Corso di Istituzioni di Matematiche

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1 Corso di Istituzioni di Matematiche Università degli Studi della Basilicata Facoltà di Scienze MM. FF. NN. Corso di laurea in Biotecnologie A.A. 2010/11 dott.ssa Vita Leonessa Statistica - parte I 20 aprile 2011

2 La Statistica è la disciplina che elabora i principi e le metodologie che presiedono al processo di rilevazione e raccolta dei dati, alla rappresentazione sintetica e alla interpretazione dei dati stessi e, laddove ve ne siano le condizioni, alla generalizzazione delle evidenze osservate. I dati raccolti sono statistici se sono il risultato dell osservazione intenzionale di una molteplicità di casi individuali finalizzata alla conoscenza e/o alla comprensione del fenomeno collettivo che si intende studiare. In tal senso il dato temperatura registrata a Potenza oggi alle ore 9 non è un dato statistico, a meno che non venga messo in correlazione, ad esempio, con la temperatura registrata in tutti i capoluoghi di provincia d Italia lo stesso giorno alla stessa ora.

5 L insieme di tutti gli elementi che si vogliono studiare si chiama pololazione statistica (esempi di popolazioni composte da un numero finito di elementi: gli abitanti di Potenza, gli studenti del CdL in Biotecnologie, l altezza degli alunni di una classe di 30 bimbi di 8 anni; esempi di popolazioni costituite da un numero infinito di elementi: le stelle della Via Lattea, la lunghezza delle criniere dei cavalli). Essendo praticamente impossibile raccogliere i dati su ogni singolo elemento di una popolazione statistica, in genere ci si limita solo ad un suo sottoinsieme, detto campione, che si suppone sia rappresentativo dell intera popolazione. Stabilire i metodi con cui scegliere un campione è uno dei compiti della statistica. Qui ci limiteremo a considerare campioni casuali, ovvero sequenze di elementi della popolazione scelti a caso in modo tale che ognuno di essi abbia la stessa probabilità di essere scelto.

8 Un indagine può essere totale (la popolazione viene osservata tutta) o parziale (viene osservato solo un campione). Nel primo caso i metodi statistici forniscono una sintesi quantitativa dei fenomeni studiati e si parla di statistica descrittiva. Nel secondo caso invece le informazioni raccolte su un campione vengono poi estese a tutta la popolazione ottendo dei risultati che contengono un certo livello di incertezza. In tal caso la precisione con cui vengono estesi questi risultati a tutta la popolazione viene studiata dalla statistica inferenziale.

9 Fissata una popolazione statistica, tutte quelle caratteristiche che variano al variare degli elementi della popolazione si dicono variabili statistiche e sono suddivise in attributi (variabili statistiche qualitative) e in misurabili (variabili statistiche quantitative). Infine, le informazioni ottenute dalle osservazioni e dalle misure si dicono empiriche, in contrapposizione a quelle teoriche che provengono dall osservazione di un eventuale modello che descrive fenomeno.

10 Fissata una popolazione statistica, tutte quelle caratteristiche che variano al variare degli elementi della popolazione si dicono variabili statistiche e sono suddivise in attributi (variabili statistiche qualitative) e in misurabili (variabili statistiche quantitative). Infine, le informazioni ottenute dalle osservazioni e dalle misure si dicono empiriche, in contrapposizione a quelle teoriche che provengono dall osservazione di un eventuale modello che descrive fenomeno.

11 Rappresentazione grafica Una volta raccolti, i dati vanno riorganizzati per poter osservare le caratteristiche principali del fenomeno collettivo oggetto di studio. Vediamo alcuni modi semplici per riorganizzare i dati.

12 Diagrammi di punti e istogrammi esemplare di gatta numero cuccioli r

13 Notazioni X variabile statistica N dimensione del campione X 1,..., X N dati raccolti (tra i quali possono esserci dei valori ripetuti) x 1,..., x n (n N) valori distinti assunti da X F i numero dei valori uguali a x i (frequenza assoluta) f i = F i /N (frequenza relativa)

14 Frequenze X numero dei cuccioli, N = 10 esemplare di gatta X i X 1 = X 4 = X 6 = X 7 = X 8 = 2, X 2 = X 9 = 1, X 3 = X 10 = 3, X 5 = 4 x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3, x 4 = 4 F 1 = 2, F 2 = 5, F 3 = 2, F 4 = 1 f 1 = 0.2, f 2 = 0.5, f 3 = 0.2, f 4 = 0.1 Osserviamo che 4 F i = 10 e i=1 4 f i = 1 i=1

20 Se il campione è molto grande, invece che costruire un istogramma dei dati può risultare più utile rappresentare l istogramma delle frequenze.

21 Esempio Supponiamo di aver raccolto i dati relativi alle altezze in cm di un campione di 120 studentesse del primo anno di un corso universitario dell anno accademico r L r79 roo roo t IOI IDO t62 t L t62 r7r L r74 r70 \ L r L L L72 t64 77r t75 t r70 t7r 164 t L r loj I L L t7r 1at L72 t loo

22 E chiaro che se rappresentassimo i dati raccolti mediante un diagramma di punti o di un istogramma come in figura, otterremmo una rappresentazione piuttosto inutile. In questo caso conviene raggruppare i valori delle altezze in classi, ovvero in sottoinsiemi che verranno scelti come basi dei rettangoli dell istogramma. r L r79 roo roo t IOI IDO t62 t L t62 r7r L r74 r70 \ L r L L L72 t64 77r t75 t r70 t7r 164 t L r loj I L L t7r 1at L72 t loo

23 E chiaro che se rappresentassimo i dati raccolti mediante un diagramma di punti o di un istogramma come in figura, otterremmo una rappresentazione piuttosto inutile. In questo caso conviene raggruppare i valori delle altezze in classi, ovvero in sottoinsiemi che verranno scelti come basi dei rettangoli dell istogramma. r L r79 roo roo t IOI IDO t62 t L t62 r7r L r74 r70 \ L r L L L72 t64 77r t75 t r70 t7r 164 t L r loj I L L t7r 1at L72 t loo

24 Raggruppiamo questi dati in 7 intervalli di 4 cm ciascuno: I 1 = [150, 154] I 2 = [155, 159] I 3 = [160, 164] I 4 = [165, 169] I 5 = [170, 174] I 6 = [175, 179] I 7 = [180, 184] i cui punti medi m 1 = 152 m 2 = 157 m 3 = 162 m 4 = 167 m 5 = 172 m 6 = 177 m 7 = 182 rappresentano approssimativamente i valori contenuti nell intervallo a cui si riferiscono. Dalla tabella dei dati si osserva che F 1 = 1 F 2 = 17 F 3 = 32 F 4 = 37 F 5 = 21 F 6 = 8 F 7 = 4

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26 Qui di fianco due casi in cui è stata fatta una cattiva scelta delle basi dei rettangoli: troppo piccole o troppo grandi

27 Un altro tipo di rappresentazione grafica è il diagramma a fusto e foglia (dall inglese stem and leaf). Dato un qualsiasi valore, esso viene diviso in due parti: una costituita da tutte le cifre tranne una e l altra, la foglia, costituita dall ultima cifra: 153 oooo l Sbcccc oòjo

28 Infine, nei casi in cui si vuole evidenziare i rapporti di proporzione fra dati si utilizzano gli aerogrammi, detti anche diagrammi a torta. Supponiamo di osservare il colore di capelli di un campione di 100 individui. Si rivelano i seguenti dati castani 50 π neri 25 π/2 biondi 10 π/5 bianchi 5 π/10 rossi 10 π/5

29 Indici numerici Spesso occorre sintetizzare ancora di più le informazioni. Si ricorre perciò all utilizzo di alcuni indici numerici che esprimono le principali caratteristiche matematiche dei dati.

30 Riconsiderando l esempio della distribuzione delle altezze m 1 = 152 m 2 = 157 m 3 = 162 m 4 = 167 m 5 = 172 m 6 = 177 m 7 = 182 F 1 = 1 F 2 = 17 F 3 = 32 F 4 = 37 F 5 = 21 F 6 = 8 F 7 = 4 la frequenza massima si ottiene per l intervallo centrato in m 4 = 167. E abbastanza naturale considerare questo valore come quello che meglio rappresenta l insieme totale dei dati.

31 Classe modale Nel caso in cui i dati sono espressi mediante l appartenenza a diverse classi, la classe di frequenza massima prende il nome di classe modale. Se le classi sono individuate da numeri, il numero corrispondente alla classe modale si dice moda. Ad esempio castani 50 π neri 25 π/2 biondi 10 π/5 bianchi 5 π/10 rossi 10 π/5 il colore castano rappresenta la classe modale e la moda è 50.

32 Classe unimodale Nel caso in cui il valore dei dati cresce fino alla moda per poi decrescere successivamente si dice unimodale. Ad esempio

33 Distribuzioni bimodali Questo non sempre accade. Ad esempio, consideriamo l istogramma seguente dove sono state rappresentate le frequenze di un campione di 192 studenti. Si tratta di una distribuzione bimodale per via dell esistenza di due picchi separati, uno in corrispondenza di 167 e l altro in corrispondenza di 177.

34 In genere se una distribuzione è bimodale, possiamo supporre che il campione sia la sovrapposizione di due campioni diversi. Nell esempio appena visto l istogramma era stato costruito aggiungendo i dati relativi alle altezze di 120 studentesse a 92 dati relativi alle altezze di studenti maschi che sono in genere più alti:

35 Classe modale Per 3 anni di seguito un insegnante propone un test ai suoi studenti per verificarne la preparazione all inizio di ogni anno scolastico. I dati che osserva sono i seguenti Anno Anno R Anno 2006 : : or In quale dei tre anni gli studenti risultano essere più preparati?

36 Classe modale FYequenza Percentuale Anno 2005, 23 studenti z J A É o 7 8 I I z 7 tr ( xO.O4:4% 1123x0.04:4% 2123x0.09: 9% 7123x0.30:30% 5123 x % 5123 x 0.22:22% 2123x 0.09: 9% FYequenza Percentuale Anno 2006, 25 studenti 3 4 o 7 8 z z A 7 7 J 2125:0.08 : 8% 2125:0.08: 8% 4125: % 7125 :0.28:28% 7125:0.28:28% 3125 : O.72: 12% FYequenza Percentuale Anno studenti A É /l tr 2 rl20:0.05: 5% 3120:0.r5 : r5% 5l2O:0.25:25% 4120:0.20:20% 5l2O :0.25 :25% 2120 :0.10 : 10%

37 Confrontare dati FYequenza Percentuale Anno 2005, 23 studenti z J A É o 7 8 I I z 7 tr ( xO.O4:4% 1123x0.04:4% 2123x0.09: 9% 7123x0.30:30% 5123 x % 5123 x 0.22:22% 2123x 0.09: 9% FYequenza Percentuale Anno 2006, 25 studenti 3 4 o 7 8 z z A 7 7 J 2125:0.08 : 8% 2125:0.08: 8% 4125: % 7125 :0.28:28% 7125:0.28:28% 3125 : O.72: 12% FYequenza Percentuale Anno studenti A É /l tr 2 rl20:0.05: 5% 3120:0.r5 : r5% 5l2O:0.25:25% 4120:0.20:20% 5l2O :0.25 :25% 2120 :0.10 : 10%

38 Indici di tendenza centrale Media campionaria Se X è una variabile statistica di valori numerici X 1, X 2,..., X N relativi ad un campionamento, si chiama media campionaria di X la media aritmetica dei dati: m X = 1 N N X k. k=1 Se i dati distinti sono x 1, x 2,..., x n con frequenze rispettivamente F 1, F 2,..., F n, la media campionaria può essere calcolata anche come segue m X = 1 N n F i x i = i=1 N f i x i i=1 essendo f i le frequenze relative dei dati.

39 Confrontare i dati Media campionaria Considerando nuovamente l esempio dei voti nei tre anni scolastici: Anno 2005: m 5.61 Anno 2006: m 5.96 Anno 2007: m = 5.75 dunque nuovamente si evince nell anno 2006 gli studenti erano più preparati.

40 Altro esempio Media campionaria Si consideri un campione di 30 piantine stagionali sulle quali i fiori sono distribuiti con le seguenti frequenze Fiori per pianta n i Numero di piante F i Il numero medio di fiori per pianta è m = = 5.2 Si noti come m non corrisponda a nessun dato rivelato (esprime soltanto la tendenza centrale della distribuzione dei fiori sulle piante).

41 Altro esempio Media campionaria

42 Indici di tendenza centrale Media geometrica Siano X 1,....X N i valori campionari di una variabile statistica X. La media geometrica viene calcolata come segue GM X = N X 1 X 2 X N o anche attraverso la seguente formula GM X = x N F 1 1 xf 2 2 xfn n nel caso in cui x 1,..., x n sono i valori distinti che X assume con frequenze assolute F 1,..., F n.

43 Esempio Media geometrica Supponiamo di aver misurato la concentrazione molare C di una data sostanza in un campione composto da 6 prelievi di soluzione fisiologica: La concentrazione media m C = che è un valore molto distante dai primi due valori. Non sembra quindi molto rappresentativo del campione di dati osservati. Invece la media geometrica: GM C = = 10 m log C Questa media è preferibile alla precedente nei casi in cui i dati hanno andamento esponenziale.

44 Esempio Media geometrica Supponiamo di aver misurato la concentrazione molare C di una data sostanza in un campione composto da 6 prelievi di soluzione fisiologica: La concentrazione media m C = che è un valore molto distante dai primi due valori. Non sembra quindi molto rappresentativo del campione di dati osservati. Invece la media geometrica: GM C = = 10 m log C Questa media è preferibile alla precedente nei casi in cui i dati hanno andamento esponenziale.

45 Indici di tendenza centrale Mediana Siano X 1,..., X N i dati campionari ordinati in modo crescente. Si chiama mediana il valore centrale che si ottiene nel modo seguente per N dispari è il valore che corrisponde all intero successivo a N/2 per N pari è la media aritmetica dei valori dei dati al posto N/2 e al posto successivo In entrambi i casi si ha che la mediana separa in due parti uguali l insieme dei dati. Ad esempio per N = 9, dopo aver ordinato in modo crescente i dati in ordine crescente, si sceglie l intero successivo di 4.5, ovvero 5, dunque il valore della mediana è X 5. Se invece N = 10, la mediana è data da (X 5 + X 6 )/2.

46 Indici di tendenza centrale Mediana Siano X 1,..., X N i dati campionari ordinati in modo crescente. Si chiama mediana il valore centrale che si ottiene nel modo seguente per N dispari è il valore che corrisponde all intero successivo a N/2 per N pari è la media aritmetica dei valori dei dati al posto N/2 e al posto successivo In entrambi i casi si ha che la mediana separa in due parti uguali l insieme dei dati. Ad esempio per N = 9, dopo aver ordinato in modo crescente i dati in ordine crescente, si sceglie l intero successivo di 4.5, ovvero 5, dunque il valore della mediana è X 5. Se invece N = 10, la mediana è data da (X 5 + X 6 )/2.

47 Indici di tendenza centrale Media e mediana a confronto La mediana risente poco della presenza di valori estremi o anche eventualmente sbagliati, al contrario della media. Infatti, supponiamo di avere a disposizione i seguenti dati campionari: 2.1, 2.2, 2.2, 3, 4.3, 4.3, 4.3, 5.6 Si ha che la media vale 3.5 e che la mediana vale Nel caso in cui l insieme dei dati presenta un errore di trascrizione, ad esempio 56 al posto di 5.6, allora ricalcolando media e mediana, la mediana risulta sempre essere lo stesso valore di prima mentre la media diventa 9.8.

48 Esempio: voti anno 2005 X i i X i i

49 Esempio: voti anno 2005 Allo stesso valore si arriva considerando le frequenze relative: Voto Frequenzarelativa Frequenza cumulata tl23 rl t/2,) rl23 x x 0'09 4,123 x 0.t7 Itl23 x x 0.7o 2t123 x O.9r x I.00 dove la frequenza cumulata è la frequenza dei dati che hanno quel valore o un valore inferiore. La mediana è il valore che separa la metà inferiore dalla metà superiore dei dati

50 Esempio: voti anno 2005 Istogramma delle frequenze cumulate (in ordinata i valori sono espressi in percentuale) i--{l i o 7 8 e Da questo istogramma si capisce che la mediana deve essere superiore a 4 e non può essere maggiore di 6, quindi è 6.

51 Dispersione dei dati Sia X una variabile statistica. La quantità s 2 X = (X 1 m X ) 2 + (X 2 m X ) (X N m X ) 2 N 1 prende il nome di varianza campionaria di un campione di N dati X 1, X 2,..., X N di media campionaria m X. s 2 X valuta la dispersione dei dati dalla media. Nel caso in cui i dati assumono x 1,..., x n valori distinti con frequenze F 1,..., F n, si ha n s 2 i=1 X = F i(x i m X ) 2. N 1 Il valore s X prende il nome di deviazione standard campionaria.

52 Dispersione dei dati: esempio All uscita di una macchina che produce caramelle, si pesano N = 1000 pezzi prodotti e i dati ottenuti vengono raggruppati in classi che differiscono di 0.02 g l una dall altra Classe 11.04, 1061 (1.06, (1.08,1.101 (1.10,1.12] (t.r2,1i41 (1.14,1.161 (1.16,1.181 (118,1.201 (t.20,r 221 (t.22,1.24l] (t.24,1.26) (126,1.281 (1.28,1301 (1.30,1.321 (t.32,t.341 (134,1.361 Centro della classe I.I I.2I r r l. Jo r r _t-o I4

53 Dispersione dei dati: esempio Il peso medio di una caramella è 1.2 g. Calcoliamo la varianza per valutare la difformità frai i pezzi prodotti. Centro i t.2l t t< I r I4 Somma del quadrato degli scarti (-0.15),.17: (-0.13)'z. 15: ( 0.11)'z (-0.09)'?. 47 : (-0.07)'z.63:03087 (-0.05)'z.85: (-0 03)'?. 119: (-0.01)'z.72s-0072s (0.01)'z (003)'?. 112: (0.05)'? 88: (007)'z.69: (0.0e)'z 42: (0.11)'z.31: (0.13)'z.76: (0.15)'? 14: Totale

54 Dispersione dei dati: esempio σ 2 4/ σ 0.06 In media lo scarto dalla media è dell ordine di 0.06 g.

55 Un altra formula per calcolare la varianza stazionaria s 2 X = 1 N 1 n F i x 2 i N N 1 m2 X i=1

56 Nel caso in cui l indagine sia totale, i simboli per indicare gli indici di tendenza centrale cambiano: y 1, y 2,..., y M dati relativi a tutta la popolazione media di popolazione µ = 1 M M k=1 y i varianza di popolazione σ 2 = 1 M M (y i µ) 2 i=1 che si può anche calcolare come segue ( σ 2 1 M = M i=1 y 2 i ) ( ) 2 1 M y i = 1 M M i=1 M yi 2 µ i=1

57 Quartili Assegnato un campione ordinato di dati e un numero 0 < q < 1, il quantile relativo a q è il dato che ha frequenza cumulata pari a q, i.e. è il valore x q per cui la frequenza relativa di dati con valore inferiore è proprio q. Se q = 0.5 il quartile è la mediana, se q = 0.25 è il primo quartile, se q = 0.75 è il terzo quartile. la differenza tra il terzo quartile e il primo si chiama distanza interquartile e misura la dispersione dei dati.