PAOLO CAMAGNI RICCARDO NIKOLASSY CORSO DI INFORMATICA. Per il nuovo liceo scientifico opzione scienze applicate VOLUME 3 HOEPLI

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1 PAOLO CAMAGNI RICCARDO NIKOLASSY CORSO DI INFORMATICA Per il nuovo liceo scientifico opzione scienze applicate VOLUME 3 HOEPLI

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3 Corso di Informatica Linguaggio Pascal

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5 PAOLO CAMAGNI RICCARDO NIKOLASSY Corso di Informatica Linguaggio Pascal Per il nuovo liceo scientifico opzione scienze applicate VOLUME 3 EDITORE ULRICO HOEPLI MILANO

6 Copyright Ulrico Hoepli Editore S.p.A Via Hoepli 5, Milano (Italy) tel fax Tutti i diritti sono riservati a norma di legge e a norma delle convenzioni internazionali

7 Indice Indice UNITÀ DI APPRENDIMENTO 1 Algoritmi di calcolo numerico L1 Calcolo approssimato della radice quadrata Cenni sul calcolo numerico... 2 Calcolo della radice quadrata... 3 Metodo alternativo di Newton... 6 Verifichiamo le competenze... 7 L2 Generare numeri pseudocasuali Processi deterministici e pseudocasuali... 8 Numeri pseudocasuali in Pascal... 9 Algoritmi che generano le sequenze Linear Congruential Generator (LCG) Verifichiamo le competenze L3 Calcolo di U e integrazione con il metodo Monte Carlo La ricerca di pi greco Il metodo Monte Carlo Integrazione numerica con il metodo Monte Carlo Il problema della moneta di Buffon Verifichiamo le competenze L4 Il numero e Generalità Calcolo del numero e Ricordare il numero e Verifichiamo le competenze L5 Calcolo approssimato del seno di un angolo con Taylor Generalità Algoritmo per il calcolo approssimato del seno Verifichiamo le competenze L6 Calcolo approssimato della radice di una equazione: metodo di bisezione Generalità Metodo di bisezione Verifichiamo le competenze L7 Calcolo approssimato delle aree Generalità Metodo dei rettangoli Metodo dei trapezi Metodo di Cavalieri-Simpson Verifichiamo le competenze L8 Le equazioni differenziali risolte col metodo di Eulero Generalità Metodo di Eulero Metodo di Eulero modificato Verifichiamo le competenze UNITÀ DI APPRENDIMENTO 2 Applicazioni tecnico-scientifiche in VBA L1 L ambiente visuale di VBA per Excel Visual Basic for Applications Le macro L ambiente di programmazione di Excel Scrivere un programma in VBA L Editor di VBA Struttura di un programma VBA Le variabili e le costanti Il colloquio con l utente I riferimenti di cella Verifichiamo le conoscenze Verifichiamo le competenze L2 Le variabili e le condizioni Gli operatori matematici La condizione logica Gli operatori logici Blocchi annidati nella istruzione di selezione.. 99 La selezione nidificata I codici ASCII Verifichiamo le conoscenze Verifichiamo le competenze L3 I cicli in VBA I cicli in VBA I concetti di accumulatore e contatore

8 Indice La struttura di ripetizione per falso La struttura di ripetizione con contatore Un ciclo dentro a un ciclo: i cicli annidati Verifichiamo le conoscenze Verifichiamo le competenze L4 Il perfezionamento dell interfaccia grafica I controlli VBA Verifichiamo le conoscenze Verifichiamo le competenze L5 Applicazioni della statistica Generazione di risultati casuali per un torneo calcistico La macchina di Galton Verifichiamo le competenze L6 Applicazioni della matematica Tracciare una retta sul piano cartesiano Tracciare una funzione con il metodo per punti L7 La crittografia La crittografia bellica: codice Playfair La crittografia bellica: il codice Delastelle UNITÀ DI APPRENDIMENTO 3 Principi teorici della computazione L1 Analisi degli algoritmi Introduzione Definizioni Parametri di qualità di un algoritmo Il modello di costo per il calcolo del tempo di esecuzione Calcolo della complessità in funzione del passo base Verifichiamo le conoscenze Verifichiamo le competenze L2 Complessità asintotica e notazione O-grande Complessità asintotica Notazione O-grande Algebra degli O-grandi Equivalenza tra algoritmi Classi di complessità degli algoritmi Istruzione dominante Verifichiamo le conoscenze Verifichiamo le competenze L3 La complessità dei problemi Algoritmi e problemi Problemi computabili ma intrattabili Problemi polinomiali ed esponenziali La classe NP La classe P coincide con la classe NP? La classe NPC o NP-completa Risolvere i problemi intrattabili Verifichiamo le conoscenze UNITÀ DI APPRENDIMENTO 4 Fondamenti di Networking L1 Introduzione al Networking Introduzione Reti: definizioni e concetti di base Aspetti hardware delle reti Reti locali Topologia delle reti locali Reti geografiche Reti wireless Verifichiamo le conoscenze L2 Il trasferimento dell informazione: multiplazione e commutazione La trasmissione delle informazioni Generalità sui protocolli Tecniche di trasferimento dell informazione Multiplazione (multiplexing) Tecniche di accesso o protocolli di accesso Classificazione delle tecniche di accesso multiplo La commutazione (switching) Verifichiamo le conoscenze L3 L architettura a strati ISO-OSI e TCP-IP Generalità L architettura a strati Il modello OSI Il modello Internet o TCP/IP Verifichiamo le conoscenze UNITÀ DI APPRENDIMENTO 5 Internet e il protocollo TCP/IP L1 Il TCP/IP e indirizzi IP Cenni storici I livelli del TCP/IP Formato dei dati nel TCP/IP VI

9 Indice L intestazione IP Struttura degli indirizzi IP Classi di indirizzi IP Reti IP private (RFC 1918) Verifichiamo le conoscenze Verifichiamo le competenze L2 Configurare un PC: IP statico e dinamico Configurazione di un PC in una LAN Assegnazione manuale Assegnazione mediante DHCP ARP: Address Resolution Protocol Verifichiamo le conoscenze hoepliscuola.it Inoltro di pacchetti sulla rete: NAT e ICMP Premessa Network Address Translation PAT ICMP: Internet Control Message Protocol Verifichiamo le conoscenze Verifichiamo le competenze UNITÀ DI APPRENDIMENTO 6 I servizi di rete L1 Il livello delle applicazioni Generalità Applicazioni di rete Architetture delle applicazioni di rete Servizi offerti dallo strato di trasporto alle applicazioni Verifichiamo le conoscenze L2 WEB e HTTP Il World Wide Web L architettura del Web Il protocollo HyperText Transfer Protocol (HTTP) Proxy server I cookies HTTPS: Secure HyperText Transfer Protocol (cenni) Verifichiamo le conoscenze L3 Trasferimento di file: FTP Generalità Il server e il client FTP La comunicazione FTP Verifichiamo le conoscenze L4 Posta elettronica in Internet: SMTP, POP e IMAP Generalità Invio e ricezione di posta elettronica Il protocollo SMTP Prelievo della posta: Post Office Protocol (POP3) Protocollo IMAP Verifichiamo le conoscenze L5 DNS: il Domain Name System Generalità: nome simbolico e indirizzo IP Funzioni e caratteristiche del DNS Record DNS Messaggi DNS Verifichiamo le conoscenze hoepliscuola.it Il protocollo Telnet Generalità Il protocollo Telnet Comandi e funzioni standard La (non) sicurezza di Telnet Utilizzo di Telnet Verifichiamo le conoscenze VII

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11 Presentazione Presentazione Gli obiettivi principali di questo volume sono due: il primo è di favorire la comprensione dei fondamenti teorici delle scienze dell informazione, fornendo le basi necessarie per l acquisizione della padronanza d uso degli strumenti dell IT (Information Technology) idonei alla soluzione di problemi anche connessi allo studio delle altre discipline, il secondo di rendere l allievo consapevole dei vantaggi e dei limiti dell uso degli strumenti e dei metodi informatici e delle relative conseguenze sociali e culturali di tale uso. L impostazione del volume tiene conto delle modifiche apportate ai programmi riguardanti il liceo scientifico opzione scienze applicate previsti per il quinto anno della scuola superiore; abbiamo ritenuto irrinunciabile fare tesoro della nostra esperienza maturata nel corso di numerosi anni di insegnamento che ci ha resi consapevoli della difficoltà di adeguare la prassi didattica alle dinamiche dell apprendimento giovanile e ai continui cambiamenti tecnologici che implicano sempre nuove metodologie di comunicazione. Il volume è strutturato in sei unità di apprendimento secondo tre aree tematiche che recepiscono i nuovi obiettivi specifici di apprendimento (OSA) divulgati dal MIUR. Le aree tematiche sono: i principali algoritmi del calcolo numerico (CS), i principi teorici della computazione (CS), le tematiche relative alle reti di computer, ai protocolli di rete, alla struttura di internet e dei servizi di rete (RC) (IS) ed esempi di utilizzo dell informatica in applicazioni tecnico-scientifiche (CS). Ciascuna unità di apprendimento è suddivisa in lezioni, ognuna delle quali è stata progettata per essere svolta in una o al massimo due lezioni. Lo scopo dell unità di apprendimento è di presentare un intero argomento, mentre quello delle lezioni è di esporne un singolo aspetto. 6I SERVIZI DI RETE UNITÀ DI APPRENDIMENTO L 1 Il livello delle applicazioni L 2 Web e HTTP L 3 Trasferimento di file: FTP L 4 Posta elettronica in Internet: SMTP, POP e IMAP L 5 DNS: il Domain Name System UdA 5 Internet e il protocollo TCP/IP LEZIONE 1 IL TCP/IP E GLI INDIRIZZI IP IN QUESTA LEZIONE IMPAREREMO... UÊil confronto tra i livelli ISO/OSI e TCP/IP UÊil formato dei dati nel TCP/IP UÊla struttura degli indirizzi IP UÊle classi degli indirizzi IP hoepliscuola.it Il protocollo Telnet Q Cenni storici Nella prima metà degli anni 70 il Ministero della Difesa statunitense DARPA (Defence Advanced OBIETTIVI Conoscere il concetto di applicazione di rete Individuare le tipologie di applicazione di rete Avere il concetto di porta e di socket Conoscere l architettura peer-to-peer (P2P) Comprendere il protocollo Telnet e il suo utilizzo Conoscere l architettura gerarchica del WEB Comprendere i meccanismi del protocollo HTTP Acquisire il formato del messaggio HTTP Conoscere le funzioni del client e del server FTP ATTIVITÀ Utilizzare le principali applicazione di rete Utilizzare un proxy server per navigare in modo anonimo Utilizzare i comandi Telnet Connettersi con una banca dati remota utilizzando Telnet Inviare una utilizzando Telnet Acquisire le modalità di collegamento FTP Utilizzare i comandi FTP Analizzare i pacchetti HTTP con wireshark Analizzare i pacchetti SMTP e POP con wireshark Research Project Agency), nell ambito del progetto di una rete di computer che potesse sopravvivere anche in caso di attacco bellico, definì il modello sul quale si sarebbe poi basato lo sviluppo della rete Internet. Questo modello, cui venne dato il nome di Internet Protocol Suite, presenta due protocolli principali: Z IP (Internet Protocol); Z TCP (Transmission Control Protocol). Proprio da tali protocolli deriva il nome TCP/IP che viene usato per identificare questa architettura di rete. Nel 1974 la rete ARPAnet collegava la costa dell Atlantico con quella del Pacifico grazie a un sistema a commutazione di pacchetto in grado di connettere elaboratori eterogenei. ARPAnet continuò a svilupparsi in ambito universitario e governativo nel corso di tutti gli anni 70, ma fu nel 1974, con la prima standardizzazione del protocollo TCP/IP, che il progetto della rete venne denominato Internet. 256 Indice degli obiettivi che si intendono raggiungere e delle attività che si sarà in grado di svolgere Nella pagina iniziale di ogni unità di apprendimento è presente un indice delle lezioni trattate All'inizio di ogni lezione sono indicati in modo sintetico i contenuti

12 B A 5 1 x 2 2 L ambiente visuale di VBA per Excel Lezione 1 Presentazione CRITERI DI EFFICIENZA Analisi degli algoritmi Lezione 1 Possiamo utilizzare fondamentalmente quattro parametri in grado di permetterci di valutare la bontà o meno degli algoritmi, detti criteri di effi cienza: Z il tempo impiegato (complessità temporale); Z lo spazio utilizzato (complessità spaziale); Z la quantità e la modalità di input/output; Z il tempo di trasmissione. La complessità temporale indica sostanzialmente il tempo impiegato dall esecuzione dell algoritmo. La complessità spaziale si riferisce alla dimensione del programma, cioè all occupazione di memoria richiesta durante l esecuzione di un algoritmo, sia nella memoria centrale sia nella memoria di massa. La complessità di I/O (input/output) tiene conto del tempo impiegato per l acquisizione o il trasferimento dei dati con le periferiche: memoria secondaria, tastiera, stampante ecc. La complessità di trasmissione misura l efficienza di I/O di un algoritmo rispetto a stazioni remote (altri computer, memorie fisicamente lontane ecc.). In generale i criteri di effi cienza più utilizzati per determinare la bontà di un algoritmo sono i primi due, cioè il tempo di elaborazione e la quantità di memoria (soprattutto centrale) utilizzata da un algoritmo. Rispetto al primo gruppo di parametri soggettivi, i criteri di efficienza possono essere calcolati con precisione e calcolati a priori, senza necessariamente eseguire il programma. Come precedentemente accennato utilizzeremo la complessità temporale per effettuare la classifi- cazione degli algoritmi. Sarà quindi necessario individuare le modalità per effettuare il calcolo del tempo di esecuzione di un algoritmo A, che indicheremo come complessità di tempo A. COMPLESSITÀ DI TEMPO Studiare la complessità di tempo di un algoritmo significa stimare la quantità di tempo che occorre alla CPU per eseguire il corrispondente programma. Vedremo, nel seguito della trattazione, come la complessità di tempo di un algoritmo risulti essere un ottimo parametro per scegliere il migliore tra due o più algoritmi che risolvono lo stesso problema, e costituirà la base per poter generalizzare il discorso e passare dalla complessità di calcolo di un algoritmo A alla complessità di calcolo del problema U. Q Il modello di costo per il calcolo del tempo di esecuzione Possiamo calcolare il tempo di esecuzione di un algoritmo cronometrandone l esecuzione su alcune istanze e quindi riportandone i risultati ottenuti in una tabella per effettuare il confronto, come nel seguente esempio. 189 Le finalità e i contenuti dei diversi argomenti affrontati sono descritti da obiettivi generali e dalle indicazioni delle diversa attività che verranno effettuate in ciascuna unità di apprendimento. Alla fine di ogni lezione sono presenti esercizi di valutazione delle conoscenze e delle competenze raggiunte, suddivisi in domande a risposta multipla, a completamento e infine esercizi con procedure guidate denominati simulazioni informatiche. Al libro viene allegato un CD-ROM che contiene i file sorgenti degli esempi in linguaggio Pascal e VBA nonché il materiale necessario per eseguire le procedure guidate passo passo degli esercizi svolti e da svolgere e le simulazioni informatiche. Le osservazioni aiutano lo studente a comprendere e ad approfondire Per modificare una proprietà si procede scrivendo il nuovo valore nella casella di testo relativa. Per modificare il testo del pulsante si modifica la proprietà Caption, scrivendo il nuovo testo (ad esempio Prova ) nella casella accanto a Caption, confermando con il tasto Invio. L ambiente visuale di VBA per Excel Lezione 1 In Microsoft Access è possibile creare finestre di inserimento o di ricerca e filtraggio dati personalizzate. Zoom su... OLE AUTOMATION Prima di utilizzare questo linguaggio è importante conoscere il signifi cato di OLE Automation. OLE è l acronimo di Object Linked and Embedded, (in inglese collegamento e incorporazione di oggetti). Con OLE Automation si indica l opportunità di far cooperare tra loro più programmi, secondo un funzionamento di tipo Client/Server, dove un programma (client), può richiedere una risorsa messa a disposizione da un altro programma (server). Il programma server viene anche detto VBA Compliant, dall inglese compiacente, si intende qualsiasi applicativo in grado di comunicare e comprendere la sintassi del Visual Basic. In questo modo, parlando una lingua comune, i vari applicativi possono interagire fra di loro scambiandosi informazioni. Il significato di moltissimi termini informatici viene illustrato e approfondito Lo studente può mettere in pratica in itinere quanto sta apprendendo nel corso della lezione hoepliscuola.it UÊAttivare la modalità progettazione UÊDisattivare la modalità progettazione Prova adesso! UÊAttivare la Casella degli strumenti grafi ci UÊInserire un oggetto grafi co Attiva la barra di accesso rapido Controlli e Codice. ed eseguirlo Inserisci un pulsante nel foglio di lavoro. Assegna al pulsante il testo Primo esempio (proprietà Caption). Assegna al pulsante il colore blu scuro (proprietà BackColor). Modifi ca il colore del testo del pulsante (proprietà ForeColor, colore bianco). Modifi ca il tipo di carattere del testo del pulsante (proprietà Font, Georgia, 16). Attiva la fi nestra del codice (Visual Basic Editor). Tornare nel foglio di lavoro. Disattiva la Modalità progettazione. Fai clic sul pulsante per verifi care il programma. Salva il fi le. Q Scrivere un programma in VBA Un programma realizzato in linguaggio VBA può essere eseguito in due modi diversi: Z tramite un evento legato al foglio di lavoro (ad esempio un pulsante sul quale avviene un click); Z scrivendo il codice direttamente in un modulo di Visual Basic Editor. Per scrivere un programma legato ad un evento, in questo caso un click su di un pulsante, procediamo nel seguente modo: fare clic sull icona Modalità progettazione; scegliere l oggetto grafico pulsante di comando dal gruppo Controlli e trascinarlo sul foglio di lavoro; fare doppio clic sull oggetto trascinato per attivare il Visual Basic Editor; a questo punto scrivere codice seguente tra le righe Sub e End: MsgBox Salve a tutti MsgBox Mi presento: sono un programma scritto in VBA MsgBox Premete Ok per tornare nel foglio di lavoro per provare il programma è necessario tornare in Excel, facendo clic sul pulsante; tornare al foglio di lavoro usando la combinazione di tasti Alt + F11; In questa sezione viene approfondito un argomento di particolare importanza Le parole chiave vengono poste in evidenza e spiegate allo studente Nel sito sono disponibili le risorse online, tra cui numerosi esercizi aggiuntivi per il recupero e il rinforzo, nonché le schede di valutazione di fine unità di apprendimento. 77 Microsoft Excel Leggere Microsoft Outlook Gestire contatti Inviare Mediante l OLE Automation è possibile effettuare le seguenti operazioni con i programmi del pacchetto Offi ce: Z inviare tramite Outlook prelevando gli indirizzi da un database Access, da un documento Word o da un foglio Excel; Z usare le funzioni di Excel all interno di un documento Word; Z importare una tabella Excel in un database Access; Z trasferire un testo scritto in Word in alcune slide di PowerPoint per creare una presentazione; Z prelevare statistiche da un foglio Excel in un documento di Word. Q Le macro Il registratore di macro è un mezzo per memorizzare e riutilizzare le azioni compiute con la tastiera e/o con il mouse, permettendo così di creare delle procedure automatizzate chiamate macro. Le macro eseguono sequenze di azioni molto più rapidamente di noi. Macro Una macro può essere defi nita come un insieme di istruzioni, detto codice. Il codice è scritto in linguaggio Visual Basic for Applications (VBA) ed è in grado di eseguire azioni descritte appunto dalla sequenza di istruzioni che la compongono. La parola macro deriva dal termine informatico macroistruzione che identifi ca una istruzione molto potente formata da più istruzioni. 69 UdA 1 Algoritmi di calcolo numerico Verifichiamo le competenze g Esercizi 1 Scrivi un programma che riceve in input il numero delle prove che deve eseguire e quante volte deve ripeterle. Quindi visualizza sullo schermo una tabella che riassume tutti i risultati ottenuti. 2 Calcola il valore di U per diversi valori di n (anche fino a n ~ ) e costruisci una tabella in modo da poter comparare i risultati per analizzare la velocità di conversione di questo metodo. 3 Invece del numero di punti in {x 2 + y 2 f 1}, conta il numero di punti in {x 2 + y 2 f 1/2}. A quale numero converge? Converge più o meno velocemente del metodo precedente? 4 In riferimento al calcolo dell integrale della funzione f( x) dx = 3x + 2x+= Scrivi un algoritmo che esegue 5 diversi calcoli variando volta per volta il numero di punti e completa la tabella di seguito riportata. Numero di punti Valore calcolato Errore % sul calcolo dell integrale Possiamo verificare un integrale difficilmente calcolabile: l integrale di Gauss (integrale che si presenta nello studio della densità di probabilità per variabili aleatorie continue): + e dx = π Per la verifica delle conoscenze e delle competenze è presente un'ampia sezione di esercizi Verifichiamo le competenze g Esercizi Generare numeri pseudocasuali Lezione 2 1 Un algoritmo proposto da Knuth nel 1981 può essere visto come una variante del metodo lineare congruenziale: i termini pseudocasuali si ottengono dalla seguente espressione: x n+1 = (ax 2 + bx + c) % m n n La presenza di termini con esponente 2 dà al metodo il nome di congruenza quadratica. Scrivi un programma con i seguenti parametri iniziali: x 0 = 2, a = 2, b = 3, c = 1, m = 10 e confronta i primi 10 termini con quelli generati dal metodo lineare. 2 Scrivi un programma che, utilizzando il metodo lineare congruenziale, distribuisca le carte per un torneo di tresette, assegnando ad ogni smazzata un numero identificativo in modo che questa possa successivamente essere rigiocata da un altro tavolo. (Nel gioco del tresette ogni giocatore riceve 10 carte e le suddivide per seme e quindi le dispone in ordine decrescente secondo la seguente regola: 3,2,1,K,Q,J,7,6,5,4). Visualizza a schermo le carte in mano ai quattro giocatori. 3 Scrivi un programma che, utilizzando il metodo lineare congruenziale, effettui la simulazione del lancio di un dado per N = e visualizzi l istogramma delle frequenze in almeno 3 terne diverse di valori dei coefficienti. Osservando i risultati, quali osservazioni possono essere fatte sui semi e sul coefficiente a? Ripeti ora l esecuzione del programma ponendo c = 0 in ogni situazione: quali osservazioni puoi fare? 4 Crea un vettore di 20 elementi di valori random usando il metodo di congruenza lineare con m = a = 75 c = 0. Considerando che ogni numero può essere permutato con qualsiasi altro numero con probabilità uniforme, effettua n = 15 permutazioni e confronta a video i risultati. 5 Scrivere un programma che effettui la simulazione del lancio contemporaneo di due dadi e riportare in una tabella come la seguente i risultati ottenuti al variare del numero di lanci. La curva è la seguente: Osservandola deduciamo che possiamo studiare solo mezza figura, quella nel primo quadrante, e considerare il rettangolo di altezza unitaria e di base ad esempio 3 (e non infinita!). 6 Prova a calcolare col metodo Monte Carlo il volume di una sfera unitaria. 7 Generalizza il problema di Buffon utilizzando piastrelle di forma rettangolare qualsiasi avente lati 2a e 2b: dopo aver ricavato l espressione analitica, verifica il risultato applicando il metodo Monte Carlo. Probabilità Probabilità Probabilità Probabilità Probabilità con N = 500 con N = 3000 con N = con N = con N = Traccia per la soluzione Effettuando il lancio di due dadi e sommando successivamente i risultati si ottengono le seguenti combinazioni: X 28 17

13 1ALGORITMI DI CALCOLO NUMERICO UNITÀ DI APPRENDIMENTO L 1 Calcolo approssimato della radice quadrata L 2 La generazione di numeri pseudocasuali L 3 Il calcolo approssimato di pigreco col metodo Monte Carlo L 4 Calcolo approssimato del numero e L 5 Calcolo approssimato del seno di un angolo con Taylor L 6 Calcolo approssimato della radice di una equazione: metodo di bisezione L 7 Calcolo approssimato delle aree L 8 Le equazioni differenziali risolte col metodo di Eulero OBIETTIVI Comprendere le basi del calcolo numerico Acquisire il concetto di numeri pseudocasuali Saper utilizzare le funzioni di libreria Ripercorrere nella storia la ricerca del valore di U Saper risolvere il problema della moneta di Buffon Utilizzare i polinomi di Maclaurin e di Taylor per approssimare la funzione sen(x) Conoscere i concetti fondamentali sul calcolo approssimato delle aree Conoscere i concetti fondamentali sui metodi di discretizzazione ATTIVITÀ Codiw care l algoritmo babilonese per il calcolo della radice quadrata Codiw care l algoritmo alternativo di Newton Generare i numeri pseudocasuali con l algoritmo LCG Utilizzare il metodo Monte Carlo per il calcolo delle aree Codiw care l algoritmo approssimato per il calcolo di sen(x) Implementare il metodo di bisezione Implementare il metodo del punto centrale Implementare il metodo dei rettangoli Implementare il metodo dei trapezi Implementare il metodo di Cavalieri- Simpson Implementare il metodo di Eulero e del punto centrale

14 UdA 1 CS Algoritmi di calcolo numerico LEZIONE 1 CALCOLO APPROSSIMATO DELLA RADICE QUADRATA IN QUESTA LEZIONE IMPAREREMO... le basi del calcolo numerico l algoritmo babilonese per il calcolo della radice quadrata l algoritmo alternativo di Newton Q Cenni sul calcolo numerico La matematica svolge un ruolo determinante nell analisi dei problemi del mondo reale e il processo di soluzione associa al problema reale un modello matematico che ne approssima la soluzione: molto spesso, però il modello matematico che si ottiene non è esprimibile con funzioni elementari, ma con sistemi complessi che richiedono l uso di metodi di calcolo approssimato: questi metodi prendono il nome di metodi di calcolo numerico. Lo schema di calcolo è generalmente abbastanza semplice ma richiede numerosi calcoli ripetitivi, e il calcolatore si presta bene alla loro esecuzione. Il calcolo approssimato viene utilizzato sia quando non esistono algoritmi esatti di risoluzione, sia quando gli algoritmi esatti non sono efficienti avendo un alto costo computazionale in termini di tempo o di memoria; inoltre gli algoritmi numerici approssimati si sono dimostrati in grado di calcolare approssimazioni delle soluzioni con maggiore velocità e precisione rispetto ad algoritmi derivati dal metodo algebrico esatto. In alcuni casi, pur esistendo algoritmi algebrici per la determinazione di soluzioni esatte, la dimensione del problema rende comunque necessario il ricorso a un programma di calcolo: si pensi ad esempio alla ricerca della soluzione di un sistema lineare composto da molte equazioni e molte incognite (in natura molti problemi reali hanno come modello matematico sistemi lineari con centinaia di equazioni e centinaia di incognite!). Le tecniche utilizzate dagli algoritmi approssimanti o algoritmi euristici si basano su tecniche di: Zdiscretizzazione: passaggio da domini continui a domini discreti; Zapprossimazioni successive: metodi iterativi. 2

15 Calcolo approssimato della radice quadrata CS Lezione 1 ALGORITMO NUMERICO In sintesi un algoritmo numerico approssimato viene utilizzato: Z per calcolare l approssimazione di un valore numerico non altrimenti determinabile con metodi algebrici; Z per calcolare l approssimazione di un valore numerico non facilmente determinabile in forma esatta con metodi algebrici; Z per calcolare l approssimazione di un valore numerico con una precisione maggiore rispetto a un algoritmo ottenuto come implementazione di un metodo algebrico esatto. Come primo esempio di metodo iterativo descriveremo un noto algoritmo per il calcolo della radice quadrata. Q Calcolo della radice quadrata Qualsiasi calcolatrice ha a disposizione la funzione che calcola il valore approssimato della radice quadrata di un qualsiasi numero con l accuratezza di molte cifre decimali: questo valore viene calcolato grazie a un semplice algoritmo di calcolo numerico che ripete per un numero definito di volte alcune semplici operazione aritmetiche. Vediamo di descrivere l origine di questo algoritmo: calcoliamo la radice quadrata di un numero positivo n, cioè x= n. Scegliamo a piacere un numero x 0 sicuramente maggiore di n che sarà la prima approssimazione per eccesso del valore cercato. Per esempio prendiamo x = n 2 0. Calcoliamo ora un secondo valore con la seguente formula: y 0 = n x 0 e quindi sarà n = x 0 y 0 dove la media geometrica tra x 0 e y 0 viene presa come il primo valore che approssima per difetto la calcoliamo con la seguente espressione: n, che x 1 = x0+ y0 2 1 n = + x0 2 x 0 La media aritmetica di due numeri è sempre maggiore o uguale alla loro media geometrica, quindi il numero x 1 ottenuto sarà sempre compreso tra n e x 0 e approssimerà meglio la radice ricercata rispetto al valore x 0 precedentemente assunto, dato che x 0 > x 1 > n. y 0 n x 1 x 0 Ripetendo la medesima operazione più volte otteniamo una sequenza di numeri che convergono proprio alla n: dapprima calcoliamo quindi x 2 x = y 1 + y n = x 1 1 n = x1 + 2 x 1 3

16 UdA 1 CS Algoritmi di calcolo numerico Generalizzando i passi descritti in precedenza è possibile dimostrare per induzione che: ESEMPIO 1 lim x i i R = 9 Q1 = 9/2 = 4,5 Q2 = (4,5 + 9/(4,5))/2 = (6,5)/2 = 3,25 Q3 = (3,25 + 9/(3,25)) = (3,25 + 2,769)/2 = (6,019)/2 = 3,0095 = n Questo algoritmo è anche conosciuto come algoritmo babilonese anche se spesso viene attribuito a matematici posteriori, come Archita ( a.c.) oppure a Erone di Alessandria (vissuto tra il I e II secolo d.c.) Scriviamo ora il codice dell algoritmo che calcola Q =radice_q(num). Inizializziamo la prima iterazione al valore num e in un ciclo che viene ripetuto max = 5 volte 2 calcoliamo i successivi termini con Q = QPrec + num e assegniamo questo valore come QPrec per ripetere le operazioni. Qprec Scriviamo dapprima la funzione radice_q() che verrà successivamente richiamata dal programma principale: Il codice è elementare e non richiede spiegazioni aggiuntive. 4

17 Calcolo approssimato della radice quadrata CS Lezione 1 Visualizziamo il valore calcolato dal nostro algoritmo e quello calcolato dalla funzione di libreria per effettuare il confronto: Si può osservare che già dopo sole 5 iterazioni i risultati coincidono per valori di numero inferiori a All aumentare di numero aumenta l intervallo e quindi i due valori si discostano sempre più. Prova adesso! Modifi ca il programma facendo in modo che l utente inserisca il numero di iterazioni che devono essere eseguite: compila una tabella indicando l errore che si commette per dieci unità di misura diverse sia come numero di iterazioni che come valore da calcolare. Se con numeri bassi il risultato viene ottenuto con poche iterazioni è necessario migliorare l algoritmo introducendo una seconda condizione d uscita che effettua il controllo sull entità del miglioramento effettuato a ogni passo, cioè confronta due iterazioni successive. Q Qprec Indichiamo con errore= e stabiliamo un parametro EPS=0,00001 come valore di errore Q minimo al di sotto del quale l elaborazione deve terminare. Il nuovo algoritmo è il seguente: 5

18 UdA 1 CS Algoritmi di calcolo numerico Il controllo dell errore viene effettuato calcolando il valore assoluto della differenza dei valori approssimati per difetto e per eccesso e confrontandolo con il massimo errore accettabile rappresentato dalla costante EPS. Qualche modifica viene portata anche al programma principale: Q Metodo alternativo di Newton Un metodo alternativo è quello proposto da Newton che utilizza la successione: che ha come limite il valore x = x 1. a 3 a x ax = x x 3 3 n = n+ 1 n n Possiamo quindi scrivere un algoritmo iterativo utilizzando tale formula, ma è necessario conoscere un valore stimato che funga da primo termine della successione e questo valore può essere lo stesso utilizzato nell algoritmo babilonese prima descritto. 3 n Prova adesso! 1 Scrivi un programma che acquisisca dall utente il valore della precisione EPS compresa tra 0,1 e 0, e quindi il valore di a per il quale si deve calcolare la radice, verifi cando che questo sia positivo. 2 Utilizzando un valore a piacere di x 0, realizza 2 iterazioni con il metodo babilonese per calcolare x 2 quindi scrivi l algoritmo che utilizzi il nuovo metodo iterativo che assegna come valore iniziale 1/x 2. 6

19 Calcolo approssimato della radice quadrata CS Lezione 1 Verifichiamo le competenze g Esercizi 1 Modiw ca l algoritmo in modo che l utente scelga il numero massimo di iterazioni e la precisione desiderata; quindi visualizzi a ogni iterazione l errore che viene commesso. Introduci anche un controllo sui numeri inseriti che devono essere positivi. 2 Scrivi un nuovo programma dove viene inserito dall utente anche il primo termine x 0 : analizza il comportamento dell algoritmo al variare di tale valore. 3 Scrivi un programma che acquisisca dall utente il valore della precisione EPS desiderata compresa tra 0,1 e 0, (veriw cando la correttezza dell inserimento) ed il valore del numero del quale si vuole calcolare la radice, veriw cando che sia positivo. Esegui il calcolo della radice mediante l algoritmo babilonese terminando l elaborazione quando si raggiunge il valore dell errore e visualizzando sullo schermo il numero delle iterazioni che sono state fatte. 4 Scrivi un programma che acquisisca dall utente il valore della precisione EPS desiderata compresa tra 0,1 e 0, (veriw cando la correttezza dell inserimento) ed il valore del numero a > 10 6 del quale si vuole calcolare la radice, veriw cando che sia positivo e rispetti la condizione desiderata. Esegui il calcolo della radice mediante entrambi gli algoritmi confrontando i valori per ogni ordine di grandezza dell errore. 5 Modiw ca l esercizio precedente in modo che esegua automaticamente la ricerca della radice di un numero a > 10 6 con entrambi i metodi descritti al variare del valore della precisione EPS desiderata a partire da 0,1 w n ad arrivare a 0, , ogni volta diminuendo EPS di 10 volte. Costruisci una tabella visualizzando le sette coppie di valori ottenuti. Ripeti l elaborazione per almeno 10 volte: quali osservazioni si possono fare? 7

20 UdA 1 CS Algoritmi di calcolo numerico LEZIONE 2 GENERARE NUMERI PSEUDOCASUALI IN QUESTA LEZIONE IMPAREREMO... cosa sono i numeri pseudocasuali a utilizzare le funzioni di libreria del Pascal a generare i numeri pseudocasuali con l algoritmo LCG Q Processi deterministici e pseudocasuali Il funzionamento di un computer è un processo deterministico dettato da leggi rigide e completamente determinato dalle condizioni iniziali e questo comporta che è molto difficile ottenere vera casualità (ossia eventi statisticamente non predicibili). In molte applicazioni, come: Z esperimenti statistici; Z analisi di algoritmi; Z simulazione di sistemi stocastici; Z analisi numerica basata su metodi Monte Carlo; Z algoritmi probabilistici; Z computer games; Z crittografia; Z protocolli di comunicazione sicuri; Z gambling machines; Z virtual casino; è di fondamentale importanza la generazione di numeri casuali (anche chiamati RNG, random number generator). Un esempio di casualità lo si ottiene dal lancio di un dado: l imprevedibilità del numero ottenuto come punteggio, compreso tra 1 e 6, conferisce allo stesso una forma di casualità. L idea di utilizzare un calcolatore per generare un numero casuale, quindi imprevedibile, sembra costituire una sfida impossibile ma viene superata facendo generare al calcolatore numeri quasi casuali detti numeri pseudocasuali, ottenuti da algoritmi numerici deterministici in grado di superare una serie di test statistici che conferiscono a tali numeri una apparente casualità. 8

21 Generare numeri pseudocasuali CS Lezione 2 PROCESSO PSEUDOCASUALE Un processo pseudocasuale è un processo che sembra essere casuale ma non lo è. Una sequenza pseudocasuale sembra possedere casualità statistica anche se viene generata da un processo interamente deterministico. Un processo pseudocasuale è più facile da produrre di uno completamente casuale e può essere usato per ricreare molte volte la stessa sequenza di numeri, che trova anche una utile applicazione proprio a favore dei programmatori, per effettuare il collaudo del software con sequenze di numeri di input come dati di prova. L algoritmo che genera i numeri pseudocasuali, anche detto pseudo-random numbers generator, ha però una caratteristica: la successione di numeri generati da questo algoritmo inizierà a ripetersi prima o poi ed il numero di elementi della sequenza prima che intervenga una ripetizione è detto periodo della sequenza. Maggiore è la lunghezza di tale periodo e maggiore è la bontà del generatore di numeri pseudocasuali. Inoltre la sequenza non è veramente casuale ma completamente determinata da un piccolo insieme di valori iniziali e da un singolo valore davvero casuale chiamato seme (seed) della sequenza, che a volte viene considerato come primo elemento della sequenza. Usando due volte lo stesso seme si ottiene la stessa sequenza di numeri! Quindi l unico elemento puramente aleatorio è il seme, che può essere inserito manualmente dall utente oppure ottenuto dai dati casuali presenti nella macchina, come il numero di file presenti, il numero di battute della tastiera, l ora di sistema ecc. Q Numeri pseudocasuali in Pascal Il linguaggio Pascal mette a disposizione due funzioni di libreria per generare sequenze di numeri pseudocasuali: Z la funzione randomize()per inizializzare la sequenza; Z la funzione random()per generare un numero della sequenza. Il seguente esempio (casuali1.pas) genera un numero casuale compreso tra 0 e 1: 9

22 UdA 1 CS Algoritmi di calcolo numerico Mandando in esecuzione il programma più volte viene generato sempre un numero diverso. Prova adesso! Modifi ca il programma facendo generare una sequenza di numeri leggendo il valore da input in modo da ottenere un output simile al seguente. Confronta la tua soluzione con il codice riportato nel fi le esercizio1.pas Numero casuale in un range Spesso nelle nostre applicazioni sono richiesti numeri compresi in un dato intervallo o range (ad esempio la generazione dei numeri per la tombola, della roulette, di un mazzo di carte). La funzione random() offre questa possibilità passando come parametro il numero desiderato: l istruzione random(num) genera un numero compreso tra i primi num numero, 0 compreso, quindi tra 0 e num-1 random(69) genera numeri compresi tra 0 e 68. ESEMPIO 2 Generazione dei numeri causali per la tombola Generiamo i numeri per la tombola, che devono avere un range [1, 90]. Con random(90) si definisce l intervallo dei numeri nel range [0, 89]; ora se aggiungiamo un offset ottenendo: (random(90)) + 1 si definisce l intervallo dei numeri nel range [1, 90]. 10

23 Generare numeri pseudocasuali CS Lezione 2 Vediamo ora il codice completo che definisce numeri compresi tra 50 e 149: Il codice è memorizzato nel file casuali3.pas. Prova adesso! Scrivere un programma che chieda all utente ampiezza e offset di un range e poi stampi 3 numeri casuali in quel range. Confronta la tua soluzione con il codice riportato nel fi le esercizio2.pas Nota che randomize()va usato una sola volta, prima del primo utilizzo di random(). Q Algoritmi che generano le sequenze Non tutti gli algoritmi che generano sequenze di numeri sono buoni algoritmi da utilizzarsi nelle nostre applicazioni. I requisiti richiesti a un buon algoritmo di generazione è che i numeri generati: Z siano uniformemente distribuiti; Z non siano correlati; e che l algoritmo: Z sia riproducibile; Z sia portabile; Z abbia un lungo periodo; Z sia computazionalmente veloce. Tra tutti i parametri i più signifi cativi utilizzati per valutare la bontà sono la casualità della sequenza e il periodo del generatore. 11

24 UdA 1 CS Algoritmi di calcolo numerico La valutazione del periodo viene semplicemente misurata in termini di lunghezza, mentre è più complesso stabilire se i numeri sono generati con buona casualità. Vediamo un esempio che ci conferma la difficoltà di valutazione di questo parametro: prendiamo come esempio due serie di 1 e 0. 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, , 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1,... A intuito, la seconda serie sembrerebbe migliore della prima in quanto in questa si riconosce una certa periodicità che invece non viene riscontrata nella seconda, quindi la disposizione nella prima sequenza è prevedibile mentre nella seconda è quindi più casuale. Ma nessuno esclude che la prima serie potrebbe essere generata dall alternanza del rosso e del nero in una roulette o dal lancio di una moneta oppure da un algoritmo! È necessario introdurre dei criteri oggettivi che permettano la valutazione della casualità; i più utilizzati sono quelli di Turing e di von Neumann. CRITERI DI CASUALITÀ Z Criterio di Turing: se una sequenza numerica generata da estrazioni meccaniche è apparentemente indistinguibile da quella generata da un algoritmo, allora anche quest ultima può considerarsi casuale. Z Criterio di von Neumann: si basa su procedimenti matematici che determinano la distribuzione dei numeri generati in quanto l ipotesi è che ogni numero casuale sia equiprobabile e dunque l estrazione di N numeri diversi deve dare come risultato una distribuzione uniforme. Vediamo come è possibile avere questa indicazione mediante l istogramma delle frequenze. Istogrammi di frequenza Utilizziamo un generatore di numeri pseudocasuali con valore compreso tra 0 e 1 e suddividiamo l intervallo di variabilità ad esempio in M = 50 sotto intervalli di pari ampiezza (range/nr. intervalli = 1/50 = 0,2). Calcoliamo ora il numero di valori che cadono in ciascun intervallo con la generazione di un numero elevato di numeri casuali, ad esempio N= Teoricamente, in caso di equidistribuzione, si dovrebbe avere una frequenza costante pari al rapporto tra il numero di lanci e il numero di intervalli, cioè Nr. lanci N valore teorico" "" " 200 Nr. intervalli M 50 Riportando graficamente i risultati otteniamo ad esempio la situazione della figura riportata nella pagina a fianco: 12

25 Generare numeri pseudocasuali CS Lezione valore teorico ,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 Dal confronto dei grafici è possibile individuare l algoritmo che più si avvicina al valore teorico e quindi risulta avere una maggior equiprobabilità nella generazione dei numeri. Correlazione Non dobbiamo però trascurare anche la possibilità di correlazione tra sequenze o parti di sequenze generate: è infatti necessario che due numeri consecutivi non abbiamo nessun legame tra loro, cioè non siano dipendenti e quindi la casualità sia completa e anche questa richiesta deve essere soddisfatta da un buon algoritmo di generazione. Un semplice grafico ci permette di valutare la correlazione tra due numeri adiacenti: sempre in riferimento a un insieme di numeri N ad esempio di range [0; 1] consideriamo un piano dove le coppie di numeri adiacenti sono utilizzate come ascissa e ordinata di un punto P i (x n, x n+1 ). Abbiamo quindi un insieme di punti di coordinate P i (x n,x n+1 ) In questo grafico non dovranno comparire linee, forme o altre strutture regolari ma punti distribuiti omogeneamente a caso nel piano. Osserviamo le figure seguenti dove sono presenti 1000 punti: 13

26 UdA 1 CS Algoritmi di calcolo numerico Il primo grafico rappresenta un generatore con distribuzione ottimale mentre il secondo, dato che i punti sono disposti su rette, sicuramente produce sequenze correlate e prevedibili. Questi due grafici sono ottenuti dal medesimo algoritmo generatore, l LCG che sarà di seguito descritto: la differenza tra le due situazioni è dovuta ai parametri di settaggio della formula generatrice. Q Linear Congruential Generator (LCG) Uno dei più noti algoritmi per la generazione di numeri pseudocasuali è il metodo congruenziale proposto dal matematico D.H. Lemer nel 1948: prende il nome di generatore lineare congruenziale o più brevemente LCG che a tutt oggi è ancora utilizzato. Il metodo LCG ha bisogno di un seme per inizializzare la sequenza di numeri secondo la seguente regola x n = (ax n 1 + c) mod m Dove: 1 x n è l n-esimo numero casuale generato; x n 1 è il seme o il valore di partenza. 2 a, c, ed m sono costanti (m > 0; 0 < a < m; 0 < c < m; x 0 < m); tipicamente m è 2 32 oppure 2 64 Esistono delle relazioni tra di essi: Z c ed m sono primi fra loro; Z a 1 è divisibile per tutti i fattori primi di m; Z a 1 è un multiplo di 4 se m è un multiplo di 4. ESEMPIO 3 Calcolo di 16 numeri con il metodo LCG Vediamo un esempio utilizzando i seguenti valori: LCG (a, c, m, x 0 ) = LCG(5,1,16,1) Il primo termine è il seme della sequenza; calcoliamo i successivi termini. x 2 = (ax 1 + c) % m = (5x 1 + 1) % 16 = 6 x 3 = (5x 2 + 1) % 16 = 15 x 4 = (5x 3 + 1) % 16 = 12 E via di seguito fino a ottenere i seguenti 16 numeri: seme iniziale = sequenza 5 14

27 Generare numeri pseudocasuali CS Lezione 2 L algoritmo è il seguente Il codice è memorizzato nel file casuali4.pas. Mandandolo in esecuzione con i parametri prima indicati otteniamo: Prova adesso! 1 Scrivi un algoritmo che, leggendo a, c ed m (m > 10), visualizzi i primi 10 termini generati ripetendo la medesima generazione con seme compreso tra 1 e 5. L output che ottieni con a = 1, c = 1 e m = 10 è il seguente:

28 UdA 1 CS Algoritmi di calcolo numerico 2 Osserva che tutti i 10 numeri (valore di m) sono stati generati: la sequenza con questi parametri non è proprio casuale, ma modifi cando i parametri, per esempio con a = 1, c = 7 e m = 10, si ottiene: Qual è la funzione del seme? Il problema della scelta dei migliori valori per a, c ed m è quindi il punto cruciale del metodo. Alcuni studiosi analizzando le sequenze generate hanno individuato alcuni valori per a, c ed m per i quali il metodo funziona particolarmente bene : Z Knuth: m = 2 31 ; a = int(10 8 ); c = Z Goodman e Miller m = ; a = 7 5 ; c = 0 (terna di valori migliori e più utilizzata) Z Gordon m = 2 31 ; a = 5 13 ; c = 0 Z Leormont e Lewis m = 2 31 ; a = ; c = 0 È possibile osservare come tutti utilizzano per m lo stesso valore di 2 31 : questo garantisce un periodo di = ossia oltre 2 miliardi di numeri pseudo-casuali! Si può dimostrare che il seme deve essere un numero primo per ottenere il massimo periodo. Il primo diagramma di correlazione riportato in precedenza è stato ottenuto con i parametri di Goodman mentre il secondo con la terna m = 31, a = 13 e c = 0. 16

29 Generare numeri pseudocasuali CS Lezione 2 Verifichiamo le competenze g Esercizi 1 Un algoritmo proposto da Knuth nel 1981 può essere visto come una variante del metodo lineare congruenziale: i termini pseudocasuali si ottengono dalla seguente espressione: x n+1 = (ax 2 n + bx n + c) % m La presenza di termini con esponente 2 dà al metodo il nome di congruenza quadratica. Scrivi un programma con i seguenti parametri iniziali: x 0 = 2, a = 2, b = 3, c = 1, m = 10 e confronta i primi 10 termini con quelli generati dal metodo lineare. 2 Scrivi un programma che, utilizzando il metodo lineare congruenziale, distribuisca le carte per un torneo di tresette, assegnando ad ogni smazzata un numero identiw cativo in modo che questa possa successivamente essere rigiocata da un altro tavolo. (Nel gioco del tresette ogni giocatore riceve 10 carte e le suddivide per seme e quindi le dispone in ordine decrescente secondo la seguente regola: 3,2,1,K,Q,J,7,6,5,4). Visualizza a schermo le carte in mano ai quattro giocatori. 3 Scrivi un programma che, utilizzando il metodo lineare congruenziale, effettui la simulazione del lancio di un dado per N = e visualizzi l istogramma delle frequenze in almeno 3 terne diverse di valori dei coefw cienti. Osservando i risultati, quali osservazioni possono essere fatte sui semi e sul coefw ciente a? Ripeti ora l esecuzione del programma ponendo c = 0 in ogni situazione: quali osservazioni puoi fare? 4 Crea un vettore di 20 elementi di valori random usando il metodo di congruenza lineare con m = a = 75 c = 0. Considerando che ogni numero può essere permutato con qualsiasi altro numero con probabilità uniforme, effettua n = 15 permutazioni e confronta a video i risultati. 5 Scrivere un programma che effettui la simulazione del lancio contemporaneo di due dadi e riportare in una tabella come la seguente i risultati ottenuti al variare del numero di lanci. Probabilità con N = 500 Probabilità con N = 3000 Probabilità con N = Probabilità con N = Probabilità con N =