e un altro per secondo (essendo a conoscenza della mossa fatta dal primo); c) al fatto che ciascuno dei giocatori conosca o meno il payoff degli altri giocatori: 1) giochi a informazione completa, in cui ciascun giocatore conosce il payoff ottenibile dall altro giocatore in corrispondenza di ogni possibile mossa;

4 22 Capitolo Terzo 2) giochi a informazione incompleta (o bayesiani), in cui almeno un giocatore non è in grado di valutare con precisione l utilità che l altro giocatore associa alle varie mosse alternative. In questi casi si parla di asimmetria informativa tra i giocatori. È ciò che si verifica, ad esempio, nel caso di una vendita all asta, in cui il giocatore che fa un offerta non conosce il prezzo che un altro partecipante è disposto a pagare per acquistare il bene messo all asta. 3.4 RPPRESENTZIONE GRFIC DEI GIOCHI: GIOCHI IN FORM NOR- MLE E GIOCHI IN FORM ESTES Il modo più semplice per rappresentare graficamente un gioco consiste nel disegnare una bimatrice (1) a n dimensioni, in cui n è pari al numero di mosse alternative a disposizione di ciascun giocatore. Nell esempio che segue n = 2 Giocatore 1 Giocatore 2 3, 3 1, 4 4, 1 2, 2 Fig Rappresentazione in forma normale del gioco Questo tipo di rappresentazione grafica, detta in forma normale (o strategica), indica chiaramente: 1) i giocatori (il giocatore 1 è detto giocatore di linea, il giocatore 2 giocatore di colonna); 2) le mosse (o strategie) alternative a disposizione dei 2 giocatori ( e ); 3) i payoff ottenibili dai 2 giocatori in corrispondenza di ogni possibile combinazione di mosse. Per convenzione il primo numero presente in ciascuna casella indica il payoff ottenibile dal giocatore di linea, il secondo il payoff ottenibile dal giocatore di colonna. d esempio, se il giocatore 1 sceglie la mossa e il giocatore 2 sceglie la mossa, i payoff saranno, rispettivamente, 1 e 4. La rappresentazione in forma normale, tuttavia, non fornisce alcuna indicazione circa la sequenza delle mosse dei giocatori ed è, dunque, particolarmente indicata per rappresentare graficamente un gioco statico. Nel caso dei giochi dinamici è più opportuno utilizzare un modello alternativo di rappresentazione grafica. Tale modello, detto in forma estesa, si basa sulla creazione di un albero del gioco che specifica in modo chiaro la sequenza temporale delle mosse dei giocatori. (1) differenza di una normale matrice la bimatrice presenta, in corrispondenza di ciascun incrocio riga/colonna, una coppia di numeri equivalenti, rispettivamente, ai payoff del giocatore di linea e del giocatore di colonna.

5 Elementi di Teoria dei Giochi 23 Riprendiamo, ad esempio, in considerazione il gioco rappresentato nella figura 3.1 e ipotizziamo che il giocatore 2 muova dopo aver osservato la scelta effettuata dal giocatore 1; l albero del gioco assumerà la seguente forma: 1 (t 1 ) 2 (t 2 ) (3, 3) (1, 4) (4, 1) (2, 2) Fig Rappresentazione in forma estesa del gioco Da questo grafico risulta chiaramente che il giocatore 1 muove per primo (al tempo t 1 ), mentre il giocatore 2 muove in un secondo momento (al tempo t 2 ), essendo a conoscenza della mossa effettuata dal giocatore 1. Si tratta, quindi, di un gioco dinamico one shot (mossa e contromossa). In generale, un albero del gioco è costituito: 1) da alcuni pallini, denominati nodi decisionali, corrispondenti ai punti del gioco in cui uno dei giocatori è chiamato ad effettuare una scelta fra le mosse alternative a sua disposizione; 2) da frecce che partono da alcuni nodi e si dirigono verso altri nodi o verso vettori di numeri indicanti i risultati finali del gioco, cioè i payoff ottenuti dai giocatori. L albero del gioco nasce da un nodo iniziale e si allarga sempre di più, in corrispondenza dei successivi nodi, fino a raggiungere la fine del gioco, cioè i vettori dei payoff. 3.5 SOLUZIONE NEI GIOCHI STTICI Strategie dominanti Supponiamo di analizzare la seguente situazione: 2 individui vengono arrestati dalla polizia perché sospettati di avere compiuto una rapina in banca. I due vengono rinchiusi in due celle separate e non hanno, quindi, alcuna possibilità di comunicare fra loro. La polizia, tuttavia, non ha prove evidenti contro di loro e l unica possibilità di chiudere il caso è che almeno uno dei due confessi.

6 24 Capitolo Terzo Ciascun prigioniero è, inoltre, perfettamente consapevole del fatto che: 1) se nessuno dei due confesserà potranno essere trattenuti in carcere non più di un mese, trascorso il quale la polizia dovrà rimetterli in libertà. Il vettore dei payoff sarà dunque (, 1 1); 2) se entrambi confesseranno dovranno scontare una pena pari a 6 mesi di reclusione (, 6 6); 3) se uno confesserà e l altro no, colui che confessa verrà immediatamente scarcerato, mentre l altro dovrà scontare una pena pari a 8 mesi di reclusione. Si tratta di un gioco statico (in quanto i due giocatori muovono simultaneamente) ad informazione completa (poiché i 2 conoscono i payoff ottenibili in corrispondenza di ciascuna combinazione di mosse) noto in letteratura come dilemma del prigioniero e rappresentabile graficamente attraverso il seguente modello in forma normale: Prigioniero 1 Prigioniero 2 Negare Confessare Negare 1, 1 8, 0 Confessare 0, 8 6, 6 Fig Il dilemma del prigioniero In una situazione di questo tipo, quali mosse è lecito aspettarsi dai 2 giocatori/prigionieri? Consideriamo, inizialmente, la situazione del prigioniero 1: 1) se il giocatore 1 si aspetta che il giocatore 2 scelga la mossa «negare», allora egli avrà convenienza a scegliere la mossa «confessare», poiché gli permetterebbe di ottenere un payoff più alto rispetto alla mossa «negare» (0 invece di 1); 2) se il giocatore 1 si aspetta che il giocatore 2 scelga la mossa «confessare», anche in questo caso egli sceglierà la mossa «confessare», perché anche stavolta otterrebbe un payoff superiore ( 6 anziché 8). In altri termini, per il giocatore 1 la strategia ottimale sarà «confessare», indipendentemente da quella che sarà la scelta del giocatore 2. Quando si verifica questa condizione, cioè quando per un giocatore una mossa è migliore di tutte la altre, a prescindere da quelle che saranno le scelte degli altri giocatori, allora si dice che per quel giocatore quella mossa rappresenta una strategia dominante. È facile verificare che, ripetendo lo stesso ragionamento per il prigioniero 2, giungeremo alla stessa conclusione: anch egli avrà una strategia dominante corrispondente alla mossa «confessare». Nel gioco del dilemma del prigioniero, quindi, i due giocatori sceglieranno di «confessare» e saranno condannati, pur essendo pienamente consapevoli del fatto che, se avessero scelto di «negare», sarebbero stati subito scarcerati. La soluzione del gioco («confessare») non corrisponde, dunque, alla soluzione ottimale, cioè a quella soluzione («negare») che avrebbe permesso ad entrambi i giocatori di ottenere payoff più elevati ( 1, 1).

7 Elementi di Teoria dei Giochi 25 In altre parole, i giocatori deviano entrambi dalla scelta che permetterebbe loro di ottenere i payoff più alti. Ciò si verifica perché il gioco è strutturato in maniera tale da incentivare i due giocatori ad assumere un comportamento deviante, cioè a «confessare» invece di «negare». Ciascuno dei due giocatori è consapevole del fatto che la scelta migliore sarebbe «negare» ma teme tuttavia che l altro possa deviare da tale scelta per ottenere un vantaggio individuale. È, infatti, evidente che se un giocatore «nega» e l altro «confessa» quest ultimo sarà premiato con l immediata scarcerazione mentre il primo subirà un aggravio di pena. Per evitare questo rischio scelgono entrambi di deviare, cioè di «confessare». Come vedremo ampiamente nel Capitolo 4, molte situazioni di oligopolio e di concorrenza imperfetta sono riconducibili al gioco del dilemma del prigioniero Strategie dominate bbiamo appena visto come l individuazione di strategie dominanti rappresenti un ottimo metodo di risoluzione dei giochi statici. Tuttavia, non è sempre possibile applicare tale metodo. Consideriamo, ad esempio, il seguente gioco in forma normale: Giocatore 2 D E F 2, 2 4, 0 2, 2 Giocatore 1 0, 0 0, 2 0, 0 C 4, 2 2, 0 4, 4 Fig. 3.4a - Strategia dominata In questo caso, come risulta evidente, non ci sono strategie dominanti, per cui occorre individuare un criterio alternativo di risoluzione del gioco. Se anche stavolta consideriamo, inizialmente, la situazione del giocatore 1, allora possiamo notare facilmente che, qualunque sia la mossa effettuata dal giocatore 2, per il giocatore 1 la mossa risulta peggiore rispetto alla mossa e alla mossa C. Quando si verifica una situazione di questo tipo, cioè quando per un giocatore una mossa è peggiore di almeno un altra mossa alternativa, qualunque sia la mossa dell altro giocatore, allora si dice che per quel giocatore quella mossa rappresenta una strategia dominata. Si parla, invece, di strategia debolmente dominata quando per un giocatore una mossa è peggiore in alcuni casi, uguale in altri, rispetto ad almeno un altra mossa alternativa, qualunque sia la mossa dell altro giocatore. Nel nostro esempio, è una strategia dominata per il giocatore 1, per cui il giocatore 2 si aspetterà che egli, essendo razionale, non scelga quella mossa. Mentre nell esempio precedente ci eravamo chiesti quale mossa era lecito aspettarsi dai due giocatori, in questo caso, non essendoci strategie dominanti, partiamo dal presupposto inverso e cominciamo ad eliminare quelle strategie che è lecito aspettarsi non vengano scelte dai due giocatori in quanto dominate.

8 26 Il gioco assumerà ora la seguente forma: Giocatore 1 Capitolo Terzo Giocatore 2 D E F 2, 2 4, 0 2, 2 C 4, 2 2, 0 4, 4 Fig. 3.4b - Strategia dominata Data la nuova forma del gioco, è evidente che per il giocatore 2 la mossa E rappresenta una strategia dominata, in quanto scegliendo tale mossa otterrà un payoff più basso rispetto a quelli che avrebbe ottenuto scegliendo le altre due mosse, qualunque sia la scelta del giocatore 1. Rimettiamoci di nuovo nei panni del giocatore 1 e facciamo il punto della situazione. Il giocatore 1: 1) è razionale, per cui eliminerà la mossa ; 2) sa che il giocatore 2 lo considera razionale, cioè sa che il giocatore 2 si aspetta che egli elimini la mossa ; 3) sa che anche il giocatore 2 è razionale, quindi si aspetta che egli elimini la mossa E; La successiva forma del gioco sarà, dunque, la seguente: Giocatore 1 D Giocatore 2 2, 2 2, 2 C 4, 2 4, 4 F Fig. 3.4c - Strategia dominata In questa nuova situazione, la mossa diventa per il giocatore 1 una strategia dominata, per cui egli la scarterà certamente. In base alla ipotesi di razionalità vista poc anzi, il giocatore 2 deve dunque aspettarsi che il giocatore 1 scelga la mossa C, per cui egli sceglierà certamente la mossa F (in quanto gli consente di ottenere un payoff più elevato rispetto alla mossa D). D Giocatore 2 Giocatore 1 C 4, 2 4, 4 Fig. 3.4d - Risultato del gioco F

9 Elementi di Teoria dei Giochi 27 La coppia di mosse (C, F) ed il relativo vettore dei payoff (4, 4) rappresentano, dunque, la soluzione del gioco. Questo procedimento, detto di eliminazione iterata delle strategie dominate, si basa, quindi, sull ipotesi: 1) che tutti i giocatori siano razionali; 2) che ciascun giocatore sappia che anche gli altri giocatori sono razionali; 3) che ciascun giocatore sappia che tutti gli altri giocatori sanno che egli è razionale. Sulla base di queste ipotesi di razionalità, ciascun giocatore effettua delle congetture circa il comportamento degli altri che, come abbiamo visto, permettono di scartare gradualmente tutte le mosse alternative e di individuare, infine, l unica soluzione del gioco Equilibrio di Nash Consideriamo ora il seguente gioco in forma normale Giocatore 2 D E F 0, 4 4, 0 5, 3 Giocatore 1 4, 0 0, 4 5, 3 C 3, 2 3, 5 6, 6 Fig Equilibrio di Nash Come risulta evidente, non ci sono né strategie dominanti né strategie dominate, per cui non è possibile adottare nessuno dei due procedimenti visti sinora. In casi come questi, possiamo giungere alla soluzione del gioco utilizzando il concetto di equilibrio di Nash: in un gioco normale a 2 giocatori una combinazione di mosse (m 1, m 2 ) rappresenta un equilibrio di Nash se la mossa effettuata da ciascuno dei due giocatori è la migliore risposta alla mossa effettuata dall altro. Il concetto di equilibrio di Nash ricorre, oltre che nei giochi statici a informazione completa, anche nei giochi statici a informazione incompleta (equilibrio di Nash perfetto nei sottogiochi), nei giochi dinamici a informazione completa (equilibrio di Nash bayesiano) e nei giochi dinamici a informazione incompleta (equilibrio di Nash bayesiano perfetto). Tuttavia. affinché il concetto di equilibrio di Nash risulti applicabile anche alle altre tipologie di giochi, occorre operare dei «raffinamenti», ossia porre delle precisazioni e delle limitazioni che preservano la validità del concetto stesso. Il gioco riportato in figura 3.5 servirà a chiarire meglio il concetto. Consideriamo, ad esempio, la combinazione di mosse (, D); se il giocatore 2 sceglie la mossa D, la miglior risposta per il giocatore 1 sarà la mossa (che gli consente di ottenere un payoff, 4, più elevato di quelli che otterrebbe scegliendo le altre due mosse). Non è, tuttavia, vero il contrario; infatti, se il giocatore 1 sceglie, al giocatore 2 converrebbe scegliere E. La combinazione di mosse (, D) non rappresenta, dunque, un equilibrio di Nash.

10 28 Capitolo Terzo L unico equilibrio di Nash presente in questo gioco è dato dalla combinazione di mosse (C, F). Infatti: 1) se il giocatore 2 sceglie la mossa F, la miglior risposta per il giocatore 1 sarà C; 2) se il giocatore 1 sceglie la mossa C, la miglior risposta per il giocatore 2 sarà F. È interessante notare che nel gioco del dilemma del prigioniero (fig. 3.3) la soluzione a cui eravamo giunti attraverso il criterio delle strategie dominanti rappresenta un equilibrio di Nash. nche la soluzione del gioco rappresentato in fig. 3.4d, individuata attraverso l eliminazione iterata delle strategie dominate, rappresenta un equilibrio di Nash. Più in generale, è possibile affermare che, ogniqualvolta la teoria dei giochi fornisce gli strumenti per individuare una soluzione unica di un gioco, tale soluzione deve necessariamente essere un equilibrio di Nash. Tuttavia, un equilibrio di Nash non rappresenta necessariamente la soluzione di un gioco, in quanto esistono giochi che prevedono una pluralità di equilibri di Nash. Consideriamo il seguente esempio, noto in letteratura come gioco della battaglia dei sessi. Marito e moglie si trovano in due luoghi separati e devono decidere in che modo trascorrere la serata. Entrambi vorrebbero trascorrerla insieme piuttosto che ognuno per conto proprio, tuttavia il marito preferirebbe andare allo stadio a vedere la partita mentre la moglie preferirebbe andare al cinema. Tale situazione può essere rappresentata attraverso il seguente gioco in forma normale: Marito Cinema Moglie Stadio Cinema 1, 2 0, 0 Stadio 0, 0 2, 1 Fig Gioco della battaglia dei sessi In tale gioco esistono due differenti equilibri di Nash, corrispondenti alla combinazione (Cinema, Cinema) e alla combinazione (Stadio, Stadio). Il concetto di equilibrio di Nash, in questo caso, si limita a evidenziare che a entrambi i giocatori converrebbe coordinarsi su un unica mossa ma non è, tuttavia, in grado di farci capire quale delle due differenti possibilità di coordinamento verrà effettivamente scelta. In altre parole, in casi come questi la teoria dei giochi non ci consente di individuare la soluzione del gioco. Come vedremo ampiamente nel Capitolo 4, il gioco della battaglia dei sessi (come del resto il gioco del dilemma del prigioniero), presenta tutta una serie di applicazioni concrete molto utili agli studiosi di economia industriale. Esso è, infatti, rappresentativo di tutte quelle situazioni in cui 2 o più giocatori avrebbero convenienza a coordinare le proprie azioni ma sono in disaccordo su quale modalità di coordinamento utilizzare. Un tipico esempio è quello di due imprese che producono beni complementari. Entrambe avrebbero interesse a coordinarsi per utilizzare il medesimo standard di produzione, tuttavia l impresa 1 preferirebbe coordinarsi sullo standard x mentre l impresa 2 preferirebbe adottare lo standard y.

11 Elementi di Teoria dei Giochi SOLUZIONE NEI GIOCHI DINMICI: INDUZIONE RITROSO E CREDI- ILITÀ bbiamo visto in precedenza che si può parlare di giochi dinamici a informazione completa quando: 1) c è un giocatore che muove per primo e un altro che muove per secondo essendo a conoscenza della mossa effettuata dal primo; 2) ciascun giocatore conosce con certezza i payoff ottenibili da tutti i giocatori in corrispondenza di tutte le possibili combinazioni di mosse alternative. In questi casi la soluzione del gioco può essere individuata attraverso un procedimento, detto di induzione a ritroso, che consiste nel mettersi nei panni del giocatore che muove per ultimo e dalla cui mossa dipende, quindi, l esito finale del gioco. Consideriamo, ad esempio, il seguente gioco in forma estesa: n 1 C 2 (t 2 ) n 2a 1 (t 1 ) n 2b n 2c D E F G H Fig Induzione a ritroso I (2, 0) ( 4, 2) (0, 6) ( 6, 4) (4, 2) (0, 2) In quest albero del gioco abbiamo indicato con n 1 il nodo decisionale del giocatore che muove per primo (cioè il giocatore 1 al tempo t 1 ) e con, rispettivamente, n 2a, n 2b, n 2c, i tre possibili nodi decisionali in cui verrebbe a trovarsi al tempo t 2 il giocatore 2, a seconda della scelta effettuata in precedenza dal giocatore 1 (, o C).

12 30 Capitolo Terzo Mettiamoci, allora, nei panni del giocatore che muove per ultimo (cioè il giocatore 2) e vediamo di capire quale mossa questi effettuerà in ciascuno dei possibili nodi decisionali in cui può venirsi a trovare: 1) se il giocatore 2 si trova nel nodo decisionale n 2a (se, quindi, il giocatore 1 ha scelto la mossa ), egli sceglierà la mossa D, che gli garantisce un payoff pari a 0, piuttosto che la mossa E, che gli garantisce un payoff pari a 2. L esito del gioco sarà (, D) con payoff (2, 0); 2) se il giocatore 2 si trova nel nodo decisionale n 2b (se, cioè, il giocatore 1 ha scelto la mossa ), egli sceglierà la mossa G, che gli garantisce un payoff pari a 4, piuttosto che la mossa F, che gli garantisce un payoff pari a 6. L esito del gioco sarà (, G) con payoff ( 6, 4); 3) se il giocatore 2 si trova nel nodo decisionale n 2c (in quanto il giocatore 1 ha scelto la mossa C), egli sceglierà la mossa I, che gli garantisce un payoff pari a 2, piuttosto che la mossa H, che gli garantisce un payoff pari a 2. L esito del gioco sarà (C, I) con payoff (0, 2). Poiché ci troviamo in un gioco a informazione completa, il giocatore 1 può fare questi calcoli prima di scegliere la propria mossa. Egli, infatti, sa con certezza che, se scegliesse la mossa otterrebbe un payoff pari a 2, se scegliesse la mossa otterrebbe un payoff pari a 6, se scegliesse la mossa C otterrebbe un payoff pari a 0. Pertanto, egli sceglierà la mossa e la soluzione del gioco sarà (, D) con payoff (2, 0). Possiamo facilmente verificare che tale soluzione corrisponde a un equilibrio di Nash. questo punto, introduciamo un ulteriore variante, particolarmente importante nel caso dei giochi dinamici a informazione completa. Consideriamo il seguente gioco in forma estesa: 1 (t 1 ) n 1 (0,5) 2 (t 2 ) n 2 C D Fig Minaccia non credibile (1, 2) ( 1, 1) Ormai, siamo perfettamente in grado di trovare la soluzione del gioco attraverso il procedimento di induzione a ritroso. Infatti, se il giocatore 2 si trova nel nodo n 2 (se, quindi, il giocatore 1 ha scelto la mossa ), egli sceglierà la mossa C, che gli garantisce un payoff pari a 2, piuttosto che la mossa D, che gli garantisce un payoff pari a 1. Il giocatore 1, potendo prevedere tutto ciò,

13 Elementi di Teoria dei Giochi 31 sceglierà la mossa, che gli garantisce un payoff (1) più elevato rispetto alla mossa (0). Pertanto, la soluzione del gioco sarà (, C) con payoff (1, 2). Supponiamo, tuttavia, che, prima di iniziare il gioco, il giocatore 2 minacci il giocatore 1 di scegliere la mossa D qualora egli scelga la mossa. Il senso della minaccia è chiaro, in quanto al giocatore 2 conviene che il giocatore 1 scelga la mossa, perché così otterrebbe il payoff di gran lunga più elevato (5). In questo caso, però, difficilmente il giocatore 1 darà credito a tale minaccia, perché sa benissimo che, se sceglierà, al giocatore 2 converrà scegliere C anziché D. Si tratta, in sostanza, di una minaccia non credibile che non modifica in alcun modo l esito del gioco. Il giocatore 2 potrebbe, però, rendere credibile la minaccia stipulando, ad esempio, un contratto legalmente valido e non rinegoziabile in virtù del quale si impegna a scegliere la mossa D qualora il giocatore 1 scelga la mossa. In caso di mancato rispetto del contratto (cioè nel caso in cui scelga la mossa C anziché la mossa D) egli dovrebbe pagare una penalità pari a 4, per cui il suo payoff associato alla mossa C passerebbe da 2 a 2. Ci troveremmo, dunque, di fronte ad un nuovo albero del gioco: 1 (t 1 ) n 1 (0,5) 2 (t 2 ) n 2 C D Fig Minaccia credibile (1, 2) ( 1, 1) In questa nuova situazione il giocatore 1 sa che, se scegliesse la mossa, il giocatore 2 effettivamente sceglierebbe la mossa D (perché otterrebbe un payoff pari a 1 anziché a 2). Il giocatore 1 avrà, quindi, convenienza a scegliere la mossa, che gli consentirebbe di avere un payoff pari a 0, piuttosto che la mossa, che gli consentirebbe di avere un payoff pari a 1. Rendendo credibile la minaccia, il giocatore 2 è, dunque, riuscito a modificare a suo vantaggio l esito del gioco. 3.7 I GIOCHI RIPETUTI Il concetto di credibilità di una minaccia (o di una promessa) assume particolare rilevanza nel caso dei giochi ripetuti, cioè in tutti quei casi in cui l interazione strategica tra 2 o più soggetti si ripropone più volte nel corso del tempo.