SEPARAZIONE DELLE COMPONENTI ASTROFISICHE TRAMITE ALGORITMI DI INDEPENDENT COMPONENT ANALYSIS: APPLICAZIONE ALL ESPERIMENTO BEAST

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1 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI MILANO Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali Corso di Laurea in Fisica SEPARAZIONE DELLE COMPONENTI ASTROFISICHE TRAMITE ALGORITMI DI INDEPENDENT COMPONENT ANALYSIS: APPLICAZIONE ALL ESPERIMENTO BEAST Relatore interno: prof. Marco Bersanelli Correlatore: dott. Davide Maino Codice P.A.C.S.: Tesi di Laurea di Simona Donzelli Matricola n Anno Accademico

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3 ai miei genitori

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5 Indice 1 La radiazione cosmica di fondo Introduzione Origine e spettro della CMB Il modello cosmologico standard Lo scenario inflazionario Lo spettro di potenza Le anisotropie della CMB Anisotropie primarie Anisotropie secondarie Polarizzazione Limiti osservativi Esperimenti di anisotropia di CMB Le emissioni di foregrounds Introduzione Foregrounds galattici Emissione di sincrotrone Emissione di free-free Emissione da polveri Foregrounds extra-galattici Sorgenti extra-galattiche Effetto Sunyaev-Zel dovich

6 iv INDICE 3 Metodi di separazione delle componenti Introduzione L approccio Bayesiano Prior gaussiano: il Wiener filter Prior entropico: il metodo MEM L approccio ICA Corrispondenza spettrale FastICA L esperimento BEAST Introduzione Lo strumento Strategia d osservazione Riduzione dei dati Pipeline di generazione delle mappe Le mappe Applicazione di FastICA ai dati di BEAST Introduzione Smoothing delle mappe di BEAST Componenti ricostruite dai dati di BEAST Test di verifica delle ricostruzioni di CMB Simulazioni di mappe di cielo Mappe simulate di CMB Mappe simulate di rumore Mappe simulate alle diverse risoluzioni Mappe di CMB ricostruite dalle simulazioni Normalizzazione delle mappe di CMB Spettro di potenza Il metodo MASTER Applicazione del metodo MASTER Lo spettro di potenza della CMB ricostruita

7 INDICE v 6 Conclusioni e prospettive future 101

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9 Elenco delle tabelle 4.1 Caratteristiche dei ricevitori di BEAST nella configurazione usata alla WMRS. I canali 2 e 3 sono collegati all OMT Scaling in frequenza delle CMB ricostruite. ( in questo caso l algoritmo di FastICA non ha raggiunto la convergenza) Rapporti segnale/rumore delle mappe di cielo simulate Numero di mappe di CMB ricostruite correttamente Valori stimati per i due spettri di potenza di CMB ricavati dai dati di BEAST (in µk 2 )

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11 Elenco delle figure 1.1 Spettro in frequenza della CMB misurato da diversi esperimenti. La linea continua rappresenta l andamento spettrale di corpo nero Spettro di potenza della CMB misurato da WMAP. In alto: spettro della correlazione temperatura-temperatura (TT), con i dati di WMAP, CBI e ACBAR. La linea rossa è il best fit model. La banda grigia rappresenta la varianza cosmica per questo modello. In basso: spettro della correlazione temperatura-polarizzazione (TE) Mappe di CMB ottenute da COBE-DMR raffiguranti monopolo, dipolo e le anisotropie risultanti dopo la sottrazione della componente di dipolo Spettro di potenza per temperatura Θ e polarizzazione E e B. La linea tratteggiata indica una correlazione ΘE negativa, mentre i riquadri rappresentano gli errori statistici attesi per Planck Confronto tra la mappa di CMB ottenuta da COBE e quella ottenuta da WMAP

12 x ELENCO DELLE FIGURE 2.1 Ampiezza delle anisotropie in funzione della frequenza per la CMB e per le emissioni di sincrotrone, free-free ed emissione termica da polveri. Le linee tratteggiate mostrano il contributo totale dei foregrounds per due tagli del cielo conservanti il 77% e l 85% del cielo totale Spiegazione geometrica della radiazione di sincrotrone Mappa dell emissione di sincrotrone di Haslam a 408 MHz (scala tra 10 e 250 K) Mappa di Hα di Finkbeiner (scala tra 0.03 e 160 R) Mappa a 94 GHz dell emissione termica da polveri di Finkbeiner et al. (scala tra 0.4 e 400 µk) Spettro di potenza da una distribuzione di Poisson di sorgenti puntiformi a 100 GHz per tre diversi valori del limite di flusso per la rimozione di sorgenti (1, 0.1 e 0.01 Jy). Le linee punteggiate sono spettri di rumore, T&E96 è la stima di [88] e la linea tratto-punto è lo spettro di CMB per il modello cosmologico CDM Spettro di potenza dell effetto SZ calcolato per tre diversi modelli cosmologici. Lo spettro di potenza della CMB è calcolato nel modello ΛCDM. Sono mostrati anche con linea punteggiata l incertezza 1σ e con linea a tratti il contributo delle sorgenti puntiformi (< 2 Jy) per il canale di WMAP a 94 GHz (a) Meccanica di BEAST mostrato nell orientazione usata per le osservazioni a WMRS. (b) La schiera dei radiometri di BEAST Rappresentazione schematica di una catena radiometrica di BEAST Spettro di potenza normalizzato di un ricevitore di BEAST. 62

13 ELENCO DELLE FIGURE xi 4.4 (a) Il telescopio BEAST alloggiato all interno del garage alla WMRS. In questa configurazione l angolo di elevazione centrale è 90. (b) Le traiettorie dei 5 feed horns operativi di BEAST. La figura è un diagramma polare attorno allo zenith locale Risposta di un antenna di BEAST (banda Q) in funzione dell angolo rispetto alla direzione di puntamento. I lobi laterali raggiungono il minimo di -60 db ad angoli di sopra: mappa in banda Ka (30 GHz - risoluzione 30 ), sotto: mappa in banda Q (41.5 GHz - risoluzione 23 ) mappe differenza in banda Ka (a sinistra) e Q (a destra) numero di osservazioni per pixel per la mappa in banda Ka (a sinistra) e la mappa in banda Q (a destra) Pseudo spettro angolare di potenza (calcolato con anafast) della mappa di BEAST in banda Q convolute, dall alto verso il basso, a 30, 40 e 60. Lo smorzamento a l 70 è dovuto al filtro passa-alto a 10 Hz a sinistra: mappa in banda Q di BEAST, a destra: CMB ricostruita (con g) con il taglio per b 17.5 a a sinistra: mappa in banda Q di BEAST, a destra: CMB ricostruita (con g) con il taglio per b 17.5 a a sinistra: mappa in banda Q di BEAST, a destra: CMB ricostruita (con g) con il taglio per b 17.5 a in alto a sinistra: mappa di cielo in banda Q simulata, a destra: mappa di CMB ricostruita, in basso: mappa di CMB simulata a in alto a sinistra: mappa di cielo in banda Q simulata, a destra: mappa di CMB ricostruita, in basso: mappa di CMB simulata a

14 xii ELENCO DELLE FIGURE 5.7 in alto a sinistra: mappa di cielo in banda Q simulata, a destra: mappa di CMB ricostruita, in basso: mappa di CMB simulata a Correlazione CMB ricostruita-simulata (Ka in nero, Q in rosso) in funzione dello scaling a 30, 40 e 60 per p, g e t. La linea tratto-punto è in corrispondenza dello scaling atteso Correlazione CMB ricostruita/simulata in funzione dello scaling alle varie risoluzioni. La linea tratto-punto è in corrispondenza dello scaling atteso; le linee punteggiate indicano il coefficiente di correlazione minimo e lo scaling massimo delle ricostruzione di CMB considerate attendibili Istogramma degli scaling delle CMB ricostruite alle varie risoluzioni per p, g e t. La linea rossa tratto-punto indica lo scaling atteso, le linee blu a tratti gli scaling ricostruiti con i dati di BEAST Fattore di normalizzazione in funzione dello scaling alle varie risoluzioni per p, g e t. Le linee tratto-punto sono in corrispondenza dello scaling atteso e della normalizzazione pari ad Fattore di normalizzazione in funzione dello scaling: confronto alle varie risoluzioni (asterischi neri = 30, rombi rossi = 40, triangoli blu = 60 ) Fattore di normalizzazione in funzione dello scaling alle varie risoluzioni. I simboli rossi sono l interpolazioni con gli scaling delle CMB ricostruite dai dati di BEAST con il taglio per b 17.5 (asterischi = p, rombi = g, triangoli = t) Transfer function stimata per la CMB a 40 ricostruita da FastICA

15 ELENCO DELLE FIGURE xiii 5.15 Spettro angolare di potenza ottenuto dai dati di BEAST. In rosso: spettro della CMB ricostruita a 40 da FastICA con g. In nero: spettro della mappa di BEAST in banda Q a 23 [67]. La linea continua è il best fit model dello spettro di CMB stimato da WMAP. Per maggior chiarezza i punti dello spettro della CMB ricostruita sono traslati di l =

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17 Separazione delle componenti astrofisiche tramite algoritmi di Independent Component Analysis: applicazione all esperimento BEAST La radiazione cosmica di fondo (Cosmic Microwave Background o CMB) presenta anisotropie in temperatura di ampiezza T/T 10 5, prodotte da fluttuazioni di densità nel plasma primordiale (Capitolo 1). Lo spettro di potenza di queste anisotropie dipende criticamente dal valore dei parametri cosmologici, pertanto misure accurate di tale spettro permettono di ricavare importanti informazioni sulla struttura, composizione ed evoluzione dell universo. Una delle limitazioni principali all accuratezza delle misure di CMB è la presenza di foregrounds astrofisici, emissioni sia galattiche che extragalattiche nelle microonde che contribuiscono al segnale misurato (Capitolo 2). È necessario quindi separare efficacemente (a livello del µk) le diverse componenti per ottenere un segnale di CMB ripulito da tali emissioni. In particolare, data l incertezza nella conoscenza dei foregrounds, è importante disporre di metodi di separazione blind, che operino senza alcuna conoscenza a priori dei segnali (Capitolo 3). FastICA (Fast Independent Component Analysis) è un metodo di separazione blind, che assume che le componenti siano processi statisticamente indipendenti e che tutte, tranne al più una, presentino statistiche non gaussiane. La separazione è ottenuta massimizzando la non-gaussianità delle componenti ricostruite tramite un algoritmo iterativo, in cui la misura di non-gaussianità è data da un espressione approssimata della neg-entropy. In questo lavoro di tesi ho applicato FastICA ai dati dell esperimento BEAST (Background Emission Anisotropy Scanning Telescope), un telescopio Gregoriano off-axis di 2.2 metri, con ricevitori HEMT nelle bande di frequenza Ka (30 GHz) e Q (41.5 GHz) (Capitolo 4). Con i dati raccolti da BEAST alla White Mountain Research Station, in California, sono state ottenute due mappe di regioni limitate di cielo ( 2500 gradi quadrati) alla risoluzione di 30 per la banda Ka e 23 per la banda Q. La stima del rappor-

18 2 to segnale/rumore per queste mappe è molto inferiore ad 1. Per tale motivo mi sono concentrata sulle capacità dell algoritmo di estrarre il segnale di CMB. La più grossa limitazione di FastICA è la richiesta che il fascio d antenna dello strumento sia indipendente dalla frequenza. Ho quindi sottoposto a smoothing le mappe di BEAST per portarle a valori comuni di risoluzione angolare (30, 40 e 60 ), aumentando in questo modo il rapporto segnale/rumore. Dopo aver rimosso le due regioni attraversate dal piano galattico, ho applicato FastICA alle mappe di BEAST alle tre diverse risoluzioni (Capitolo 5). Le mappe di CMB ricostruite, a causa dello scarso rapporto segnale/rumore, presentano una dipendenza dalla frequenza significativamente diversa da quella aspettata. Ho però verificato che le ricostruzioni alle diverse risoluzioni angolari sono correlate tra loro e hanno un elevata correlazione (r 0.9) con la mappa di BEAST in banda Q, caratterizzata da un migliore rapporto segnale/rumore. Inoltre, aumentando l estensione del taglio del piano galattico, la ricostruzione non cambia apprezzabilmente. Queste sono indicazioni che il segnale ricostruito è effettivamente dominato da anisotropie della CMB. Per valutare la bontà dei risultati ottenuti ho eseguito delle simulazioni Monte Carlo alle diverse risoluzioni. Ho applicato la stessa strategia d osservazione e la stessa procedura di riduzione dei dati di BEAST ad un insieme di 100 realizzazioni di CMB, a cui ho sommato altrettante realizzazioni di rumore con la stessa distribuzione angolare e lo stesso rms per pixel delle mappe osservate. Dopo aver applicato FastICA alle simulazioni, ho calcolato la correlazione delle mappe di CMB ricostruite con le mappe di CMB in ingresso in funzione dello scaling in frequenza ricostruito. In corrispondenza dello scaling atteso la distribuzione presenta un picco, posizionato a valori di correlazione di 0.54 per 30, di 0.65 per 40 e di 0.70 per 60. Inoltre, come aspettato, il numero di mappe di CMB ricostruite correttamente cresce all aumentare della risoluzione angolare. A 60 FastICA ottiene fino a 82 ricostruzioni con valori di correlazione con le mappe d ingresso maggiori di 0.6. Di queste ricostruzioni, 15 hanno scaling compreso tra e 1.147

19 3 (valore aspettato: 1.022). Un ulteriore limitazione di FastICA è che in generale ricostruisce una copia dei segnali indipendenti. Per ottenere la corretta normalizzazione ho utilizzato ancora le simulazioni Monte Carlo, considerando il rapporto tra l rms delle CMB ricostruite, calcolato dopo aver sottratto il contributo del rumore, con l rms delle CMB in ingresso in funzione dello scaling in frequenza. Per ogni risoluzione angolare ho trovato una relazione quasi lineare fino ad un certo scaling s max e fattore di normalizzazione N max. Sia s max che N max diminuiscono passando da 30 a 60. In corrispondenza dello scaling atteso il fattore di normalizzazione è pari ad 1 ad ogni risoluzione. Ho quindi interpolato le relazioni trovate per ottenere la normalizzazione delle mappe di CMB ricostruite dai dati di BEAST. Ho infine ricavato lo spettro angolare di potenza della CMB ricostruita a partire dalla mappa osservata da BEAST a 40, utilizzando il fattore di normalizzazione ottenuto. Lo spettro ricavato è in ottimo accordo (entro 1σ) con lo spettro di potenza della mappa in banda Q a 23, ricavato in maniera indipendente. Questo conferma la corretta ricostruzione della CMB operata da FastICA con i dati di BEAST. Questi risultati dimostrano che FastICA è in grado di riconoscere correttamente la CMB anche quando l algoritmo è applicato a dati con rapporto segnale/rumore molto sfavorevole, e che la ricostruzione migliora all aumentare di tale rapporto. In futuro FastICA sarà applicato a dati di altri esperimenti di CMB (WMAP, WMPol, Planck).

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21 Capitolo 1 La radiazione cosmica di fondo 1.1 Introduzione La radiazione cosmica di fondo (Cosmic Microwave Background o CMB) costituisce oggi una delle tre evidenze osservative fondamentali del modello dell Hot Big Bang, insieme all abbondanza primordiale degli elementi leggeri [91] e all espansione dell universo secondo la legge di Hubble [43]. Secondo questo modello cosmologico l Universo ha avuto origine circa 13.7 miliardi di anni fa [10] da una fase caratterizzata da temperatura e densità elevate (ρ g/cm 3,T K a t 10 8 s) e da allora si sta espandendo e raffreddando. Dopo anni dal Big Bang la temperatura scese a 3000 K, permettendo ai protoni di catturare elettroni liberi per formare idrogeno neutro e altri elementi leggeri ( 3 He, 4 He, 7 Li). Questo evento, detto ricombinazione, ridusse improvvisamente l opacità per scattering Thomson, liberando i fotoni dall accoppiamento con la materia. Da quel momento i fotoni si sono propagati liberamente: la maggior parte di essi ha interagito solo gravitazionalmente con la materia, giungendo quasi inalterati fino a noi. Questi fotoni costituiscono la CMB che oggi noi osserviamo. Essi ci forniscono un immagine della superficie di ultimo scattering (Last Scattering Surface o LSS): la superficie sferica che rappresenta il luogo dove avvenne

22 6 La radiazione cosmica di fondo la ricombinazione. L esistenza di tale radiazione fossile di fondo era stata prevista a metà degli anni 40 da Gamow, studiando la nucleosintesi primordiale [33], cioè la fusione di protroni e neutroni in nuclei di idrogeno ed altri elementi leggeri avvenuta nei primi minuti successivi al Big Bang. Nel 1948 Alpher e Hermann stimarono che tale radiazione doveva permeare l intero universo con un temperatura di 5 K [1]. Fu solo però nel 1965 che i due radio-astronomi Penzias e Wilson scoprirono fortunosamente questa radiazione, misurando un eccesso di rumore di 3 K durante la calibrazione di una sensibilissima antenna per telecomunicazioni del Bell Telephone Laboratory [69]. Nel decennio successivo alla scoperta di Penzias e Wilson molti esperimenti e lavori teorici furono dedicati a stabilire la natura della CMB, verificandone l origine cosmica. All inizio degli anni 80 la previsione del modello dell Hot Big Bang dell esistenza di un fondo di radiazione altamente isotropo e con spettro pressochè Planckiano, era supportata dalle osservazioni. L interesse si spostò quindi sull osservazione di deviazioni dall isotropia e dallo spettro di corpo nero. Esperimenti sullo spettro di CMB ricercarono distorsioni spettrali: l osservazione di distorsioni infatti fornirebbe informazioni su processi fisici avvenuti nell universo primordiale e sulla storia termica dell Universo [14] (vedi 1.2). Misure della distribuzione angolare della CMB vennero eseguite con accuratezza sempre maggiore, senza però riuscire ad identificare anisotropie della CMB. Le misure da terra avevano indicato limiti superiori alle anisotropie, imposti dai limiti osservativi, dell ordine di T/T < La prima misura certa di anisotropia si ebbe all inizio degli anni 90 con COBE, la prima missione spaziale dedicata allo studio della CMB (vedi 1.9): COBE-DMR misurò le anisotropie della CMB all ordine di T/T 10 5 [9] su scale angolari maggiori di Origine e spettro della CMB Prima della ricombinazione (z 1000), temperatura e densità dell Universo erano molto elevate e materia e radiazione erano strettamente accoppiate ed

23 1.2 Origine e spettro della CMB 7 Figura 1.1: Spettro in frequenza della CMB misurato da diversi esperimenti. La linea continua rappresenta l andamento spettrale di corpo nero. in equilibrio termico: barioni e fotoni si comportavano come un unico fluido, mentre gli elettroni liberi agivano da collante attraverso la diffusione Thomson e Compton. Questi processi di scattering hanno portato la CMB ad avere uno spettro di corpo nero (vedi Fig. 1.1). In accordo con il modello dell Hot Big Bang, lo spettro in frequenza della CMB segue con ottima approssimazione (entro lo 0.03% [31]) una distribuzione Planckiana: B T (ν)dν = 2πhν3 c 2 dν exp (hν/kt) 1 erg/s/cm 2. (1.1) La CMB ha oggi una temperatura T 0 = ± K [62], con una densità di 400 fotoni/cm 3, ed è caratterizzata da un livello di isotropia molto alto ( 10 5 [9]). Lo spettro di corpo nero nel plasma primordiale è mantenuto da tre processi d interazione radiazione-materia: scattering Compton: γ 1 + e γ 2 + e

24 8 La radiazione cosmica di fondo scattering Compton doppio: γ 1 + e γ 2 + γ 3 + e Bremsstrahlung termico (free-free): Z + + e Z + + e + γ Ad ogni epoca l efficienza di questi processi dipende dal loro tempo-scala caratteristico in rapporto al tempo-scala dell espansione. Essi sono particolarmente efficienti ad alti redshift. Per redshift z > z th la produzione di fotoni data da free-free e scattering Compton doppio porta all equilibrio termico, stabilendo lo spettro di corpo nero. Perciò lo spettro è Planckiano per z > z th : energie rilasciate ai fotoni a redshift maggiori vengono ri-termalizzate e non imprimono cambiamenti permanenti nello spettro. Lo scattering Compton assicura invece solo l equilibrio cinetico per redshift z > z c , e in queste condizioni si ha uno spettro di Bose-Einstein, caratterizzato dal potenziale chimico µ. Quindi rilasci di energia a z < z th producono distorsioni spettrali. Queste distorsioni però non sono state osservate e la loro assenza impone limiti superiori ai parametri che descrivono la storia termica dell universo. In particolare FIRAS, operativo tra 60 e 600 GHz a bordo di COBE, ha fornito limiti superiori µ < per distorsioni chimiche, y < per distorsioni date dall effetto Compton e Y ff < per distorsioni spettrali causate da free-free [31]. Si hanno perciò limiti sull entità di eventuali iniezioni di energia nell universo primordiale [14]. L espansione dell Universo non ha alterato la forma dello spettro di corpo nero della CMB. Infatti, schematizzando l espansione dell Universo come espansione adiabatica di un gas di fotoni, cioè PV γ = cost con γ = 4/3, si ottiene T V 1 γ = V 1/3 R 1 (t) (1 + z). Dato che λ (1+z) 1, la quantità λt risulta costante. La funzione di Planck è caratterizzata dal termine exp (hc/kλt), quindi la forma non cambia. L effetto dell espansione è unicamente una decrescita di T e uno spostamento del picco a lunghezze d onda più grandi.

25 1.3 Il modello cosmologico standard Il modello cosmologico standard Osservando a grandi scale ( 300 Mpc) l Universo ci appare altamente omogeneo e isotropo, come evidenziato dall elevata isotropia della CMB. Questo significa che le sue proprietà sono le stesse per ogni osservatore e che esso appare lo stesso indipendentemente dalla direzione di osservazione. Con queste ipotesi di omogeneità e isotropia la metrica dello spazio-tempo è descritta adeguatamente dalla metrica di Robertson-Walker [90]: [ ] dr ds 2 = c 2 dt 2 a 2 2 (t) 1 kr 2 + r2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ), (1.2) dove k è legato alla curvatura dell Universo (k può essere negativo, nullo o positivo in corrispondenza di un Universo aperto, piatto o chiuso) e a(t) R(t)/R 0 è il fattore di scala adimensionale che descrive l espansione dell Universo. L evoluzione dinamica del fattore di scala a(t) è determinata risolvendo le equazioni di campo della Relatività Generale di Einstein. Il risultato sono le equazioni di Friedmann: ä ( a = 4πG ρ + 3p ) 3 c 2 + Λc2 3, (1.3) (ȧ a ) 2 + kc 2 a 2 = 8πG 3 ρ + Λc2 3, (1.4) dove Λ è la costante cosmologica, G la costante di gravitazione, ρ e p racchiudono tutti i contributi di densità e pressione dell Universo. L Eq. (1.4) fornisce un legame diretto tra la densità di energia dell Universo e la sua geometria. In particolare, se Λ = 0, esiste un valore di densità critica ρ c = (3H 2 )/(8πG) per cui k = 0, dove H(t) = ȧ/a è il parametro di Hubble. Un Universo con ρ > ρ c sarebbe spazialmente chiuso, mentre per ρ < ρ c sarebbe aperto. Si è soliti esprimere la densità di massa ed energia dell Universo con il parametro Ω ρ/ρ c. La miglior stima del parametro di densità fornita recentemente da WMAP è Ω 0 = 1.02 ± 0.02 [85], molto vicino ad 1, dove il pedice indica che ci si riferisce alla densità attuale.

26 10 La radiazione cosmica di fondo 1.4 Lo scenario inflazionario Nonostante il suo successo il modello dell Hot Big Bang lascia aperte alcune domande: perchè la densità attuale è così vicina a quella critica (problema della piattezza)? perchè l universo è omogeneo e isotropo su grande scala, mentre è disomogeneo su piccola scala (origine delle fluttuazioni primordiali di densità)? perchè la CMB ha la stessa temperatura su tutto il cielo ad un alto grado di accuratezza, anche se le regioni causalmente connesse sulla LSS hanno dimensione angolare di pochi gradi (problema dell orizzonte)? Grande attenzione è stata rivolta in particolare al problema delle disomogeneità. I primi modelli erano basati su un Universo puramente barionico, cioè formato da materia ordinaria, ma prevedevano un livello di anisotropia troppo alto ( 10 3 ) rispetto alle osservazioni. Si è iniziato quindi a considerare un Universo composto da barioni e vari tipi di materia oscura. Molte assunzioni vanno fatte circa le condizioni iniziali per l instabilità gravitazionale: la geometria dell Universo (e.g., piatto), la distribuzione statistica delle fluttuazioni di densità (e.g., Gaussiana) e il loro spettro di potenza. Tali assunzioni sono comprese nel paradigma inflazionario, il quale prevede che l Universo nei suoi primissimi istanti (t s) abbia avuto un espansione esponenziale [57]. L inflazione risolve sia il problema della piattezza che quello dell orizzonte e specifica le condizioni iniziali per la formazione di strutture, facendo predizioni sulla statistica delle anisotropie della CMB e sulla distribuzione di materia. In questo scenario il meccanismo fisico che porta a tale espansione e alle fluttuazioni di densità è un campo scalare cosmologico, inizialmente spostato dal minimo del potenziale. Nell approssimarsi lentamente al valore di minimo ne risulta un espansione esponenziale. Inoltre il campo, avvicinandosi a tale minimo, inizia ad oscillare e il decadimento di queste oscillazioni può portare alla produzione di particelle e radiazione. Le fluttuazioni quantistiche presenti durante l inflazione sono stirate dall espansione accelerata e diventano perturbazioni di densità, che lasciano la loro impronta come variazioni spaziali nella temperatura della CMB.

27 1.5 Lo spettro di potenza 11 Questo modello prevede che le fluttuazioni di densità siano Gaussiane in origine, con uno spettro di potenza P(k) k ns, molto vicino ad essere invariante rispetto alla scala (n s = 1). Questo significa che le perturbazioni in piccole regioni hanno la stessa grandezza di quelle che interessano regioni più grandi. Differenti processi sono responsabili nell accoppiare le fluttuazioni primordiali di densità con la radiazione, e la loro efficienza dipende fortemente dalla scala angolare. La dipendenza della CMB dalla scala angolare è descritta adeguatamente dallo spettro angolare di potenza. 1.5 Lo spettro di potenza Per studiare la dipendenza delle variazioni in temperatura della CMB dalla scala angolare si usa espandere le anisotropie sulla sfera celeste in armoniche sferiche: T T (θ,φ) = a lm Y lm (θ,φ), (1.5) lm dove l π/θ è l ordine di multipolo e Y lm sono le armoniche sferiche. I coefficienti dell espansione a lm rappresentano i momenti di multipolo e sono caratterizzati da una media nulla, a lm = 0, e da una varianza diversa da zero, a lm 2 0 [18], dove la media si intende su tutti gli osservatori. L assenza di una direzione privilegiata implica che a lm 2 non dipendono da m. Si definiscono i coefficienti C l a lm 2 e, dato che per ogni l ci sono 2l + 1 valori di m, si ha C l = 1 2l + 1 l m= l a lm 2. (1.6) Lo spettro angolare di potenza delle anisotropie è definito come l insieme dei coefficienti C l (vedi Fig. 1.2). Se le fluttuazioni in temperatura della CMB sono gaussiane, come suggerito nello scenario inflazionario, allora lo spettro di potenza descrive completamente le loro proprietà statistiche, essendone per definizione la varianza.

28 12 La radiazione cosmica di fondo Figura 1.2: Spettro di potenza della CMB misurato da WMAP. In alto: spettro della correlazione temperatura-temperatura (TT), con i dati di WMAP, CBI e ACBAR. La linea rossa è il best fit model. La banda grigia rappresenta la varianza cosmica per questo modello. In basso: spettro della correlazione temperatura-polarizzazione (TE) (vedi 1.7). ( Lo spettro (1.6) è legato alla funzione di correlazione a due punti C(θ) = ( T T (n 1) T ) T (n 2) = l 2l + 1 4π C lp l (cos θ), (1.7)

29 1.6 Le anisotropie della CMB 13 dove n 1 e n 2 sono due vettori unitari separati da un angolo θ e P l sono i polinomi di Legendre di ordine l. Nei modelli inflazionari i coefficienti C l possono essere calcolati accuratamente come funzione dei parametri cosmologici [40, 79]. Infatti le anisotropie sono generate da molti processi fisici, come spiegato nel successivo paragrafo, la cui efficienza dipende criticamente dal valore assunto dai parametri cosmologici, come la densità totale dell universo Ω 0, la densità dei barioni Ω b, la costante di Hubble h, la costante cosmologica Λ o l indice spettrale n s. A partire da tali processi un modello cosmologico può predire forma, posizione e altezza dei picchi che caratterizzano lo spettro di potenza delle anisotropie. 1.6 Le anisotropie della CMB L anisotropia di ampiezza maggiore ( T/T 10 3 ) è osservabile alla scala angolare di 180 (vedi Fig. 1.3). Essa tuttavia non è di natura intrinseca, ma è causata dall effetto Doppler dovuto al moto del nostro sistema di riferimento locale rispetto al sistema di riferimento del campo di CMB. Questa anisotropia è detta di dipolo. Infatti, scrivendo la temperatura osservata ad un angolo θ rispetto alla direzione del moto dell osservatore, si ha: [ T oss (θ) = T v c cos θ + 1 ( v ) 2 cos 2θ + O(v )] 3, (1.8) 2 c dove il termine dominante è quello di dipolo (v/c)cos θ. Al contrario, il quadrupolo dinamico (terzo termine nell Eq. (1.8)) é piuttosto piccolo ( 1% del dipolo) e molto inferiore al quadrupolo cosmico intrinseco della CMB. Escludendo la componente di dipolo, le anisotropie della CMB si possono suddividere in primarie e secondarie. Le prime sono generate dall inizio dell Universo fino all epoca della ricombinazione e racchiudono le informazioni sull universo primordiale, le seconde invece sono impresse nella CMB ad epoche successive alla ricombinazione.

30 14 La radiazione cosmica di fondo Figura 1.3: Mappe di CMB ottenute da COBE-DMR raffiguranti monopolo, dipolo e le anisotropie risultanti dopo la sottrazione della componente di dipolo. ( Anisotropie primarie Le anisotropie primarie possono essere caratterizzate in base alle loro dimensioni angolari. I processi fisici responsabili dell evoluzione delle disomogeneità primordiali sono quelli che hanno agito su distanze causalmente connesse. Tale distanza sulla superficie di ultimo scattering, convertita in distanza angolare tra due punti, è θ H 2 Ω 0 2.

31 1.6 Le anisotropie della CMB 15 Effetto Sachs-Wolfe: θ θ H È il processo dominante a scale angolari maggiori dell orizzonte alla ricombinazione. Le perturbazioni di densità δρ nel plasma primordiale producono perturbazioni δφ nel potenziale gravitazionale Φ. I fotoni della CMB, uscendo dalle buche di potenziale, subiscono redshift gravitazionale, perdendo energia. Si ha quindi una variazione di temperatura T/T = δφ/c 2. Inoltre i fotoni che hanno subito redshift sono osservati a differenti tempi e quindi a diversi valori del fattore di scala a(t) rispetto ai fotoni non perturbati. L effetto di questa dilatazione temporale sulla temperatura è T/T = 2δΦ/3c 2. La variazione netta della temperatura dei fotoni è quindi data da T/T = δφ/3c 2. Poichè non si ha connessione causale, queste perturbazioni a larga scala riflettono direttamente lo spettro di potenza iniziale delle perturbazioni di densità. Se tale spettro è il cosiddetto spettro di Harrison- Zel dovic (P(k) k ns, n s = 1), si può mostrare [13] che l effetto Sachs-Wolfe produce uno spettro di potenza C l 1/(l(l + 1)). Per tale motivo si è soliti rappresentare lo spettro di potenza in termini di l(l+1)c l : in questo modo si può subito riconoscere il plateau dovuto a questo effetto (l 90), ricavandone informazioni sull indice spettrale n s. Oscillazioni acustiche: 0.1 θ θ H Queste anisotropie sono legate a processi causali avvenuti nel fluido di barioni e fotoni fino alla ricombinazione. Prima del disaccoppiamento l evoluzione delle perturbazioni di densità in presenza del potenziale gravitazionale può essere descritta dall equazione di un oscillatore armonico forzato. La gravità infatti agisce come una forzante: i barioni tendono a collassare a causa dell auto-gravitazione. Alla gravità si oppone la pressione di radiazione. Questo genera delle oscillazioni acustiche di densità nel fluido. Poichè la ricombinazione è un processo quasi istantaneo, modi di oscillazione con diversa lunghezza d onda saranno

32 16 La radiazione cosmica di fondo congelati in fasi diverse di oscillazione al momento della ricombinazione. Il primo picco acustico corrisponde ad un onda di densità al massimo di oscillazione. La sua posizione nello spettro di potenza è legata alla densità totale Ω 0 : si può mostrare [40, 79] che l 1 200/ Ω 0. I picchi successivi sono armoniche superiori di oscillazioni principali, quindi hanno oscillato più di una volta. I picchi dispari sono dovuti alla fase di compressione del fluido, picchi pari a quella di rarefazione. Generalmente i picchi dispari saranno più alti di quelli pari, a causa dell effetto inerziale dei barioni. Pertanto dal rapporto dei picchi pari e dispari si possono dedurre informazioni circa la densità dei barioni Ω b. Le valli tra i picchi sono parzialmente riempite perchè corrispondono a massimi di velocità, sfasati di 90 rispetto ai massimi di densità. Smorzamento per diffusione: θ 0.1 La LSS ha uno spessore finito ( z 195 [10]), perchè la ricombinazione è un processo di breve durata, ma non istantaneo. Durante questo tempo i fotoni possono diffondersi per una certa distanza. Anisotropie su scale inferiori a questo cammino libero sono così cancellate dalla diffusione. L effetto sullo spettro di potenza è uno smorzamento quasi esponenziale, detto Silk damping, a l Il parametro che quantifica questo effetto è τ, la profondità ottica alla ricombinazione: i picchi a grandi l sono smorzati di un fattore e 2τ Anisotropie secondarie Tra la superficie di ultimo scattering e noi possono avvenire diversi processi, che alterano le anisotropie della CMB. Tali processi possono essere principalmente di due tipi: effetti gravitazionali ed effetti di diffusione da zone reionizzate dell Universo.

33 1.6 Le anisotropie della CMB 17 Effetti gravitazionali: Variazioni temporali del potenziale gravitazionale lungo la traiettoria dei fotoni producono l effetto Sachs-Wolfe integrato (o ISW), che causa un redshift gravitazionale dei fotoni. Principalmente sono tre le situazioni in cui il potenziale può variare nel tempo. Subito dopo la ricombinazione la densità dei fotoni non è completamente trascurabile e questo causa un decadimento nel potenziale Φ, producendo l effetto Early ISW. Esso presenta un picco nello spettro di potenza a scale angolari poco superiori a quelle del primo picco acustico: a queste scale quindi l Early ISW aggiunge potenza allo spettro. Un universo aperto o dominato dalla costante cosmologica Λ entra in una fase di rapida espansione che porta ad un universo dominato rispettivamente dalla curvatura o dal vuoto. Questo produce una variazione di Φ e quindi l effetto Late ISW, rilevante su scale angolari molto grandi. Infine, quando le strutture iniziano a formarsi, si entra in un regime non lineare in cui l approssimazione Φ costante non è più valida. Questo causa l effetto Rees-Sciama [73], rilevante a scale angolari molto piccole. Un altro effetto gravitazionale è il lensing gravitazionale, dovuto a grandi concentrazioni di massa, come ammassi di galassie, che altera le direzione dei fotoni. L effetto di queste deviazioni casuali sullo spettro di potenza è uno smorzamento delle oscillazioni acustiche, mentre a scale angolari molto piccole, dove si ha il Silk damping, il lensing gravitazionale aggiunge potenza, portando ad uno smorzamento più lento [95]. Reionizzazione: Nel caso di reionizzazione locale si ha l effetto Sunyaev- Zel dovich (o SZ) [87], risultato dello scattering Compton inverso dei fotoni CMB da parte di un gas di elettroni all interno di ammassi di galassie [76]. L effetto SZ verrà descritto in dettaglio nel paragrafo Alcuni dati osservativi indicano anche una reionizzazione globale: gli spettri di assorbimento di quasar lontani (z 6) non mostrano in-

34 18 La radiazione cosmica di fondo reionization ΘE T (µk) 1 EE BB 0.1 gravitational waves gravitational lensing l (multipole) Figura 1.4: Spettro di potenza per temperatura Θ e polarizzazione E e B. La linea tratteggiata indica una correlazione ΘE negativa, mentre i riquadri rappresentano gli errori statistici attesi per Planck [39]. fatti il continuo atteso in presenza di gas neutro [7]. Questo fatto è spiegato ammettendo che a quell epoca l Universo fosse altamente ionizzato. Dato che la CMB è diffusa da elettroni liberi, a causa della reionizzazione i fotoni che vediamo arrivare da una certa direzione potrebbero invece provenire da una direzione sulla LSS completamente diversa. Questo causa uno smorzamento esponenziale delle anisotropie su scale più piccole delle dimensioni dell orizzonte all epoca di questa nuova reionizzazione. Il parametro che quantifica questo effetto è τ r, la profondità ottica alla reionizzazione.

35 1.7 Polarizzazione Polarizzazione Oltre ad anisotropie in temperatura, la CMB possiede anche anisotropie nella componente linearmente polarizzata della radiazione. La polarizzazione della CMB è prodotta dallo scattering Thomson avvenuto al momento dell ultima diffusione. Il grado di polarizzazione è legato all anisotropia di quadrupolo della CMB alla ricombinazione, perchè solo una radiazione che possiede tale anisotropia risulta linearmente polarizzata in seguito allo scattering [41]. La polarizzazione dipende anche dalla durata della ricombinazione: prima di essa infatti le diffusioni multiple cancellano la polarizzazione, mentre dopo i processi di scattering sono trascurabili. Pertanto solo una piccola frazione dell anisotropia in temperatura è polarizzata: 1 10%, a seconda della scala angolare considerata. Inoltre, poichè la polarizzazione è prodotta da processi causali, il suo spettro di potenza presenta picchi a dimensioni angolari inferiori all orizzonte della LSS. La polarizzazione della CMB si può separare in due differenti componenti: modo-e ( elettrico, caratterizzato da rotore nullo) e modo-b ( magnetico, con divergenza nulla). Le misure di CMB possono quindi essere decomposte in tre mappe: T di temperatura ed E e B di polarizzazione. Da queste si possono estrarre sei spettri di potenza corrispondenti alle correlazioni TT, EE, BB, TE, TB ed EB, ma gli ultimi due risultano nulli per parità (vedi Fig. 1.4). Perturbazioni in temperatura della CMB di diversa origine contribuiscono in maniera diversa ai due modi della polarizzazione: perturbazioni scalari (fluttuazioni di densità) generano solo il modo-e, perturbazioni vettoriali generano principalmente il modo-b, mentre perturbazioni tensoriali (onde gravitazionali) contribuiscono ad entrambi [42]. Il modo-e è stato recentemente misurato a livello di qualche µk [56], mentre non si ha ancora una misura del modo-b, per il quale si attende un segnale ancora inferiore. L osservazione della polarizzazione fornisce informazioni dirette sulla LSS e sull anisotropia di quadrupolo, poichè essa è prodotta solo al momento dell ultima diffusione. Allo polarizzazione generata alla ricombinazione può

36 20 La radiazione cosmica di fondo però aggiungersi quella prodotta all epoca della reionizzazione, che nello spettro di potenza della polarizzazione aumenta il segnale per l 20, e la polarizzazione data da lensing gravitazionale e foregrounds (vedi Cap. 2), che possono generare entrambi i modi di polarizzazione. Lo studio della polarizzazione della CMB costituisce pertanto un mezzo per distinguere i diversi meccanismi che producono le anisotropie e quindi i modelli cosmologici. Questo può essere utile per rompere la degenerazione 1 tra i parametri cosmologici. 1.8 Limiti osservativi Misure accurate dello spettro di potenza della CMB permettono di ricavare una grande quantità di informazioni cosmologiche, dato che la forma dipende criticamente dal valore dei parametri cosmologici. Esistono però molte limitazioni all accuratezza raggiungibile in un osservazione di CMB. Le principali sono la varianza cosmica, la sensibilità dei rivelatori e l emissione di foreground. L ultima verrà descritta in esteso nel prossimo capitolo. La varianza cosmica è un limite intrinseco alla CMB. La CMB osservata è infatti una singola realizzazione di un processo stocastico: il nostro universo osservabile potrebbe quindi non corrispondere esattamente alla media su tutte le possibili realizzazioni. Questo significa che i coefficienti a lm (vedi 1.5) sono variabili casuali indipendenti, distribuite identicamente in modo gaussiano (per un dato l). I coefficienti C l pertanto seguono una distribuzione χ 2 con 2l + 1 gradi di libertà, la cui varianza è: δc l 2 = C l 2l + 1. (1.9) Come si vede essa è tanto più importante quanto più basso è il multipolo l considerato. In esperimenti di CMB che non coprono l intero cielo si deve 1 differenti combinazioni dei valori dei parametri cosmologici risultano in uno spettro di potenza di CMB praticamente indistinguibile

37 1.9 Esperimenti di anisotropia di CMB 21 considerare anche la varianza del campione: la frazione f sky di cielo osservata potrebbe infatti non essere rappresentativa della realizzazione completa. La sensibilità dei rivelatori è importante in un osservazione di anisotropia della CMB, dato che il segnale da misurare è molto piccolo. Dall inizio dello studio dell anisotropia della CMB la tecnologia dei rivelatori radiometrici e bolometrici ha avuto una rapida e continua evoluzione. Per ottenere una sensibilità elevata oggi sono impiegate schiere di bolometri raffredati criogenicamente (a K) o schiere di radiometri basati sulla tecnologia HEMT (High Electron Mobility Transistor), operanti a temperature criogeniche. Con tali strumenti si può ottenere una sensibilità elevata: ad esempio per il satellite Planck (vedi 1.9), equipaggiato con questi strumenti, si attende una sensibilità di pochi µk (con tempi di osservazione di 12 mesi) per elemento di risoluzione ( qualche arcominuto). Combinando la varianza cosmica e quella di campione con gli effetti strumentali, si ottiene che l incertezza finale sui C l è data da: [ ] δc l 2 = 1 + Aσ2 pix C l f sky (2l + 1) Bl 2C, (1.10) ln pix dove A è l estensione angolare della regione osservata, N pix è il numero di pixel osservati e σ pix è la sensibilità per pixel. Bl 2 è la window function, che dipende dalla risoluzione angolare dello strumento, e per un fascio d antenna gaussiano, è data da: [ B l = exp 1 ] 2 l(l + 1)σ2 B, σ B = θ FWHM, (1.11) 8ln 2 dove θ FWHM, espressa in radianti, è la larghezza a metà altezza del fascio d antenna, che quantifica la risoluzione angolare dello strumento. 1.9 Esperimenti di anisotropia di CMB Il primo esperimento che rivelò le anisotropie della radiazione cosmica di fondo fu COBE (COsmic Background Explore), la prima missione spaziale

38 22 La radiazione cosmica di fondo dedicata allo studio della CMB. Lanciato nel novembre 1989, con i tre strumenti DMR (Differential Microwave Radiometers), DIRBE (Diffuse Infra Red Experiment) e FIRAS (Far-Infra Red Absolute Spectrophotometer), osservò il cielo per quattro anni. FIRAS ha stabilito che lo spettro di CMB è Planckiano entro un limite dello 0.03% alle frequenze GHz ad una temperatura di ± K [31]. DMR ha misurato le anisotropie a 31.5, 53 e 90 GHz con risoluzione angolare di 7, evidenziando anisotropie a grandi scale angolari (l < 20) con un ampiezza di 29 ± 1µK a 10 [9]. Dopo COBE-DMR diversi esperimenti sia da terra che da pallone hanno misurato le anisotropie della CMB, su zone limitate di cielo, a diverse frequenze e con risoluzioni sempre migliori (vedi [12] per una rassegna più completa). Rispetto ad un satellite però le limitazioni sono maggiori. È necessario infatti fare i conti con l emissione della Terra e dell atmosfera, specialmente per misure da terra, ed in più con il limitato tempo di osservazione per esperimenti da pallone. Inoltre la copertura di solo una frazione f sky 1 del cielo costituisce, come già visto, un forte limitazione (vedi Eq. (1.10)). Essi hanno comunque contribuito in modo sostanziale alla conoscenza della CMB, e continuano a fornire dati interessanti sia per misure di temperatura che di polarizzazione. Ad esempio Boomerang[21], un esperimento da pallone con bolometri raffreddati a 0.3 K, nel primo volo attorno al Polo Sud ha osservato una regione di cielo di 200 deg 2 con risoluzione di 10 a frequenze tra 90 e 400 GHz. Esso ha fornito la prima misura accurata del primo picco acustico ed informazioni sullo spettro di potenza nell intervallo 75 < l < Anche l esperimento da pallone MAXIMA [86], equipaggiato con 16 bolometri con frequenze tra GHz, in due voli successivi ha ricavato con precisione lo spettro di potenza fino a l 1200, confermando i risultati di Boomerang. CBI [61] è invece un esperimento da terra, situato in Cile a 5080 m di altezza, con radiometri basati sulla tecnologia HEMT a frequenze GHz, progettato per essere sensibile fino a piccolissime scale angolari. Ha infatti misurato lo spettro di potenza fino a l 3000, con un ottimo

39 1.9 Esperimenti di anisotropia di CMB 23 accordo con le misure di Boomerang, MAXIMA e BEAST (vedi Cap. 4) a l < Numerosi esperimenti da terra e da pallone sono operativi per effettuare misure di polarizzazione di CMB. Nel 2002 DASI, uno strumento con radiometri HEMT a frequenze GHz situato nella stazione di ricerca del Polo Sud, ha fornito le prime evidenze dell esistenza di anisotropie di polarizzazione, misurando il modo-e della polarizzazione [41] a livello di qualche µk [52, 56]. La polarizzazione della CMB è stata in seguito confermata dalla misura dello spettro di potenza TE eseguita dal satellite WMAP [51]. Recentemente anche CAPMAP [6] e CBI [72] hanno misurato il modo-e della polarizzazione della CMB. Per quanto riguarda il modo-b, atteso ad un livello inferiore, a tutt oggi non è stato ancora possibile ottenere un risultato positivo. Il satellite WMAP (Wilkinson Microwave Anisotropy Probe) è la seconda missione spaziale dedicata allo studio della CMB. WMAP è costituito da radiometri differenziali in 5 canali di frequenza tra GHz. La risoluzione angolare varia tra a seconda della frequenza e la sensibilità attesa a fine missione è 35µK per pixel di dimensioni Lanciato dalla NASA nel giugno 2001, ha fornito le prime mappe relative al primo anno di missione nel marzo 2003 [10] (vedi Fig. 1.5). Lo spettro di potenza è stato estratto con un accuratezza senza precedenti fino a l 800. WMAP ha inoltre misurato lo spettro di potenza della correlazione tra polarizzazione e temperatura [51]. Per il 2007 è previsto il lancio del satellite di terza generazione Planck, la missione dell ESA per lo studio delle anisotropie. Planck fornirà mappe di tutto cielo a risoluzione 30 5 e frequenze GHz e GHz, rispettivamente per lo strumento HFI e LFI (High and Low Frequency Instrument), con sensibilità per elemento di risoluzione pari a 1 3µK. Questo permetterà un accurata ricostruzione dello spettro di potenza fino a l : la precisione finale sarà data dalla varianza cosmica e dai foregrounds astrofisici. Planck sarà inoltre sensibile alla polarizzazione tra

40 24 La radiazione cosmica di fondo Figura 1.5: Confronto tra la mappa di CMB ottenuta da COBE e quella ottenuta da WMAP. ( 30 e 350 GHz.

41 Capitolo 2 Le emissioni di foregrounds 2.1 Introduzione Il segnale misurato in un qualunque esperimento di CMB contiene diversi contributi astrofisici, sia galattici che extra-galattici, che devono essere propriamente stimati per ottenere un segnale di CMB il più possibile ripulito da queste emissioni. Questi contributi di foregrounds possono essere stimati tramite misure a multi-frequenza, dato che presentano caratteristiche spettrali diverse, e conoscendone le distribuzioni angolari e in frequenza è possibile tenerne conto. Queste distribuzioni però ancora non sono state determinate precisamente, perciò si ha un incertezza nella separazione dei foregrounds. Questo è un problema rilevante per gli esperimenti di CMB, dove ci si aspetta di misurare segnali dell ordine del µk. I principali metodi di separazione verrano descritti in dettaglio nel prossimo capitolo. 2.2 Foregrounds galattici I principali processi fisici responsabili dell emissione di foregrounds galattici sono tre: radiazione di sincrotrone, Bremsstrahlung termico (free-free) ed emissione termica da polveri. In Figura 2.1 sono mostrate, in temperatura d antenna e in funzione della frequenza, le ampiezze delle anisotropie delle tre emissioni, confrontate con il livello dell anisotropia della CMB. Intorno

42 26 Le emissioni di foregrounds Figura 2.1: Ampiezza delle anisotropie in funzione della frequenza per la CMB e per le emissioni di sincrotrone, free-free ed emissione termica da polveri. Le linee tratteggiate mostrano il contributo totale dei foregrounds per due tagli del cielo conservanti il 77% e l 85% del cielo totale. ( a 70 GHz vi è una finestra cosmologica spettrale in cui i foregrounds galattici presentano un minimo, e in cui perciò ci si apetta di fare misure di CMB migliori Emissione di sincrotrone L emissione galattica di sincrotrone è prodotta dagli elettroni dei raggi cosmici accelerati dal campo magnetico galattico. Quindi l intensità dell emissione dipende dalla distribuzione di energia degli elettroni e dalla struttura del campo magnetico [58, 78, 82]. Un elettrone accelerato da un campo magnetico di intensità B si muove

43 2.2 Foregrounds galattici 27 Figura 2.2: Spiegazione geometrica della radiazione di sincrotrone di moto elicoidale attorno alle linee di forza del campo con frequenza, detta di ciclotrone: ω B = eb γmc, (2.1) dove γ è il fattore di Lorentz. La radiazione di sincrotrone è prodotta da elettroni ultra relativistici (γ 1). L effetto delle velocità relativistiche è di concentrare la radiazione in uno stretto cono, di semi-apertura 1/γ, attorno alla direzione di avanzamento dell elettrone. Un osservatore riceve la radiazione solo se la linea di vista è contenuta in tale cono, perciò, riferendoci alla Figura 2.2, solo nell intervallo di tempo tra i punti 1 e 2: t = a θ c = 2 γω B sin α, (2.2) dove a è il raggio di curvatura e sin α riproietta la traiettoria dell elettrone nel piano perpendicolare al campo B. Quindi l osservatore vede impulsi di durata t = t(1 v/c) t/2γ 2, e lo spettro risultante è caratterizzato dalla frequenza critica 1/ t, pari a: ω c 3 2 γ2 ω B sin α (2.3)

44 28 Le emissioni di foregrounds A ω max = 0.29ω c lo spettro presenta un picco, mentre mostra uno smorzamento per frequenze maggiori di ω c. La potenza emessa da un singolo elettrone per unità di frequenza è P(ω) = 3 2π e 3 ( ) B sinα ω mc 2 F, (2.4) ω c dove F(x) x K 5/3dx e K 5/3 è la funzione di Bessel modificata di ordine 5/3. Per poter ricavare l intensità dell emissione di sincrotrone occorre quindi tener conto della distribuzione di energia N(E) dei raggi cosmici e degli angoli di elevazione α lungo una data linea di vista l. L intensità totale osservata della radiazione è data da [8]: I(ν) = P(ν,B,E)N(E,l)dEdl, (2.5) dove P(ν,B,E) è la potenza emessa da un singolo elettrone (Eq. (2.4)). Sia N(E,l) che B(l) non sono conosciuti con esattezza, perciò per risolvere l integrale (2.5) si deve ricorrere a delle approssimazioni. Si può assumere che le direzioni degli elettroni rispetto al campo B siano isotrope, mentre lo spettro di energia si può approssimare con una legge di potenza: dn(e)/de = N 0 E p [66]. La temperatura di brillanza, legata all intensità dalla relazione T(ν) = I(ν)c 2 /2kν 2, risulta perciò T(ν) = 3e 3 8πmc 2 ( ) 3e (p 1)/2 4πm 3 c 2 l N 0 B (p+1)/2 eff ν (p+3)/2 a(p), (2.6) dove a(p) è una funzione debole dell energia dell elettrone, l e B eff sono la lunghezza attraverso il volume emittente e il campo effettivo lungo la linea di vista. Quindi l emissione di sincrotrone ha uno spettro T(ν) ν (p+3)/2 ν β sinc, dove β sinc è l indice spettrale di sincrotrone. Per energie di qualche GeV lo spettro di energia degli elettroni dei raggi cosmici locali si irripidisce, passando da un indice spettrale p di 2.7 a 3.3 [65, 92]. Ciò è dovuto al fatto che la perdita di energia degli elettroni aumenta con la radice dell energia. L irripidimento osservato dello spettro degli elettroni a energie di qualche

45 2.2 Foregrounds galattici 29 Figura 2.3: Mappa dell emissione di sincrotrone di Haslam a 408 MHz [37] (scala tra 10 e 250 K). ( GeV è usato per creare modelli dello spettro di emissione radio a frequenze dell ordine del GHz [4, 70]. La radiazione di sincrotrone è l emissione dominante per ν 1 GHz, perciò mappe di cielo in questo intervallo di frequenza si possono considerare mappe di solo sincrotrone, e da esse si può determinare l indice spettrale dell emissione. L unica mappa a tutto-cielo di sincrotrone è quella ottenuta a 408 MHz da Haslam et al. [37] (vedi Fig. 2.3), mentre mappe che coprono una larga frazione di cielo sono state ottenute a 1420 MHz [75] (declinazioni δ > 19 ) e a 2326 MHz [48] (declinazioni δ < 30 ). Altre mappe non complete sono state ottenute a frequenze tra 38 MHz e 820 MHz [54]. Queste misure però sono affette da incertezze sulla calibrazione del livello zero e sul guadagno strumentale. Per far corrispondere i dati alla legge di potenza prevista (Eq. (2.6)) sono necessarie ampie correzioni, confrontabili con l errore delle mappe [54]. In regioni dove il segnale è debole, ideali per misure di CMB, queste incertezze si riflettono in un errore del 36% sul calcolo di β sinc [82]. L indice spettrale β sinc aumenta con la frequenza, come ci si aspetta

46 30 Le emissioni di foregrounds dallo spettro degli elettroni, e varia spazialmente, a causa delle variazioni sia dello spettro di energia degli elettroni che del campo magnetico galattico. Usando dati tra 38 e 1420 MHz Lawson et al. [54] hanno ricavato, per l emifero nord celeste, un indice spettrale medio β sinc 2.7, con variazioni al minimo di 0.3. Importante nella determinazione dell indice spettrale è anche l efficienza della tecnica di destriping adottata per rimuovere gli effetti sistematici dalle mappe. Un primo metodo è stato usato da Davies et al. [20] con le mappe a 408 e 1420 MHz, stimando un indice β sinc tra 2.8 e 3.2. Recentemente, sottoponendo le mappe a 408, 1420 e 2326 MHz ad un accurato processo di destriping, Platania et al. [71] hanno ricavato una distribuzione di indici spettrali con media β sinc = ± A frequenze maggiori di 2-3 GHz non si ottengono livelli zero accurati per mappe di ampie regioni di cielo. Si può comunque stimare l indice spettrale di sincrotrone da analisi di correlazione di mappe a diversa frequenza che coprono regioni di cielo limitate. Per esempio, confrontando le mappe a 10 e 15 GHz dell esperimento di CMB del gruppo di Tenerife con le mappe a 408 e 1420 MHz, si è trovata una correlazione consistente con un emissione di sincrotrone con indice spettrale 3 [25]. Anche Platania et al. [70], basandosi sullo spettro di energia degli elettroni dei raggi cosmici locali, hanno trovato un irripidimento dello spettro nell intervallo di frequenze 1-10 GHz, con β sinc 3.1. Questi valori di β sinc sembrano indicare un contributo relativamente piccolo dell emissione di sincrotrone, almeno a latitudini galattiche elevate e alle frequenze ottimali per la misura di CMB. Per quanto riguarda la distribuzione angolare, Lasenby [53] ha utilizzato le mappe a 408 e 1420 MHz per stimare lo spettro di potenza spaziale delle regioni a latitudine elevata osservate dall esperimento di CMB del gruppo di Tenerife. Lo spettro ricavato segue una legge di potenza C l l k con k 2. Altri [88], dalla mappa a 408 MHz, hanno calcolato uno spettro più ripido, con k 3. Un altra caratteristica della radiazione di sincrotrone è quella di possedere un alto grado di polarizzazione. Questo potrebbe costituire un problema per misure di polarizzazione di CMB [3]. Purtroppo si sa ancora poco del

47 2.2 Foregrounds galattici 31 contributo polarizzato dell emissione di sincrotrone galattica alle frequenze degli esperimenti di CMB Emissione di free-free Quando un elettrone libero è accelerato dal campo coulombiano di ioni emette radiazione di bremsstrahlung termico. Nel caso astrofisico questo avviene quando elettroni liberi caldi (T e 10 4 K) interagiscono con ioni, atomi o molecole, finendo ancora in uno stato non legato, da cui il nome free-free. Per calcolare l emissività per volume α ν, lungo una data linea di vista, è necessario integrare sulla distribuzione totale di elettroni e di ioni [78, 83]: ( ) α ν = 4e2 2π 2 N e N i Z 2 Te 1/2 ν 3 (1 e hν/kte ) g ff 3m e hc 3km e 0.018Z 2 N e N i Te 3/2 ν 2 g ff, (2.7) dove N e e N i sono rispettivamente il numero di elettroni e di ioni per unità di volume e g ff è il fattore di Gaunt mediato sulle velocità. L approssimazione è valida per hν kt e. Integrando l emissività sulla linea di vista si ottiene la profondità ottica τ ν, e dall equazione del trasporto radiativo si ricava la temperatura di brillanza per l emissione di free-free: T ff b = T e (1 e τν ) τ ν T e 26µK ν 2.1 T 0.35 e EM, (2.8) dove EM N e N i dl è la misura di emissione. Gli esponenti di T e e ν includono anche l effetto del fattore di Gaunt [78]. L emissione di free-free nella nostra galassia deriva da due componenti distinte: una discreta ed una continua. La prima è associata a regioni Hii, zone di intensa formazione stellare in cui sono presenti elettroni caldi. Queste regioni sono localizzate principalmente lungo il piano galattico ( b < 5 ), tranne alcune eccezioni come la Nebulosa di Orione. Raccogliendo i dati di 24 lavori precedenti, Paladini et al. [68] hanno recentemente catalogato 1442 regioni Hii galattiche, realizzando un catalogo sintetico a 2.7 GHz. Dato che

48 32 Le emissioni di foregrounds ci si aspetta che la radiazione di free-free non sia polarizzata, le sorgenti Hii possono essere utilizzate per calibrare strumenti per misure di polarizzazione di CMB a risoluzioni angolari inferiori al grado. Per quanto riguarda la componente diffusa dell emissione di free-free, non esitono intervalli di frequenza in cui essa domina sugli altri foregrounds galattici (vedi Fig. 2.1), quindi non si hanno mappe tutto-cielo di sola freefree. Anche a latitudini e frequenze elevate, dove la radiazione di free-free dovrebbe dominare su quella di sincrotrone, i segnali sono deboli e l incertezza sulla calibrazione del livello zero è elevata, tale da rendere impossibile una misura significativa. Esiste tuttavia un buon tracciante dell emissione diffusa di free-free: l emissione galattica diffusa di Hα. Entrambe infatti sono emesse dal mezzo interstellare ionizzato e sono proporzionali alla misura di emissione EM [83]. Poichè l intensità dell emissione Hα è I Hα T γ e EM, con γ tra 0.9 e 1.2, dall Eq. (2.8) si ricava la temperatura di brillanza: T ff da0.55 a0.85 b 7µK Te λ 2.1 I Hα. (2.9) Negli ultimi anni sono state realizzate mappe di Hα che coprono ampie aree di cielo. In particolare nell emisfero nord WHAM (δ > 30 )[77] e VTSS (δ > 15 )[23], ad una risoluzione angolare rispettivamente di 1 e 1.6 ; nell emisfero sud SHASSA (δ < +15 )[34], alla risoluzione di 0.8. Utilizzando questi dati sono stati realizzate mappe di Hα a tutto cielo: Dickinson et al. con i dati di WHAM e di SHASSA [26], Finkbeiner con quelli di VTSS e SHASSA, usando WHAM per calibrare il livello zero [30]. Correggendo queste mappe per l assorbimento da polveri con la mappa a 100µm di Schlegel et al. [80], che sarà descritta nel paragrafo seguente, e stimando teoricamente l emissione di free-free, sono stati ricavati template di mappe di free-free (vedi Fig. 2.4). Una correlazione tra l emissione di free-free e quella delle polveri è stata trovata da Kogut et al. [50], confrontando i dati di COBE-DMR a 31.5, 53 e 90 GHz con quelli di COBE-DIRBE a 100, 140 e 240µm. Ad ogni frequenza di DMR è stata trovata un emissione significativa, ben tracciata

49 2.2 Foregrounds galattici 33 Figura 2.4: Mappa di Hα di Finkbeiner (scala tra 0.03 e 160 R) [30]. ( spazialmente dall emissione da polveri. Modellando l emissione come combinazione di componenti radio e da polveri è stato ricavato un indice spettrale β radio , in accordo con l indice teorico per free-free. Questa correlazione è stata confermata [55, 24] fino a 14 GHz, con un indice spettrale consistente con l emissione di free-free ad un livello di confidenza del 95%. Se questa emissione è di free-free, allora ci si aspetta di trovare la stessa correlazione spaziale con l emissione da polveri anche per l emissione Hα. Esiste un indicazione di questa correlazione, tuttavia l emissione radio trovata è 5-10 volte maggiore di quella derivata dalle misure di Hα. Una possibile spiegazione di quest emissione anomala è stata proposta da Draine & Lazarian [27]: l emissione sarebbe originata dal dipolo sia elettrico che magnetico di grani di polvere in rotazione su se stessi e presenterebbe un picco tra 10 e 50 GHz. Questa spiegazione darebbe conto sia della correlazione con l emissione termica da polveri, sia dell eccesso rispetto all emissione Hα. Sono stati proposti altri modelli per l emissione anomala correlata alle polveri. Tra questi l emissione di free-free da gas ionizzato a T e > 10 6 K [55]. Una temperatura così elevata dovrebbe portare anche ad un emissione di raggi-x, ma i dati di ROSAT non mostrano l emissione attesa, perciò que-

50 34 Le emissioni di foregrounds sta ipotesi è poco accreditata. Un altra ipotesi, dall analisi dei foregrounds di WMAP, è l emissione di sincrotrone con un indice spettrale minore ( 2.5) in regioni di formazione stellare [11]. Un recente lavoro di Banday et al. [5] ha rianalizzato il contributo di foreground nei dati di COBE-DMR, utilizzando gli ultimi studi sulle emissioni nelle microonde. Si è trovata un emissione anomala correlata con le polveri che ben segue una legge di potenza ν 2.5. Questo implica un emissione con morfologia simile alle polveri, ma con uno spettro simile al sincrotrone. I risultati si adattano al modello di Draine & Lazarian, ma sono consistenti anche con quello dell emissione di sincrotrone. Ad oggi pertanto la natura di questa emissione anomala non è ancora stata identificata con certezza: questo è un esempio dell incertezza nella conoscenza delle emissioni di foreground. Riguardo la distribuzione angolare, a scale > 7 l emissione di free-free ha uno spettro angolare con indice stimato 3 [49], come l emissione da polveri, ad ulteriore conferma della correlazione esistente Emissione da polveri L emissione da polveri è originata da grani di polvere scaldati dal campo di radiazione interstellare: le polveri assorbono fotoni UV ed ottici e li riemettono nel lontano IR. L emissione domina per ν 100 GHz, e la sua intensità dipende dalla composizione chimica del gas, dal rapporto gas/polveri e dalla composizione, struttura e dimensione dei grani. La forma spettrale dell emissione da polveri può essere approssimata con una legge di corpo nero modificata: I(ν) ν α B ν (T p ), (2.10) dove B ν è la legge di Planck, T p è la temperatura delle polveri e α è l indice spettrale. Dall analisi dei dati di COBE-DMR e DIRBE, Kogut et al. [49] hanno trovato, per regioni ad alta latitudine galattica, una temperatura T p 18 K ed α 2. Sottoponendo a destriping e rimozione delle sorgenti puntiformi la map-

51 2.2 Foregrounds galattici 35 Figura 2.5: Mappa a 94 GHz dell emissione termica da polveri di Finkbeiner et al. [29] (scala tra 0.4 e 400 µk). ( pa di IRAS a 100µm e calibrandola con i dati di COBE-DIRBE a 100µm, Schlegel et al. [80] hanno ottenuto una mappa alla risoluzione angolare di IRAS ( 6.1 ). Con le mappe a 100 e 240µm di DIRBE, assumendo uno spettro di emissione (Eq. (2.10)) con α = 2, è stata ricavata anche una mappa per la distribuzione di temperatura delle polveri sull intero cielo, ottenendo una temperatura T p tra 17 e 21 K. Finkbeiner et al. [29] hanno però mostrato che un emissività ν 2 non è consistente con i dati di COBE-FIRAS tra 100 e 2100 GHz, e che nessun modello con un unica legge di potenza può spiegare l intero intervallo spettrale dell emissione da polveri. Il modello di emissività da loro proposto prevede il contributo di due componenti distinte: la prima da silicati amorfi, con ν 1.7 e T p 9.5 K, la seconda da carbonacei, con ν 2.7 e T p 16 K. La mappa ricavata da tale modello è mostrata in Figura 2.5. Anche con questo modello l emissione prevista alle frequenze di DMR è inferiore all emissione correlata alle polveri osservata. Analisi dei dati di IRAS [35] e di quelli di DIRBE [94] indicano uno spettro di potenza globale per l emissione da polveri della forma C l l 3. La

52 36 Le emissioni di foregrounds distribuzione delle polveri nella Galassia è però altamente non-gaussiana. Infatti Schlegel et al. [80] in alcune zone del cielo ad elevata latitudine galattica hanno calcolato uno spettro l 2.5, con ampiezze differenti da zona a zona. In generale i meccanismi con cui le polveri possono irradiare nelle microonde sono tre [27]: emissione da dipolo elettrico vibrazionale, che è l emissione termica sopra descritta, emissione da dipolo magnetico (a causa di fluttuazioni termiche nella magnetizzazione dei grani) ed infine emissione da dipolo elettrico rotazionale. Secondo Draine & Lazarian [27] questo terzo meccanismo produce un emissione significativa: grani di polveri molto piccoli, che possono ruotare su se stessi molto rapidamente, possedendo un dipolo elettrico possono quindi emettere nelle microonde. Essi hanno stimato questa emissività, proponendo un modello con contributi diversi da polveri nel mezzo neutro freddo, nel mezzo neutro caldo o nel mezzo ionizzato caldo. Questa emissione potrebbe spiegare l emissione anomala descritta nel precedente paragrafo, ma non si hanno ancora evidenze di ciò. Anche l emissione da polveri è polarizzata, e, insieme alla radiazione di sincrotrone, costituisce una contaminazione per misure di polarizzazione di CMB [3]. A frequenze elevate ( 100 GHz) la contaminazione maggiore proviene dall emissione termica, mentre a 15 ν 60 GHz il contributo maggior potrebbe provenire dall emissione prodotta dal meccanismo proposto da Draine & Lazarian. Anche in questo caso però si sa ancora poco sull emissione polarizzata da polveri. 2.3 Foregrounds extra-galattici Sorgenti extra-galattiche Mentre a scale angolari maggiori di 30 il contributo di foreground dominante è quello dell emissione diffusa Galattica, a scale più piccole, corrispondenti a l 300, domina il contributo delle sorgenti extra-galattiche, sia risolte che non risolte. Queste quindi potrebbero costituire un problema per

53 2.3 Foregrounds extra-galattici 37 Figura 2.6: Spettro di potenza da una distribuzione di Poisson di sorgenti puntiformi a 100 GHz per tre diversi valori del limite di flusso per la rimozione di sorgenti (1, 0.1 e 0.01 Jy). Le linee punteggiate sono spettri di rumore, T&E96 è la stima di [88] e la linea tratto-punto è lo spettro di CMB per il modello cosmologico CDM [89]. esperimenti di CMB ad alta risoluzione. Le sorgenti più brillanti possono essere identificate e sottratte dalle mappe di CMB utilizzando i cataloghi disponibili di sorgenti puntiformi o, in esperimenti a multi-frequenza, grazie all individuazione in più canali di frequenza. Anche assumendo di poter rimuovere tutte le sorgenti risolte, rimane però il fondo delle sorgenti puntiformi non risolte. Il problema delle fluttuazioni in temperatura a piccola scala angolare dovute a sorgenti extragalattiche non risolte è stato a lungo discusso [88, 32]. Da questi studi è emerso che esistono due popolazioni distinte di sorgenti: a ν < 200 GHz le sorgenti radio (radio-galassie con spettro piatto, oggetti BL Lacs, quasars e blazars) sono il contributo dominante, invece ad alte frequenze dominano le galassie ricche di polveri, perchè le polveri hanno uno spettro crescente con la frequenza (S(ν) ν 3.5 ).

54 38 Le emissioni di foregrounds Conteggi di sorgenti extra-galattiche alle frequenze di interesse per misure di CMB, quindi a frequenze elevate ( 100 GHz), non sono stati ricavati. Conoscendo l andamente spettrale delle sorgenti è possibile estrapolare i conteggi a tali frequenze, ma le incertezze sul numero di conteggi e sullo spettro delle sorgenti radio non permettono di ricavare un modello completo realistico. Per le galassie ricche di polveri la situazione è peggiore, perchè le previsioni dei conteggi dipendono fortemente dalle loro proprietà evolutive, che sono poco conosciute. Per le sorgenti radio sono stati ricavati conteggi a diverse frequenze tra 408 MHz e 8.44 GHz. Danese et al. [19] hanno ipotizzato l andamento spettrale delle sorgenti radio, ricavandone un modello che ha previsto correttamente i conteggi misurati a 8.44 GHz, successivi ad esso di molti anni. Basandosi sul lavoro di Danese et al., Toffolatti et al. [89] hanno proposto un modello completo di conteggi di sorgenti extra-galattiche. Con esso hanno stimato il contributo alle fluttuazioni di temperatura della CMB delle sorgenti non rimosse. Considerando che una distribuzione di Poisson di sorgenti puntiformi su tutto il cielo produce uno spettro di potenza di rumore bianco [88], cioè con la stessa potenza per tutti i multipoli, essi hanno stimato lo spettro di potenza di tale contributo a diverse frequenze. In Figura 2.6 sono mostrati gli spettri per ν = 100 GHz corrispondenti ad una rimozione delle sorgenti entro diversi limiti di flusso. Il minimo del contributo delle sorgenti extra-galattiche al segnale di anisotropia della CMB si ha attorno a frequenze di GHz. Ci si aspetta perciò che, almeno a l < 2000, il loro spettro di potenza sia significativamente inferiore a quello della CMB nell intervallo GHz [89]. Una conferma di un contributo minimo a GHz si ha anche da una stima più recente del conteggio delle sorgenti radio extra-galattiche, che include anche i risultati di un conteggio effettuato a 90 GHz [84].

55 2.3 Foregrounds extra-galattici Effetto Sunyaev-Zel dovich Quando fotoni CMB attraversano un ammasso di galassie, interagiscono con il gas ionizzato caldo all interno di esso e subiscono scattering Compton inverso [87, 76]. In questa interazione i fotoni freddi della CMB guadagnano energia. Si hanno perciò meno fotoni a basse frequenze e più fotoni ad alte frequenze: ne risulta quindi una distorsione dello spettro. Questo è l effetto Sunyaev-Zel dovich (o SZ) termico. La variazione di intensità dello spettro alla frequenza ν prodotta da tale effetto è data da: I ν = 2 (kt CMB) 3 (hc) 2 yg(x), (2.11) dove x = hν/kt CMB e y è il parametro di Comptonizzazione, che dipende da temperatura e densità degli elettroni lungo la linea di vista attraverso l ammasso. La funzione g(x) è nulla per ν 0 = 217 GHz, negativa per frequenze minori e positiva per ν > ν 0. La variazione di intensità può essere vista come un flusso proveniente dall ammasso, positivo o negativo a seconda della frequenza. Questo flusso risulta nella mappa di CMB come una macchia calda o fredda. Esiste anche un effetto SZ cinematico, dato dallo scattering Thomson nel caso di un ammasso in moto con una propria velocità caratteristica. Questo effetto non distorce lo spettro Planckiano, ma produce uno spettro di corpo nero con una diversa temperatura. L effetto SZ cinematico ha quindi la stessa forma spettrale della CMB, il che rende il suo contributo difficilmente separabile anche con misure a multi-frequenza. La sua ampiezza è stimata essere inferiore a quella dell SZ termico di almeno un fattore 10, perciò l impatto sulle anisotropie della CMB è inferiore, ma non trascurabile. Lo spettro di potenza dell effetto SZ può essere stimato da studi, effettuati attraverso simulazioni, delle proprietà statistiche del gas caldo che lo produce. Lo spettro calcolato [74] presenta un picco a l , a seconda del modello cosmologico considerato nelle simulazioni, ed è circa due ordini di grandezza inferiore a quello delle anisotropie della CMB per

56 40 Le emissioni di foregrounds Figura 2.7: Spettro di potenza dell effetto SZ calcolato per tre diversi modelli cosmologici. Lo spettro di potenza della CMB è calcolato nel modello ΛCDM. Sono mostrati anche con linea punteggiata l incertezza 1σ e con linea a tratti il contributo delle sorgenti puntiformi (< 2 Jy) per il canale di WMAP a 94 GHz [74]. l 2000 (vedi Fig. 2.7). Diventa però confrontabile con esso per l superiori, dove il Silk damping ha smorzato le anisotropie della CMB.

57 Capitolo 3 Metodi di separazione delle componenti 3.1 Introduzione Le mappe prodotte in un esperimento di CMB non contengono solo tale radiazione, ma anche contributi di altre emissioni poste tra noi e la superficie di ultimo scattering, di cui abbiamo già trattato nel Capitolo 2. In generale infatti qualunque radiazione del cielo è una combinazione di diverse emissioni. Per identificare e separare i singoli segnali sono stati sviluppati differenti metodi. Prima di descriverli formalizziamo il problema della separazione delle componenti, facendo qualche assunzione. Supponiamo che la radiazione del cielo sia la sovrapposizione lineare di segnali provenienti da N processi fisici differenti: la radiazione totale nella direzione r e alla frequenza ν è data da: N x(r,ν) = s j (r,ν), (3.1) j=1 dove s j sono le singole componenti provenienti dai diversi processi. La radiazione x è osservata attraverso un telescopio con fascio d antenna B(r, ν). Se supponiamo che il fascio sia invariante spazialmente, allora ad ogni frequenza si ha una convoluzione lineare della radiazione proveniente dal cielo con il fascio B. Il segnale convoluto è poi misurato da uno strumento

58 42 Metodi di separazione delle componenti con M canali di frequenza: per ogni canale il segnale ricevuto è integrato con la risposta in frequenza t ν del canale ed al segnale è aggiunto del rumore strumentale ǫ ν. Pertanto il segnale in uscita dal canale alla frequenza ν è: N x ν (r) = B(r r,ν ) t ν (ν ) s j (r,ν )dr dν + ǫ ν (r) (3.2) j=1 Per semplificare il modello dei dati (3.2) si fanno le seguenti assunzioni: i) Il segnale di ogni sorgente è una funzione separabile di posizione e di frequenza: s j (r,ν) = s j (r)f j (ν) j = 1,...,N (3.3) ii) B(r, ν) è indipendente dalla frequenza entro l intervallo di frequenze di ogni canale, quindi per ogni frequenza dove t i (ν) 0 nel canale i-esimo la funzione del fascio corrispondente B i (r) è la stessa. Con queste due assunzioni il modello dei dati diventa: N x ν (r) = B ν (r) s j (r) t ν (ν )f j (ν )dν + ǫ ν (r) j=1 = B ν (r) N a νj s j (r) + ǫ ν (r) (3.4) j=1 dove indica la convoluzione, e a νj = t ν (ν )f j (ν )dν (3.5) sono le componenti della matrice A di risposta in frequenza dello strumento di dimensioni M N. L Equazione (3.4) si può scrivere nella forma matriciale: x = B A s + ǫ (3.6) Può essere conveniente risolvere il problema nello spazio di Fourier. In tal caso la convoluzione diventa una semplice moltiplicazione e si ha: N x ν (k) = R νj (k) s j (k) + ǫ ν (k), (3.7) j=1

59 3.2 L approccio Bayesiano 43 dove R νj (k) = B ν (k)a νj sono le componenti della matrice di risposta dello strumento M N per le osservazioni. L Equazione (3.7) si può riscrivere ancora in forma matriciale: x = R s + ǫ (3.8) Questa equazione è soddisfatta per ogni modo k di Fourier indipendentemente. In seguito verrà omesso il simbolo. Il problema della separazione delle componenti consiste quindi nel ricostruire gli N segnali s j dalle M osservazioni x ν. I metodi principali per risolvere questo problema si possono suddividere in due categorie, a seconda dell approccio utilizzato: un approccio di tipo Bayesiano o un approccio di tipo ICA (Independent Component Analysis). La differenza fondamentale tra i due è che l approccio Bayesiano si basa su modelli a priori delle diverse emissioni; al contrario nessuna conoscenza a priori dei segnali è richiesta nell approccio ICA, che proprio per questo è detto blind. 3.2 L approccio Bayesiano Se gli elementi della matrice R sono noti con esattezza e in assenza di rumore strumentale, per ricostruire i segnali s è sufficiente invertire linearmente l Equazione (3.8) per ogni modo di Fourier. In pratica però, data la presenza del rumore, l inversa R 1 della matrice di risposta non esiste per tutti i modi. Un inversione approssimata di (3.8) può comunque essere effettuata utilizzando una tecnica statistica che regolarizza l inversione. Questo porta all approccio basato sul teorema di Bayes. Il teorema di Bayes afferma che, data un ipotesi H e dei dati D, la probabilità a posteriori Pr(H D) dell ipotesi H alla luce dei dati D è: Pr(H D) = Pr(D H)Pr(H), (3.9) Pr(D) dove la verosimiglianza (likelihood) Pr(D H) è la distribuzione di probabilità dei dati D espressa in funzione dell ipotesi H, la probabilità a priori (prior) Pr(H) è la probabilità di H basata su conoscenze precedenti l osservazione

60 44 Metodi di separazione delle componenti dei dati, mentre l evidenza Pr(D) è la distribuzione di probabilità dei dati osservata e può essere considerata una costante di normalizzazione. In questo caso i dati D sono il vettore M-dimensionale delle osservazioni x e l ipotesi H è il vettore N-dimensionale dei segnali s. Considerando ogni modo k di Fourier separatamente, uno stimatore ŝ del vettore di segnali può essere costruito massimizzando rispetto ad s la probabilità a posteriori Pr(s x) Pr(x s) Pr(s). (3.10) Consideriamo l espressione della likelihood Pr(x s). Se il rumore ad ogni frequenza è distribuito gaussianamente con valor medio nullo e supponendo di conoscere la matrice di covarianza del rumore N, la likelihood è data da: Pr(x s) exp( ǫ N 1 ǫ) exp[ (x Rs) N 1 (x Rs)], (3.11) dove indica il coniugato Hermitiano e si è tenuto conto della (3.8). L espressione tra parentesi quadre non è altro che un χ 2. La matrice M M di covarianza del rumore ad ogni modo k è data da N(k) = ǫ(k)ǫ (k) (3.12) e gli elementi sono dati da N νν (k) = ǫ ν (k) ǫ ν (k), dove indica il complesso coniugato. Quindi l elemento ν-esimo della diagonale di N è il valore, per il modo di Fourier considerato, della media su tutte le possibili realizzazioni dello spettro di potenza del rumore per il canale a frequenza ν. Se il rumore non è correlato tra i diversi canali gli elementi fuori dalla diagonale sono nulli. Consideriamo ora il prior Pr(s). Esso può assumere due forme: gaussiana, e in tal caso si ottiene il Wiener filter [93], o entropica, per il metodo di separazione delle componenti MEM (Maximum Entropy Method) [81]. L uso di un prior costituisce il principale svantaggio nell applicazione di questi metodi. La formulazione di un prior realistico richiede infatti la conoscenza esatta delle caratteristiche dei segnali da misurare, come lo spettro in frequenza e lo spettro di potenza, mentre al contrario ci sono molte incertezze

61 3.2 L approccio Bayesiano 45 nella conoscenza dei foregrounds astrofisici (vedi Cap. 2) Prior gaussiano: il Wiener filter Se assumiamo che l emissione dovuta ad ognuna delle componenti sia ben approssimata da un campo casuale gaussiano, allora la distribuzione di probabilità dell emissione del cielo è gaussiana, caratterizzata da una data matrice di covarianza. Perciò, ad ogni modo k nello spazio di Fourier, la distribuzione di probabilità del vettore dei segnali s è gaussiana e il prior ha la forma: Pr(s) exp( s C 1 s), (3.13) dove C, la matrice N N di covarianza dei segnali, è reale ed è data da: C(k) = s(k)s (k) (3.14) con elementi C jj (k) = s j (k) s j (k). Perciò l elemento j-esimo della diagonale è il valore per il modo k della media su tutte le possibili realizzazioni dello spettro di potenza della componente j-esima; gli elementi fuori dalla diagonale descrivono la correlazione tra le diverse componenti. Sostituendo (3.13) e (3.11) in (3.10), la probabilità a posteriori è data da: Pr(s x) exp[ χ 2 (s) s C 1 s], (3.15) dove χ 2 (s) = (x Rs) N 1 (x Rs). Ne risulta che anche la distribuzione di probabilità a posteriori è gaussiana: Pr(s x) exp[ (s ŝ) E 1 (s ŝ)], (3.16) con valore massimo in corrispondenza della stima ŝ per il vettore di segnali e dove la matrice di covarianza E degli errori nella ricostruzione è data da E = (s ŝ)(s ŝ) = (C 1 + R N 1 R) 1. (3.17) L estimatore ŝ del vettore di segnali s risulta infine ŝ = (C 1 + R N 1 R) 1 R N 1 x Wx, (3.18)

62 46 Metodi di separazione delle componenti dove W è la matrice di Wiener. Si è quindi ottenuto un Wiener filter standard. Questo filtro lineare di solito viene ricavato scegliendo gli elementi di W che minimizzano la varianza degli errori nella ricostruzione risultante. Perciò, ad un dato modo k di Fourier, lo stimatore ŝ che massimizza la probabilità a posteriori è ottenuto moltiplicando il vettore delle osservazioni x per la matrice di Wiener W. Per costruire il prior gaussiano è necessario conoscere l andamento spettrale delle diverse emissioni e la struttura della covarianza tra i diversi processi che si vogliono ricostruire. Bisogna quindi conoscere lo spettro di potenza delle varie componenti e la correlazione tra essi, basandosi su osservazioni precedenti. La conoscenza imprecisa di questi dati costituisce una forte limitazione all accuratezza nella ricostruzione delle componenti con il Wiener filter. Un altra limitazione è l assunzione della gaussianità delle emissioni: i foregrounds infatti in generale sono non-gaussiani Prior entropico: il metodo MEM Idealmente, si può pensare di assegnare la probabilità a priori di ogni componente fisica misurando empiricamente la distribuzione di probabilità risultante da numerose realizzazioni di ogni componente. Dato che questo non è possibile nella pratica, si utilizza il prior entropico, basato sulla teoria dell informazione. Consideriamo un immagine discretizzata composta da L pixels h p, cosicchè h p possono essere considerate le componenti di un vettore immagine h. In mancanza di altre informazioni sulla distribuzione di probabilità di h, si può interpretare come probabilità a priori di h il numero di modi indipendenti in cui, a partire dai pixels h p, l immagine h può essere ottenuta. L entropia di h è la quantità che esprime questa probabilità; essa è massima per una distribuzione uniforme. Supponiamo di conoscere il modello m per il vettore immagine h, ovvero la distribuzione a priori più verosimile per h. In questo caso si considera l entropia incrociata (cross-entropy) di h e m,

63 3.2 L approccio Bayesiano 47 espressa dalla funzione S(h,m) S(h,m) = L p=1 h p log h p m p, (3.19) che assume il valore massimo quando la probabilità di m e di h coincidono. Il prior per il vettore immagine h ha quindi la forma: Pr(h) exp[αs(h,m)], (3.20) dove α è una costante dimensionale che dipende dalla scala del problema, cioè dal numero L di componenti h p. Nelle applicazioni standard del principio di massima entropia l immagine h è considerata una distribuzione positiva, mentre le fluttuazioni di temperatura della CMB possono essere sia positive che negative. Per estendere l applicazione del metodo MEM (Maximum Entropy Method) ad immagini con valori anche negativi, Hobson et al. [38] hanno considerato immagini date dalla differenza di due distribuzioni positive: h = u v, (3.21) dove u e v sono rispettivamente le parti positive e negative di h. In corrispondenza si hanno anche due modelli: m u e m v. Nell applicazione del metodo MEM alla CMB si può considerare, per ogni modo di Fourier, come immagine h il vettore s, costituito dalle N componenti astrofisiche s j. Questo però comporta due complicazioni. La prima è che la cross-entropy è definita solo se h è reale, mentre s definito in (3.8) ha componenti complesse. Si valuta perciò la cross-entropy della parte reale e della parte immaginaria di h e m separatamente: la cross-entropy totale S c (h,m) è data dalla somma delle due parti. La seconda complicazione è dovuta alla correlazione che può esistere tra gli elementi del vettore dei segnali s, correlazione descritta dalla matrice di covarianza C definita nell Equazione (3.14). Infatti uno degli assiomi principali del metodo MEM è che esso non introduce correlazione tra le singole componenti dell immagine. Conoscendo a priori la correlazione si può però introdurre una funzione

64 48 Metodi di separazione delle componenti di correlazione intrinseca. A tal fine si considera l immagine costituita non dalle componenti del vettore s, ma dalle componenti scorrelate di un vettore di variabili nascoste, legate al vettore dei segnali s da: s = Lh, (3.22) dove L è una matrice triangolare bassa ottenuta da una decomposizione di Cholesky della matrice di covarianza del segnale, ovvero C = LL T. Sotituendo (3.22) in (3.11) si può esprimere il χ 2 in termini di h: χ 2 (h) = (x RLh) N 1 (x RLh) (3.23) e sostituendo il prior entropico la probabilità a posteriori diventa Pr(h x) exp[ χ 2 (h) + αs c (h,m)]. (3.24) Come per il Wiener filter, anche per il MEM la costruzione del prior entropico presuppone la conoscenza, da informazioni precedenti l osservazione dei dati, della matrice di covarianza del segnale. La precisione della ricostruzione dei singoli segnali è perciò limitata dalla precisione delle informazioni a priori sulle diverse emissioni. 3.3 L approccio ICA L approccio ICA (Independent Component Analysis) permette una separazione blind delle componenti, ovvero senza alcuna conoscenza a priori dei segnali da separare, nè quindi della matrice di risposta in frequenza A dello strumento, dato che non si conosce l andamento spettrale dei segnali (vedi Eq. (3.5)). La separazione è possibile formulando l ipotesi di lavoro che i segnali s sono processi casuali indipendenti. A partire da tali ipotesi possono essere sviluppati diversi metodi di separazione. Nei successivi paragrafi verranno descritti due di questi metodi: il primo considera la diversità spettrale delle componenti; il secondo, che sarà poi utilizzato in questo lavoro di tesi, considera la non-gaussianità dei segnali da separare.

65 3.3 L approccio ICA Corrispondenza spettrale Consideriamo l espressione (3.8) del vettore delle osservazioni nello spazio di Fourier e assumiamo un modello gaussiano stazionario: le N componenti del vettore dei segnali s sono processi gaussiani indipendenti e stazionari. Lo spettro di potenza del vettore x è rappresentato dalla matrice di covarianza S x (k) = x(k)x (k) di dimensione M M. Dato che vale l Eq. (3.8), S x è legata alle matrici di covarianza dei segnali e del rumore dalla relazione: S x (k) = RS s (k)r + S ǫ (k). (3.25) L assunzione di indipendenza tra le componenti di s implica anche la non correlazione tra esse, quindi la matrice S s è diagonale: S s (k) = diag[c 1 (k),...,c N (k)], (3.26) dove C j (k) è lo spettro di potenza della componente j-esima. Per semplicità si assume che anche il rumore sia bianco e non correlato tra i diversi canali di frequenza: S ǫ (k) = diag(σ1 2,...,σ2 M ). (3.27) Calcoliamo la media sopra intervalli di modi di Fourier delle matrici di covarianza: S x (q) = 1 n q k D q x(k)x (k), (3.28) dove q = 1,... Q è l indice dell intervallo, D q è l insieme dei modi k dell intervallo q-esimo e n q è il numero di modi nell intervallo. Analogamente per i segnali si ha S s (q) = 1 n q diag [ k D q C 1 (k),..., k D q C N (k) ] (3.29) e per il rumore S ǫ (q) = S ǫ (k). In tal modo non si devono considerare tutti i modi di Fourier separatamente, ma solo Q matrici.

66 50 Metodi di separazione delle componenti Le Q matrici S x (q) definite dalle Equazioni (3.25, 3.27, 3.29) dipendono da alcuni parametri: la matrice di risposta R, gli spettri di potenza delle diverse componenti C j (q) e il rumore σi 2. Il metodo di corrispondenza spettrale (spectral matching) stima questi parametri trovando la miglior corrispondenza tra le matrici S x (q) e l insieme delle Q matrici di covarianza delle osservazioni Ŝx(q) ricavate sperimentalmente dai dati: Ŝ x (q) = 1 n q k D q x(k)x (k). (3.30) Esse costituiscono la miglior stima delle corrispondenti S x (q). La non corrispondenza è quantificata dalla divergenza media: Φ(θ) = Q w q D ( Ŝ x (q), S x (q) ), (3.31) q=1 dove i pesi w q sono proporzionali alle dimensioni dell insieme D q e D(, ) è la misura della divergenza tra due matrici M M positive D(R 1,R 2 ) = tr(r 1 R2 1 ) log det(r 1R2 1 ) M, (3.32) che è sempre non-negativa e nulla solo se R 1 = R 2. La miglior corrispondenza è trovata minimizzando Φ(θ) rispetto ai parametri {R, C j (q), σ 2 i } con un algoritmo iterativo. Lo spectral matching corrisponde ad una stima di massima verosimiglianza (maximum likelihood). Infatti l assunzione di un modello gaussiano stazionario permette di esprimere la likelihood in funzione delle matrici di covarianza, dato che esse definiscono completamente le proprietà stastitiche dei processi. Questo porta all Equazione (3.31). Lo spectral matching può essere effettuato anche assumendo noti uno o più tra i parametri {R, C j (q), σi 2 }. Se invece lo si utilizza come metodo blind richiede la diversità spettrale delle componenti per effettuarne la separazione. Lo spectral matching ricostruisce quindi non le mappe, bensì gli spettri di potenza C j (q) delle diverse componenti. Per una descrizione più dettagliata di questo metodo si veda [16, 22].

67 3.3 L approccio ICA FastICA Descriviamo ora in dettaglio il metodo di separazione delle componenti utilizzato in questo lavoro. Consideriamo l Equazione (3.6) per il vettore di osservazione x. Oltre alle assunzioni i) e ii) (vedi 3.1), assumiamo che: iii) Il fascio d antenna del telescopio sia lo stesso per tutti i canali di frequenza, quindi la funzione B(r,ν) è indipendente dalla frequenza: B(r,ν) = B(r). (3.33) Questa assunzione è una limitazione nell applicazione di FastICA. Essa comporta infatti che, nel caso di strumenti con B differenti per i diversi canali di frequenza, le mappe con risoluzione angolare minore vengano degradate a quella peggiore. Con l assunzione iii) l Equazione (3.6) può essere riscritta nella forma: x(r) = A s(r) B(r) + ǫ(r) = As(r) + ǫ(r), (3.34) dove gli elementi a ij della matrice A sono definiti dall Eq. (3.5). Ogni componente s j del vettore s è data dalla convoluzione della funzione corrispondente s j, definita nell Eq. (3.3), con il fascio B(r). Inoltre generalmente si assume che il termine di rumore ǫ(r) sia additivo, indipendente dai segnali, bianco (indipendente dalla frequenza), Gaussiano, stazionario e uniformemente distribuito nel cielo. L Equazione (3.34) è valida per ogni direzione r nel cielo o, equivalentemente, per ogni pixel nelle mappe dei dati x. Essa quindi stabilisce un modello dei dati lineare e puntuale. Il problema consiste perciò nello stimare per ogni pixel p sia il vettore N-dimensionale dei segnali s che la matrice M N A dal vettore M-dimensionale dei dati x. Per risolvere questo problema, oltre all ipotesi di lavoro dell approccio ICA, che ricordo essere la seguente: a) le componenti del vettore s sono processi casuali indipendenti nel dominio della mappa;

68 52 Metodi di separazione delle componenti si assume anche che: b) le componenti del vettore s, tranne al più una, hanno distribuzione non-gaussiana. Queste assunzioni, nel caso dell applicazione di questo metodo alle mappe di cielo nelle microonde, sono giustificate. Infatti la distribuzione delle fluttuazioni in temperatura della CMB è gaussiana, mentre le emissioni di foregrounds sono non-gaussiane. Un approccio ICA con queste assunzioni è stato utilizzato da Baccigalupi et al. [2] per realizzare una rete neurale capace di imparare in che modo ricostruire le componenti indipendenti dai dati stessi; questo assumendo l assenza di rumore. La tecnica FastICA (Fast Independent Component Analysis) invece permette di tenere conto anche del rumore. FastICA è un metodo di separazione ICA proposto da Hyvärinen et al. [44], la cui applicazione al caso astrofisico è stata sviluppata da Maino et al. [59, 60]. I principi della stima di FastICA Con le assunzioni a) e b) una soluzione al problema si ottiene cercando una trasformazione W per il vettore di dati x tale che il vettore trasformato y=wx abbia componenti indipendenti [15]. Serve quindi una misura dell indipendenza tra le componenti del vettore y, in modo da massimizzarla per W. Ci si può avvalere del teorema del limite centrale, che afferma che una combinazione di variabili indipendenti ha una distribuzione più gaussiana delle variabili stesse. Consideriamo infatti la componente y = w T x = w T As, dove w T è una riga della matrice W e si è trascurato il rumore. In generale y è più gaussiana di qualunque componente indipendente s j, essendone una combinazione lineare: y è meno gaussiana quando di fatto risulta uguale ad una delle componenti indipendenti. Questo significa che trovare una trasformazione tale che la gaussianità delle variabili risulta ridotta equivale a trovare un insieme di variabili trasformate (le componenti del vettore y) più indipendenti di quelle originali (le componenti del vettore x). Perciò massimizzando la non-gaussianità per la trasformazione W si

69 3.3 L approccio ICA 53 massimizza l indipendenza delle componenti y ricostruite. Occorre pertanto scegliere un appropriata misura di non-gaussianità. In particolare, data la presenza del rumore nel modello dei dati (3.34), la stima di tale misura deve essere robusta contro il rumore. Una misura di non-gaussianità appropriata è data da un approssimazione della funzione di negentropy [45, 46]. Questa funzione si basa sull entropia differenziale, una quantità fondamentale nella teoria dell informazione. In generale l entropia di una variabile casuale può essere interpretata come la quantità di informazioni necessarie per descrivere la variabile: maggiore è la casualità, meno cioè la variabile è prevedibile, maggiore è l entropia. Mentre l entropia è definita per variabili discrete, per una variabile casuale e continua y con densità f(y) si definisce l entropia differenziale H: H(y) = f(y)log f(y)dy. (3.35) Un risultato fondamentale della teoria dell informazione è che una variabile gaussiana ha entropia maggiore tra tutte le variabili casuali di uguale varianza. Quindi l entropia può essere usata come misura di non-gaussianità. Per avere una misura di non-gaussianità sempre non-negativa e nulla per una variabile gaussiana si definisce la negentropy J in questo modo: J(y) = H(y gauss ) H(y), (3.36) dove y gauss è una variabile casuale gaussiana con la stessa matrice di covarianza di y. La negentropy risulta anche invariante per trasformazioni lineari invertibili. La stima della negentropy come definita nell Eq. (3.36) è difficoltosa e pertanto nella pratica vengono utilizzate opportune approssimazioni. Assumendo che la variabile y abbia valor medio nullo e varianza unitaria, FastICA utilizza la seguente approssimazione: J(y) [E{G(y)} E{G(ν)}] 2, (3.37) dove E indica il valore di aspettazione, ν è una variabile gaussiana con valor medio nullo e varianza unitaria e G è una funzione non quadratica.

70 54 Metodi di separazione delle componenti Scegliendo opportunamente la funzione G, questa approssimazione risulta essere uno stimatore robusto della non-gaussianità per y. Inoltre, se il rumore ha le caratteristiche assunte prima e se la sua matrice di covarianza Σ è nota, si ottiene uno stimatore robusto anche contro il rumore. Infatti, come descritto in seguito, si può tener conto del rumore nei dati x in fase di preprocessing e nel successivo algoritmo. La W ottenuta in questo modo si può considerare uno stimatore robusto di A 1 (vedi Eq. (3.34)). Bisogna però precisare che questo non significa che trasformando linearmente x con W si ottiene uno stimatore robusto per i segnali s, specialmente quando il rumore è elevato. Infatti, per M = N, si ha: y = W(As + ǫ) = s + A 1 ǫ (3.38) e il termine A 1 ǫ può dare un contributo rilevante. L algoritmo di FastICA È possibile massimizzare la non-gaussianità delle componenti di y stimando ad una ad una le righe della matrice di W tramite un algoritmo iterativo. È necessaria però una fase di preprocessing dove le mappe dei dati sono quasi whitened. Questo passaggio ha lo scopo di ridurre il numero di incognite rispetto al problema originario. Infatti la matrice A per i dati così processati risulta ortogonale, quindi le incognite non sono più M 2, come gli elementi della matrice A, ma M(M 1)/2, che sono i gradi di libertà per la matrice ortogonale. La media dei dati ad ogni frequenza è rimossa e la matrice di covarianza C dei dati con media nulla è calcolata valutando sull insieme dei pixels delle mappe il valore d aspettazione: C = E{xx T }. (3.39) Supposta nota la matrice di covarianza del rumore Σ, la procedura di preprocessing consiste nel valutare una matrice di covarianza modificata ˆΣ = (C Σ) 1/2 Σ(C Σ) 1/2 (3.40)

71 3.3 L approccio ICA 55 e un insieme di dati quasi whitened ˆx = (C Σ) 1/2 x (3.41) L algoritmo di separazione ricostruisce le componenti w T ˆx del vettore y una per una, massimizzandone la non-gaussianità attraverso un processo iterativo dotato di un opportuno criterio di convergenza. Si può schematizzare l algoritmo nel seguente modo: (i) si sceglie un vettore iniziale w; (ii) lo si aggiorna nel seguente modo w new = E{ˆxg(w T ˆx)} (I + ˆΣ)wE{ g (w T ˆx)} (3.42) dove E indica il valore di aspettazione sui campioni disponibili; (iii) sia w new = w new w new (iv) si confronta w new con il precedente; se non converge si torna al passo (ii), agggiornando nuovamente il vettore. L Equazione (3.42) deriva dalla misura di non-gaussianità (3.37) e ne dà una massimizzazione robusta contro il rumore. La funzione g è la derivata della funzione non quadratica G. Nell algoritmo g può assumere, a scelta, una tra le seguenti forme: p(u) = u 3, g(u) = uexp( u 2 ), t(u) = tanh(u). (3.43) Per evitare che diverse righe w T della matrice W convergano allo stesso massimo di non-gaussianità bisogna scorrelarle dopo ogni iterazione. Supponiamo che un certo numero k di righe siano già state stimate. Per valutare la (k +1)-esima riga si deve allora indagare il sottospazio ortogonale alle prime k righe. Perciò tra i passi (i) e (ii) si deve inserire una procedura di ortogonalizzazione (e.g. Gram-Schmidt).

72 56 Metodi di separazione delle componenti Una qualità importante dell algoritmo di FastICA è la velocità di convergenza: la separazione di componenti su mappe a tutto cielo con risoluzione 3.5 richiede solo 10 su un PC Pentium III 600 MHz [59]. Per confronto: la ricostruzione con il metodo MEM richiede 6 ore usando 30 processori R su un computer SGI Origin 2000 e 14 Gb di RAM. Componenti ricostruite con FastICA Anche se l algoritmo di separazione di FastICA non è lineare, una volta stimata la matrice di separazione W le mappe delle componenti ricostruite sono date da combinazioni lineari delle mappe osservate con pesi w ji : y j = M w ji x νi j = 1,...,M (3.44) i=1 Infatti con M mappe di dati x ν FastICA stima una matrice W di dimensioni M M, separando M componenti y. FastICA ricostruisce anche lo scaling in frequenza delle diverse componenti. Consideriamo infatti l inversa della (3.44): x νi = M j=1 (W 1 ) ij y j. Essa ci dice che la componente y j contribuisce al segnale alla frequenza ν i secondo il fattore (W 1 ) ij. Lo scaling in frequenza della componente j-esima tra le frequenze ν e ν è quindi dato dal rapporto (W 1 ) νj /(W 1 ) ν j (3.45) Se l andamento spettrale è dato da una legge di potenza con indice β si ha β = log[(w 1 ) νj /(W 1 ) ν j]/log(ν/ν ). Quindi uno scaling negativo si può considerare indice di non fisicità della componente ricostruita. Anche l offset y delle componenti ricostruite si può ricavare facilmente. Consideriamo x, la media per i dati originari calcolata e sottratta nella fase di preprocessing. Si ha: y = W x. Inoltre si possono ricavare delle simulazione di rumore n y per le componenti. Infatti, conoscendo la matrice di covarianza del rumore Σ, si possono ottenere delle realizzazioni di rumore n x per ogni canale di frequenza. Il

73 3.3 L approccio ICA 57 rumore è trasformato come i segnali, pertanto n y = Wn x (3.46) e con queste realizzazioni si può stimare il rumore nelle mappe ricostruite. Infine, una caratteristica da tener presente è che la stima di W operata da FastICA diventa peggiore quando una o più componenti del segnal sono più forti delle altre. Per esempio, se M = N = 2 e in assenza di rumore, si ha dalla (3.38): y i = (w i1 a 11 + w i2 a 21 )s 1 + (w i1 a 12 + w i2 a 22 )s 2. Se s 1 s 2 si ottiene una buona ricostruzione spaziale di y i, ovvero una copia di s 1, anche se i coefficienti di s 1 e s 2 sono confrontabili. Quindi anche se W non è un buon stimatore per la matrice A 1, la ricostruzione spaziale delle componenti indipendenti rimane comunque buona. Ambiguità di FastICA L approccio di FastICA permette una separazione blind delle diverse componenti. Queste sono però ricostruite a meno di due ambiguità: 1. un fattore di normalizzazione Infatti qualunque fattore moltiplicativo in uno dei segnali s j può essere cancellato dividendo la colonna corrispondente a j di A per lo stesso fattore. 2. l ordine delle componenti indipendenti Non è possibile stabilire a priori l ordine con cui sono ricostruite le componenti, ovvere la matrice W è una stima di A 1 a meno di permutazioni. Quindi, a meno del rumore, ogni componente del vettore y è una ricostruzione scalata di una componente del vettore s, non necessariamente nello stesso ordine. Il fattore di normalizzazione e l ordine si possono però ottenere confrontando le componenti ricostruite con osservazioni indipendenti dei singoli segnali.

74 58 Metodi di separazione delle componenti Esempi di applicazione di FastICA al caso astrofisico FastICA è stata applicata a mappe di cielo nelle microonde in due lavori di Maino et al., fornendo buoni risultati. Nel primo lavoro [59] si è applicato l algoritmo a mappe simulate. Le simulazioni sono state effettuate alle frequenze dei canali del satellite Planck, con la risoluzione angolare ed il rumore strumentale attesi per esso. Al segnale simulato di CMB sono stati aggiunti templates di foregrounds galattici. FastICA ha ricostruito correttamente la distribuzione spaziale di tutte le componenti. Anche gli scaling in frequenza e la normalizzazione sono stati ottenuti con una precisione di 1%, in regioni del cielo dove si ha rapporto segnale/rumore 1.5, e di 10% dove il rapporto segnale/rumore è 1. FastICA è stato in seguito applicato ai dati di COBE-DMR [60]. Le mappe di CMB ricostruite mostrano lo scaling in frequenza atteso. Anche la normalizzazione di quadrupolo Q rms e l indice spettrale primordiale n s stimati da queste mappe sono in accordo con stime indipendenti ottenute con gli stessi dati. Inoltre con FastICA sono stati ricavati i coefficienti di correlazione tra templates dei diversi foregrounds e i dati di DMR, ed anche in questo caso i risultati concordano con analisi indipendenti. Questo lavoro di tesi costituisce perciò la seconda applicazione di FastI- CA a dati di CMB, forniti dall esperimento BEAST che sarà descritto nel prossimo capitolo. Attualmente inoltre si stanno studiando implementazioni di FastICA che permetteranno di superare alcune limitazioni dell algoritmo attuale, come ad esempio la richiesta di risoluzione angolare uguale in tutte le mappe d ingresso.

75 Capitolo 4 L esperimento BEAST 4.1 Introduzione BEAST (Background Emission Anisotropy Scanning Telescope) è un esperimento per la misura delle anisotropie della CMB condotto da una collaborazione dell Università della California di Santa Barbara (UCSB), il Dipartimento di Fisica dell Università di Milano, lo IASF di Milano e Bologna, il JPL (Jet Propulsion Laboratory) di Pasadena (CA) e l INPE (Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais) del Brasile. BEAST è composto da un telescopio Gregoriano off-axis di 2.2 metri ed è dotato di una schiera di ricevitori basati su tecnologia HEMT nelle bande di frequenza Ka (30 GHz) e Q (41.5 GHz) [17, 28]. Lo strumento sarà descritto più in dettaglio nel 4.2. Progettato come esperimento da pallone, dopo due voli nel 2000 il telescopio BEAST è stato riconfigurato per osservazioni da terra dal sito della White Mountain Research Station (WMRS), situato sul monte Barcroft (CA) a 3.8 Km di altitudine. Dai dati raccolti tra il 2001 e il 2002 sono state ricavate due mappe del cielo: una nella banda di frequenza Ka con risoluzione di 30, l altra in banda Q con risoluzione 23 [63]. Nei paragrafi 4.3 e 4.4 verranno illustrate la strategia d osservazione e la procedura di riduzione dei dati con cui sono state ottenute le mappe. Le mappe saranno poi descritte nel paragrafo 4.5.

76 60 L esperimento BEAST (a) (b) Figura 4.1: (a) Meccanica di BEAST mostrato nell orientazione usata per le osservazioni a WMRS. (b) La schiera dei radiometri di BEAST 4.2 Lo strumento BEAST è un telescopio con configurazione ottica Gregoriana off-axis. Lo specchio primario è parabolico, con diametro di 2.2 metri, e riceve la radiazione da uno specchio piano rotante a 2 Hz di 2.6 metri di apertura. La superficie dello specchio piano è inclinata di 2.2 rispetto all asse di rotazione. Dal primario la radiazione è poi riflessa verso il secondario, uno specchio ellissoidale di 0.9 metri, e da questo verso una schiera di radiometri con ricevitori total power. I radiometri sono posti in un dewar raffreddato criogenicamente: una finestra cilindrica permette alla radiazione riflessa dal secondario di raggiungere la schiera di antenne (feed horn). Il piano focale comprende otto feed horns corrugati, due in banda Ka e sei in banda Q (Fig. 4.1.b), che trasmettono il segnale ad amplificatori criogenici a basso rumore (Low Noise Amplifiers o LNA). Ad uno dei feed horns in banda Q è collegato un Orto-Mode Transducer (OMT), che separa la radiazione in due componenti ortogonali linearmente polarizzate che si propagano indipendentemente attraverso due catene radiometriche parallele. BEAST è quindi in grado di misurare la polarizzazione della CMB, ma la sensibilità dei ricevitori e il

77 4.2 Lo strumento 61 Figura 4.2: Rappresentazione schematica di una catena radiometrica di BEAST tempo di integrazione non sono sufficienti a rendere possibile questa misura con i dati finora raccolti. BEAST perciò può disporre di nove catene radiometriche, ma solo sei erano operative durante le misure da terra alla WMRS. Dei ricevitori attivi, due operano in banda Ka (26-36 GHz) e quattro in banda Q (38-45 GHz). Ognuno di essi riceve il segnale da un feed horn indipendente, con l eccezione di due ricevitori in banda Q che ricevono i due outputs dell OMT, collegato con un singolo feed horn. In ogni catena il segnale ricevuto è amplificato con amplificatori criogenici HEMT e trasmesso fuori dal dewar all unità di back end, che si trova a temperatura ambiente. Nel back end il segnale viene amplificato, filtrato nella banda di frequenza corrispondente e convertito in tensione dal diodo (Fig. 4.2). Il segnale così convertito in Volts è inviato al sistema di acquisizione dati (data acquisition o DAQ). Dopo aver moltiplicato il segnale per un appropriato fattore di guadagno, il DAQ integra il segnale con costante di tempo di 800 µs, corrispondente ad una velocità di acquisizione di 1250 Hz, e lo digitalizza, per poi trasmetterlo al computer per l immagazzinamento. Per convertire il segnale registrato in tensione in temperatura d antenna è necessario un fattore di conversione, dato dalla costante di calibrazione.

78 62 L esperimento BEAST Figura 4.3: Spettro di potenza normalizzato di un ricevitore di BEAST I ricevitori di BEAST sono calibrati ponendo tra i feed horns e lo specchio secondario un assorbitore di microonde (Eccosorb) a temperatura ambiente. La fase di calibrazione dura 5 minuti ed è ripetuta all inizio di ogni ora di osservazione. Essa quindi fornisce una naturale suddivisione dei dati in intervalli di un ora. La costante di calibrazione è ottenuta con un incertezza pari al 6%. Le caratteristiche principali della prestazione dei ricevitori si ricavano più facilmente operando nello spazio delle frequenze. La Figura 4.3 mostra lo spettro in frequenza per uno dei sei ricevitori, ottenuto con l insieme completo dei dati non processati ( 625h) usato per ricavare le mappe osservate da BEAST. Si notano tre caratteristiche principali, comuni anche agli altri ricevitori: il rumore 1/f, con la caratteristica crescita dello spettro a bassa frequenza, un eccesso di potenza intorno a 120 Hz e vari picchi a frequenze basse ( 10 Hz). Il rumore 1/f, per ricevitori HEMT, è dovuto principalmente a fluttuazioni nel guadagno degli amplificatori. Si può definire la frequenza f knee, detta di ginocchio, come la frequenza alla quale il rumore bianco W nl e la

79 4.3 Strategia d osservazione 63 componente 1/f danno uguale contributo allo spettro. Da un fit dello spettro in frequenza con un modello della forma W nl [1 + (f knee /f) β ] per ogni canale si ricava la frequenza f knee, oltre che l esponente β. Questi, insieme ad altri parametri caratteristici, sono riassunti nella Tabella 4.1. L eccesso di potenza a 120 Hz è invece dovuto alla potenza di alimentazione di BEAST, fornita a 60 Hz da normali prese di corrente. Mentre il contributo a 60 Hz è stato soppresso mediante l uso filtri, rimane il contributo di questa seconda armonica. I picchi a frequenze basse sono invece le armoniche della frequenza di rotazione (2 Hz) dello specchio piano, dovute principalmente alla modulazione del segnale dell atmosfera (vedi 4.3). canale T sys larghezza di sensibilità f knee β (K) banda (GHz) (µk s) (Hz) 2 - Q Q Q Ka Ka Q Tabella 4.1: Caratteristiche dei ricevitori di BEAST nella configurazione usata alla WMRS. I canali 2 e 3 sono collegati all OMT. 4.3 Strategia d osservazione Per effettuare le osservazioni dalla stazione WMRS il telescopio BEAST è stato installato in un edificio inutilizzato, modificato in modo da poterne aprire il tetto (Fig. 4.4.a). L angolo di azimuth non può quindi essere variato apprezzabilmente: BEAST è allineato a 74 Est da Nord e può osservare il cielo a diversi angoli di elevazione centrale. Nelle osservazioni effettuate nel 2001 veniva effettuata una scansione continua dell angolo di elevazione da

80 64 L esperimento BEAST 80 a 90 e viceversa. Invece nelle 5 settimane di osservazione compiute nel 2002 l angolo di elevazione centrale è stato tenuto fisso, intorno a 90. I dati utilizzati per ricavare le mappe di CMB provengono da queste osservazioni con elevazione fissa. Questa infatti permette una più facile ricostruzione del puntamento del telescopio. Come precedentemente descritto, BEAST riceve la radiazione del cielo da uno specchio piano rotante con frequenza 2 Hz, inclinato di 2.2 rispetto all asse di rotazione: ad ogni posizione angolare delle specchio BEAST osserva punti diversi nel cielo. Poichè i feed horns sono inclinati di diversi gradi l uno rispetto all altro (Fig. 4.1.b), durante ogni rotazione il fascio di ogni feed horn segue una diversa traiettoria nel cielo. Le traiettorie dei feed horns, mostrate in Fig. 4.4.b, risultano ellittiche e hanno dimensione angolare di 8.8. La scansione del cielo è data poi dalla rotazione giornaliera della Terra. BEAST quindi osserva una regione anulare di cielo attorno al Polo Nord Celeste (NCP) compresa tra le declinazioni 33 < δ < 42, per un area complessiva di 2500 gradi quadrati. Il puntamento del telescopio è stato ricostruito con due metodi. Il primo, più approssimativo, è consistito nel far volare un piccolo areo provvisto di GPS (Global Position System) nel campo di vista di BEAST, che rileva l emissione termica dell aeroplano. In questo modo si è associata la posizione angolare dello specchio misurata al momento dell osservazione con la posizione indicata dal sistema GPS allo stesso tempo. La precisione di questo metodo è limitata, dato che l aereo non può essere considerato un oggetto puntiforme. Il secondo metodo utilizza direttamente i dati acquisiti da BEAST. Infatti la regione di cielo osservata è attraversata dal piano galattico in due zone, quindi BEAST vede numerose sorgenti radio puntiformi la cui posizione è nota, tra cui ad esempio Cygnus A. Questo ha consentito un raffinamento della ricostruzione del modello di puntamento, oltre che una stima della risoluzione angolare effettiva di BEAST: 23 in banda Q e 30 in banda Ka. In Figura 4.5 è mostrato il fascio d antenna del feed horn in banda Q situato al centro della schiera di antenne di BEAST.

81 4.4 Riduzione dei dati 65 (a) (b) Figura 4.4: (a) Il telescopio BEAST alloggiato all interno del garage alla WMRS. In questa configurazione l angolo di elevazione centrale è 90. (b) Le traiettorie dei 5 feed horns operativi di BEAST. La figura è un diagramma polare attorno allo zenith locale. Figura 4.5: Risposta di un antenna di BEAST (banda Q) in funzione dell angolo rispetto alla direzione di puntamento. I lobi laterali raggiungono il minimo di -60 db ad angoli di Riduzione dei dati Il TOD (time ordered data), cioè il flusso di dati nel tempo, di ognuno dei canali di ricezione di BEAST mostra un segnale dominante con andamento

82 66 L esperimento BEAST sinusoidale, dovuto al contributo dell atmosfera. Infatti, durante ogni rotazione dello specchio piano, il fascio del telescopio è indirizzato a differenti angoli di elevazione, e quindi attraversa regioni con diverse profondità ottiche nell atmosfera. Questo causa la variazione sinusoidale dell offset atmosferico. Per rimuovere questo offset è necessario sottrarre un template atmosferico dai dati. A tal fine i dati sono stati binnati in 250 settori ottici, corrispondenti a 250 posizioni angolari dello specchio piano. Ogni settore ottico quindi identifica una certa direzione di puntamento per ognuno dei 5 feed horns. La frequenza di acquisizione dei dati binnati risulta di 450 Hz, rispetto ai 1250 Hz originali. Operando questo binning per ogni ora del TOD si ottiene per l ora stessa un template per il segnale atmosferico in ogni settore ottico. Questo template è stato poi sottratto dai dati di ogni rotazione nell ora considerata. In questo modo il contributo dell atmosfera è stato rimosso al primo ordine. Inoltre risultano rimossi anche errori sistematici come contaminazioni da lobi laterali 1 e rumore elettrico sincrono alla rotazione. Per minimizzare l effetto del rumore 1/f e rimuovere offsets sincroni alla frequenza di rotazione dello specchio, ai dati binnati è stato applicato un ulteriore filtro passa-alto a 10 Hz. Questo produce uno smorzamento dello spettro di potenza a ordini di multipolo l bassi, come vedremo in seguito (vedi Fig. 5.1). Queste due operazioni fanno parte della pipeline seguita per ricavare le mappe, che ora sarà descritta in dettaglio Pipeline di generazione delle mappe Il procedimento di riduzione dei dati di BEAST seguito per ricavare le mappe è suddiviso in tre livelli: livello 0 I dati, suddivisi in settori ottici, e le informazioni sul puntamento vengono incorporati in un unico file, secondo la seguente procedura: 1 un antenna riceve radiazione anche da direzioni diverse da quella di puntamento. I lobi laterali quantificano la risposta dell antenna a queste direzioni laterali (Fig. 4.5).

83 4.4 Riduzione dei dati 67 - importazione di un ora di dati, includendo tutti i canali e le informazioni relative al puntamento del telescopio; - calcolo della deviazione standard (rms) dei dati prima e dopo l applicazione del filtro; - binning dei dati (non filtrati) nei 250 settori ottici; - rimozione di transienti, dovuti ad esempio al passaggio di aerei nel campo di vista di BEAST; - salvataggio dei dati e delle statistiche in un file FITS (Flexible Image Transport Sistem). Per ogni ora è prodotto un singolo file. L rms dei dati filtrati è utilizzato in seguito per rimuovere i dati raccolti in cattive condizioni metereologiche. Infatti la distribuzione dell rms mostra una netta variazione in tali condizioni e questo ne permette la rimozione. Inoltre, sempre basandosi sull rms, vengono rimossi i dati acquisiti durante i periodi di funzionamento irregolare dello strumento. Questo porta l insieme dei dati a elevazione fissa da 1278 a 682 ore. A queste bisogna poi sottrarre il tempo utilizzato per la calibrazione. Ne risulta un insieme di dati per un totale di circa 625 ore. livello 1 Ogni dato è associato ad un indice di pixel di mappa, utilizzando il modello di puntamento, ricostruito nel modo descritto nel 4.3, e le informazioni sul puntamento del file di livello 0. Lo schema di pixelizzazione scelto è quello del pacchetto HEALPix [36], con parametro di risoluzione Nside =512, che corrisponde ad una risoluzione di 6.9 per pixel. I files di livello 1 comprendono quindi i dati osservati e l informazione di puntamento tramite gli indici di pixel. produzione di una mappa Per ogni giorno di osservazione viene prodotta una mappa che com-

84 68 L esperimento BEAST prende, oltre ai dati, anche le statistiche relative, ovvero l rms e il numero di osservazioni per pixel. Il procedimento è il seguente: - lettura del file di livello 1; - calcolo e sottrazione del template atmosferico orario per ogni canale; - applicazione del filtro passa-alto a 10 Hz; - binning dei dati in una mappa giornaliera; - iterazione dei passi precedenti per ogni ora, in modo da completare la mappa giornaliera di ogni canale; - salvataggio della mappa e passaggio al giorno successivo. Le mappe giornaliere di ogni canale vengono poi sommate pixel per pixel, pesando la media per il rumore per pixel per giorno. Infine sono sommate le mappe dei canali della stessa banda di frequenza, sempre pesando opportunamente per il rumore, in modo da ottenere una mappa in banda Ka ed una mappa in banda Q. 4.5 Le mappe In Figura 4.6 sono mostrate, in coordinate equatoriali, le mappe in temperatura d antenna ottenute dai dati di BEAST. Le figure sono una proiezione gnomonica attorno al NCP, tra le declinazioni 33 < δ < 42. Si può osservare che il piano galattico attraversa la regione di cielo osservata da BEAST attorno alle ascensioni rette α di 80 e 300. Attorno ad α = 60 e declinazione δ = 36.5 è visibile invece una struttura consistente con un emissione di free-free [64]. Sono inoltre visibili alcune sorgenti puntiformi. Per avere una misura del rumore strumentale in queste mappe, sono state ricavate anche due mappe differenza per le due bande di frequenza, mostrate in Fig Queste sono state ottenute sommando metà delle mappe giornaliere di una banda in una mappa, l altra metà in un altra mappa.

85 4.5 Le mappe 69 Figura 4.6: sopra: mappa in banda Ka (30 GHz - risoluzione 30 ), sotto: mappa in banda Q (41.5 GHz - risoluzione 23 ).

86 70 L esperimento BEAST Le mappa differenza della banda considerata è la differenza pixel per pixel di queste due mappe, divisa per due per mantenere la stessa statistica del rumore della mappa totale. Tale mappa non dovrebbe contenere segnale astrofisico, ma solo rumore. Dalle mappe così ottenute si può vedere che il rumore non è distribuito spazialmente in maniera uniforme e che è più elevato nella banda Ka, come ci si aspetta dalla configurazione dello strumento. Ad esempio il diverso numero di canali per le due bande di frequenza comporta un numero di osservazioni per pixel maggiore per la mappa in banda Q rispetto a quella in banda Ka (Fig. 4.8). Meinhold et al. [63] hanno misurato il contributo del segnale e del rumore nella mappa in banda Q, dopo aver rimosso le regioni contaminate dalla presenza di foregrounds. Hanno quindi calcolato un rms della mappa differenza (solo rumore) di 268 ±27µK e un rms della mappa totale (segnale+rumore) di 270 ± 27µK. Questo comporta un contributo di solo segnale di 31 ± 3µK. Il segnale quindi è significativo, ma il rapporto segnale/rumore è 0.11, molto inferiore ad 1. Figura 4.7: mappe differenza in banda Ka (a sinistra) e Q (a destra).