TEST DI AUTOVALUTAZIONE TEST CHI-QUADRO

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1 TEST DI AUTOVALUTAZIONE TEST CHI-QUADRO I diritti d autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sarà perseguito. Metodi statistici per la biologia 1 Parte A 1.1 In un test χ 2 di adattamento viene verificato 1.2 l adattamento dei dati ad un particolare valore della media; l adattamento dei dati ad un particolare valore della varianza; l adattamento dei dati alla distribuzione χ 2 ; l adattamento dei dati ad una distribuzione ipotizzata; Quale delle seguenti affermazioni è vera per un test χ 2 di buon adattamento? 1.3 Il numero di gradi di libertà del quantile di riferimento è uguale al numero di elementi del campione meno uno; ogni parametro incognito della distribuzione teorica, stimato con gli stetti dati usati per il test, abbassa di un unità il numero di gradi di libertà del quantile di riferimento; si può usare solo per campioni normali; può essere usato anche per campioni poco numerosi, purchè con distribuzione normale. Una casa farmaceutica afferma che un certo farmaco ha l effetto di aumentare in media il valore di una variabile ematica x, che assumiamo avere distribuzione normale. Per verificare tale affermazione, viene misurato il valore di x ad un gruppo di volontari, prima e dopo la somministrazione del farmaco. Quale Test è opportuno usare? 1.4 Un test χ 2 di indipendenza Un test su una proporzione Un test di confronto di medie per campioni normali indipendenti Un test per dati appaiati. Per gli studenti del Corso di Studi in Biologia Molecolare, si vuole verificare se il voto medio ottenuto nell esame di Metodi Statistici per la Biologia sia maggiore quello ottenuto nell esame di Fisica. Quale dei seguenti metodi statistici è opportuno utilizzare? un test χ 2 di adattamento un test χ 2 di indipendenza un test di confronto di medie un test di confronto di proporzioni 1

2 1.5 Una società di statistica riceve la commissione di rilevare l indice di gradimento del Sindaco di Zurigo tra i suoi concittadini. Il risultato viene pubblicato nella seguente forma: la percentuale dei cittadini favorevoli al Sindato è 63 ± 2.3%. Quale metodo statistico ritenete sia stato usato? 1.6 Intervallo di confidenza per la media di una popolazione normale. Intervallo di confidenza per una proporzione. Test χ 2 di buon adattamento Test per una proporzione Quale delle seguenti affermazioni è vera per un test χ 2 di buon adattamento? 1.7 Il numero di gradi di libertà del quantile di riferimento è uguale al numero di elementi del campione meno uno; ogni parametro incognito della distribuzione teorica, stimato con gli stetti dati usati per il test, abbassa di un unità il numero di gradi di libertà del percentile di riferimento; si può usare solo per campioni normali; può essere usato anche per campioni poco numerosi, purchè con distribuzione normale. In un sondaggio elettorale vengono selezionate in modo casuale 100 persone per ognuna delle tre città Milano, Napoli e Palermo, alle quali viene chiesto per quale lista voterebbe per elezioni nazionali. Lo scopo è di verificare se vi siano differenze significative di orientamento poliico tra i votanti delle tre città. Quale tipo di test è opportuno effettuare? 1.8 Test di confronto tra due proporzioni Test χ 2 di indipendenza Test χ 2 di buon adattamento Test χ 2 di omogeneità Si supponga di voler verificare l ipotesi di indipendenza sulla base di una tabella di contingenza di dimensione 6 3, la cui frequenza totale è n = 250. La statistica test ha distribuzione approssimativamente Chi-quadrato con 10 gradi di libertà; Chi-quadrato con 249 gradi di libertà; Chi-quadrato con 17 gradi di libertà; nessuna delle precedenti affermazioni è corretta. 2

3 1.9 Un azienda petrolifera afferma di produrre un gasolio per auto ad alta efficienza, in grado di diminuire in modo significativo il consumo medio per chilometro x, che assumiamo avere distribuzione normale. Per verificare tale affermazione, viene misurato il consumo medio per chilometro in un gruppo di automobili, utilizzando prima il gasolio tradizionale, e poi quello prodotto dall azienda. Quale Test è opportuno usare per verificare l affermazione dell azienda? 1.10 Un test χ 2 di indipendenza Un test su una proporzione Un test per dati appaiati Un test di confronto di medie per campioni normali indipendenti Quale dei seguenti test di verifica di ipotesi può essere usato anche per campioni di piccola taglia? Test di confronto di medie per popolazioni normali, campioni indipendenti e varianze ignote. Test su una proporzione Test χ 2 di buon adattamento Test sulla media di una popolazione normale con varianza ingnota. 2 Parte B 2.1 In un sondaggio viene posta una domanda con 4 risposte possibili (chiamiamole A, B, C, D). In un campione di 1000 intervistati, 212 scelgono la risposta A, 256 la B, 265 la C e 267 la D. Questi dati sono compatibili con l ipotesi che le 4 scelte di risposta siano equidistribuite nella popolazione alla quale il sondaggio è riferito? (Usare un test di livello 0.05) 2.2 Bambi osserva incuriosito gli alberi della foresta. Durante il proprio cammino Bambi conta 34 querce, 20 tigli, 30 acacie e 16 ontani. Supponendo che nella foresta non ci siano altri tipi di albero, Bambi può concludere che gli alberi della foresta non sono equidistribuiti tra i quattro tipi sopra elencati? (Usare un test di livello 0.05) 2.3 Un gioco d azzardo consiste nel lanciare tre dadi: la vincita è proporzionale al numero di sei ottenuti. Un giocatore lancia i tre dadi 100 volte. Per 48 volte non ottiene alcun sei, 35 volte ne ottiene 1, 15 volte 2 e 2 volte ottiene 3 sei. Questi risultati sono compatibili con l equità dei dadi utilizzati? 3

4 2.4 Si dica se i dati riportati nella seguente tabella sono compatibili con una distribuzione di Poisson di media 1.76: valore frequenza Un indagine ha classificato i 1725 bambini di una scuola secondo l intelligenza e l apparente livello economico della famiglia. Tardo Intelligente Molto capace Molto ben vestito Ben vestito Poveramente vestito Verificare l ipotesi di indipendenza al livello Le Facolta di Scienze Politiche di tre Atenei italiani vogliono confrontare la loro capacita di attrarre studenti brillanti (con voto di maturita > 90/100). Le immatricolazioni per gli Anni Accademici 2001/02 e 2002/03 forniscono i seguenti dati Ateneo A Ateneo B Ateneo C immatricolati con voto di maturita 90/ immatricolati con voto di maturita < 90/ Tali dati indicano una differenza significativa nella capacita di attrarre studenti brillanti (effettuare un test con livello di significatifita del 5%)? 2.7 Una compagnia aerea vende i biglietti di classe economica per la tratta Venezia-Londra a due prezzi diversi (scontato e non) a seconda dell anticipo con cui viene fatta la prenotazione. La compagnia vuole stabilire se il livello di soddisfazione dei suoi clienti sia sensibilmente influenzato dal prezzo pagato. Un indagine ha prodotto i seguenti dati: insoddisfatto abbastanza soddisfatto molto soddisfatto prezzo scontato prezzo non scontato Si può concludere che il livello di soddisfazione sia sensibilmente influenzato dal prezzo pagato (eseguire un test al 5%)? 4

5 2.8 La Nicorette è una gomma da masticare concepita per aiutare a smettere di fumare. Per verificare l eventuale presenza di effetti collaterali, la Nicorette viene somministrata ad un gruppo di 150 volontari, mentre ad altri 150 viene somministrato un placebo dall identico aspetto. Ad ogni volontario viene controllata l eventuale insorgere di dolori alla bocca o alla gola. I dati raccolti sono contenuti nella seguente tabella. 2.9 Nicorette placebo Dolori alla bocca o alla gola Nessun dolore a. Effettuando un test chi-quadro al 5%, quali conseguenze si possono trarre da questi dati? b. Quale altro metodo visto durante il corso pu essere usato in alternativa al test chi-quadro? La riuscita di un intervento chirurgico per l applicazione di una protesi al ginocchio con la tecnica tradizionale è molto soddisfacente nel 56% dei casi, abbastanza soddisfacente nel 31% dei casi, e non soddisfacente nei casi rimanenti. Varie equipe mediche stanno sperimentando un nuovo tipo di intervento. In 112 operazioni effettuate, gli esiti molto soddisfacenti sono stati 71, quelli abbastanza soddisfacenti 34, e gli altri non soddisfacenti. Vi sono differenze significative tra le percentuali di riuscita di questo intervento rispetto a quello tradizionale (effettuare un test al 5% di significatività)? 2.10 Un dato farmaco, secondo l azienda produttrice, può causare due effetti collaterali, entrambi con probabilità p = 0.1. Inoltre i due effetti si manifestano indipendentemente l uno dall altro. a. Sia X = 0, 1, 2 il numero di effetti collaterali che si manifestano in un individuo scelto a caso a cui è stato somministrato il farmaco. Secondo le indicazioni della casa produttroce, qual è la distribuzione di X? b. Allo scopo di mettere alla prova le affermazioni della casa produttrice, il farmaco viene somministrato ad un campione di 1000 individui. Di questi, 782 non manifestano alcun effetto collaterale, 186 ne manifestano uno e i rimanenti manifestano entrambi gli effetti collaterali. Questi dati sono compatibili con quanto affermato dalla casa produttrice? (Effettuare un test al 5%) 2.11 In un esame con domande a risposta multipla (senza alcuna penalizzazione per le risposte sbagliate) è stata per errore inserita una domanda il cui contenuto non è parte del corso; si può perciò presumere che gli studenti non ci capiscano nulla, e scelgano a caso una delle quattro risposte possibili (la prima è quella giusta). In fase di correzione si vede che 34 studenti hanno scelto la prima risposta, 21 la seconda, 27 la terza e 26 la quarta. Questi dati sono coerenti con l assunzione che tutti gli studenti abbiano risposto a caso? (Effettuare un test al 5%) 2.12 Un provider per il collegamento internet afferma che i suoi abbonati riescono a connettersi immediatamente (linea libera) nel 50% dei casi, con un attesa inferiore ad 1 minuto nel 40% dei casi e con un attesa maggiore di 1 minuto nel 10% dei casi. Un utente decide di verificare l affermazione del provider, annota i tempi di attesa da lui sperimentati in 70 tentativi di collegamento e ottiene i seguenti risultati: linea libera attesa 1 min. attesa > 1 min. Numero di tentativi Sottoponete a test, al livello dell 1%, l affermazione H 0 : il provider ha ragione. 5

6 2.13 Di un campione casuale di bambini di una certa zona, viene registrato il sesso e il colore dei capelli: biondo rosso castano bruno nero maschi femmine Si vuole stabilire se vi sia dipendenza tra il sesso e il carattere colore dei capelli. Eseguire un test all 1% e al 5%, traendo le opportune conclusioni In un recente studio dell Università di Padova, si sono voluti confrontare le possibilità di occupazione per i laureati di quattro corsi di laurea della Facoltà di Ingegneria. Sono stati perciò intervistati, a sei mesi dalla laurea, 50 laureati per ognuno dei corsi di Laurea, ottenendo i seguenti dati: occupati non occupati Laurea in Ingegneria edile 43 7 Laurea in Ingegneria elettronica Laurea in Ingegneria gestionale Laurea in Ingegneria informatica 41 9 I dati mostrano differenze significative tra i tassi di occupazione nei quattro diversi corsi di laurea (effettuare un test al 5%)? 2.15 Una società di distribuzione cinematografica intende verificare se vi siano relazioni tra il livello di istruzione e la propensione ad andare al cinema. Viene intervistato un campione casuale di 1000 persone, alle quali viene chiesto: a) il titolo di studio; b) frequenza mensile media di film visti al cinema. I dati ottenuti sono contenuti nella seguente tabella meno di uno tra uno e due più di due Diploma di scuola primaria Diploma di scuola secondaria Laurea Questi dati mostrano una relazione significativa tra il livello di istruzione e la propensione ad andare al cinema (effettuare un test al 5%)? 2.16 Si dica se i dati nella seguente tabelle sono compatibili con una distribuzione di Poisson valori frequenze È stato misurato il quoziente IQ in un campione di 200 giovani, ottenendo una media campionaria x = e una deviazione standard campionaria Inoltre i dati hanno dato luogo alla seguente tabella delle frequenze: Punteggio IQ Meno di Più di 120 frequenza Questi dati sono compatibili con l ipotesi che la distribuzione dei punteggi IQ sia normale? (Eseguire un test al 5%). 6