Ottimizzazione euristica

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1 Ottimizzazione euristica 1

2 Il problema della ottimizzazione Componenti: Un insieme di variabili indipendenti Un insieme di condizioni sulle variabili (vincoli) Una funzione obiettivo Soluzione: I valori delle variabili che, rispettando i vincoli, portano la funzione obiettivo ad un valore ottimo In forma generale: Con i vincoli

3 Lo spazio di ricerca della soluzione Descritto da: Numero di dimensioni Dominio di ciascuna dimensione Discreto Limitato Reale Natura della relazione tra vettori di ingresso e funzione obiettivo Continua Discontinua Ricerca locale nello spazio di ricrca: non tiene conto delle soluzioni precedenti Considera solo la soluzione corrente Usa un metodo per generare soluzioni alternative.

4 Una tassonomia approssimata delle tecniche di ottimizzazione ottimizzazione Tecniche euristiche Tecniche enumerative DFS Programmazione dinamica BFS Tabu Search Hill Climbing Simulated Annealing Algoritmi evoluzionistici Programmazione genetica Algoritmi genetici

5 Tecniche euristiche Tecniche per la soluzione di problemi mediante algoritmi iterativi che selezionano via via la soluzione più appropriata tra quelle ottenute a ciascun passo. Tra queste: Tabu search. Definisce come muoversi localmente da una soluzione all altra usando una tabella delle soluzioni visitate recentemente Hill Climbing: parte da un punto e cerca punti con migliore funzione obiettivo Ant colony optimization: risolve problemi che possono essere ridotti alla ricerca di cammini ottimi in un grafo. Idea: le formiche in cerca di cibo esplorano a caso l ambiente e quando lo trovano ritornano alla colonia lasciando tracce chimiche, eventualmente rinforzate da altre formiche Simulated annealing: ricerca la soluzione generando soluzioni vicine alla corrente. Soluzioni che portano a un valore superiore sono sempre accettate. Soluzioni che portano a un valore inferiore sono accettate probabilisticamente Genetic algorithms: mantiene un insieme di soluzioni che evolvono usando i principi della evoluzione Darwiniana

6 Hill Climbing varianti: stochastic hill climbing Non sceglie sempre il migliore first-choice hill climbing Prende il primo buon successore (utile se il numero di successori è grande) random restart Cerca il punto migliore da diversi punti di partenza Ovviamente la probabilità di trovare il massimo aumeta con l aumentare del numero di tentativi

7 Algoritmi di ottimizzazione mediante Simulated Annealing Simulated Annealing: (~ tempera simulata) Idea: imitare quello che succede nel processo di tempera la tempera è il processo nel quale il metallo viene riscaldato e poi raffreddato lentamente Il materiale temperato arriva ad uno stato a minore energia nel quale le molecle si assestano su una posizione più stabile

8 Riassunto dell algoritmo di minimizzazione selezione dei parametri iniziali perturba i parametri Valutazione Se v < v accetta la perturbazione Altrimenti accetta la perturbazione con Prob(E,T) Test di Metropolis Ripeti con stato e temperatura aggiornati

9 Test di Metropolis Si approssima l allineamento delle molecole in natura consentendo le transizioni verso l alto con qualche probabilità Prob (nello stato ad energia E) ~ Funzione di distribuzione di probabilità di Boltzmann (Z normalizz., k cost.boltzmann) Anche quando T è piccola, c è una possibilità di accettazione Prob (accettazione) = Metropolis if E 2 < E 1, prob () > 1 if E 2 > E 1, possiamo trasferirci ad uno stato ad energia maggiore La velocità alla quale si decrementa T e la quantità di decremento è stabilito da una sequenza di tempera prestabilita (annealing schedule)

10 Pseudocodice del Simulated annealing Fissa un valore iniziale del parametro T sufficientemente alto: T0 Fissa la configurazione iniziale: i0 Ripeti Ripeti Perturba la configurazione attuale: ij Calcola Δc=c(i)-c(j); Se Δc 0 Allora Accetta la configurazione j; Altrimenti Se (exp(-δc/t) Random(0,1)) Allora Accetta la configurazione j; FineSe FinoAQuando(l equilibro termico è bene approssimato); Decrementa T; FinoAQuando(il criterio di stop è verificato);

11 Proprietà L algoritmo può essere considerato come una successione di catene di Markov omogenee Si può realizzare delle catene non omogenee diminuendo la temperatura ad ogni iterazione Si può dimostrare che se T scende abbastanza lentamente, il processo converge all ottimo globale con probabilità 1 presentato in: Kirkpatrick, Gelatt and Vecchi, Optimization by Simulated Annealing, Science, 220(4598): , May 1983 per problemi di routing VLSI semplice da utilizzare per l ottimizzazine vincolata

12 Sequenze di raffreddamento La temperatura iniziale, la temperatura finale e la sequenza di raffreddamento sono determinate sperimentalmente Alcuni schemi: t = αt, dove α è tipicamente intorno a 0.95 t = e - βt t, dove β è tipicamente intorno a

13 Parametri di SA Valore iniziale di temperatura determina l efficienza dell algoritmo un valore troppo basso fà convergere l algoritmo ad un minimo locale un valore troppo alto fà si che le prime catene siano superflue possibile modo di determinare T0: 1. Si fissa un valore arbitrario 2. si esegue un certo numero di iterazioni 3. si calcola il rapporto tra il numero di transizioni accettate e il numero di transizioni proposte 4. se il rapporto è superiore a un numero prefissato (tipicamente 0.8), allora il valore di T0 proposto viene accettato, altrimenti si raddoppia tale valore e si ripete da 2.

14 Algoritmi Genetici (GA) Tecnica di ottimizzazione euristica; prende come modello il processo di evoluzione biologica NB: IL PROCESSO DI EVOLUZIONE BIOLOGICO E GROSSOLANAMENTE APPROSSIMATO!!! Proposta da John Holland nel 1975 Uno sguardo sul suo modo di operare: mantiene una popolazione di possibili soluzioni al problema Gestisce la loro evoluzione applicando concetti di evoluzione naturale e ereditarietà genetica Questi concetti sono applicati mediante Operatori Stocastici: Selezione Ricombinazione Mutazione

15 Operatori stocastici Selezione: preferisce le soluzioni migliori nella popolazione definizione della qualità di una soluzione Ricombinazione: prende due soluzioni distinte e genera nuove soluzioni ricombinandole a caso Mutazione: perturba a caso una soluzione

16 Il processo preso a modello Evoluzione naturale Problema: adattarsi all ambiente Attori: gli individui viventi in quell ambiente Il metro di giudizio: la capacità degli individui di adattarsi all ambiente Modalità di evoluzione: selezione, ricombinazione e mutazione genetica delle specie viventi Algoritmi genetici Problema: trovare l ottimo globale di una funzione Attori: le possibili soluzioni Il metro di giudizio: valore della funzione da ottimizzare, chiamata fitness Modalità di evoluzione: applicazione iterativa degli Operatori Stocastici Risultato: le specie viventi si adattano all ambiente Risultato: la popolazione di soluzioni cambia cercando di massimizzare la funzione

17 Ottimizzazione Genetica: pseudocodice Genera la popolazione iniziale di soluzioni; Valuta la fitness di ogni soluzione; while (condizione di termine non raggiunta) do done seleziona le soluzioni per la riproduzione; ricombina le soluzioni selezionate; mutazione delle soluzioni; valuta la fitness delle soluzioni modificate; genera una nuova popolazione rimpiazzando la popolazione iniziale con le soluzioni modificate;

18 GA for(gen=0; gen<maxgen; gen++) fprintf(outfp,"\nrun %d of %d: GENERATION %d->%d\n",run,maxruns,gen,maxgen); application(); /*application dependent routines*/ generation(); /* create a new generation */ statistics(newpop); /* compute fitness statistics on new populations */ report(); /* report results for new generation */ } temp = oldpop; /* advance the generation */ oldpop = newpop; newpop = temp;

19 Evoluzione selezione riproduzione Genera la popolazione valutazione

20 Esempio massimizzare la funzione f(x)=x 2 con x tra 0 e 31 struttura dati:... individuo i individuo i+1 unsigned *chrom double fitness int xsite int *parent int *utility unsigned *chrom double fitness int xsite int *parent int *utility cromosoma genitori eventuali variabili utili...

21 Esempio inzializzazione a caso di una popolazione di 4 individui con cromosoma lungo ) v ) v ) v ) v

22 Codice: inizializzazione initpop() int j, j1, k, stop; unsigned mask = 1; for(j = 0; j < popsize; j++) for(k = 0; k < chromsize; k++) oldpop[j].chrom[k] = 0; if(k == (chromsize-1)) stop = lchrom - (k*uintsize); else stop = UINTSIZE; for(j1 = 1; j1 <= stop; j1++) oldpop[j].chrom[k] = oldpop[j].chrom[k]<<1; if(flip(0.5)) oldpop[j].chrom[k] = oldpop[j].chrom[k] mask; } } oldpop[j].parent[0] = 0; /* Initialize parent info. */ oldpop[j].parent[1] = 0; oldpop[j].xsite = 0; objfunc(&(oldpop[j])); /* Evaluate initial fitness */ } } 22

23 Codice: inizializzazione Inizializzazione della popolazione: initpop() int j, j1, k, stop; unsigned mask = 1; for(j = 0; j < popsize; j++) for(k = 0; k < chromsize; k++) oldpop[j].chrom[k] = 0; if(k == (chromsize-1)) stop = lchrom - (k*uintsize); else stop = UINTSIZE; for(j1 = 1; j1 <= stop; j1++) oldpop[j].chrom[k] = oldpop[j].chrom[k]<<1; if(flip(0.5)) oldpop[j].chrom[k] = oldpop[j].chrom[k] mask; } } oldpop[j].parent[0] = 0; /* Initialize parent info. */ oldpop[j].parent[1] = 0; oldpop[j].xsite = 0; objfunc(&(oldpop[j])); /* Evaluate initial fitness */ } } 22

24 Selezione Metodo della ruota della roulette: L individuo i ha una probabilità pari a di essere scelto n 1 4 Si ripete la selezione tante volte quanti sono gli individui che devono avere gli stessi genitori 2 3 quest area è proporzionale al valore della fitness

25 Selezione: int rws(struct individual *pop) float rand, partsum; int j,k; float randomperc(); Codice: selezione sumfitness=0; for(j = 0; j < popsize; j++) } sumfitness = sumfitness + pop[j].fitness; //trova la fitness totale rand = randomperc() * sumfitness; partsum=0.; j=0; do partsum += pop[j].fitness; j++; } while(!((partsum>=rand) (j==popsize))); return(j-1); }

26 Esempio Crossover. Prima: s 1` = s 2` = s 5` = s 6` = Dopo: s 1`` = s 2`` = s 5`` = s 6`` =

27 Codice: crossover int crossover (unsigned *parent1, *parent2, *child1, *child2) int j, jcross, k; unsigned mask, temp; if(flip(pcross)) jcross = rnd(1,(lchrom - 1));/* Cross tra 1 and l-1 */ ncross++; for(k = 1; k <= chromsize; k++) if(jcross >= (k*uintsize)) child1[k-1] = parent1[k-1]; child2[k-1] = parent2[k-1];} else if((jcross < (k*uintsize)) && (jcross > ((k-1)*uintsize))) mask = 1; for(j = 1; j <= (jcross-1-((k-1)*uintsize)); j++) temp = 1; mask = mask<<1; mask = mask temp; } child1[k-1] = (parent1[k-1]&mask) (parent2[k-1]&(~mask)); child2[k-1] = (parent1[k-1]&(~mask)) (parent2[k-1]&mask); } else child1[k-1] = parent2[k-1]; child2[k-1] = parent1[k-1]; } } } else for(k = 0; k < chromsize; k++) child1[k] = parent1[k]; child2[k] = parent2[k]; } jcross = 0; } return(jcross);

28 Esempio Mutazione:ogni bit è sottoposto ad una piccola probabilità d errore (per esempio 0.1) Prima: s 1`` = Dopo: s 1``` = f (s 1``` ) = 6 s 2`` = s 3`` = s 4`` = s 5`` = s 6`` = s 2``` = f (s 2``` ) = 7 s 3``` = f (s 3``` ) = 8 s 4``` = f (s 4``` ) = 5 s 5``` = f (s 5``` ) = 5 s 6``` = f (s 6``` ) = 6

29 Codice: mutazione mutation(child) unsigned *child; /* Mutate an allele w/ pmutation, count # of mutations */ int j, k, stop; unsigned mask, temp = 1; for(k = 0; k < chromsize; k++) mask = 0; if(k == (chromsize-1)) stop = lchrom - (k*uintsize); else stop = UINTSIZE; for(j = 0; j < stop; j++) if(flip(pmutation)) mask = mask (temp<<j); nmutation++; } } child[k] = child[k]^mask; }

30 Generation 0 Generation 1 num string value fitness parents xsite string value fitness ) v ( 4, 3) v ) v ( 4, 3) v ) v ( 2, 4) v ) v ( 2, 4) v Generation 1 Generation 2 num string value fitness parents xsite string value fitness ) v ( 2, 1) v ) v ( 2, 1) v ) v ( 4, 3) v ) v ( 4, 3) v Generation 2 Generation 3 num string value fitness parents xsite string value fitness ) v ( 3, 4) v ) v ( 3, 4) v ) v ( 1, 2) v ) v ( 1, 2) v Generation 3 Generation 4

31 Operatori Alternativi per il Crossover Crossover a n punti Scegliere a caso n punti per il crossover Dividere i cromosomi in questi punti incrociarli, alternano i genitori Generalizzazione del crossover a 1 punto

32 Crossover Uniforme Assegnare la testa a un genitore, la coda all altro Lanciare una moneta per ogni gene del primo figlio Realizza una copia inversa per il gene del secondo figlio L ereditarietà è indipendente dalla posizione

33 Crossover o mutazione? Lungo dibattito: qual è migliore o necessario Risposta: dipende dal problema in generale, è meglio avere entrambi entrambi hanno il loro ruolo generalmente, usare solo mutazione è possibile, usare solo crossover non funziona bene

34 Rappresentazioni Possibili codifiche degli individui Bit strings ( ) Real numbers ( ) Permutations of element (E11 E3 E7... E1 E15) Lists of rules (R1 R2 R3... R22 R23) Elementi di programmi (genetic programming)... strutture dati...

35 Rappresentazioni Alcuni problemi hanno varabili intere, per. esempio segnali campionati Altri problemi hanno valori da un insieme prefissato Molti problemi sono intrinsicamente reali, tipicamente l ottimizzazione f : R n R Esempio: la funzione di Ackley s

36 Crossover tra valori reali Discrete: each allele value in offspring z comes from one of its parents (x,y) with equal probability: z i = x i or y i Could use n-point or uniform Intermediate exploits idea of creating children between parents (hence a.k.a. arithmetic recombination) z i = α x i + (1 - α) y i where α : 0 α 1. The parameter α can be: constant: uniform arithmetical crossover variable (e.g. depend on the age of the population) picked at random every time

37 Crossover aritmetico singolo Genitori: x 1,,x n e y 1,,y n Scegliere a caso un gene (k) il figlio è: ugualmente per l altro figlio. Esempio (α = 0.5) estensione al caso multiplo

38 GA: ottimizzazione vincolata I GA sono adatti per l ottimizzazione non vincolata attività in corso i metodi proposti sono basati sulla penalizzazione basati sulla ricerca di soluzioni fattibili basati sulla preservazione della fattibilità metodi ibridi