LICEO B. RUSSELL A.S. 2012/2013 INSIEMI INFINITI

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1 LICEO B. RUSSELL A.S. 0/0 INSIEMI INFINITI Note prese da: Giuseppe Vigna Suria: Contare gli insiemi, Courant e Robbins: Che cos è la matematica - Bollati Boringhieri, Lucio Lombardo Radice: L infinito - Editori Riuniti. Insiemi uguali? Vogliamo occuparci del confronto di insiemi, in particolare di insiemi infiniti. Prima di potere parlare di confronto di insiemi è necessario però fare alcune precisazioni a riguardo della parola uguale che in passato ha dato luogo alla nascita di alcuni paradossi. Paradosso: dal greco para (contro) e doxa (opinione). Indica una proposizione formulata in evidente contraddizione con l esperienza comune o con i principi elementari della logica, ma che sottoposta a rigorosa critica risulta valida. Si possono avere molti esempi di paradossi, non necessariamente legati alla matematica. Uno dei più famosi è forse quello di Zenone di Achille e la Tartaruga, in base al quale Achille non riesce a raggiungere la tartaruga. Ritornando alla parola uguale, questa è stata usata in matematica con significati differenti. Dicendo uguale si può intendere rispetto alla forma, alla dimensione, al numero di parti che lo compongono Basta pensare al concetto di congruente (uguale per forma) ed equivalente (uguale per estensione) della geometria Euclidea. Quindi bisogna capire cosa si intende per insiemi uguali. Primo significato (Aristotele - Grecia, IV secolo a.c.): la parte non è mai uguale-identica al tutto che la contiene, appunto, come parte, e che ha perciò qualche elemento che nella parte non sta. Secondo significato (Cantor - Germania, ): la parte può essere uguale per numero al tutto che la contiene. Vogliamo ora capire il concetto di uguale per numero, cioè equipotente, già precedentemente intuito da Galileo (Italia, ), ma solo successivamente formalizzato da Cantor. E chiaro che un insieme A formato da quattro bambini e un insieme B formato da quattro libri non sono uguali, ma hanno la stessa cardinalità cioè lo stesso numero di elementi, cioè sono equipotenti. Senza necessariamente usare il numero, possiamo dire che gli insiemi A e B sono equipotenti perché esiste una corrispondenza biunuvoca tra A e B, cioè una relazione che ad ogni bambino di A associa uno ed un solo libro di B e tale che ad ogni libro di B è associato uno ed un solo bambino di A. Generalizzando il concetto, possiamo definire il concetto di equipotenti, cioè uguali per numero, nel seguente modo: Definizione. Due insiemi A e B sono equipotenti se esiste una corrispondenza biunuvoca tra A e B, cioè una relazione che ad ogni elemento di A associa uno ed un solo elemento di B e tale che ad ogni elemento di B è associato uno ed un solo elemento di A. Ricordiamo che una corrispondenza biunivoca tra due insiemi A e B è: una funzione di A in B: ad ogni elemento di A è associato uno e un solo elemento di B, iniettiva: elementi distinti di A sono in relazione con elementi distinti di B. suriettiva: ogni elemento di B è in relazione con qualche elemento di A Definizione. Diciamo che due insiemi A e B hanno la stessa cardinalità e scriviamo che #A = #B se A e B sono equipotenti. Notiamo che la definizione di equipotente non utilizza il concetto di numero e quindi non presenta alcuna difficoltà per gli insiemi infiniti. Torniamo agli insiemi finiti. Per comodità di notazione indichiamo con n = {m N m n} Per esempio = {,,,,}. Possiamo ora dare una prima definizione di insieme finito: Date: February, 0.

2 INSIEMI INFINITI Definizione. Diciamo che un insieme A è finito se esite un numero naturale n per cui possiamo definire una corrispondenza biunivoca tra A e n, cioè se esite un numero naturale n tale che A è equipotente a n. In tale caso diciamo anche che A ha n elementi, o che A ha cardinalità n. Scriviamo anche che #A = n. Questa definizione di insieme finito va presa come definizione provvisoria. Infatti richiede già la conoscenza di numero (finito). E facile osservare che può esistere una corrispondenza biunivoca tra gli insiemi n e m se e solo se n = m. (Se n < m come può solo essere una funzione di n in m? E se n > m?) È quindi evidente che il concetto di equipotente e di cardinalità di un insieme generalizza l idea che abbiamo intuitivamente nel caso finito di uguali per numero tra insiemi e di numero di elementi di un insieme. Vediamo alcune applicazioni del concetto di equipotente nel caso infinito. E facile dimostrare che: L insieme dei punti di una retta è equipotente all insieme R dei numeri reali. Basta infatti fissare sulla retta un punto (origine) e un secondo punto utilizzato come unità di misura. Di conseguneza viene definita la biiezione che associa a ogni punto della retta la sua distanza con segno dall origine. In maniera del tutto analoga, con un po di attenzione nella scelta dell unità di misura: L insieme dei punti di un segmento è equipotente a un qualsiasi intervallo [a,b] di numeri reali. Altrettanto: L insieme dei punti del piano è equipotente all insieme delle coppie ordinate R R = {(x,y) x,y R } In realtà lavorando con la geometria analitica identifichiamo completamente i due precedenti insiemi. Tale identificazione ha permesso di semplificare notevolmente e quindi risolvere molti problemi della geometria. (Fermat - Francia, 600 e Descartes - Francia, 600). Vediamo qualche altro esempio che affronta alcuni paradossi dell infinito. L insieme dei numeri pari è equipotente all insieme dei numeri naturali. Consideriamo infatti l insieme dei numeri naturali e l insieme dei numeri pari: N = {0,,,, } P = {n n N} = {0,,,6, } E chiaro che gli insiemi N e P non sono uguali identici, per esempio N, ma P. Anzi, P è un sottoinsieme proprio di N. Gli insiemi N e P sono però equipotenti. E possibile infatti definire la seguente funzione biiettiva: f : N P, f(n) = n In maniera del tutto analoga si può dimostrare che N è equipotente per esempio al suo sottoinsieme formato dai multipli di un suo qualsiasi numero, o dalle potenze di un suo numero. Per esempio N è equipotente al suo sottoinsieme A formato dalle potenze del numero 7, infatti si può definire la corrispondenza biunivoca: f : N A, f(n) = 7 n Possiamo allora dire che #N = #P = #A. Da questi esempi è chiaro il concetto di uguale per numero introdotto da Cantor: P è un sottoinsieme proprio di N (è una sua parte), ma è uguale per numero a N. Da questa osservazione Cantor ha ricavato la seguente definizione di insieme infinito: Definizione. Diciamo che un insieme A è infinito se A è equipotente ad un suo sottoinsieme proprio. Da questa definizione Cantor ha quindi ricavato la definizione di insieme finito: Definizione. Diciamo che un insieme A è finito se A non può essere equipotente ad un suo sottoinsieme proprio. Possiamo facilmente verificare che tutti gli intervalli reali sono tra loro equipotenti. Per esempio l intervallo [0,] è equipotente a [0,] in quanto si può definire la biiezione: f : [0,] [0,], f(x) = x In generale ogni intervallo [0,a], con a > 0 è equipotente a [0,] in quanto si può definire la biiezione: f : [0,] [0,a], f(x) = a x Analogamente l intervallo [, ] è equipotente a [0, ] in quanto si può definire la biiezione: f : [0,] [,], f(x) = x+ Componendo quanto appena osservato, dimostrare che l intervallo [, ] è equipotente a [, 8].

3 INSIEMI INFINITI Vediamo alcune situazioni geometriche. I punti di un segmento sono tanti quanti i punti di un qualsiasi altro segmento piccolo a piacere. Possiamo dimostrare facilemente quest ultimo fatto anche geometricamente, senza ricorrere alla corrispondenza tra segmenti e intervalli numerici. Consideriamo infatti due segmenti AB e CD di lunghezza differente. Posizioniamo i due segmenti paralleli tra loro come in figura, e sia P il punto di intersezione delle rette AC e BD. La biiezione tra CD e AB è data dalle proiezioni di centro P da un segmento all altro: A ogni punto Q di CD corrisponde in maniera biunivoca il punto Q su AB dato dall intersezione tra la retta PQ e il segmento AB. Viene così definita una corrispondenza biunivoca tra i punti di AB e i punti CD. Se i segmenti AB e CD fossero stati di uguale lunghezza non si poteva trovare il punto P, ma la situazione era banalmente risolvibile con una proiezione parallela (in sostanza in tale caso AB e CD possono essere sovrapposti). Con una costruzione simile si vede che: I punti di una semiretta sono tanti quanti i punti di un qualsiasi segmento semiaperto. Sia s la semiretta di origine S e AB il segmento semiaperto, con A compreso e B escluso. Basta fare coincidere A con S e posizionare AB perpendicolare a s. Sia quindi P un punto distante dal prolungamento di s quanto B, come in figura. La bieizione è definita proiettando da P su s i punti di AB. Con una costruzione simile si può dimostrare che I punti di una retta sono tanti quanti i punti di un qualsiasi segmento, estremi esclusi. Si tratta in questo caso posizionare il segmento AB perpendicolarmente alla retta r e di scegliere due punti P e P alla stessa distanza da r rispettivamente di B ed A come in figura. La bieizione è definita proiettando da P su r i punti di AB sopra al punto H di intersezione tra AB e r, e da P i punti di AB sotto H. Da questo fatto, e sfruttando l equipotenza tra la retta e R e l equipotenza tra un segmento privo di estremi e l intervallo ]a, b[ corrispondente, segue anche che:

4 INSIEMI INFINITI L insieme R dei numeri reali è equipotente a un qualsiasi intervallo ]a,b[ di R. Notiamo che è facile vedere, per altra via, per esempio che l insieme I = ] π, π [ è equipotente a R. Infatti esiste la funzione biiettiva tg(x) da I = ] π, π [ in R. Vediamo una situazione un po più complicata. I punti di un quadrato sono tanti quanti i punti di un suo lato. Per dimostrare questo fatto facciamo coincidere due lati del quadrato con gli assi cartesiani e quindi un vertice del quadrato con l origine. A ogni punto del quadrato possiamo quindi far corispondere in maniera biunivoca le sue coordinate (x,y), dove x e y sono due numeri reali compresi tra 0 e. E quindi chiaro che l insieme dei punti del quadrato è equipotente all insieme A = {(x,y) x,y R, 0 x e 0 y } Analogamente ai punti di un lato, per esempio quello appoggiato sull asse delle x, corrispondono alle coppie (x,0) con x numero reale compreso tra 0 e, e sono quindi in corrispondenza biunivoca con l insieme [0,]. I numeri x e y, compresi tra 0 e, possono essere scritti nella forma x = 0,a a a y = 0,b b b dove le cifre a i e b i sono infinite (eventualmente tutte nulle da un certo punto in poi se x o y sono decimali finiti. Notiamo che 0,9 = ). Possiamo quindi definire la funzione f : A [0,] (x,y) t = 0,a b a b a b Notiamo che tale corrispondenza è biunivoca, infatti ad ogni numero c [0,], c = 0,c c c corrisponde un unica coppia (x,y) A dove x = 0,c c c e y = 0,c c c 6. Quindi A e [0,] sono equipotenti e di conseguenza i punti di un quadrato sono tanti quanti quelli di un suo lato. Ingrandendo il quadrato a piacimento, possiamo concludere (intuire) che: In maniera del tutto analoga si può dimostrare che: e quindi ottenere che: I punti del piano sono tanti quanti i punti di una retta. I punti di un cubo sono tanti quanti quelli di un suo spigolo I punti dello spazio sono tanti quanti i punti di una retta. Unendo tutti questi risultati possiamo dire che: I punti dello spazio sono tanti quanti i punti di un segmento piccolo a piacere. Abbiamo quindi visto che, dal punto di vista geometrico, L insieme dei punti dello spazio, di un piano, di una retta, di un segmento, di un quadrato, di un cubo, sono tutti equipotenti. Analogamente, dal punto di vista algebrico, L insieme R dei numeri reali, l insieme R R delle coppie di numeri reali, l insieme R delle terne di numeri reali, un qualsiasi intervallo [a, b] R, sono tutti equipotenti In realtà c è al momento un piccolo problema con gli estremi del segmento o dell intervallo, che sistemeremo più avanti, ma possiamo intuire che rispetto a un insieme infinito i due punti o i due numeri in più (gli estremi) non potranno fare la differenza.

5 INSIEMI INFINITI Potenza del numerabile Definizione. Chiamiamo numerabile ogni insieme equipotente all insieme N dei numeri naturali. La cardinalità dell insieme N viene detta potenza del numerabile e indicata con ℵ 0 (aleph-zero): #N = ℵ 0. Abbiamo già visto che l insieme dei numeri pari è numerabile; in maniera del tutto simile si può dimostrare che l insieme dei numeri dispari o l insieme Z degli interi sono numerabili (e quindi tutti equipotenti a N). Basta per esempio considerare la funzione biiettiva f : Z N { n se n 0 n n se n > 0 Un po più complessa e molto meno ovvia è la dimostrazione che l insieme Q dei numeri razionali è numerabile. Ricordiamo che l insieme Q può essere così definito Q = {± a } b a,b N, b 0,a e b coprimi = {numeri decimali infiniti o infiniti periodici} A prima vista può sembrare molto strano il fatto l insieme dei razionali, che è denso (cioè fissato un qualsiasi numero x 0 Q e un qualsiasi numero reale ǫ, esistono sempre altri infiniti numeri razionali che distano da x 0 meno di ǫ), possa essere equipotente all insieme degli interi, che è invece discreto. Tra gli interi è infatti possibile parlare di numero successivo cosa che non è possibile tra i razionali (dovuto appunto al fatto che Q è denso). Infatti fissato un numero razionale x non è possibile individuare il numero y che segue x in grandezza. Tuttavia, come osservò Cantor, è possibile ordinare i razionali secondo una successione r 0,r,r, (non legata alla grandezza dei numeri). Cominciamo con l ordinare i numeri razionali asoluti Q a, non negativi secondo una successione r 0,r,r, che permette quindi di definire una biiezione tra N e l insieme Q a dei numeri razionali assoluti: f : N Q a n r n Questa è la costruzione suggerita da Cantor: i numeri razionali assoluti possono essere disposti in una matrice in modo tale che a b sia posizionato nella colonna a e riga b (ricordiamo che a e b sono numeri naturali). E chiaro che tale disposizione è unicamente determinata. Otteniamo quinti la tabella Notiamo che su ogni diagonale da sinistra a destra in salita la somma a+b è costante. Seguiamo quindi un percorso del tipo

6 6 INSIEMI INFINITI / / / / / 6/ 7/ 8/ / / / / / 6/ 7/ 8/ / / / / / 6/ 7/ 8/ / / / / / 6/ 7/ 8/ /6 /6 /6 /6 /6 6/6 7/6 8/6 /7 /7 /7 /7 /7 7/7 7/7 8/7 Partiamo quindi da 0, poi e, quindi in diagonale verso e in giù verso. Di nuovo in diagonale verso e. Ora in orizzontale verso, quindi di nuovo in diagonale verso, e. Procedendo nella stessa maniera otteniamo la successione: 0,,,,,,,,,,, Tale successione contiene tutti i numeri nell ordine in cui vengono incontrati lungo la spezzata (in sostanza i numeri sono ordinati secondo la somma a+b e se a+b = c+d, allora a b precede c d a seconda del confronto tra a e c). In questa successione cancelliamo poi tutti i numeri razionali ripetuti, mantenendo solo quelli ridotti ai minimi termini (per esempio cacelliamo,, mantenendo solo ). Abbiamo così ottenuto la successione La funzione biiettiva r 0 = 0, r =, r =, r =, r =, r =, r 6 =, r 7 =, r 8 =, r 9 =, f : N Q a n r n dimostra che N e Q a sono equipotenti. A questo punto basta considerare la funzione f : Z Q { r n se n 0 n r n se n < 0 ottenendo che anche Z e Q sono equipotenti. Quindi N, Z e Q sono tutti equipotenti e perciò numerabili. La loro cardinalità è appunto detta potenza del numerabile e indicata con ℵ 0. Ripercorriamo l ordinamento scelto su Q a. Abbiamo in sostanza definito gli insiemi { a A n = b a+b = n, e a } b è ridotta ai minimi termini n N Quindi A = {0}, A = {}, A = { } { } { },, A =,, A =,,,, Abbiamo quindi stabilito che se m < n, allora ogni elemento di A m precede ogni elemento di A n. Inoltre se a b e c d appartengono ad A n, cioè a+b = c+d = n, allora Se n è dispari e a < c, allora c d precede a b, Se n è pari e a < c, allora a b precede c d. Notiamo che l avere scelto la distinzione tra n pari e n dispari è solo giustificato dalla comodità grafica, ma in maniera del tutto analoga si poteva scegliere un ordinamento costante all interno di ogni insieme A n. Questo ci permette di generalizzare il risultato al seguente Teorema: L insieme U ottenuto dall unione di un infinità numerabile di insiemi numerabili U 0, U,,U n, è ancora un insieme numerabile.

7 INSIEMI INFINITI 7 Infatti gli elementi di ogni insieme U i (numerabile) può essere ordinato e messo in corrispondenza con n. Quindi possiamo indicare gli elementi degli elementi U i nel seguente modo U 0 = {a 0,0, a 0,, a 0,, a 0,,, a 0,n, } U = {a,0, a,, a,, a,,, a,n, } U = {a,0, a,, a,, a,,, a,n, } U i = {a i,0, a i,, a i,, a i,,, a i,n, } Analogamente a prima possiamo quindi definire gli insiemi A n = {a i,j i+j = n } n N e definire l ordinamento per cui se m < n, allora ogni elemento di A m precede ogni elemento di A n, e se a i,j e a h,k appartengono ad A n e i < h, allora a i,j precede a h,k. Questo ordinamento permette di definire una biiezione tra N e U e dimostra che U è numerabile. Notiamo che non otterremmo una numerazione contando prima tutti gli elementi di U 0, poi quelli di U e così via, in quanto in realtà non arriveremmo mai a contare gli elementi di U. Quanto visto fino ad ora può portare all idea che l infinito sia uno solo, cioè che l infinito sia l assoluto. In realtà non è così. Potenza del continuo Abbiamo fino ad ora imparato a confrontare insiemi equipotenti in particolare osservando che N, Z e Q sono tutti equipotenti. La loro cardinalità è detta potenza del numerabile. Siamo arrivati a definire il termine equipotente partendo dal concetto di uguali per numero e considerando inizialmente insiemi finiti. Facciamo ora un percorso simile per definire il concetto di più piccolo per numero. Noi siamo in grado di confrontare due numeri naturali n e m e quindi gli insiemi n e m. Ritornando però al concetto di funzione, possiamo verificare che: n < m se e solo se esiste una funzione iniettiva f : n m, ma non ne esistono di suriettive. Da questa osservazione possiamo ottenere la seguente definizione: Definizione. Dati due insiemi A e B, allora diciamo che A è più piccolo per numero di B se esiste una funzione iniettiva f : A B, ma non ne esistono di suriettive. In questo caso quindi #A < #B. Se ci limitiamo alla richiesta che esista f : A B iniettiva, e che eventualmente ne esistano di suriettive, allora possiamo dire che #A #B. Il Teorema di Schroder-Bernstein ci assicura che anche tra insiemi infiniti se #A #B e #B #A, allora #A = #B. Vediamo un applicazione di tale teorema. Abbiamo precedentemente dimostrato che R è equipotente a un qualsiasi intervallo aperto ]a,b[ di R, quindi esiste una funzione biiettiva da R in ]a,b[. La medesima funzione è ancora iniettiva, ma non suriettiva, tra R e l intervallo chiuso [a,b], quindi #R #[a,b]. D altra parte la funzione identica (che manda ogni elemento in se stesso) tra [a,b] e R è iniettiva, ma non suriettiva, quindi #[a, b] #R. Grazie al teorema di Schroder-Bernstein #R #[a,b] e #[a,b] #R #[a,b] = #R Abbiamo così messo a posto il problema degli estremi di un intervallo o di un segmento nell equipotenza con R o con i punti di una retta. Vediamo un importante insieme.

8 8 INSIEMI INFINITI Definizione. Dato un insieme A chiamiamo insieme delle parti di A l insieme P(A) formato da tutti i sottoinsiemi di A. Per esempio A = {} P(A) = {, A} A = {, } P(A) = {, {}, {}, A} A = {,, } P(A) = {, {}, {}, {}, {,}, {,}, {,}, A} E abbastanza facile dimostrare che se A è un insieme finito e #A = n, allora #P(A) = n. (Farlo per esempio per induzione oppure usando il calcolo combinatorio). Esiste il seguente importante Teorema. Dato un qualsiasi insieme A, allora #A < #P(A). Questo teorema, applicato ad insiemi infiniti ci permette di raggiungere il concetto che non esiste un solo infinito. Se infatti l insieme N è numerabile, sicuramente considerando l insieme P(N) si ha #N < #P(N), quindi l insieme P(N) è più grande per numero di N e non può essere numerabile. Per dimostrare il teorema dobbiamo dimostrare che esiste una funzione iniettiva f : A P(A), ma non ne esistono di suriettive. E evidente che la funzione f : A P(A) a {a} è iniettiva (ma non suriettiva). Quindi sicuramente #A #P(A) (e fino a qui niente di stupefacente). Vogliamo ora dimostrare che non possono esistere funzioni suriettive di A in P(A). Supponiamo per assurdo che esista una funzione f : A P(A) che sia suriettiva. Dato un qualsiasi elemento a A, la sua immagine f(a) è un elemento di P(A), quindi un sottoinsieme di A. Tale sottoinsieme f(a) può contenere o non contenere l elemento stesso a. Consideriamo quindi il sottoinsieme B di A formato da tutti gli elementi a che non appartengono alla loro immagine f(a), che ricordiamo essere un sottoinsieme di A. B = {a A a f(a)} Tale insieme B è evidentemente un sottoinsieme di A, eventualmente vuoto, quindi un elemento di P(A). Vogliamo dimostrare che B non può essere immagine attraverso f di nessun elemento b A e quindi che f non può essere suriettiva. Supponendo infatti che esista un tale elemento b tale che f(b) = B, allora avremmo due possibilità b B. Per come è definito B, allora b f(b) = B e arriviamo alla contraddizione b B e b B. b B. Per come è definito B, se b B allora b f(b) = B. Anche in questo caso arriviamo quindi alla contraddizione b B e b B. Poiché entrambe le possibilità portano ad un assurdo, un tale elemento b non può esistere e quindi f non è suriettiva. In conclusione #A < #P(A). Partendo da un insieme A di cardinalità infinita numerabile, come N, possiamo quindi costruire insiemi di cardinalità infinita maggiore del numerabile. La cardinalità di P(N) è detta potenza del continuo ed è generalmente indicata con ℵ (aleph-uno). Notiamo che in realtà questo procedimento può essere ripetuto all infinito, ottenendo quindi infiniti infiniti di cardinalità differente: ℵ 0 = #N < ℵ = #P(N) < ℵ = #P(P(N)) < Con un passaggio non banale si può dimostrare che ℵ = #P(N) = #R. In realtà per quanto osservato nell introduzione, ogni intervallo [a,b] di R, tutto il piano R R o lo spazio R sono equipotenti a R e quindi hanno tutti la cardinalità del continuo ℵ. Abbiamo osservato prima che se #A = n, allora #P(A) = n. Per

9 INSIEMI INFINITI 9 analogia, se #A = ℵ 0, allora #P(A) = ℵ0. Per tale ragione si usa talvolta il simbolo ℵ0 invece del simbolo ℵ. Tralasciando la dimostrazione dell equipotenza tra R e P(N), vediamo invece con una dimostrazione diretta come sicuramente#n < #R. Si tratta di dimostrare che l insieme dei numeri Reali non può essere numerabile. La dimostrazione, fornita da Cantor, è fatta per assurdo. Supponiamo quindi che i numeri reali siano stati numerati in una successione r 0, r, r, con un qualche procedimento (tipo quello usato per i razionali). Ogni numero reale può essere scritto nella forma N,a a a a dove N è la parte intera e a i sono le infinite cifre decimali, eventualmente nulle da un certo punto in poi. Dalla numerazione otteniamo quindi una tabella del tipo primo numero: N,a a a a a a 6 secondo numero: N,b b b b b b 6 terzo numero: N,c c c c c c 6 quarto numero: N,d d d d d d 6 quinto numero: N,e e e e e e 6 Supponendo che il procedimento proceda all infinito (come in N), tale elenco dovrebbe comprendere tutti i numeri reali. Il punto della dimostrazione consiste nel costruire un numero che sicuramente non è contenuto in tale elenco. Costruiamo quindi il numero z = 0,abcde in modo che la prima cifra decimale a sia diversa da a, la seconda cifra b sia diversa da b e così via: c c, d d, e e,. Il numero z così costruito non può essere uguale al primo numero dell elenco in quanto differisce sicuramente per la prima cifra decimale, non può essere uguale al secondo in quanto differisce sicuramente per la seconda cifra decimale,. non può essere uguale all n-esimo in quanto differisce per l n-esima cifra decimale. Quindi il numero z, che è un numero reale, non è contenuto nell elenco e questo dimostra che un tale elenco che comprenda tutti i numeri reali non può esistere. (In realtà bisogna usare qualche accortezza in più per evitare le ambiguità che nascono dal fatto che per esempio 0,9 = ).

10 0 INSIEMI INFINITI Riassumendo Riassumendo abbiamo visto che: Il concetto di uguale per numero, cioè equipotente è definito mediante l esistenza di una biiezione tra due insiemi A e B. Se A e B sono equipotenti scriviamo che #A = #B. Tra insiemi finiti, un insieme non può essere equipotente a un suo sottoinsieme proprio. Al contrario tra insiemi infiniti un tale fatto può accadere, anzi si definisce infinito un insieme che è equipotente ad un suo sottoinsieme proprio. La cardinalità dell insieme N è detta potenza del numerabile e indicata con ℵ 0. Oltre a N, anche Z, Q, l insieme dei numeri pari (e in generale l insieme dei multipli di un qualsiasi numero) sono numerabili e hanno quindi cardinalità ℵ 0. Se esiste una funzione iniettiva da un insieme A a un insieme B, ma non ne esistono di suriettive allora diciamo che A è minore per numero di B. In tale caso scriviamo che #A < #B. Un qualsiasi insieme A à minore per numero del suo insieme delle parti P(A). Questo ci permette di definire infiniti sempre maggiori per numero. L insieme N è minore per numero dell insieme dei numeri reali R. La cardinalità di R è detta potenza del continuo e indicata con ℵ o con ℵ0. Oltre a R, anche ogni intervallo [a,b] in R, il piano R R, lo spazio R hanno la potenza del continuo e quindi cardinalità ℵ. Abbiamo osservato (senza accennare a nessuna dimostrazione) che la cardinalità di R è la stessa dell insieme delle parti P(N) dell insieme dei numeri naturali. L ipotesi del continuo La domanda che ci si può porre è la seguente: Esiste un infinito compreso tra la potenza del numerabile e quella del continuo? Cantor non riuscì a costruirlo quindi espresse la seguente congettura nota come ipotesi del continuo: Il continuo è la potenza immediatamente successiva al numerabile. Cioè come il numero è il numero naturale successivo a, altrettanto il numero (transfinito) ℵ è successivo a ℵ 0. Questa ipotesi può essere generalizzata nella forma: tra la potenza di un insieme infinito A a la potenza del suo insieme delle parti P(A) non esistono potenze di infinito intermedie. Vennero tentate molte dimostrazioni di tale ipotesi del continuo. Poi qualche matematico (per esempio il polacco Sierpinski), provò a vedere cosa succedeva se si sviluppava la teoria degli insiemi negando l ipotesi del continuo. In qualche modo seguì la via tracciata da altri matematici (tra gli altri Saccheri - Italia, ) nei confronti del postulato di Euclide delle rette parallele: per dimostrare l assurdità della negazione di tale postulato, arrivarono a costruire geometrie non-euclidee perfettamente coerenti. Altrettanto accadde con la negazione dell ipotesi del continuo: si ottennero risultati da alcuni punti di vista paradossali, ma non contradditori. Godel (Cecoslovacchia, Austria, America 900) affrontò l argomento dimostrando che l ipotesi del continuo è vera in qualche assiomatizzazione della teoria degli insiemi. Nel 96 l americano Cohen dimostrò che l ipotesi del continuo non è nè vera nè falsa, ma indecidibile. dipende cioè dagli assiomi scelti nella teoria degli insiemi.