Il computer quantistico: concetti di base ed ultimi sviluppi

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1 Il computer quantistico: concetti di base ed ultimi sviluppi Introduzione: Il computer classico e la legge di Moore La fisica del c.q.: La sovrapposizione e gli stati entangled Problemi della realizzazione: decoerenza; criteri di Di Vincenzo Stato dell'arte: i sistemi fisici sotto indagine Qualche approccio piu' dettagliato

2 Il computer classico

3 Il computer a relais Zuse Z3

4 Il computer con tubo a vuoto

5 Il transistor

6 Circuito integrato

7 La legge di Moore

8 L inizio del computer quantistico: gli articoli di Feynman e Deutsch

9 L inizio del computer quantistico: gli articoli di Feynman e Deutsch

10 COMPUTER QUANTISTICO? IL COMPUTER QUANTISTICO E' UNA MACCHINA CHE ESEGUE LE OPERAZIONI BASANDOSI SULLE LEGGI DELLA MECCANICA QUANTISTICA

11 BIT L'unità fondamentale della computazione classica è un sistema che si puo' trovare in uno dei due stati: 0 1 Abbiamo quindi bisogno di un sistema che possieda 2 stati discreti stabili e che permetta di passare da uno stato all'altro

12 QUBIT Dalla meccanica quantistica sappiamo che ogni sistema puo' esistere in una sovrapposizione di autostati. In generale lo stato di una quantum bit (qubit)è descritto da: >= 1 0> + 2 1> Dove 1 e 2 sono coeffi cienti complessi con : =1

13 QUBIT Un qubit puo' essere visualizzato come vettore unitario nel piano Tuttavia, in generale 1 e 2 sono coeffi cienti complessi

14 IL QUBIT Un bit è rappresentato da un singolo atomo che si trova in uno dei due stati denominati 0> o 1>. Un singolo bit di questa forma è conosciuto come qubit. Una implementazione fi sica di un qubit potrebbe utilizzare due livelli energetici di un singolo atomo. Lo stato eccitato rappresentato come 1> e lo stato fondamentale rappresentato come 0>.

15 IL QUBIT: principio di sovrapposizione Un qubit puo' essere trasformato nella sovrapposizione dei due autostati 0> e 1> Dove 1 e 2 sono coeffi cienti complessi con : =1 Mentre ad un bit classico corrispondono due stati fi sici precisi quali 0 e 1, nel qubit non è possibile misurare con precisione il suo stato quantistico, cioè i valori e Possiamosolo associare una probabilità pari a 2 di essere in 0> oppure pari a 2 di essere in 1>, questi due valori sono quindi ampiezze di probabilità.

16 IL QUBIT: principio di sovrapposizione

17 IL QUBIT: principio di sovrapposizione Una coppia di qubits puo trovarsi istantaneamente in ogni sovrapposizione quantistica di 4 stati. Una terna di qubits puo trovarsi istantaneamente in una sovrapposizione quantistica di 23 = 8 stati: In generale un computer quantistico avente n qubits puo trovarsi istantaneamente ed arbitrariamente in una sovrapposizione quantistica di 2n stati Un normale computer avente n bits puo trovarsi istantaneamente solo in uno dei 2n stati

18 IL QUBIT: principio di sovrapposizione Un computer quantistico opera impostando un valore iniziale per i qubits che rappresentano la condizione iniziale del problema. Successivamente opera sui qubits in modo da risolvere il problema attraverso una sequenza fi ssa di porte logiche quantistiche. L insieme di tutte le porte logiche e detto alogoritmo quantistico. Il calcolo termina con la misura (lettura) di tutti gli stati. Tale misura porta il sistema in uno stato in cui ogni qubit si trova in uno stato puro (0 o 1). Un esempio di implementazione di qubits per un computer quantistico e un sistema costituito da particelle aventi due stati di spin

19 IL QUBIT: principio di sovrapposizione Un computer classico che possiede n bits e fondamentalmente diverso da un computer quantistico che possiede nqubits. Per rappresentare uno stato di un sistema avente n-qubit un sistema classico deve memorizzare 2n coeffi cienti complessi Per esempio consideriamo un computer classico che opera su 3 bits. Ad ogni istante lo stato del computer ha una distribuzione di probabilita distribuita su 23 = 8 stati differenti {000, 001, 011, 111, 100, 110, 101, 010}. Un computer classico deterministico si trovera ad ogni istante in uno di questi 8 stati con probabilita pari a 1. In un computer quantistico probabilistico si trovera ad ogni istante in ciascuno degli 8 stati ciascuno con una probabilita minore di uno e con somma totale uguale ad 1.

20 IL QUBIT: principio di sovrapposizione Nel momento in cui si misurano (leggono) i tre qubits, essi si troveranno in uno degli 8 stati descritti in precedenza. Sebbene uno stato classico a 3 bit ed uno stato quantistico a 3 qubit siano entrambi rappresentati come vettori 8 dimensionali, tali vettori vengono manipolati in modo molto diverso a seconda che si utilizzi un computer classico o quantistico. In entrambi i casi il sistema deve essere inizializzato, per esempio ponendo tutte le stringhe a zero 000>. La differenza sostanziale riguarda il modo con cui i computer classici e quantistici operano sul sistema iniziale. I computer classici operano attraverso matrici stocastiche che conservano le probabilita. I computer quantistici operano attraverso matrici unitarie che corrispondeno a delle rotazioni.

21 IL QUBIT: principio di sovrapposizione Alla fi ne in entrambi i casi il risultato fi nale deve essere letto dal Computer. Nel caso dei computer classici si esegue un campionamento della distribuzione di probabilita degli 8 stati in modo da ottenerne un valore ben defi nito. Nel caso quantistico si esegue una misura dello stato del sistema. Tale operazione e capace di far collassare il sistema in uno degli 8 stati possibili.

22 Cos'è un computer quantistico?

23 Principi della fisica quantistica

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28 a cosa serve un computer quantistico?

29 Principi della fisica quantistica

30 I criteri di Di Vincenzo 1. Possibilità di identifi care i qubits e aumentarli in numero, cioè essere in grado di creare un numero di qubits a piacere e poterli controllare in modo affi dabile. 2. Capacità di preparare lo stato iniziale dell intero sistema: bisogna preventivamente porre tutti i qubits in uno stato iniziale e, solo dopo, eseguire il calcolo quantistico. 3. Bassa decoerenza. Idealmente un sistema quantistico deve essere del tutto isolato dall ambiente esterno: 4. Porte logiche quantistiche. È necessario un insieme universale di porte logiche per controllare il sistema Hamiltoniano. 5. Effettuare una misurazione per ottenere il risultato del calcolo eseguito e quindi trasmetterlo all esterno.

31 Problema principale della realizzazione: la decoerenza Un aspetto importante dei qubits è il tempo di decoereza dec. Per un sistema quantistico è fondamentale essere completamente isolato dall'ambiente esterno, anche se ciò risulta molto diffi cile. L'interazione tra il sistema e l'ambiente esterno diminuisce il tempo di decoerenza delle particelle del sistema. Questo tempo è essenzialmente la memoria quantistica del sistema; dopo un tempo t > dec, il sistema dimentica il proprio stato iniziale e non è piu' coerente con esso. Idealmente si vorrebbe un sistema quantistico con dec infi nito, cio si potrebbe ottenere solo assicurando un totale isolamento del sistema rispetto all'ambiente esterno

32 Problema principale della realizzazione: la decoerenza

33 Problema principale della realizzazione: la decoerenza per controllare il qubit (cioè, effetuare porte a singolo qubit) bisogna far interagire il sistema con un campo esterno, per esempio un fascio laser oppure delle microonde per le porte a 2 qubit (es.: CNOT), due qubit devono interagire (più forte l interazione, più veloce la porta!)

34 Problema principale della realizzazione: la decoerenza MISURA Traccia sugli stati dell ambiente -> coerenza sparisce, sembra stato misto

35 Operazioni sui dati: quantim gates La misurazione è solo una delle due operazioni cui può esser sottoposto un sistema fi sico: l altra è la trasformazione dello stato in cui si trova. Solitamente un algoritmo quantistico è costituito da una sequenza di trasformazioni quantistiche seguite da una misurazione. In generale, ogni calcolo eseguito per mezzo di un computer classico può essere eseguito attraverso una sequenza di operatori logici universali. Allo stesso modo nel quantum computing esiste un insieme di operatori logici quantistici universali, chiamati quantum gates.

36 Operazioni sui dati: quantim gates La misurazione di uno stato quantistico è qualcosa che riguarda sistemi quantistici statici che vengono modifi cati solo quando misurati Quando entrano in gioco trasformazioni quantistiche, invece, occorre tener presente che queste obbediscono all equazione di Schrödinger e devono essere necessariamente reversibili, cioè occorre che, nel passaggio da uno stato ad un altro, sia preservata l ortogonalità. Le trasformazioni lineari che preservano tale proprietà in uno spazio vettoriale complesso sono le trasformazioni unitarie e possono essere descritte tramite una matrice M, è caratterizzata dalla proprietà MM* = I

37 Operazioni sui dati: quantim gates Un importante conseguenza è che ogni trasformazione unitaria è una trasformazione quantistica, e viceversa. Esempi:

38 controlled-not o CNOT gate. 2 qubits in input: il control qubit e il target qubit. Se il control qubit è 0, allora il target qubit rimane inalterato; se il control qubit è 1, allora il target qubit viene fl ippato: dove signifi ca eseguire la funzione EXOR tra il control qubit A e il target qubit B. E possibile scrivere la rappresentazione matriciale del CNOT gate come

39 controlled-not o CNOT gate. Il CNOT fl ippa il secondo qubit B se e solo se il primo qubit è 1>

40 Controlled-Controlled-NOT gate (o Toffoli gate) Grafi camente si usa rappresentare tale trasformazione tramite alcuni simboli, come mostrato in fi gura: dove il cerchietto indica che il qubit corrispondente alla prima posizione viene controllato mentre la crocetta indica che il secondo qubit viene eventualmente negato se il primo è risultato essere pari a 1.

41 Controlled-Controlled-NOT gate (o Toffoli gate): E analogo al precedente con la differenza che l ultimo qubit, il terzo, viene negato solamente se i primi due risultano essere entrambi pari ad uno:.

42 Trasformazione di Hadamard: Crea una sovrapposizione di stati ed è defi nita nel seguente modo: Se si applica tale trasformazione singolarmente ad n bits, questa genera una sovrapposizione di 2n possibili stati; questa trasformazione viene chiamata di WalshHadamard e può essere ottenuta ricorsivamente

43 Operazioni sui dati: quantim gates: La ricerca di questi operatori è stata effettuata nel tentativo di eseguire tutti i calcoli classici su computers quantistici Deutsch ha provato che è possibile costruire un insieme di quantum gates reversibili in grado di eseguire qualsiasi calcolo classico, implementando le funzioni classiche Barenco ha mostrato che tale insieme universale è costituito semplicemente dalla trasformazione CNOT insieme a tutte le trasformazioni quantistiche ad un qubit (che comprendono anche le rotazioni).

44 Operazioni sui dati: quantim gates: Molti studiosi, tra i quali Barenco ed Ekert, hanno lavorato a lungo nella ricerca di circuiti molto più complessi di questo ed hanno contribuito in modo determinante alla defi nizionedelle operazioni aritmetiche elementari sui computers quantistici. Dalla possibilità di implementare una qualsiasi funzione classica f tramite un gate quantistico Uf deriva il maggior vantaggio del quantum computing, il parallelismo Uf, per defi nizione, è una trasformazione lineare e unitaria e, come tale, se applicata ad n-qubit, opera simultaneamente su tutti i vettori di base in sovrapposizione, generando, con un unico calcolo, una sovrapposizione dei risultati.

45 Operazioni sui dati: quantim gates: Un buon algoritmo deve tener presente il problema della misurazione dei risultati; due soluzioni sono state proposte da Grover e Shor: 1) L idea di Grover è quella di trasformare lo stato quantistico in modo che i valori cercati abbiano un ampiezza maggiore e, perciò, una probabilità più alta di essere misurati L idea di Shor è, invece, quella di sfruttare le proprietà comuni di tutti i valori di output, come la periodicità; il suo algoritmo può essere sintetizzato in 5 passaggi:

46 Operazioni sui dati: quantim gates: - si inizializzano due registri (uno di n qubits, l altro di m ) attraverso la preparazione del loro stato iniziale; - si applica la trasformazione di Hadamard al primo registro, per creare una sovrapposizione di stati - si moltiplica il secondo registro per ax mod N - si applica una trasformata di Fourier quantistica inversa al primo registro - si misurano i qubits nel primo registro.

47 Funzionalità base di un computer quantistico

48 Operazioni sui dati: quantim gates: La correttezza di tale algoritmo è stata dimostrata, come già detto, attraverso la realizzazione di un computer a sette qubits i chimici dell IBM hanno costruito una molecola a sette spin nucleari (nuclei di 5 atomi di fl uorina, fl auto calcareo, e 2 di carbonio); tali spin possono interagire l un l altro come qubits ed essere manipolati tramite tecniche di risonanza magnetica nucleare (usate comunemente nei laboratori dichimica). Gli scienziati dell IBM hanno controllato una fi ala con 1018 di queste molecole, riuscendo ad eseguire l algoritmo di Shor e identifi care completamente 3 e 5 come fattori di 15.

49 Qubits «naturali» ed «artificiali»

50 Qubits «naturali» ed «artificiali» NMR (risonanza magnetica): spin nucleari in una molecola Ioni intrappolati: stato interno dell'ione Reticoli ottici: stato interno di atomi dentro un potenziale periodico fotoni Stato solido Superconduttori

51 NMR (risonanza magnetica)

52 NMR (risonanza magnetica) con NMR, si può estrarre l'architettura di una molecola conoscendo l'architettura della molecola, con NMR si può agire in maniera controllata sui suoi spin agendo sugli spin e sfruttando le loro interazioni, si può inizializzare un registro e si possono applicare dei gate

53 NMR: storia La NMR fu scoperta da Rabi nel 1938 Nel 1958 Purcell e Bloch vinsero il premio Nobel con la motivazione per lo sviluppo della tecnica NMR Applicazioni: Chimica: analisi della struttura molecolare Medicina: immagini basate sulla NMR Fisica dello stato solido: struttura di diversi materiali

54 NMR: principi base Una particella carica con spin ha un momento magnetico Campo magnetico esterno: a seconda dell'orientazione dello spin i livelli energetici si separano: Lo spin compie un moto di precessione attorno al campo magnetico con una frequenza di Larmor: Un impulso elettromagnetico pè capace di eccitare la transizione tra i due stati di spin

55 Requisiti di Di Vincenzo Qubit ben defi niti Inizializzazione di uno stato puro Set universale di quantum gates Tempo di decoerenza lungo Possibilità di misurare i qubit

56 Realizzazione dei qubit Due livelli corrispondenti ai due stati della particella con spin s=1/2 Lo stato 0 corrisponde allo spin Lo stato 1 corrisponde allo spin Lo spin nucleare degli atomi in una molecola: -fl uttua liberamente > NMR sui liquidi -ordinato in un reticolo --> NMR a stato solido Nuclei analizzabili

57 Inizializzazione Rilassamento allo stato fondamentale attraverso un raffreddamento Problema: il liquido raffreddato tende a cristallizzare --> variazione della struttura Alternativa a temperatura ambiente: stati pseudo puri Stati pseudo puri= stati misti che si comportano come stati puri rispetto a trasformazioni unitarie

58 Gates I qubit sono singolarmente accessibili in quanti hanno diverse frequenze di risonanza È possibile effettuare un set completo di trasformazioni unitarie

59 Spettro dell'alanina

60 Tempo di decoerenza Decoerenza:lo spin interagisce con l'ambiente esterno Tempo di decoerenza tipico: circa 1 sec Tempo tipico di operazione di un gate: circa in msec Numero di gate che si possono applicare: circa 100

61 Misura

62 Setup sperimentale Spira supercondutrice campo magnetico omogeneo B0 nella direzione z (10-15 T) Eccitazione dello spin nucleare nel pino xy e misura della magnetizzazione indotta

63 Hamiltoniana Molecole con spin nucleare Interazione col campo magnetico esterno Accoppimento indiretto tra gli spin mediato dagli elettroni Interazione tra i dipoli molecolari posta a zero in seguito al moto molecolare

64 Computazione quantistica con ioni:

65 Ioni intrappolati: tecniche creazione di stati di moto degli ioni -> stati entangled