Potenza di un test e Intervalli di confidenza

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1 Potenza di un test e Intervalli di confidenza 1

2 Indice Definizione di potenza di un test e dei parametri da cui dipende Potenza e ampiezza campionaria Analisi della varianza Confronto di due proporzioni RR e OR Tabelle di contingenza Definizione di IC ed applicazione nella verifica delle ipotesi IC per: Media di una popolazione Tassi e proporzioni RR e OR Intera popolazione

3 Riepilogo sull uso dei test Ipotesi per la applicazione di un test: H 0 vera quando i dati hanno BASSA probabilità di verificarsi, RIFIUTIAMO H 0 e concludiamo che c è differenza STATISTICAMENTE SIGNIFICATIVA tra i trattamenti 3

4 Analogamente Riepilogo sull uso dei test quando i dati hanno ALTA probabilità di verificarsi, ACCETTIAMO H 0 e concludiamo che NON c è differenza STATISTICAMENTE SIGNIFICATIVA tra i trattamenti porta a discutere i risultati come se PROBLEMA: il trattamento non ha effetto Non è stato dimostrata l EFFICACIA del trattamento dimensione dell effetto variabilità della popolazione numerosità dei campioni4

5 Esempio: diuretico efficace PROBLEMA: Dimostrare l efficacia di un nuovo diuretico FASE SPERIMENTALE: Gc 10 us placebo 1) G0 us Gt 10 us farmaco ) Misura di diuresi dopo 4h H 0 : Non c è differenza tra G c e G t ATTENZIONE!!!!!! Ipotesi nel t-test: H 0 vera (il trattamento NON è efficace) Ipotesi ora: H 0 falsa (il trattamento E efficace) 5

6 RISULTATO: Esempio: diuretico efficace Gc Gt Media ± DS diuresi (ml/giorno) Gc: MEDIA1180ml/giorno, DS144ml/giorno Gt: MEDIA1400ml/giorno, DS45ml/giorno eseguo il t-test 6

7 T-test (H 0 falsa): Esempio: diuretico efficace s 1 ( ) ( ) s + s G c G t 1 t X X Gt Gc ( ) ( ) ( s /n s /n 01 /10) ( /10) Gt Gc.447 Fisso α5% ed essendo ν(n-1)18 t c, t > t c ovvero, il farmaco ha AUMENTATO la diuresi VERO!!!! 7

8 Sotto ipotesi H 0 falsa, cambio il campione RISULTATO: Esempio: diuretico efficace Gc Gt Media ± DS diuresi (ml/giorno) Gc: MEDIA116ml/giorno, DS97ml/giorno Gt: MEDIA1368ml/giorno, DS63ml/giorno eseguo il t-test 8

9 Esempio: diuretico efficace T-test: s 1 ( ) ( ) s + s G c G t 1 t X X Gt Gc ( ) ( ) ( s /n s /n 198 /10) ( /10) Gt Gc 1.71 Fisso α5% ed essendo ν(n-1)18 t c, t < t c ovvero, il farmaco NON ha AUMENTATO la diuresi FALSO!!!! 9

10 Nell applicazione di un test Osservazione PROBLEMA: evitare di rifiutare l ipotesi di inefficacia, quando essa in realtà è vera, cioè controllare la probabilità di ottenere dei FALSI POSITIVI Ora si vuole non rifiutare l ipotesi di inefficacia, quando essa in realtà è falsa, cioè controllare la probabilità di ottenere dei FALSI NEGATIVI Qual è la probabilità di compiere questo secondo tipo di errore? 10

11 Risposta intuitiva Sotto l ipotesi che il farmaco è EFFICACE, ripetiamo l esperimento 00 volte (si riportano i valori del t-test) H 0 vera α5% H 0 falsa 111 valori di t sono > t c.101 Con α5%, c è una probabilità pari a 111/0055% di concludere che il diuretico aumenta la produzione di urina quando questa in media aumenta di 00ml/giorno La POTENZA del test è 0.55 e quantifica la PROBABILITA di rilevare una differenza reale 11

12 Tipi di conclusione nel test di ipotesi CONCLUSIONI tratte dalle OSSERVAZIONI Trattamento è efficace Trattamento è inefficace TRATTAMENTO è EFFICACE Vero Positivo Conclusione corretta (1-β) Falso negativo Errore di tip II (β) SITUAZIONE REALE TRATTAMENTO è INEFFICACE Falso positivo Errore di tipo I (α) Vero negativo Conclusione corretta (1- α) La POTENZA di un test è (1-β) ovvero Es: Un test con potenza 0.55, significa che c è una probabilità del 55% di evidenziare come statisticamente significativo un effetto che esiste realmente 1

13 Potenza di un test Gli errori di I e II tipo sono interdipendenti: prove più stringenti per dichiarare che un farmaco ha effetto (RIDURRE α) determina aumento della probabilità di NON rilevare l effetto vero (AUMENTO β) ovvero si RIDUCE la POTENZA Per rendere PICCOLI sia α che β si deve: AUMENTARE LA NUMEROSITA CAMPIONARIA, poiché con più osservazioni si può avere maggiore fiducia nelle conclusioni 13

14 Potenza di un test I fattori da cui dipende la POTENZA di un test sono: la dimensione dell errore di I tipo α la dimensione della differenza che si vuole rilevare, relativamente alla variabilità della popolazione la numerosità del campione 14

15 Dimensione dell errore α Il VALORE CRITICO è determinato dalla distribuzione del test statistico sotto ipotesi: H 0 VERA La POTENZA è la proporzione dei valori possibili del test che cadono oltre questa soglia sotto ipotesi: H 0 FALSA ATTENZIONE!!! La Gaussiana cambia perché il trattamento modifica il valor medio La POTENZA è 0.55 o equivalentemente β (la probabilità di incorrere in un errore di II tipo e accettare l ipotesi di inefficacia quando esiste un effetto) è % 15

16 Dimensione dell errore α Esigiamo prove più convincenti per concludere che il diuretico è efficace. La Potenza scende a 0.45! Per avere prove più convincenti, abbiamo ridotto la probabilità di concludere erroneamente circa l efficacia (α), ma abbiamo accresciuto il rischio di non riuscire a rilevare l effetto quando esiste (β) perché abbiamo ridotto la potenza. 16

17 Dimensione della differenza Se l effetto da evidenziare cambia, cambiano anche la Gaussiana e la POTENZA. E più facile rilevare differenze grandi che piccole. 17

18 Funzione di potenza Ripetendo l operazione per tutti i possibili valori dell effetto del trattamento: FUNZIONE di POTENZA Es: Se il farmaco aumenta la produzione di urina di 00ml/giorno, c è una probabilità del 55% di rilevarlo Misura quanto più facilmente si rileva una modificazione di urina, al crescere dell effetto del farmaco 18

19 Variabilità della popolazione La variabilità della popolazione influenza la probabilità di riuscire ad evidenziare l effetto di un trattamento. Formula del t-test: X X X X 1 1 t (s /n ) (s /n ) σ /n 1 + n 1 n s (variabilità della popolazione) diminuisce potenza del test nel rilevare un effetto aumenta Posto δ X δ/ σ 1 X /n δ σ n Parametro di NON CENTRALITA, Φ si quantifica 19

20 Numerosità del campione La POTENZA aumenta all aumentare della numerosità del campione perché: aumenta il numero di GL e il valore critico diminuisce il valore di t calcolato aumenta al crescere di n t δ σ n 0 us ν(0-1)38 GL 0

21 Funzione di potenza Ripetendo l operazione con diverse numerosità campionarie, fissato l incremento medio: FUNZIONE di POTENZA All aumentare della numerosità cresce la potenza Il calcolo della POTENZA viene utilizzato per stimare la DIMENSIONE CAMPIONARIA necessaria per rilevare un effetto. 1

22 Funzione di potenza Curve di POTENZA del t-test per il confronto di due gruppi sperimentali con numerosità n e α0.05 ES: Calcolare la POTENZA del t-test con un rischio di errore del I tipo α 0.05, utilizzato per rilevare una modificazione media di urina di 00ml/giorno in una popolazione con deviazione standard di 00ml/giorno δ 00 Φ 1 n10 σ 00 Potenza0.55

23 CAMPIONI Esempio: alotano/morfina n Dati: X i si G1:us con ALOTANO 9.08(l/m ) 1.05(l/m ) G:us con MORFINA (l/m ) 0.88(l/m ) T-test: alotano e morfina non producono risultati significativamente differenti dell indice cardiaco, vista la differenza del 15% fra gli indici cardiaci associati con questi due anestetici ( *x1.75 x15%) Tesi: Qual è la potenza di questo esperimento se si vuole rilevare una differenza del 5% che può essere clinicamente significativa? 3

24 Esempio: alotano/morfina Risoluzione: Una differenza del 5% dell indice cardiaco corrisponde a 0.5l/m (5% di.08 l/m ). δ Calcoliamo il parametro di NON CENTRALITA : Φ σ (9 1)(1.05 ) + (16 1)(0.88) s 0.89(l/ m ) 0.5 Φ I due gruppi hanno numerosità diverse si sceglie il gruppo più piccolo la potenza è 0.16 Conclusione: E molto improbabile che questa sperimentazione rilevi una modificazione del 5% 4

25 Riepilogo La potenza di un test indica che l ipotesi di inefficacia del trattamento sia rifiutata, se il trattamento ha effetto Tanto più stringenti sono le prove che esigiamo per affermare l efficacia di un trattamento, tanto più bassa è la potenza del test Quanto più grande è la numerosità del campione, tanto maggiore è la potenza del test La procedura specifica per determinare la potenza di un test dipende dal test stesso 5

26 Calcolo della potenza e ampiezza campionaria per ANOVA OSSERVAZIONE: Questi calcoli si differenziano solo per: 1. il MODO in cui viene quantificata l entità dell effetto del trattamento. la RELAZIONE MATEMATICA tra questa grandezza 3. il rischio di concludere erroneamente che c è un effetto del trattamento. 6

27 Potenza per ANOVA 1. Si calcola Φ δ σ n k numero di gruppi di trattamento se i k-gruppi hanno medie µ i diverse con µ µ i i k. Si determina ν n k-1 e ν d k(n-1) Φ n ( µ i µ ) i s k 3. Si consulta il diagramma di potenza opportuno 7

28 Ampiezza campionaria per ANOVA ATTENZIONE!!! L ampiezza campionaria compare in Φ e in v d Per trovare l ampiezza campionaria n bisogna fare vari tentativi: si fissa n e si calcola la potenza si corregge fino a quando la potenza calcolata è vicina al valore desiderato 8

29 Esempio: ciclo mestruale e corsa PROBLEMA: Capire se le donne che corrono da dilettanti o da professioniste hanno andamenti mestruali differenti dalle donne che conducono vita sedentaria. Si vuole rilevare una differenza di δ1 ciclo mestruale/anno con σ cicli/anno, k3 (G dil, G prof, G con ), n6 e α5% Risoluzione: 1 6 Φ 1.04 ν 3 n 3-1 e ν d 3(6-1)75 Potenza0.3 9

30 Esempio: ciclo mestruale e corsa PROBLEMA: Si vuole aumentare la potenza a Quanti campioni devo scegliere? Risoluzione: Sappiamo che con 6 ho potenza 0.3. Guardo la curva Per potenza di 0.80 devo avere Φ n è sotto radice nella definizione di Φ aumento n di un fattore 4 30

31 Esempio: ciclo mestruale e corsa Φ.04 3 ν n 3-1 e ν d 3(100-1)97 Potenza0. 90 Per avere la potenza desiderata, scegliamo n75: 1 75 Φ 1.77 ν n 3-1 e ν d 3(75-1) 3 Potenza0.80 Conclusione: Per avere una probabilità dell 80% di rilevare un cambiamento di 1 ciclo/anno fra i 3 gruppi di donne quando la deviazione standard è circa cicli/anno con un livello di confidenza del 95%, occorrono 75 us. 31

32 Potenza per confronto di due proporzioni OBIETIVO: Trovare la potenza del test z per valutare la differenza tra due proporzioni e p di numerosità n 1 e n Test z: p1 z p 1 s p p 1 p che si distribuisce come una distribuzione normale con media p1 p e deviazione standard s p p 1 p (1 1 n 1 p 1 ) + p (1 n p ) 3

33 Potenza per confronto di due proporzioni Distribuzione di tutti i possibili valori delle differenze osservate e pˆ pˆ 1 Potenza: (1-β)*100% della distribuzione deve essere oltre la soglia H 0 VERA (p 1 -p )+z β(1) s p1-p Percentile inferiore della normale standardizzata Si ottiene una potenza del (1-β)*100% per il rifiuto di ipotesi con significatività α*100% se (p 1 -p )+z β(1) s p1-p z α s 0 33

34 Potenza per confronto di due proporzioni La potenza del test è data dalla seguente probabilità: zαs0 (p1 p ) z β(1) s CAMPIONI Alotano Morfina p 1 p Esempio: alotano/morfina Dati n MORTI % % totale morti % Tesi: Qual è la potenza se si vuole evidenziare una differenza del 30% con una confidenza del 95%? Si vuole evidenziare differenza del 30% 34

35 Esempio: alotano/morfina (8 + 16) (8 + 16) * 30/ Differenza del 30% % Quindi p (è la proporzione che quantifica il totale dei morti) e p 0.10 (è la proporzione che quantifica la differenza del 30%); n 1 61 e n 67 s 1 p Essendo pˆ 0.14(1 0.14) 0.10(1 0.10) p1 n1 + pn calcolo s 0 : n + n p s pˆ(1 pˆ) pˆ(1 pˆ) 0.119( ) ( ) n1 n

36 Esempio: alotano/morfina Fissato α0.05 z c 1.96 POTENZA è data dalla frazione di distribuzione superiore a : ( ) z ( 1) β 1.55 POTENZA11% Conclusione: La potenza è bassa quindi la differenza tra i due anestetici non è significativa. 36

37 Potenza e numerosità campionaria per RR e OR Le formule precedenti sono utilizzate per stimare POTENZA e NUMEROSITA CAMPIONARIA per RR e OR. Non si specificano entrambe le proporzioni ma solo una (p 1 ) e l altra si ricava: RR p p esposti non esposti p p 1 p RR p 1 OR p p esposti nonesposti /(1 p /(1 p esposti ) nonesposti ) p p 1 /(1 p ) /(1 p ) 1 p OR p 1 + p (OR 1)

38 Finalità e limiti delle tecniche statistiche FINALITA : Decidere se un insieme di osservazioni è compatibile con una certa ipotesi (probabilità e potenza del test) LIMITI: non quantificano l entità dell effetto non mettono in evidenza risultati che possono non essere statisticamente significativi OBIETTIVO: stimare l entità dell effetto del trattamento Intervalli di Confidenza (IC) 38

39 IC per differenza di due medie T-test: t differenza delle medie campionarie errore standard della differenza delle medie eseguo il test. Campioni estratti da stessa popolazione la distribuzione dei valori di t ha MEDIA0 SIMMETRICA rispetto ad origine Campioni estratti da popolazioni diverse la distribuzione dei valori di t ha MEDIA 0 che dipende dall entità dell effetto del trattamento 39

40 IC per differenza di due medie Per avere MEDIA0 a prescindere dall efficacia del trattamento: diff. medie camp. - diff.vera medie popolazioni t errore standard della differenza delle medie camp. (X 1 - X s ) - ( µ X 1 X 1 - µ ) incognita Se H 0 VERA (campioni estratti da stessa popolazione) µ 1 µ def precedente di t Scelto un appropriato valore di t, t α, stimiamo incognita usando l equazione precedente. COME? 40

41 IC per differenza di due medie Per DEF: il 100α% di tutti i possibili valori di t comprende valori MINORI di -t α e MAGGIORI di +t α 1- α α -t α +t α Il 100(1- α)% di tutti i possibili valori di t è in ] -t α,+t α [ ES: il 95% dei possibili valori di t è in ] t 0.05,+t 0.05 [ t (X - X ) - ( µ 1 1 α < < + s X 1 X - µ ) t α 41

42 DEF: IC per differenza di due medie Intervallo di Confidenza per la differenza delle medie al 100(1- α)% è: ( X1 - X ) tα s < µ X 1 - µ < (X1 - X ) + tαs 1 X X1 X la differenza vera delle medie delle popolazioni dalle quali provengono i campioni cade ad una distanza dalla differenza osservata delle medie campionarie inferiore a t α volte la deviazione standard delle medie campionarie Distribuzione dipende da n. di campioni estratti ATTENZIONE! numerosità di ciascun campione (GL) distribuzione della popolazione dalla t α ha νn 1 +n - GL quale i campioni sono estratti i campioni devono essere estratti da popolazioni che seguono una distribuzione normale Gradi di Libertà 4

43 CASO IDEALE: Esempio: diuretico efficace TUTTA la popolazione di 00 individui è accessibile. Si misura la produzione media di urina. Tutti sono trattati con placebo µ pla 100ml/giorno Tutti sono trattati con farmaco µ far 1400ml/giorno µ pla - µ far 00ml/giorno CASO REALE: Sono accessibili solo 10 campioni! CAMPIONI G pla G far n Dati: X i 1150(ml/giorno) 1400(ml/giorno) si 144(ml/giorno) 45(ml/giorno) X far X pla aumento della diuresi di 50 ml/giorno 43

44 Calcolo IC al 95%: Esempio: diuretico efficace Per stimare l errore standard della differenza delle medie sx 1 X si calcola prima la stima aggregata della varianza della popolazione: 1 1 s (s + s ) ( ) 01 far pla s X1 X s n far s + n pla ml/ giorno Essendo t poichè ν(n-1)(10-1)18, IC è: < µ - µ < far pla 61ml/ giorno < µ - µ < 439ml/ giorno far pla Al 95% siamo sicuri che il farmaco aumenta la diuresi di un ammontare tra 61 e 439ml/giorno 44

45 Osservazioni Al variare dei campioni variano gli IC Intervalli negativi indicano che i dati non ci permettono di escludere la possibilità che il farmaco faccia diminuire la produzione di urina La maggior parte degli IC contengono il valor medio rilevato sull intera popolazione CONFIDENZA significa che il 95% di tutti i possibili intervalli conterrà la differenza REALE rilevata sulla popolazione 45

46 Ampiezza di IC α diminuisce t α aumenta IC più ampio ES: Calcolare IC al 90, 98% con dati precedenti Essendo t poichè ν18, IC al 90% è: < µ - µ far pla ml/ giorno < µ - µ 94 < far pla < ml/ giorno Essendo t poichè ν 18, IC al 98% è: < µ - µ far pla ml/ giorno < µ - µ 1 < far pla < ml/ giorno ATTENZIONE!!! Questo significa che ora i dati forniscono, in modo MAGICO, una stima più precisa dell effetto del farmaco? NO! Significa che se si accetta che il 10% di tutti i possibili intervalli non contenga l effetto vero del farmaco, allora si possono ottenere intervalli più stretti. 46

47 IC e verifica di ipotesi Se IC al 100(1-α)% associato con le osservazioni contiene lo ZERO µ 1 µ (ipotesi verificata dal t test) non ci sono prove sufficienti per respingere l ipotesi di inefficienza (ACCETTO H 0 ). Se IC NON contiene lo ZERO µ 1 µ RIFIUTO H 0 ES: IC al 95% ottenuto da dati precedenti non contiene lo zero il farmaco ha prodotto una modificazione statisticamente significativa (come trovato dal t-test) 47

48 IC e potenza del test Se osservassimo TUTTI i possibili IC al 95% calcolati con 10 campioni: 45% di tali IC include lo zero ovvero il 45% di essi non evidenzia il reale effetto del farmaco il 45% delle volte incorreremmo in errore del II tipo β0.45 e POTENZA0.55 Perché IC? 1. Consente di rifiutare l ipotesi di inefficacia. Fornisce indicazione sull entità dell effetto ( se un risultato è significativo GRAZIE a campioni numerosi e non perché c è un reale effetto del trattamento, allora IC lo evidenzia!) 48

49 PROBLEMA: Esempio: farmaco antipertensivo Dimostrare l efficacia del farmaco antipertensivo sulla pressione diastolica Dati: CAMPIONI G pla G far n H 0 : Xi 81mmHg 85mmHg s i 11mmHg 9mmHg Non c è differenza di pressione diastolica tra gli individui che ricevono il farmaco e quelli che ricevono il placebo 49

50 Esempio: farmaco antipertensivo RISOLUZIONE: T-test s 1 ( ) 101 t X far s X X far X pla pla (101/100) + (101/100).81 Fisso α1% ed essendo ν(n-1)198 t c, t < t c,198 RIFIUTO H 0 (il farmaco abbassa la pressione) IC al 95% Essendo t poichè ν198: < µ - µ far pla 6.88mmHg < µ - µ far pla < < 1.mmHg Rifiuto H 0, ma da IC vedo che l effetto non è molto grande (confronto con le deviazioni standard) 50

51 IC per la SINGOLA media di una popolazione Quando si applica? Quando non si conosce l incremento (per il calcolo di s e X 1 X X 1 X ) ma soltanto la MEDIA CAMPIONARIA e l ERRORE STANDARD della media campionaria: t media camp. - media popolazione errore standard della media campionaria scelto t α per νn-1 X t α s < µ < X + t s X α X ATTENZIONE: è consuetudine calcolare IC 95% perché t 0.05 per 0 campioni. SOTTOSTIMA di IC! [ X s,x + ] X s X X µ s X 51

52 Z Test: z IC per tassi e proporzioni differenza delle proporzioni camp. errore standard della diff.delle proporz. Se le dimensioni dei campioni sono sufficientemente grandi, il rapporto: diff.delle prop.camp. - diff.delle prop.nelle popolaz. z errore standard della diff.delle proporz.camp. si distribuisce in modo normale (pˆ 1 - pˆ ) - (p Il 100(1- α)% di tutti i possibili valori di z è in ] -z α,+z α [ fissato z α, IC al 100(1- α)% è: s pˆ 1- pˆ 1 - p ) ( 1 ) zα s < p pˆ 1 - p < 1 ) + zαs pˆ - pˆ (pˆ - pˆ 1 -pˆ pˆ 1 -pˆ 5

53 CAMPIONI Alotano Morfina s Dati n Esempio: alotano/morfina MORTI RISOLUZIONE: 8 10 % Calcolo l errore standard della differenza pˆ alo pˆ mor pˆ alo pˆ mor pˆ(1 pˆ) n alo + 1 n mor 0.0 H 0 : I due anestetici non sono differenti 0.14(1 0.14) pˆ Essendo z poichè ν, IC è: < pˆ pˆ alo mor.14 < pˆ pˆ 0 alo mor < < % CONCLUSIONE: ACCETTO H 0. Essendo l intervallo quasi 53 simmetrico i due anestetici sono confrontabili

54 IC per la SINGOLA media (caso tassi e proporzioni) Quando non si conosce l incremento (per il calcolo di s e ) ma soltanto la MEDIA CAMPIONARIA pˆ1 pˆ 1 pˆ pˆ e l ERRORE STANDARD della media campionaria: z proporz.osservata - proporz. vera errore standard della proporz.osservata pˆ p s pˆ segue la DISTRIBUZIONE BINOMIALE Fissato z α, IC è: pˆ z α s < p < + z s pˆ α pˆ pˆ 54

55 IC e approssimazione binomiale per tassi e proporzioni Se le dimensioni dei campioni NON sono sufficientemente grandi, il rapporto z non si approssima alla distribuzione normale, ma alla BINOMIALE Esempio: chirurgo e interventi Un chirurgo afferma: 30 interventi SENZA complicanze pˆ 0/30 0% Per ottenere il VERO TASSO di complicanze (e non quello fortunato!) si calcola IC al 95%: IC[pˆ z ˆ αs,p + z pˆ αs ] [0,0] pˆ pˆ(1 pˆ) 0(1 0) s pˆ 0 assurdo perché non è possibile n 30 che il chirurgo non abbia mai una complicanza! IC da approssimazione BINOMIALE]0%,10%[ 55

56 Esempio: chirurgo e interventi Il chirurgo ha 1 solo caso di complicanza: pˆ 1/ % 0.033( ) s pˆ < pˆ < < pˆ < IC[pˆ z s,pˆ+ z s ] Un chirurgo non può ottenere un TASSO di COMPLICANZE NEGATIVO! IC da approssimazione BINOMIALE]0%,13%[ α pˆ α pˆ OSSERVAZIONE: IC si estende grazie alla distribuzione binomiale quando i campioni sono pochi 56

57 RR e OR non si distribuiscono normalmente, contrariamente a ln RR e ln OR CAMPIONI Espsoti Non esposti TOTALE CASI a c a+c Numerosità CONTR b d b+d Il logaritmo naturale di RR si distribuisce normalmente con deviazione standard: 1 a/(a a z s Totale a+b c+d + b) 1 c/(c d) c < lnrr < lnrr + s ln RR lnrr e ln RR z IC per RR e OR α ln RR vero + < RR α sln RR ln RR+ vero < e a/(a+ b) RR c/(c + d) Per verificare H 0, cioè RR1 (il trattamento o fattore di rischio non ha effetto), 1 IC 57 z α z s α s ln RR ln RR IC

58 IC per RR e OR CAMPIONI Esposti Non esposti TOTALE CASI a c a+c Numerosità CONTR Il logaritmo naturale di OR si distribuisce normalmente con deviazione standard: s ln OR IC a b c d b d b+d Totale a+b c+d OR ad bc lnor z α s < lnor ln OR vero < lnor + z α s ln RR e ln OR z < OR α sln OR ln OR+ vero Per verificare H 0, cioè OR1 (l esposizione al fattore di rischio non sia associata ad un incremento nell OR di sviluppare la malattia), 1 IC < e z α s ln OR 58

59 e Con trombi Senza trombi TOTALE Esempio: trombosi in soggetti riceventi emodialisi trattati con aspirina CAMPIONI ln Aspirina Dati n. pazienti Placebo 1 6/(6 + 18) Totale /(13 + 7) 13 s ln RR H 0 : Non c è differenza tra placebo e aspirina RR0.44 Essendo z poichè ν, IC al 95%è: < ln RRvero < e 0.0 < RR vero < Conclusione: Al 95% siamo confidenti che il valore vero del RR di sviluppare trombosi in soggetti che ricevono aspirina rispetto a quelli che ricevono placebo è compreso tra ]0.0,0.94[. RIFIUTO H 59 0,1 IC

60 Esempio: fumo passivo e cancro alla mammella e CAMPIONI Esposti Non esposti TOTALE 1 a Dati H 0 : CASI numerosità CONTR Totale Il fumo passivo non aumenta l OR di contrarre tumore alla mammella OR b c d Essendo z poichè ν, IC al 95%è: s ln OR ln ln < RRvero < e 1.39 < RRvero < Conclusione: Al 95% siamo confidenti che il valore vero del OR tra ]1.39,6.10[. RIFIUTO H 0,1 IC 60

61 IC per intera popolazione Popolazione (con campioni 100 o 00) che segue distribuzione normale IC 95% [ X s,x + ] X s X Stime della MEDIA e DS della popolazione IC IMPRECISO se popolazione è rappresentata da pochi campioni IC di popolazione dipende da: frazione f di popolazione da comprendere grado di fiducia con cui si vuole calcolare IC numerosità del campione usato per calcolare MEDIA e DS X Kα s < X < X + Kαs 61

62 Kα IC per intera popolazione numero di DS campionarie da sottrarre e addizionare alla MEDIA per calcolare i limiti di IC che copre la FRAZIONE di popolazione voluta con il grado di fiducia desiderato Ruolo di K α è analogo a quello di t α e z α ATTENZIONE! 1. K α può essere PIU GRANDE di per numerosità campionaria tra 5 e 5!. Non confondere SEM con DS e pensare che per popolazione: IC 95% X s,x+ 6 [ ] X s X

63 Conclusione SI a prestare attenzione al problema Accettazione/Rifiuto tipico del TEST STATISTICO ma è fondamentale valutare la FORZA con la quale le osservazioni suggeriscono un effetto (duplice controllo per l errore di I e II tipo POTENZA del test). Talvolta è necessario esprimere i risultati NON solo in termini di ACCETTAZIONE/RIFIUTO, ma anche stimare l entità dell effetto del trattamento e misurare l imprecisione della stima (IC) 63

64 Funzione di Potenza per il confronto di due gruppi di numerosità n 64

65 Funzione di Potenza per ANOVA 65

66 Percentili della distribuzione normale standardizzata Es: Se si vuole ottenere una potenza dell 80% si trova z α z

67 Tabella t-test 67

68 IC al 95% con approssimazione binomiale 68