Codifica binaria dell informazione

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1 Codifica binaria dell informazione Marco D. Santambrogio Ver. aggiornata al 13 Agosto 2014

2 Un obiettivo per domarli tutti 2

3 Obiettivi Rappresentazione dell informazione Da decimale a binario Contiamo con i numeri binari Limiti della rappresentazione Complemento a due 3

4 Codifica binaria Chi ha inventato il bit? Claude Shannon nel 1948 nel paper: A Mathematical Theory of Communication 4

5 Codifica binaria Alfabeto binario: usiamo dispositivi con solo due stati Problema: assegnare un codice univoco a tutti gli oggetti compresi in un insieme predefinito (e.g. studenti) Quanti oggetti posso codificare con k bit: 1 bit 2 stati (0, 1) 2 oggetti (e.g. Vero/Falso) 2 bit 4 stati (00, 01, 10, 11) 4 oggetti 3 bit 8 stati (000, 001,, 111) 8 oggetti k bit 2 k stati 2 k oggetti Quanti bit mi servono per codificare N oggetti: N 2 k k log 2 N k = log 2 N (intero superiore) Attenzione: ipotesi implicita che i codici abbiano tutti la stessa lunghezza 5

6 Esempio di codifica binaria Problema: assegnare un codice binario univoco a tutti i giorni della settimana Giorni della settimana: N = 7 k log 2 7 k = 3 Con 3 bit possiamo ottenere 8 diverse configurazioni: Ne servono 7, quali utilizziamo? Quale configurazione associamo a quale giorno? Attenzione: ipotesi che i codici abbiano tutti la stessa lunghezza 6

7 I giorni della settimana in binario (1) Lunedì Lunedì Martedì Lunedì Martedì Giovedì Lunedì Martedì Domenica Mercoledì Giovedì Mercoledì Sabato Martedì Mercoledì Giovedì Venerdì Sabato Sabato Venerdì Mercoledì Giovedì Domenica Venerdì Venerdì Domenica Sabato Domenica 1 bit 2 gruppi 2 bit 4 gruppi 3 bit 8 gruppi 7

8 I giorni della settimana in binario (2) Lunedì Giovedì Martedì Giovedì Giovedì Domenica Sabato Sabato Martedì Martedì Sabato Sabato Martedì Venerdì Domenica Domenica Domenica Mercoledì Mercoledì Mercoledì Mercoledì Giovedì Venerdì Lunedì Venerdì Lunedì Venerdì Lunedì 1 bit 2 gruppi 2 bit 4 gruppi 3 bit 8 gruppi 8

9 Stampa dei caratteri 9

10 Quale è il codice ASCII di a? Siamo sicuri? Ma quindi, quanto vale a? 97, 353, , 353=97+256, 609= = = *0 353 = *1 609 = *2 10

11 97+256*i quindi Quanti caratteri ci sono? 256 Con quanti bit rappresento 256 numeri? log = log = 8 11

12 Codifica binaria dei caratteri Quanti sono gli oggetti compresi nell insieme? 26 lettere maiuscole + 26 minuscole cifre Circa 30 segni d interpunzione Circa 30 caratteri di controllo (EOF, CR, LF, ) circa 120 oggetti complessivi k = log = 7 Codice ASCII: utilizza 7 bit e quindi può rappresentare al massimo 2 7 =128 caratteri Con 8 bit (= byte) rappresento 256 caratteri (ASCII esteso) Si stanno diffondendo codici più estesi (e.g. UNICODE) per rappresentare anche i caratteri delle lingue orientali 12

13 ASCII su 7 bit sp! " # $ % & ' ( ) * +, -. / : ; < = >? A B C D E F G H I J K L M N O 101 P Q R S T U V W X Y Z [ \ ] ^ _ 110 ` a b c d e f g h I j k l m n o 111 p q r s t u v w x Y z { } ~ canc 13

14 bit, Byte, KiloByte, MegaByte, bit = solo due sta8, 0 oppure 1. Byte = 8 bit, quindi 2 8 = 256 sta8 KiloByte [KB] = 2 10 Byte = 1024 Byte ~ 10 3 Byte MegaByte [MB] = 2 20 Byte = 1'048'576 Byte ~ 10 6 Byte GigaByte [GB] = 2 30 Byte ~ 10 9 Byte TeraByte [TB] = 2 40 Byte ~ Byte PetaByte [PB] = 2 50 Byte ~ Byte ExaByte [EB] = 2 60 Byte ~ Byte 14

15 Da Hobbit a Hobbyte 15

16 Da base 10 a base 2 Dato un numero K rappresentato in base dieci, la sua rappresentazione in base due sarà del tipo b n b n-1 b n-2 b 1 b 0 b i : cifra binaria Per convertire un numero in base dieci nel corrispondente in base due si devono trovare i resti delle divisioni successive del numero K per due 16

17 Da base 10 a base 2 Esempio: il numero 6 10 : 6/2 = 3 resto 0 3/2 = 1 resto 1 1/2 = 0 resto 1 Leggendo i resti dal basso verso l alto, si ha che la rappresentazione binaria del numero 6 10 è Per una corretta verifica basta riconvertire il risultato alla base 10 Cioè, calcolare 1 x x x

18 Da base 10 a base 2 Perché = 6 10? 6/2 = 3 resto 0 0 x /2 = 1 resto 1 1 x /2 = 0 resto 1 1 x 2 2 = 6 1 x x x 2 0 = 1 x x 2 0 con resto x x 2 0 = 1 x 2 0 con resto x 2 0 = 0 con resto

19 Da base 10 a base 2 Esempio: il numero : 345/2 = 172 resto 1 172/2 = 86 resto 0 86/2 = 43 resto 0 43/2 = 21 resto 1 21/2 = 10 resto 1 10/2 = 5 resto 0 5/2 = 2 resto 1 2/2 = 1 resto 0 1/2 = 0 resto 1 Leggendo i resti dal basso verso l alto Larappresentazione binaria del numero è

20 Altre basi: ottale, esadecimale Sistema ottale Utilizza una notazione posizionale basata su otto cifre (0,1,,7) e sulle potenze di 8 Esempio: = 1 x x x 8 0 = 67 Sistema esadecimale Utilizza una notazione posizionale basata su sedici cifre (0,1,,9,A,B,C,D,E,F) e sulle potenze di 16 Esempio: = 1 x x x 16 0 = 259 Esempio: AC4 16 = 10 x x x 16 0 =

21 Operazioni su numeri binari Vediamo solo il caso della addizione nella codifica binaria: Si mettono in colonna i numeri da sommare Si calcola il riporto ogni volta che la somma parziale supera il valore 1 Addizione: = 0 con riporto = 1 con riporto = 1 con riporto = 0 con riporto 1 21

22 Operazioni su numeri binari Addizione: = 0 con riporto 0 Esempi: = 1 con riporto = 1 con riporto = 0 con riporto = = = =

23 Codici a lunghezza fissa Se si usa un numero prestabilito di cifre si ha un codice a lunghezza fissa In questo modo si pone anche un limite al numero massimo rappresentabile Esempio: qual è il numero più grande rappresentabile con 4 cifre? In base 10: 9999 In base 2: 1111 (=15 10 ) In base 16: FFFF (= ) In base 8: 7777 (= ) 23

24 Il fattoriale Dato n, intero positivo, si definisce n fattoriale e si indica con n! il prodotto dei primi n numeri interi positivi minori o uguali di quel numero. In formule Nota: 0! = 1 1! = 1 2! = 2, 3! = 6, 24

25 Il fattoriale: codice 25

26 Proviamo ad eseguirlo WAT 26

27 Codici a lunghezza fissa Numeri maggiori di quello massimo rappresentabile causano problemi di overflow Ovvero per essere rappresentati richiedono più cifre di quelle a disposizione Esempio: 4 cifre In base 10: = In base 2: = (=16 10 ) In base 16: FFFF + 1 = (= ) In base 8: = (= ) 27

28 Codici a lunghezza fissa In generale, con N cifre a disposizione e base b il più grande numero (intero positivo) rappresentabile si può esprimere come Esempio: N=4 In base 10: In base 2: In base 16: In base 8: b N = = FFFF = =

29 Codici a lunghezza fissa Esempio di overflow nel sistema binario dovuto a operazioni aritmetiche: = 9 (in sistema decimale) abbiamo usato solo una cifra decimale per il risultato = (in sistema binario) Ricordiamo: 5 10 = 101 2, 4 10 = Errore: overflow (non può essere codificato 9 10 = con tre bit) 29

30 Rappresentazione dei numeri Possiamo rappresentare i numeri usando un numero variabile di cifre (che dipende dal valore che si vuole rappresentare) Come? Introduciamo un simbolo speciale che indica dove termina la rappresentazione di un numero e inizia quella del numero successivo Esempio: 1001#11#1 (codice a lunghezza variabile, # separatore) Esistono anche codici di espansione, che permettono di definire dei codici a lunghezza variabile senza far uso del carattere di separazione 30

31 Rappresentazione dei numeri In realtà, una semplice codifica binaria come quella discussa fino ad ora non è sufficiente, per due motivi: Numeri negativi Numeri con la virgola Per questi numeri vengono utilizzate delle rappresentazioni differenti Per esempio complemento a due per rappresentare i numeri negativi 31

32 Numeri negativi Si può pensare di usare un bit per il segno 0 identifica + 1 identifica - Gli altri bit vengono usati per codificare il valore assoluto (modulo) del numero [ , 2 2-1] [0, 2 3-1]

33 Numeri negativi - problemi Con 3 bit avremo: " Problemi: n Il numero 0 ha due rappresentazioni n Per l operazione di somma si deve tener conto dei segni degli addendi (+2) = (-3) (-5 ERRATO) 33

34 Il fattoriale: codice 34

35 Proviamo ad eseguirlo int sono interi con segno 35

36 Il fattoriale: unsigned int 36

37 Proviamo ad eseguirlo 37

38 Numeri negativi: Complemento a due Il bit più significativo rappresenta il segno del numero: 0 per i numeri positivi e 1 per i numeri negativi La rappresentazione di un numero positivo si ottiene codificando il valore assoluto del numero con i bit restanti La rappresentazione di un numero negativo si ottiene in tre passi: Si rappresenta in complemento a due il numeri positivo con lo stesso valore assoluto del numero negativo da codificare Si invertono tutti i bit in tale rappresentazione (0 1,1 0) Si somma uno al risultato ottenuto al passo precedente 38

39 Complemento a due Esempio (con 4 bit a disposizione): La codifica di +5 è 0101 La codifica del numero 5 avviene in tre passi: La rappresentazione in complemento a due di +5 è 0101 Invertendo tutti i bit si ottiene 1010 Sommando 1 si ottiene 1011, la rappresentazione in complemento a due di -5 39

40 Complemento a due Per ottenere un numero con segno data la sua rappresentazione in complemento a due: Se il primo bit è 0 il numero è positivo: per calcolarne il valore assoluto si esegue la conversione da binario a decimale Se il primo bit è 1 il numero è negativo: Si ignora il primo bit Si invertono i restanti bit Si converte il numero da binario a decimale Si somma uno al numero ottenuto per ottenere il valore assoluto del numero negativo 40

41 Complemento a due Esempio: 1011 Si esclude il primo bit Invertendo 011 si ottiene 100 che è codifica di 4 Va aggiunto 1 per ottenere il valore assoluto 5 Il risultato è quindi -5 41

42 Complemento a due Con 3 bit avremo: " Esempi di addizione: (+2) = (-5) (-3) (+7) = (-5) (+2) Nel secondo esempio, l overflow è ignorato 42

43 Exe 1: Codifica dell informazione Quanti bit si devono utilizzare per rappresentare 300 informazioni distinte? Quanti byte occupa la parola psicologia se la si codifica utilizzando il codice ASCII? Dati 12 bit per la codifica, quante informazioni distinte si possono rappresentare? 43

44 Exe 2: Codifica dei suoni Quanto spazio occupa un suono della durata di 30 secondi campionato a 100 Hz (100 campioni al secondo), in cui ogni campione occupa 4 byte? 44

45 Exe 3: Codifica dei numeri Codificare il numero nella corrispondente rappresentazione binaria Ordinare in modo crescente i seguente numeri: , 12 8, , Codificare il numero negativo nella rappresentazione in complemento a due 45

46 Exe 4: Codifica delle immagini Quanti bit occupa un immagine di 100 x 100 pixel in bianco e nero? Quanti byte occupa un immagine di 100 x 100 pixel a 256 colori? Se un immagine a di colori occupa 2400 byte, da quanti pixel sarà composta? 46

47 Fonti per lo studio + Credits Fonti per lo studio Informatica arte e mestiere, S. Ceri, D. Mandrioli, L. Sbattella, McGrawHill Capitolo 11 Introduzione ai sistemi informatici, D. Sciuto, G. Buonanno, L. Mari, 4a Ed, McGrawHill Capitolo 2 The Art & Craft of Computing, S. Ceri, D. Mandrioli, L. Sbattella, Addison-Wesley Capitolo 13 Credits P. Spoletini J. Sproston 47

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