LOGICA E VARIABILI 0/1

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1 LOGICA E VARIABILI 0/1 I casi di predicati Si presentano con una certa frequenza casi in cui è difficile rappresentare algebricamente i vincoli di un problema; è relativamente agevole rappresentarli facendo ricorso alla logica. Questo capitolo vuole offrire un mapping fra logica e algebra. Si parte da frasi (dette predicati) che hanno valore vero o falso. Esse possono essere combinate secondo la seguente tabella. Gli operatori logici operatore pronuncia Commuta composizione E / and Si vero vero = vero vero falso = falso falso falso = falso O / or (inclusivo) Si Vero vero = vero Vero falso = vero Falso falso = falso Not Unario vero = falso falso = vero Implica (se allora) No vero vero = vero vero falso = falso falso vero = falso falso falso = falso Se e solo se si vero vero = vero falso falso = falso vero falso = falso La priorità degli operatori non viene fornita: utilizzare le parentesi L algebra per la logica venne data da G. Boole: da lui le variabili 0/1, dette anche logiche, sono altresì dette booleane. Si associa il valore 1 al logico vero, lo 0 al falso Un esempio: ho delle miniere; se estraggo una quantità x devo pagare delle royalties: cioè basta che sia x>0, perché debba pagare le royalties, un ammontare indipendente dalla quantità estratta: x > 0 royalties Una variabile per ogni fatto: come far diventare (nell esempio che precede) x, che è una variabile reale, una variabile logica (0 oppure 1) x ; y { 0,1} : con molti puntini x y. x rappresenta una quantità estratta; un suo possibile range di valori è Se x y diventa x y, la disuguaglianza assurda x y diviene ragionevole e può essere soddisfatta da y=1. Di fronte a clausole complesse, rappresentabili con variabili logiche (o binarie), occorre far diventare logiche variabili reali. Quando si abbiano variabili logiche è possibile, ad esempio, generare le espressioni algebriche che seguono (le ultime 2 sono dette leggi di De Morgan)

2 Espressione logica Formulazione algebrica ricorrendo a variabili binarie x + x 2x x x + x P Q R R P Q Un esempio Se vengono prodotti A o B (o entrambi), almeno uno fra C, D, E deve essere prodotto La proposizione equivalente è: XA XB XC XD XE i) collegare a variabili continue le variabili booleane che indicano in modo si/no la produzione dei 5 prodotti: δa, δb, δc, δd, δ e più δγ,, con δa, δb, δc, δd, δe, δγ, { 0,1} δa δ ii) δa + δb rappresenta XA XB: δb δ δc γ iii) δc + δd + δe rappresenta XC XD XE: δd γ δe γ iv) δ γ

3 Casi comuni Lettere greche indicano variabili 0/1 Lettere latine indicano variabili continue La lettera M indica un numero grande Imporre una disuguaglianza su condizione α = ax b 1 Scoprire se una disuguaglianza è soddisfatta ax b α = 1 Scoprire se un uguaglianza è soddisfatta A volte è necessario riconoscere se una variabile è strettamente positiva Inserendo il vincolo si forza α a 1 x mα Si impone il vincolo ax b M( 1 α ) Se α = 1 diviene il vincolo detto Se α = 0 diviene un vincolo che dovrebbe essere inattivo per M abbastanza grande possibile, ma piuttosto complicato possibile, ma complicato Imporre un uguaglianza su condizione possibile ma complicato Imporre esattamente r fra k vincoli (,..., ) f1 x1 xn Mα1... fk ( x1,..., xn) Mαk α αk = k r

4 Trattare un modulo in modo lineare Trattare un max in modo lineare

5 Funzioni lineari a tratti Talora c è bisogno di rappresentare vincoli come t max x x z = f x dove la funzione è = o, più in generale, ( ) 0 lineare a tratti come quella in figura Qui viene utilizzato l =, ma lo stesso si può dire per >= e <= Per una funzione formata da 4 tratti come quella in figura, servono 4 variabili continue: Sempre per 4 tratti servono 3 variabili binarie Combinando le variabili si può scrivere: Ogni funzione a 4 tratti può essere scritta come:

6 Un caso: il max In questo caso abbiamo 2 pezzi e b 1 = 0, b 2 = x 0, b 3 = U, con U un limite superiore opportuno a x f b = 0, f b = 0, f b = U Inoltre abbiamo: ( ) ( ) ( ) Quindi: che diviene:

7 Un altro caso: il modulo In questo caso abbiamo 2 pezzi e b= x Ub, = x, b= x+ U, con U limite superiore di x Sarà ( ), ( ) 0, ( ) f b = U f b = f b = U Di conseguenza: cioè: