Interferometro di Michelson

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1 1 Relazione sperimentale L esperimento di Michelson permise per la prima volta nella storia una misura delle lunghezze d onda della luce accurate al nanometro. Scopo dell esperienza è misurare la lunghezza d onda di un fascio di luce laser monocromatico (rosso), l indice di rifrazione dell aria a pressione atmosferica, la lunghezza di coerenza del pacchetto (che è la lunghezza effettiva in cui sono contenute l energia e quindi le informazioni trasportate dall onda) ed infine la separazione tra le due righe del doppietto dello spettro di emissione del sodio. Apparato sperimentale L apparato di misura atto alla corretta realizzazione dell esperimento è composto da (Figura): Figura 1: un laser, ossia un fascio molto coerente e ben collimato, di luce monocromatica rossa; due specchi, uno fisso ed uno mobile (rispettivamente L2 e L3), posti ortogonalmente l uno all altro; una vite micrometrica (Q) per spostare lo specchio mobile ; un terzo specchio semi-trasparente ed inclinato di π/4 (L1) rispetto alla direzione del fascio incidente, adibito al compito di splittare il fascio entrante, indirizzandolo nei due rami; una lente divergente, posta tra la sorgente laser e lo specchio splitter; una cameretta cilindrica nella quale, tramite l ausilio di una pompa rotativa, viene praticato il vuoto; l aria viene in un secondo tempo reintrodotta nella cameretta tramite una valvola a spillo; una guida d onda collegata ad una lampadina ad incandescenza; uno schermo per raccogliere le figure di interferenza prodotte da fascio. Pagina 1 di 6

2 2 Presupposti teorici Misura della lunghezza d onda e dell indice di rifrazione dell aria Il suddetto esperimento si basa sul fenomeno di interferenza di due fasci coerenti. La coerenza è garantita dal fatto che la sorgente è una sola e i due fasci che poi interferiscono sono ottenuti dalla separazione di un unico fascio di partenza. L interferenza avviene poiché, variando la lunghezza di uno dei due rami, si introduce uno sfasamento nei cammini ottici dei due raggi:questo si traduce in una differenza di fase che produce quindi interferenza nel momento della sovrapposizione. La condizione di interferenza costruttiva tra due onde è data da da cui per inversione si ricava Introducendo invece lungo uno dei due rami una differenza di fase dovuta al passaggio in un materiale di lunghezza d con indice di rifrazione differente (camera cilindrica in cui è stato praticato il vuoto) e quindi Misura della lunghezza di coerenza della luce bianca Nella realtà la luce non è rappresentata da una sinusoide infinitamente estesa, bensì assume un comportamento conforme a sen(x)/x: ciò vuol dire che la maggior parte dell energia di emissione è contenuta in un intervallo spaziale detto Lunghezza di Coerenza, l c =2π/ k (k numero d onda) a cui corrisponde un Tempo di Coerenza t c =2π/ ω (ω pulsazione) ; questo risultato è rigorosamente ricavabile a partire da Fourier e può essere trovato con facilità in letteratura. In questa parte dell esperimento si è utilizzata una lampadina ad incandescenza (quindi non monocromatica) in modo tale che la presenza di tutti i numeri d onda dello spettro renda la lunghezza di coerenza molto limitata; se si avesse infatti utilizzato il laser,non sarebbe stato possibile osservare il fenomeno, vista l estrema monocromaticità del fascio emergente ( ) Misura della separazione fra le righe del doppietto del sodio La sorgente al sodio utilizzata per quest ultima parte dell esperimento emette due sole lunghezze d onda (lc molto grande). le lunghezze d onda del doppietto del sodio sono reperibili facilmente in letteratura 1 e corrispondono a 1 Fonte dei dati Acerbi, Sorbi, Laboratorio di Fisica, p. 140 Pagina 2 di 6

3 3 e sono pertanto distanziate di circa 6. Le due onde a frequenze simili, separate dai due rami dl Michelson, interferiscono producendo sullo schermo le solite frange di interferenza; questa volta, tuttavia, la coerenza che assicura il fenomeno è garantita su intervalli spazialmente limitati (in cui le frange luminose delle due lunghezze d onda si sovrappongono), alternati a situazioni di luminosità omogenea (incoerenza). La differenza tra le due lunghezze d onda si ricava dalla in cui si assume = 5893, pari al valor medio delle due; acquisendo quindi, come nel caso del laser, il numero di frange e lo spostamento corrispondente, si arriva al risultato desiderato. Procedimento sperimentale Misura della lunghezza d onda del laser e dell indice di rifrazione dell aria I metodi di approccio all esperimento sono due: il primo consiste nel partire dall assunzione dell indice di rifrazione dell aria pari all unità per il calcolo della lunghezza d onda e poi, da quest ultimo, ricavare l indice di rifrazione, utilizzando la cameretta sottovuoto; il secondo invece, partendo dal valore vero della lunghezza d onda, sfrutta la (formula 10 invertita pag 157) per ricavare l indice di rifrazione dell aria(sempre con l ausilio della cameretta cilindrica), per poi tornare ad una stima della lunghezza d onda sperimentale. Si è proceduto nel primo modo durante l esperienza in laboratorio, preferendo tuttavia scrivere anche un algoritmo iterativo che simulasse l esperimento nella restante modalità di esecuzione. La prima misura che viene richiesta, utile anche alla verifica del corretto funzionamento dell apparato, è quindi la stima della lunghezza d onda del laser. A tal fine produciamo sullo schermo la figura di interferenza; poiché lo scopo è quello di contare il numero di frange oscure (o luminose) che attraversano un punto prefissato dello schermo al variare della posizione dello specchio mobile (traslato con l ausilio della vite micrometrica), per minimizzare eventuali errori di misura, si cerca di allargare quanto più possibile la larghezza delle frange, senza curarci della loro forma, dato ininfluente ai fini dell esperimento. Spostando quindi lo specchio semovibile con estrema cautela, si è contato un numero prefissato N di frange (nel nostro caso si è preso N=200)e rilevato lo spostamento x, tenendo presente che tale spostamento è ⅕ dello spostamento misurato sulla vite micrometrica; si ricava infine la lunghezza d onda del laser dalla (formula 1 pag 156). In Tabella 1 sono riportati i valori di lambda ottenuti: SERIE 1 Misura Errore N frange: 200 0,5 n 1,00 3,00E-04 Zero nonio: 17,000 0,005 mm X 1 : 16,685 0,005 mm DeltaX: 0,063 0,0014 mm Lambda: 0, ,4E-05 mm nm Pagina 3 di 6

4 4 SERIE 2 Misura Errore N frange: 200 0,5 n 1,00 3,00E-04 Zero nonio: 17,000 0,005 mm X 1 : 16,69 0,005 mm DeltaX: 0,062 0,0014 mm Lambda: 0, ,4E-05 mm nm SERIE 3 Misura Errore N frange: 200 0,5 n 1,00 3,00E-04 Zero nonio: 17,000 0,005 mm X 1 : 16,685 0,005 mm DeltaX: 0,063 0,0014 mm Lambda: 0, ,4E-05 mm nm Media Misura Errore Lambda media: 6,267E-4 8,2E-06 mm 626,7 8,2 nm Tabella 1: Lunghezza d'onda della radiazione laser Si procede quindi ad una stima più accurata di n, tramite l utilizzo della cameretta cilindrica di lunghezza nota d; si pratica al suo interno il vuoto (indice di rifrazione 1), la si inserisce su uno dei due rami(è indifferente la scelta)e mediante una pompa rotativa si procede gradualmente al rientro dell aria dentro la camera. Questo procedimento, provocando un succedersi delle frange di interferenza, permette di ricavare l indice di rifrazione dell aria. In Tabella 2, vengono riportati i valori ottenuti per l indice di rifrazione: Misura dell'indice di rifrazione Misura Errore N frange: 41 0,5 Larghezza camera: 50,0 0,1 mm Delta n 2,57E-4 4,6E-06 n 1, ,6E-06 Tabella 2: Misura dell'indice di rifrazione dell'aria. Si noti che, nonostante la tabella riporti una sola serie di dati, essa è il risultato di tre prese dati (come il caso precedente) tutte con il medesimo esito (41 frange contate) che rientrano nel computo dell errore dell indice di rifrazione Misura della lunghezza di coerenza della luce non monocromatica Si prosegue quindi con la stima della lunghezza di coerenza, misurando la differenza di spostamento dello specchio mobile tra due successive condizioni di luminosità uniforme dl, separate da una condizione di luminosità interferenza. In questo caso viene utilizzato un fascio di luce bianca, collimato da una guida d onda (fibra ottica); al fine di minimizzare la dispersione del fascio e convogliare lo stesso sullo schermo, si è avuta l accortezza di avvicinare la guida d onda allo specchio splitter. La condizione di interferenza si manifesta in modo evidente, palesando un Pagina 4 di 6

5 5 arcobaleno di colori;tuttavia è risultato molto difficile trovare la suddetta condizione, dovuto alla limitatezza spaziale del fenomeno. La misura dell intervallo x (sempre de-amplificato di un fattore 5 dovuto all utilizzo della vite micrometrica) è eguale alla lunghezza di coerenza cercato (valori riportati in Tabella 3): Lunghezza di coerenza luce bianca X 0 : 17,390 0,005 mm X 1 : 17,460 0,005 mm X 0 : 17,380 0,005 mm X 1 : 17,460 0,005 mm X 0 : 17,380 0,005 mm X 1 : 17,450 0,005 mm Lungh. Pacchetto (1): 0,070 0,0071 mm Lungh. Pacchetto (2): 0,080 0,0071 mm Lungh. Pacchetto (3): 0,070 0,0071 mm DeltaLambda (1): 5,61E-06 5,9E-07 mm DeltaLambda (2): 4,91E-06 4,5E-07 mm DeltaLambda (3): 5,61E-06 5,9E-07 mm Delta Lambda medio: 5,29E-06 3,1E-07 mm 5,29 0,31 nm Tabella 3: Misura della lunghezza del pacchetto d'onda Misura della separazione fra le righe del doppietto del sodio Si conclude con la misura della separazione tra le righe dello spettro di emissione del sodio. A tale scopo, si assume una stima di pari a 5893 A (stima media delle due lunghezze d onda)e si procede esattamente come nel caso della stima della lunghezza di coerenza:una volta misurato lo spostamento x la grandezza richiesta è data da, ed è esplicitata in Tabella 4. Interferenza del sodio Lambda media: 5893 Å SERIE 1 N frange: 150 0,5 X 0 : 17,105 0,005 mm DeltaX: 0,021 0,0014 mm DeltaLambda: 6,20E-10 4,2E-11 m SERIE 2 6,20 0,42 Å N frange: 150 0,5 X 0 : 17,110 0,005 mm DeltaX: 0,022 0,0014 mm DeltaLambda: 5,92E-10 3,8E-11 m SERIE 3 5,92 0,38 Å N frange: 150 0,5 Pagina 5 di 6

6 6 X 0 : 17,105 0,005 mm DeltaX: 0,021 0,0014 mm DeltaLambda: 6,20E-10 4,2E-11 m Media 6,20 0,42 Å Delta Lambda media: 6,10E-10 2,3E-11 m 6,10 0,23 Å Tabella 4: Misura della differenza di lunghezza d'onda fra i due doppietti del sodio Conclusioni e discussione sugli errori sistematici di misura La vite micrometrica presenta ovviamente un po di gioco, per cui si è avuta l accortezza di girarla sempre nello stesso verso al fine di minimizzarne l effetto. Le misure della lunghezza d onda sono state fatte assumendo l indice di rifrazione dell aria pari a 1, quindi calcolando l indice di rifrazione utilizzando la lunghezza d onda stimata prima. Questo metodo andrebbe iterato in modo da trovare i valori dell indice di rifrazione e di lunghezza d onda di convergenza; in realtà, i due valori convergono molto rapidamente a causa della piccolissima approssimazione che si commette ponendo l indice di rifrazione uguale a 1. Un altro metodo per ottenere i valori sarebbe di mettere a sistema le due equazioni (quella nel caso del sistema vuoto e quella nel caso del sistema con la celletta depressurizzata) per ricavare entrambe le variabili. Come detto, il primo metodo risulta più funzionale vista la rapidità della convergenza delle variabili. Poiché il numero di frange da contare è elevato ed è stato necessario sia muovere la vite sia la valvola a spillo con estrema delicatezza poiché piccoli spostamenti corrispondevano al passaggio di numerose frange oscure, sarebbe ragionevole un incertezza di un paio di frange sul numero totale. Essa si assume tuttavia nulla qualora sia presente in quanto assunto errore sistematico. Pagina 6 di 6