Università del Salento. Dipartimento di Matematica e Fisica Ennio De Giorgi ESERCIZI DEL CORSO DI ALGEBRA I
|
|
- Emilia Ferrario
- 6 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 Università del Salento Dipartimento di Matematica e Fisica Ennio De Giorgi ESERCIZI DEL CORSO DI ALGEBRA I a.a. 2016/2017
2 Indice Foglio 1 1 Foglio 2 3 Foglio 3 5 Foglio 4 7 Foglio 5 9 Foglio 6 11 Foglio 7 13 Foglio 8 15 Alcune soluzioni e note 17 Foglio 1A Foglio 2A Foglio 3A Foglio 4A Foglio 5A Foglio 6A Foglio 7A Foglio 8A
3 Foglio 1 Esercizio 1. Dimostrare che (1) z Z 2 z(z + 1), (2) z Z 3 z(z + 1)(z + 2), (3) z Z 6 z(z + 1)(z + 2), (4) z Z 24 z(z + 1)(z + 2)(z + 3). Esercizio 2. (1) Dimostrare che 8 z 2 1, per ogni numero intero dispari z. (2) Dimostrare che 3 4 n + 2, per ogni n N 0. (3) Dimostrare che 4 ( 1) n (2n + 1) 1, per ogni n N 0. Esercizio 3. Dimostrare che, per ogni a, b, c Z, valgono (1) a c = mcd(a, b) mcd(c, b), (2) mcd(a, b) = mcd( a, b) (3) mcd(a, b) = mcd(a, b + ac) (4) mcd(ca, cb) = c mcd(a, b) 1
4 Esercizio 4. Dimostrare che mcd(ab, a + b) mcd(a 2, b 2 ), per ogni a, b Z. Esercizio 5. Dimostrare che mcd(3z + 4, 4z + 5) = 1, per ogni z Z. Esercizio 6. (1) Dimostrare che per ogni z Z vale mcd(z, z + 2) = { 1 se z è dispari 2 se z è pari (2) Dimostrare che mcd(z + 2, 2z) {1, 2, 4}, per ogni z Z. (3) Dimostrare che, per ogni a, b Z, se mcd(a, b) = 2, allora mcd(ab, a + b) {2, 4}. Esercizio 7. Dimostrare che, per ogni a, b Z, se mcd(a, b) = 1 allora vale mcd(ab, a + b) = 1 Esercizio 8. Dimostrare che, per ogni a, b Z, se mcd(a, b) = 1 allora vale mcd(a b, a + b) {1, 2} Esercizio 9. (Prova scritta del 15 settembre 2016 ) Sia p un numero primo. Dimostrare che, per ogni z Z, valgono (1) mcd(2p + z, 3p + 2z) {1, p}; (2) mcd(2p + z, 3p + 2z) = p p z. 2
5 Foglio 2 Esercizio 1. Siano b 1, b 2 Z. Dimostrare che esiste un unico multiplo comune m di b 1 e b 2 tale che (1.1) m N 0, (1.2) ogni multiplo comune di b 1 e b 2 è un multiplo di m. Tale m si dice il il minimo comune multiplo di b 1 e b 2 e si indica con il simbolo mcm(b 1, b 2 ). Esercizio 2. Siano b 1, b 2 Z. Dimostrare che mcd(b 1, b 2 ) mcm(b 1, b 2 ) = b 1 b 2. Esercizio 3. (1) Determinare il resto della divisione di con 8. (2) Determinare il resto della divisione di con 6. (3) Determinare il resto della divisione di con 7. (4) Verificare che (5) Verificare che
6 Esercizio 4. (1) Determinare l ultima cifra di (2) Dimostrare che per 7 4n , per ogni n N 0. (3) Per ogni n N 0, determinare le ultime due cifre di 5 n+2. (4) Dimostrare che, per ogni n N, l ultima cifra di 2 4n+3 è 8 (Prova d esonero del ). (5) Per ogni n N, si determini l ultima cifra di 4 n + 9 n (Prova scritta del ). Esercizio 5. (1) Provare che n Z 5 n 17 n. (2) Provare che n N 7 n = 7 n (3) Dimostrare che a Z 3 a = 3 a 4 + a 2 + 1(Prova d esonero del ). (4) Sia n N. Provare che 12 divide 5 n + 7 n se e solo n è dispari (Prova scritta del ). (5) Sia n N. Provare che 15 divide 4 n + 11 n se e solo n è dispari (Prova scritta del ). Esercizio 6. (Prova d esonero del ) Dimostrare che per ogni n N vale { 1 se n è pari 10 n 11 1 se n è dispari Esercizio 7. (Prova d esonero del ) Sia z Z. Dimostrare che 3 e 11 dividono z 12 z 2. Esercizio 8. (Prova scritta del ) Sia a, b Z e sia z := 10a + b. Provare che 7 z 4a 7 b 4
7 Foglio 3 Esercizio 1. (1) Determinare un x Z tale che 7x (2) Determinare un x Z tale che 7x (2) Determinare un x Z tale che 4x 2 3. Le equazioni dell esercizio 1 prendono il nome di equazioni congruenziali, ossia equazioni nelle quali il simbolo = è sostituito da m, con m numero intero. Non sempre le equazioni congruenziali ammettono soluzioni pertanto è lecito chiedersi: dati a, b Z ed m N 0, quando siamo sicuri che esiste un x Z tale che ax m b? Proposizione 1 Siano a, b Z ed m N 0. Sono equivalenti: (i) esiste un x Z tale che ax m b, (ii) il mcd(a, m) divide b. DIM. Poniamo d := mcd(a, m). (i)= (ii) Sia x Z tale che ax m b. Allora esiste q Z tale che ax b = mq. Poichè d a e d m, si ha che d ax mq, ossia d b. Pertanto vale (ii). (ii)= (i) Poichè d b, esiste q Z tale che b = dq. Sappiamo inoltre che esistono u, v Z tali che d = au + mv. Pertanto si ottiene b = dq = (au + mv)q = a(uq) + m(vq). 5
8 Da ciò segue che a(uq) b = m( vq), e dunque m a(uq) b. Ma ciò significa che a(uq) m b, per cui x := uq è il numero richiesto dalla (i). Esercizio 2. Determinare tutti gli x Z tali che 7x Esercizio 3. (Prova scritta del ) Determinare un intero x tal che { x 11 5 x 15 4 Esercizio 4. (1) Determinare un intero x tal che { x 3 2 x 4 5 (2) Determinare un intero x tal che { x 4 5 x 5 3 Proposizione 2 Siano a, b Z tali che mcd(m, n) = 1. Allora esiste una soluzione del sistema { x m a x n b DIM. Poichè il mcd(m, n) = 1, esistono u, v Z tali che mu + nv = 1. Ne segue che x := anv+bmu è una soluzione del sistema in questione. Infatti x m anv e, poichè nv m 1, si ha che x m a. Analogamente si prova che x n b. Esercizio 5. Determinare un intero x tal che x 3 2 x 4 5 x 5 3 6
9 Foglio 4 Esercizio 1. (Prova scritta del 19 giugno 2013) Sia a Z, a 0. Definiamo in Z la seguente operazione ponendo, per ogni x, y Z, x y = xy + a(x + y + 1). Dimostrare che la funzione f : Z Z, (Z, ) in (Z, ) se e solo se a = 2. x x + a è un omomorfismo da Esercizio 2. Definiamo in S := Z Z la seguente operazione ponendo, per ogni a, b, c, d Z, (a, b) (c, d) := (a + c, ac + b + d) Ora, definiamo su S la seguente relazione ponendo, per ogni a, b, c, d Z, (a, b) (c, d) : a = c. (1) Dimostrare che è una congruenza di (S, ). (2) Dimostrare che (S/,ˆ ) è isomorfa a (Z, +). Esercizio 3. (Esonero del 18 dicembre 2013) Definiamo in S := Z Q la seguente operazione ponendo, per ogni z 1, z 2 Z e q 1, q 2 Q, (z 1, q 1 ) (z 2, q 2 ) = (z 1 z 2, z 1 q 2 + z 2 q 1 + q 1 q 2 ) 7
10 Ora, definiamo su S la seguente relazione definita ponendo, per ogni z 1, z 2 Z e q 1, q 2 Q, (z 1, q 1 ) (z 2, q 2 ) z 1 z 2 = q 2 q 1. (1) Dimostrare che è una congruenza di (S, ). (2) Dimostrare che (S/,ˆ ) è isomorfa a (Q, ). Esercizio 4. (Prova scritta del 25 febbraio 2014) Definiamo in M := N Z la seguente operazione ponendo, per ogni a, b N e u, v Z, (a, u) (b, v) := (ab, u + v + uv), Consideriamo su M la seguente relazione ponendo per ogni a, b N e u, v Z. (a, u) (b, v) : a(v + 1) = b(u + 1), (1) Dimostrare che è una congruenza di (M, ). (2) Dimostrare che la struttura quoziente (M/, ˆ ) è isomorfa a (Q, ). 8
11 Foglio 5 Esercizio 1. Definiamo sull insieme M := {(a, b) a, b R} la seguente operazione ponendo, per ogni a 1, a 2, b 1, b 2 R, (a 1, b 1 ) (a 2, b 2 ) := (2a 1 a 2, 2a 1 b 2 + 2b 1 a 2 b 1 b 2 ) (1) Dimostrare che (M, ) è un monoide; (2) Determinare gli elementi invertibili di (M, ). Esercizio 2. Dimostrare che il seguente sottoinsieme di Q T := { m m Z, i {0, 1}} 3i è un sottogruppo additivo di Q che contiene Z. Esercizio 3. Sia p P e siano S := {q q Q j N 0 p j q Z} T := {q q Q r N mcd(r, p) = 1 rq Z} Dimostrare che S e T sono sottogruppi di (Q, +). 9
12 Esercizio 4. Sia G un gruppo abeliano e sia e l elemento neutro di G. Provare che l insieme è un sottogruppo di G. T (G) := {g g G, n N g n = e} Esercizio 5. Siano G un gruppo, H G e g G. Provare che l insieme è un sottogruppo di G. K := {x x G, h H x = g 1 hg} Esercizio 6. Sia G un gruppo e sia f un endomorfismo di G. Provare che l insieme H := {x x G, (xf)f = xf} è un sottogruppo di G. Esercizio 7. Siano G un gruppo abeliano e f Aut (G) tale che f 2 = id G. (1) Dimostrare che A := {x x G, xf = x} e B := {x x G, xf = x 1 } sono sottogruppi di G. (2) Dimostrare che (x 1 f)x B per ogni x G. (3) Dimostrare che {x 2 x G} AB. Esercizio 8. Sia G un gruppo, e il suo elemento neutro ed a G. Poniamo B(a) := {x x G, xa = a 1 x}, C(a) := {x x G, xa = ax}. Dimostrare che sono equivalenti (i) B(a) G, (ii) a 2 = e, (iii) B(a) = C(a) 10
13 Foglio 6 Esercizio 1. Siano G un gruppo e H G. Poniamo C G (H) := {x x G, h H xh = hx}. (1) Dimostrare che C G (H) G. (2) Dimostrare che, se H è un sottogruppo normale di G, allora C G (H) è un sottogruppo normale di G. Esercizio 2. Siano G un gruppo e H G. affermazioni sono equivalenti: Dimostrare che le seguenti (i) H G, (ii) x, y G xy H = yx H. Esercizio 3. Siano G un gruppo, N G e H G. Dimostrare che, se N è abeliano, allora N H è un sottogruppo normale di NH. Esercizio 4. Poniamo Q := Q \ {0}, G := {( a b 0 d ) b Q, a, d Q } e N := {( 1 b 0 1 ) b Q } Dimostrare che G è un gruppo rispetto all usuale prodotto tra matrici e che N è un sottogruppo normale di G tale che 11
14 (1) G/N è isomorfo al prodotto diretto Q Q, (2) N è isomorfo a (Q, +). Esercizio 5. Sia G := Q Q e sia N := {(0, b) b Q}. Definiamo su G la seguente operazione ponendo, per ogni a, b, c, d Q, Provare che (1) (G, ) è un gruppo. (a, b) (c, d) = (a + c, ac + b + d) (2) N è un sottogruppo normale di G. (3) (G/N, ) è isomorfo a (Q, +). Esercizio 6. Sia G := R \ {0} R. Definiamo su G la seguente operazione ponendo, per ogni a, c R \ {0} e b, d R, (a, b) (c, d) = (ac, ad + b) Dimostrare che (1) (G, ) è un gruppo, (2) N := {(1, d) d R} è un sottogruppo normale di G, (3) (G/N, ) è isomorfo al gruppo moltiplicativo dei numeri reali non nulli. Esercizio 7. Siano G un gruppo e D := {(a, a) a G}. Dimostrare che (1) D è un sottogruppo del prodotto G G, (2) se D è un sottogruppo normale di G G, allora G è abeliano e (G G)/D = G. 12
15 Foglio 7 Esercizio 1. (Prova scritta del 4 luglio 2014). Sia G un gruppo tale che (ab) 3 = a 3 b 3, per ogni a, b G. [1]. Dimostrare che a 2 b 2 = (ba) 2, per ogni a, b G. [2]. Dimostrare che l insieme è un sottogruppo normale di G. N := {a a G x G a = x 2 } Esercizio 2. (Prova scritta del 22 settembre 2014). L insieme G := {(a, b) a, b Q, a 0} munito della seguente operazione (a, b), (c, d) G (a, b) (c, d) := (ac, ad + b c ) è un gruppo con elemento neutro (1, 0). Siano H := {(1, b) b Q} e K := {(1, z) z Z}. Provare che [1]. H è un sottogruppo normale di G, [2]. K è un sottogruppo normale di H, ma non è un sottogruppo normale di G. Esercizio 3. Siano m, n Z. Poniamo d := mcd(m, n) e c := mcm(m, n). Provare che valgono le seguenti affermazioni: 13
16 (1) Zm + Zn Z e Zm + Zn = Zd; (2) Zm Zn Z e Zm Zn = Zc; (3) Zm Zn = Zm + Zn. Esercizio 4. Sia (G, ) un gruppo. Dimostrare che, per ogni H, K G, valgono le seguenti affermazioni: (1) H K G H K o K H; (2) H K G H K = K H. Esercizio 5. Sia G un gruppo finito e siano x, y G tali che xy = yx. Dimostrare le seguenti affermazioni: (1) o(xy) o(x)o(y); (2) se mcd(o(x), o(y)) = 1 allora o(xy) = o(x)o(y). Esercizio 6. Sia G un gruppo abeliano finito e siano x, y G tali che mcd(o(x), o(y)) = 1. Dimostrare che x y = xy. Esercizio 7. Siano G e H gruppi finiti e f un omomorfismo da G in H. Dimostrare che (1) o(xf) divide o(x) per ogni x G, (2) se o(xf) = o(x) per ogni x G, allora f è iniettivo. Esercizio 8. Sia G un gruppo tale che G = p con p P. Dimostrare che G è ciclico. Esercizio 9. Sia G un gruppo, e il suo elemento neutro, a G e m, n Z primi tra loro. Provare che, se a m = e, allora esiste b G tale che a = b n. 14
17 Foglio 8 Esercizio 1. Siano ψ 1 := ( ( ψ 2 := ( ψ 3 := ), ), ). (1) Dare ψ := ψ 1 ψ 2 ψ 3 nella scrittura standard. (2) Determinare le orbite di ψ. (3) Decomporre ψ nel prodotto di cicli disgiunti non banali. Esercizio 2. Sia X = 7 e sia ( ) ϕ := (1) Mostrare che ϕ è un ciclo. (2) Dare ϕ 2 e ϕ 3 nella scrittura standard e determinarne le orbite. (3) Verificare che ϕ 4 = id X. 15
18 Esercizio 3. Sia ζ := (1) Verificare che ζ è un ciclo. ( (2) Per ogni n N, si scriva ζ n come prodotto di trasposizioni. ) Esercizio 4. Sia π := ( (1) Decomporre π nel prodotto di cicli disgiunti. (2) Determinare π. ) Esercizio 5. (Prova d esonero del ) Sia ( ) ψ := (1) Determinare le orbite e la decomposizione in cicli disgiunti di ψ. (2) Scrivere ψ 2 come prodotto di trasposizioni. (3) Determinare ψ. (4) Trovare una trasposizione τ S 8 tale che ψτ = τψ. Esercizio 6. (Prova scritta del ) Siano α := ( ) e β := (1 6 7) elementi di S 7. (1) Dimostrare che αβ e βα sono entrambi cicli e αβ βα. (2) Determinare una trasposizione τ S 7 tale che ατβ sia un ciclo di lunghezza 7. 16
19 Alcune soluzioni e note Foglio 1A Esercizio n.1 (3) Sia z Z. Per il punto (1), 2 z(z + 1) e quindi 2 z(z + 1)(z + 2). Inoltre, per il punto (2), 3 z(z + 1)(z + 2). Quindi, esistono q 1, q 2 Z tali che z(z + 1)(z + 2) = 2q 1 = 3q 2. Ne segue che q 2 = 2(q 1 q 2 ) e Pertanto 6 divide z(z + 1)(z + 2). z(z + 1)(z + 2) = 3q 2 = 3 2(q 1 q 2 ). Esercizio n.2 (1) Sia z un numero intero dispari. Allora esiste k Z tale che z = 2k + 1. Ne segue che z 2 1 = (z 1)(z + 1) = 2k(2k + 2) = 4k(k + 1). Poichè 2 k(k + 1), esiste q Z tale che k(k + 1) = 2q e quindi z 2 1 = 8q. Pertanto 8 divide z 2 1. (2) Procediamo per induzione su n. Per ogni n N 0, poniamo P(n) : 3 4 n + 2. I. Vale che 3 3 e 3 = Quindi è vera P(0). II. Sia k N 0 tale che 3 4 k + 2. Allora 4 k = 4 4 k + 2 = (3 + 1)4 k + 2 = 3 4 k + 4 k
20 Ora, k e, per l ipotesi induttiva, 3 4 k + 2. Ne segue, per I.2.2, che k + 4 k + 2. Pertanto vale P(k + 1). Un altra dimostrazione. Sia n N 0. Vale che n ( ) n 4 n + 2 = (1 + 3) n + 2 = 1 n k 3 k + 2 = 1 + k k=0 ( n ( ) n = )3 k 1. k k=1 Pertanto 3 divide 4 n + 2. Procediamo per induzione su n. Per ogni n N 0, poniamo P n : 4 ( 1) n (2n + 1) 1. I. Vale che 4 0 e cioè 4 ( 1) 0 ( ) 1. Quindi è vera P 0. II. Sia k N 0 tale che 4 ( 1) k (2k + 1) 1. Allora n k=1 ( 1) k+1 (2(k + 1) + 1) 1 = [( 1) k (2k )] 1 = [( 1) k (2k + 1) + ( 1) k 2] 1 ( ) n 3 k + 2 k = [( 1) k (2k + 1) ( 1) k 2] 1 = [( 1) k (2k + 1) 1] 1 + ( 1) k 2 1 Ora, ( 1) k 2 1 perché quest ultimo assume valore 0 o 4. Inoltre, per l ipotesi induttiva, 4 ( 1) k (2k + 1) 1. Ne segue, per I.2.2, che 4 ( 1) k+1 (2(k + 1) + 1) 1. Pertanto vale P k+1. Dimostrazione di una studentessa. Sia n N 0. Allora, 4 n + 2 = 4 n = (4 n 1) + 3 = ((2 n ) 2 1) + 3 = (2 n 1)(2 n + 1) + 3. Dall Esercizio 1(2) vale che 3 (2 n 1)(2 n )(2 n + 1). Quindi, per il Lemma di Euclide, 3 2 n o 3 (2 n 1)(2 n + 1). Chiaramente 3 2 n e quindi 3 (2 n 1)(2 n + 1). Ne segue che esiste q Z tale che (2 n 1)(2 n + 1) = 3q da cui si ottiene che 4 n + 2 = 3q + 3 = 3(q + 1). 18
21 Pertanto 3 4 n + 2. (3) Procediamo per induzione su n. Per ogni n N 0, poniamo P n : 4 ( 1) n (2n + 1) 1. I. Vale che 4 0 e cioè 4 ( 1) 0 ( ) 1. Quindi è vera P 0. II. Sia k N 0 tale che 4 ( 1) k (2k + 1) 1. Allora ( 1) k+1 (2(k + 1) + 1) 1 = [( 1) k (2k )] 1 = [( 1) k (2k + 1) + ( 1) k 2] 1 = [( 1) k (2k + 1) ( 1) k 2] 1 = [( 1) k (2k + 1) 1] 1 + ( 1) k 2 1 Ora, ( 1) k 2 1 perché quest ultimo assume valore 0 o 4. Inoltre, per l ipotesi induttiva, 4 ( 1) k (2k + 1) 1. Ne segue, per II.2.1, che 4 ( 1) k+1 (2(k + 1) + 1) 1. Pertanto vale P k+1. Esercizio n.3 (4) Poniamo d := mcd(a, b) e proviamo che c d = mcd(ca, cb). Evidentemente c d N 0. Inoltre, poiché d a e d b, si ha che c d ca e c d cb. Infine, sia v Z tale che v ca e v cb. Quindi v c a e v c b. È noto che esistono x, y Z tali che d = ax + by. Quindi c d = c ax + c by. Ne segue che v c d. Pertanto c d = mcd(ca, cb). Esercizio n.4 Siano a, b Z e poniamo d := mcd(ab, a + b). Allora, siccome d a + b si ha che d a 2 + ab. Ora, poiché per ipotesi d ab, si ottiene che d a 2. Analogamente si prova che d b 2 e pertanto d mcd(a 2, b 2 ). Esercizio n.6 (1) Sia z Z e poniamo d := mcd(z, z + 2). Allora d z e d z + 2. Ne segue che d 2 e quindi d {1, 2}. Ora, se z dispari, allora d 2, in quanto d z. Pertanto d = 1. Se z è pari, 2 z e 2 z + 2. Ne segue che 2 mcd(z, z + 2), cioè 2 d. 19
22 Pertanto d = 2. (2) Sia z Z e poniamo d := mcd(z + 2, 2z). Allora d z + 2 e d 2z. Ne segue che d 2(z + 2) 2z, cioè d 4. Pertanto d {1, 2, 4}, in quanto d N 0. (3) Siano a, b Z tali che mcd(a, b) = 2. Allora esistono u, v Z tali che 2 = au+bv. Ne segue che 4 = a 2 u 2 +b 2 v 2 +2abuv. Ora, posto d := mcd(ab, a+b), si ha che d a 2 e d b 2, come nell Esercizio 4. Ne segue, per I.2.2, che d 4. Inoltre, poiché 2 a e 2 b, per I.2.2, 2 ab e 2 a + b. Quindi 2 d e così d 1. Pertanto d {2, 4}. ESERCIZI PROPOSTI Esercizio 7. (1) Per ogni a Z e per ogni n N, dimostrare che a 1 a n 1. (2) Per ogni a Z e per ogni numero naturale dispari n, dimostrare che a + 1 a n + 1. (3) Per ogni a Z e per ogni m, n N, dimostrare che m n = a m 1 a n 1. Esercizio 8. (Prova scritta del 26 giugno 2015) Dimostrare che, per ogni a Z, valgono: (1) mcd(a 1, 2a + 1) {1, 3}, (2) mcd(a 2 1, 2a + 1) {1, 3}. Esercizio 9. (Prova scritta del 20 luglio 2015) Dimostrare che, per ogni a Z, valgono: (1) mcd(2a 1, 2a + 1) = 1, (2) mcd(3a 1, 3a + 1) = 1 a è pari. 20
23 Foglio 2A Esercizio n.1 Supponiamo dapprima che b 1 = 0 oppure b 2 = 0. Allora m = 0 è un multiplo comune di b 1 e b 2 e chiaramente vale (1.1). Vale banalmente anche (1.2). Proviamo l unicità. Sia m N 0 tale che b 1 m e b 2 m e soddisfi (1.1) e (1.2). Allora da 0 m si ottiene che m = 0. Supponiamo ora b 1, b 2 0 e poniamo X := { x x Z, b 1 x, b 2 x }. Poiché b 1, b 2 Z \ {0}, b 1 b 2 0 e quindi X {0}. Segue che M := { x x X, x > 0 }. Sia m := minm. Proviamo che m = mcm(b 1, b 2 ). Poiché m X, la condizione (1.1) è verificata. Sia ora n Z tale che b 1 n e b 2 n e dimostriamo che m n. Allora, per la proprietà euclidea degli interi, esistono q Z e r N 0 tali che n = mq + r con 0 r < m. Da b 1 m e b 1 n, per (2.1) si ottiene che b 1 n mq ossia b 1 r. Analogamente si ottiene che b 2 r. Ne segue che r X e quindi, per la minimalità di m si deve avere che r = 0. Ne segue che n = mq e quindi la (1.2) è verificata. Dimostriamo ora l unicità di m. Sia m un multiplo comune di b 1 e b 2 tale che soddisfi (1.1) e (1.2). Quindi, da (1.2) applicata a m si ottiene che m m e da (1.2) applicata a m si ottiene che m m. Pertanto m = m. Esercizio n.2 Poniamo a := mcd(b 1, b 2 ). Poiché a b 1 b 2, esiste q N tale che b 1 b 2 = aq. Dimostriamo che q = mcm(b 1, b 2 ). Poiché a b 1 e q b 2, esistono q 1, q 2 Z tali che b 1 = aq 1 e b 2 = aq 2. Allora aq = b 1 b 2 = aq 1 b 2 e quindi a(q q 1 b 2 ) = 0. Poiché a 0, q = q 1 b 2 e quindi b 2 q. Analogamente si ottiene che q = q 2 b 1 e quindi b 1 q. Sia ora n N tale che b 1 n e b 2 n. Allora esistono k 1, k 2 Z tali che n = b 1 k 1 e n = b 2 k 2. Ne segue che aq 1 k 1 = b 1 k 1 = n = b 2 k 2 = aq 2 k 2 e quindi q 1 k 1 = q 2 k 2, da cui si ottiene che q 1 q 2 k 2. Osserviamo che mcd(q 1, q 2 ) = 1. 21
24 Di conseguenza, per 3.5(1), q 1 k 2. Allora esiste k N tale che k 2 = q 1 k da cui segue che an = ab 2 k 2 = ab 2 q 1 k = (aq 1 )b 2 k = b 1 b 2 k = aqk. Pertanto n = qk e quindi q n. Esercizio n.3 (3) Il resto della divisione di con 7 è 6. Infatti, per il piccolo teorema di Fermat si ha che e quindi (5 6 ) Inoltre, e quindi = 20. Dato che , per la proprietà transitiva di 7 segue che Pertanto = (5 6 ) (5) Per il piccolo teorema di Fermat vale che e quindi ( ) Poiché , risulta che Dato che , si ha che Segue che e, dato che , vale che Pertanto = ( ) Esercizio n.5 (5) Se n è dispari, allora esiste k N tale che n = 2k + 1. Ne segue che 4 2k+1 = (4 2 ) k e che 11 2k+1 = (11 2 ) k Pertanto 4 n +11 n 15 0 e così 15 4 n + 11 n. Viceversa, assumiamo che 15 4 n + 11 n, cioè 4 n + 11 n Supponiamo per assurdo che n sia pari. Allora esiste k N tale che n = 2k. Ne segue che 4 2k k 15 2, avendo così , che è evidentemente una contraddizione. Pertanto n è dispari. Esercizio n.6 Sia n N. Se n è pari, allora esiste k N tale che n = 2k. Ne segue che 10 2k = 100 k 11 1, poiché Se n è dispari, allora esiste k N tale che n = 2k + 1. Ne segue che 10 2k+1 = 100 k , poiché 100 k 11 1 e
25 Esercizio n.7 Sia z Z. Dimostriamo dapprima che 3 z 12 z 2. Per il piccolo teorema di Fermat segue che z 3 3 z. Per la compatibilità di 3 rispetto al prodotto segue che z 4 3 z 2 e quindi z 12 = (z 3 ) 4 3 z 4. Di conseguenza, per la proprietà transitiva di 3, segue che z 12 3 z 2. Pertanto 3 z 12 z 2. Dimostriamo ora che 11 z 12 z 2. Per il piccolo teorema di Fermat segue che z z. Ne segue che z 12 = z 11 z 11 z 2. Pertanto 11 z 12 z 2. Esercizio n.8 Supponiamo dapprima che 7 z e dimostriamo che 4a 7 b. Osserviamo che 6(10a + b) 7 0 ossia 60a + 6b 7 0. Poiché e 6a 7 1, vale che 4a b 7 0 e quindi 4a 7 b. Viceversa, supponiamo 4a 7 b. Allora, dato che b 7 6b, vale che 4a + 6b 7 0. Ne segue che 6(4a + 6b) 7 0 e quindi 24a + 36b 7 0. Poiché e , risulta che z = 10a + b 7 0. Pertanto 7 z. Dimostrazione di una studentessa Supponiamo dapprima che 7 z e dimostriamo che 4a 7 b. Dato che chiaramente 7 14a, per (2.1) vale che 7 (10a + b) + 14a ossia 7 4a b. Pertanto 4a 7 b. Supponiamo ora che 4a 7 b. Allora 7 4a b. Per (2.1) vale che 7 14a (4a b) ossia 7 10a + b. Pertanto 7 z. ESERCIZI PROPOSTI Esercizio 10. Siano a, n, m N. Dimostrare che (1) a n 1 = (a 1)(a n 1 + a n a + 1), (2) se m n, allora a m 1 divide a n 1, (3) se 2 n 1 P, allora n P, (4) se a n 1 P e n > 1, allora a = 2 e n P. 23
26 NOTA: Per ogni n N, i numeri M n := 2 n 1 sono noti come i numeri di Mersenne. Il numero di Mersenne è il più grande numero primo noto. Tale numero ha oltre 22 milioni di cifre. Esercizio 11. (1) Senza utilizzare il teorema di Euclide dimostrare che esistono infiniti numeri primi dispari. (2) Dimostrare che esistono infiniti numeri primi nell insieme { 3k + 2 k N 0 }. (3) Dimostrare che esistono infiniti numeri primi nell insieme { 4k + 1 k N }. Esercizio 12. Sia p un numero primo. Dimostrare che, per ogni z Z, valgono (1) mcd(pz, p + z) {1, p, p 2 } (2) se mcd(p, z) = 1, allora mcd(pz, p + z) = 1. 24
27 Foglio 3A Teorema 1. (Teorema cinese del resto) Siano m 1, m 2, m n numeri naturali maggiori di 1 a due a due coprimi e siano a 1, a 2, a n Z. Allora il sistema di congruenze x m1 a 1 x m2 a x mn a n ha soluzioni. Dimostrazione Sia M := m 1 m 2 m n e poniamo M i := M m i. Allora, dall ipotesi e dalla Proposizione 1 (Foglio 3 Esercizi) esiste una soluzione dell equazione congruenziale M i y mi 1 e la indichiamo con y i. Pertanto, una soluzione x del sistema di equazioni congruenziali è data da x = a 1 M 1 y 1 + a 2 M 2 y a n M n y n. (Si lascia per esercizio la verifica che x sia una soluzione del sistema). Esercizio n.5 Seguiamo l istruttiva dimostrazione del Teorema cinese del resto per trovare una soluzione del sistema. Il mcd(3, 4) = mcd(4, 5) = mcd(3, 5) = 1, pertanto il sistema ammette soluzioni. Quindi M = = 60 e siano M 1 = 20, M 2 = 15 ed M 3 = 12. Allora, l equazione 20y 3 1 ammette soluzione. Dalla Proposizione 1 (Foglio 3 Esercizi), una soluzione dell equazione è y 1 = 1. Analogamente troviamo una soluzione delle equazioni 15y 4 1 e 12y 5 1. Siano rispettivamente y 2 = 1 e y 3 = 2 una soluzione delle equazioni. Allora x = 2 20 ( 1) ( 1) ( 2) = 187 è una soluzione del sistema di equazioni congruenziali. 25
28 ESERCIZI PROPOSTI Esercizio 13. (1) Determinare un intero x tale che 259x (2) Determinare un intero x tale che 73x (3) Determinare un intero x tale che { x 5 2 x 7 18 Esercizio 14. Determinare un intero x tale che x 3 2 x 5 3 x 7 2 Esercizio 15. Determinare un intero x tale che { x 4 1 3x 5 2 Esercizio 16. Determinare, se esiste, un intero x tale che x 4 3 5x 3 4 6x 7 1 Esercizio 17. Determinare tutte le soluzioni del sistema di congruenze x 9 3 x 8 5 x
29 Foglio 4A Esercizio n.4 Sia f : M Q (a, u) { a u+1 se u 1 0 se u = 1 Siano (a, u), (b, v) M si ha se u 1 e v 1 Se u = 1 e v 1 si ha (a, u) f (b, v) u + 1 = v + 1 a b a(v + 1) = b(u + 1) (a, u) (b, v) (a, 1) f (b, v) 0 = v + 1 v = 1 b v + 1 = 0 a(v + 1) = 0 a(v + 1) = b( 1 + 1) (a, 1) (b, v) Analogamente per u 1 e v = 1. Banalmente per u = v = 1. f è un omomorfismo. Infatti, siano (a, u), (b, v) M: se u 1 e v 1, allora ((a, u) (b, v))f = (ab, u + v + uv)f ab = u + v + uv + 1 ab = (u + 1)(v + 1) = a u + 1 b = (a, u)f (b, v)f v + 1 se u = 1 e v 1,allora ((a, 1) (b, v))f = (ab, 1 + v v)f = 0 = 0 (b, v)f = (a, 1)f (b, v)f 27
30 Analogamente per u 1 e v = 1. Banalmente per u = v = 1. Sia q Q. Allora esistono y N, x Z tali che q = x. y Allora (y, x 1) M e (y, x 1)f = x 1++1 = x = q. y y Pertanto f è suriettiva. Dal teorema di omomorfismo per strutture, f = è una congruenza ed (M/, ) = (Q, ). ESERCIZI PROPOSTI Esercizio 18. Sia k Z. Definiamo la seguente operazione in Z ponendo, per ogni a, b Z, a b := a + b + k. Per ogni m Z, dimostrare che (1) m è una congruenza di (Z, ), (2) la struttura (Z/ m, ˆ ) è isomorfa a (Z/ m, ˆ+). Esercizio 19. Sia k Z. Definiamo la seguente operazione in Z ponendo, per ogni a, b Z, a b = ab + (a b 1)k, dove è l operazione in Z del precedente esercizio. Per ogni m Z, dimostrare che (1) m è congruenza di (Z, ), (2) la struttura (Z/ m, ˆ ) è isomorfa a (Z/ m,ˆ ). 28
31 Foglio 5A Esercizio n.6 Sia e l elemento neutro di G. Allora (ef)f = ef. Ne segue che e H. Ora, siano x, y H. Allora ((xy)f)f = ((xf)(yf))f = (xf)f (yf)f = (xf)(yf) = (xy)f. Ne segue che (xy) H. Inoltre risulta che x 1 f = (xf) 1 = ((xf)f) 1 = ((xf) 1 )f = (x 1 f)f e quindi x 1 H. Pertanto, per la caratterizzazione dei sottogruppi di un gruppo, H è un sottogruppo di G. Esercizio n.7 (2) Sia x G. Allora ((x 1 f)x)f = x 1 f 2 (xf) = x 1 xf = ((xf) 1 x) 1 = ((x 1 f)x) 1. Pertanto (x 1 f)x B. (3) Per ogni x G, vale che (x(xf))f = (xf)(xf 2 ) = (xf)x = x(xf), poiché G è abeliano. Ne segue che x(xf) A. Pertanto, dal punto (2), x 2 = xex = x(xf)(x 1 )fx AB. ESERCIZI PROPOSTI Esercizio 20. Sia (M, ) un monoide tale che a, b, c M a b = a c = b = c. Dimostrare che, se M è finito, allora (M, ) è un gruppo. 29
32 Esercizio 21. (Prova scritta del 27 novembre 2014). Provare che ciascuno degli insiemi { 1 + 2m } H = { 2 n n Z } e K = m, n Z 1 + 2n è un sottogruppo di (Q \ {0}, ). Esercizio 22. Dimostrare che l insieme {( ) a 0 G = a, b R, a 0} b 1 è un sottogruppo del gruppo GL(2, R) delle matrici quadrate invertibili di ordine 2 su R. 30
33 Foglio 6A Esercizio n.1 Osserviamo che C G (H). Infatti, indicato con e l elemento neutro di G, vale che eh = he per ogni h H e quindi e C G (H). Siano ora x, y C G (H) e sia h H. Allora, xh = hx e yh = hy e quindi xyh = xhy = hxy. Segue così che xy C G (H). Osserviamo poi che per ogni x C G (H), da xh = hx segue che hx 1 = x 1 h. Pertanto, per la caratterizzazione dei sottogruppi di un gruppo si ha che C G (H) G. (2) Siano g G e dimostriamo che g 1 C G (H)g C G (H). Sia allora x C G (H) e sia h H. Poiché per la normalità di H vale che ghg 1 H, abbiamo che (g 1 xg)h = g 1 xghe = g 1 xghg 1 g = g 1 x(ghg 1 )g = g 1 (ghg 1 )xg = ehg 1 xg = h(g 1 xg). Pertanto, (g 1 xg) C G (H) e quindi, per la caratterizzazione dei sottogruppi normali di un gruppo, si ha che C G (H) G. Esercizio n.2 (i) = (ii) Siano x, y G tali che xy H. Poiché per ipotesi H è normale, g 1 Hg H. In particolare, x 1 (xy)x H, cioè yx H. (ii) = (i) Proviamo che x 1 Hx H, per ogni x G (otteniamo la tesi per la caratterizzazione dei sottogruppi normali). Sia x G e sia h H. Allora x(x 1 h) = h H e quindi, per l ipotesi, x 1 hx H. Esercizio n.3 Proviamo che NH è un sottogruppo di G. NH. Sia x, y NH, allora esistono n 1, n 2 N e h 1, h 2 H tali che x = n 1 h 1 e y = n 2 h 2. Allora xy = (n 1 h 1 )(n 2 h 2 ) = n 1 (h 1 n 2 h 1 1 )h 1 h 2 ora, (h 1 n 2 h 1 1 ) N perchè N è normale, pertanto xy NH. Sia x NH, allora esistono n N ed h H tale che x = nh. Pertanto x 1 = h 1 n 1 = 31
34 (h 1 n 1 h)h 1 NH dalla normalità di N. Pertanto dallla caratterizzazione dei sottogruppi di un gruppo NH G e quindi in particolare è un gruppo. N H è un sottogruppo di G, in particolare è un sottogruppo di NH. Sia x NH, allora esistono n N ed h H tale che x = nh e sia a N H. Ne segue che x 1 ax = (nh) 1 a(nh) = h 1 n 1 anh = h 1 n 1 nah perché N è abeliani = h 1 ah H perché a H Inoltre x 1 ax = (nh) 1 a(nh) = h 1 n 1 anh perchè a N ed N è normale Quindi x 1 ax H N, dalla caratterizzazione dei sottogruppi normali segue che (N H) NH. Esercizio n.4 (cenni) (1) Considerare l applicazione f : G Q Q, ( a b 0 d ) (a, b) e dimostrare che f è un epimorfismo tale che ker f = N. (2) Considerare la funzione ( ) 1 b α : N Q, b 0 1 e dimostrare che α è un isomorfismo. Esercizio n.5 (1) Vale che (0, 0) è l elemento neutro di G e, per ogni (a, b) G, (a, b) 1 = ( a, a 2 b). 32
35 (2), (3) Sia f : G Q, (a, b) a. Allora f è un omomorfismo da (G, ) in (Q, +). Infatti, per ogni a, b, c, d Q, si ha che ((a, b) (c, d))f = (a + c, ac + b + d)f = a + c = (a, b)f + (c, d)f Inoltre, f è suriettiva. Infatti, se a Q, allora (a, 0)f = a. Infine, proviamo che ker f = N. Per ogni a, b Q si ha che (a, b) ker f (a, b)f = 0 a = 0 (a, b) N. Per il teorema di omomorfismo dei gruppi, N è un sottogruppo normale di G e G/N è isomorfo a Q. Esercizio n.6 (1) Vale che (1, 0) è l elemento neutro di G e, per ogni (a, b) G, (a, b) 1 = (a 1, ba 1 ). (2), (3) Sia f : G R \ {0}, (a, b) a. Allora f è un omomorfismo da (G, ) in (R \ {0}, ). Infatti, per ogni a, b, c, d Q, si ha che ((a, b) (c, d))f = (ac, ad + b)f = ac = (a, b)f (c, d)f Inoltre, f è suriettiva. Infatti, se a R \ {0}, allora (a, 0)f = a. Infine, proviamo che ker f = N. Per ogni (a, b) G si ha che (a, b) ker f (a, b)f = 1 a = 1 (a, b) N. Per il teorema di omomorfismo dei gruppi, N è un sottogruppo normale di G e (G/N, ) è isomorfo a (R \ {0}, ). Esercizio n.7 (1) Sia e l elemento neutro di G. Allora (e, e) D e quindi D. Siano a, b G. Allora (a, a) 1 = (a 1, a 1 ), perché G G è il prodotto diretto di G con se stesso. Ne segue che (a, a) 1 (b, b) = (a 1, a 1 )(b, b) = (a 1 b, a 1 b) D Pertanto, per la caratterizzazione dei sottogruppi di un gruppo, D è un sottogruppo del prodotto diretto G G. 33
36 (2) Assumiamo che D G G. Allora, per ogni a, b G esiste g G tale che (a, b)(b, b) = (g, g)(a, b). Ne segue che ab = ga e bb = gb e quindi g = b e ab = ba. Pertanto G è abeliano. Ora, sia f : G G G, (a, b) ab 1 (per determinare f può essere utile esplicitare la relazione D relativa al sottogruppo normale D di G). Evidentemente, f è suriettiva. Infatti, se g G, allora (g, e)f = g. Inoltre, per ogni a, b, c, d G, si ha che ((a, b)(c, d))f = (ac, bd)f = ac(bd) 1 = acd 1 b 1 Infine, per ogni a, b G vale che = ab 1 cd 1 poiché G è abeliano = (a, b)f (c, d)f (a, b) ker f (a, b)f = e ab 1 = e a = b (a, b) D Ne segue che ker f = D. Pertanto, per il teorema di omomorfismo per i gruppi, (G G)/D = G. ESERCIZI PROPOSTI Esercizio 23. (Prova scritta del 19 gennaio 2015). Siano G ed H gruppi e f : G H un epimorfismo. Dimostrare che se N è un sottogruppo di H, allora N è un sottogruppo normale di H se e solo se f (N) è un sottogruppo normale di G. 34
37 Foglio 7A Esercizion n.2(cenni) (1) Provare con la caratterizzazione dei sottogruppi di un gruppo che H è un sottogruppo di G. Quindi, siano (a, b) G e (1, x) H, allora (a, b) 1 (1, x)(a, b) = (a 1, b)(1, x)(a, b) = (a 1, a 1 x b)(a, b) = (a 1 a, a 1 b + a 1 x b ) a = (1, a 1 b + x b 1 ) = (1, x) H Dalla caratterizzazione dei sottogruppi normali di un gruppo segue la tesi. (2) Analogamente a quanto visto in (1) si prova che K è un sottogruppo normale di H. Proviamo che K non è un sottogruppo normale di G. Dalla definizione di sottogruppo normale sappiamo che K è un sottogruppo normale se per ogni x G, x 1 Kx = K. Pertanto per provare che K non è un sottogruppo normale di G basta trovare un elemento di G per cui x 1 Kx = K non vale. Ad esempio, sia (2, 2) G e sia (1, 2) K, allora (2, 2) 1 (1, 2)(2, 2) = ( 1 2, 2)(1, 2)(2, 2) = (1 2, 1)(2, 2) = (1, 1 2 ) / K Esercizio n.4 (1) = Siano H, K G tali che H K G e sia H non contenuto in K. Proviamo che K H. Sia k K. Poiché H non è contenuto in K, esiste h 0 H tale che h 0 / K. Allora h 0 k H K, in quanto h 0, k H K e H K G. Ma h 0 k / K, altrimenti h 0 kk 1 K e avremmo h 0 K. Così h 0 k H e pertanto k = h 1 0 h 0 k H. = Supponiamo che H K. Allora H K = K e pertanto H K G. Analogamente se K H. (2) = Sia x HK. Poiché HK G, esistono h H e k K tale che x 1 = hk. Ne segue che x = (x 1 ) 1 = k 1 h 1 KH. Pertanto HK KH. Analogamente si prova che KH HK. = Innanzitutto l elemento neutro e di G appartiene a HK. Ne segue che HK. Ora, siano x, y HK. Allora esistono h 1, h 2 H e k 1, k 2 K 35
38 tali che x = h 1 k 1 e y = h 2 k 2. Inoltre, k 1 h 2 HK e quindi esistono h H e k K tali che k 1 h 2 = hk. Ne segue che xy = h 1 k 1 h 2 k 2 = h 1 hkk 2 HK, x 1 = (h 1 k 1 ) 1 = k 1 1 h 1 1 KH = HK. Pertanto, per la caratterizzazione dei sottogruppi di un gruppo, si ha la tesi. Esercizio n.5 Sia G un gruppo finito e siano x, y G tali che xy = yx. (1) Allora (xy) o(x) o(y) = (x o(x) ) o(y) (y o(y) ) o(x) poiché xy = yx = e o(y) e o(x) = e. Ne segue che o(xy) o(x)o(y). (2) Per (1) resta da dimostrare che o(x)o(y) o(xy). Poiché mcd(o(x), o(y)) = 1, esistono u, v Z tali che o(x)u + o(y)v = 1. Allora x o(y) = x o(y) y o(y) = (xy) o(y) < xy >. Ne segue che (x o(y) ) o(xy) = e. Quindi x o(xy) = x o(x)o(xy)u+o(y)o(xy)v = x o(x)o(xy)u x o(y)o(xy)v = (x o(x) ) o(xy)u (x o(y)o(xy) ) v = e Così o(x) o(xy). Analogamente o(y) o(xy). Pertanto o(x)o(y) o(xy), in quanto o(x) e o(y) sono primi tra loro. Esercizio n.6 Poichè G è abeliano < x >< y >=< y >< x >, allora dall esercizio 4 < x >< y > G. il numero di elementi di < x >< y > non supera o(x)o(y). Ma, dall esercizio 5, o(xy) = o(x)o(y). Pertanto < xy >=< x >< y >. Esercizio n.7 Siano G, H due gruppi finiti ed f : G H un omomorfismo. (1) Sia n := o(x). Allora (xf) n = (x n )f = ef = e. Pertanto o(xf) o(x) 36
39 (2) Proviamo che f è iniettiva. Siano x, y G tali che xf = yf. Allora (xy 1 )f = (xf)(y 1 f) = (xf)(yf) 1 = e Allora, dall ipotesi o(xy 1 ) = o((xy 1 )f) = o(e) = 1, pertanto xy 1 = e, cioè x = y. Esercizio n.8 Sia x G con x e. Consideriamo < x > il sottogruppo generato da x. Allora, per il teorema di Lagrange < x > G. Ma, dall ipotesi G = p. Pertanto < x > = p (non può essere uguale ad 1 perchè x e). Quindi < x >= G, cioè G è ciclico. Esercizio n.9 Siano m, n Z primi tra loro. Allora esistono x, y Z tali che mx + ny = 1. Posto b := a y si ha a = a 1 = a mx+ny = a mx a ny = e b n = b n. 37
40 Foglio 8A Esercizio n.1 (1) La permutazione è ψ = ( (2) Le orbite di ψ sono i seguenti sottoinsiemi di 7: (3) ψ = ( )(4 6) {1}, {2, 3, 5, 7}, {4, 6}. Esercizio n.2 (1) La permutazione ϕ è un ciclo perché l insieme {2, 3, 5, 7} è la sua orbita non banale. (2) ) ( ) ϕ 2 = ( ) ϕ 3 = Le orbite di ϕ 2 sono {1}, {2, 5}, {3, 7}, {4}, {6} e le orbite di ϕ 3 sono {1}, {2, 3, 5, 7}, {4}, {6}. (3) Con una verifica diretta si prova che ϕ 4 = id X. Esercizio n.3 (1) La permutazione ζ è un ciclo perché l insieme {1, 3, 4, 5, 7} è la sua orbita non banale. (2) ζ = ( ) = (1 5)(1 3)(1 4)(1 7), ζ 2 = ( ) = (1 3)(1 7)(1 5)(1 4), ζ 3 = ( ) = (1 4)(1 5)(1 7)(1 3), 38
41 ζ 4 = ( ) = (1 7)(1 4)(1 3)(1 5), ζ 5 = id X Inoltre, poiché ζ 5 = id X, la permutazione ζ n è uguale a ζ r, dove r è il resto della divisione di n per 5. Esercizio n.4 (1) π = (1 5 7)(3 6). (2) π = (1 7 5)(3 6). (Osserviamo che π = π 5 ). Esercizio n.5 (1) Le orbite di ψ sono {1, 3, 7}, {2, 5, 4} {6} {8} e ψ = (1 7 3)(2 5 4). (2) ψ 2 = (1 3)(1 7)(2 4)(2 5). (3) ψ = ψ 2 = (1 3 7)(2 4 5). (4) Sia τ = (6 8). Poiché la trasposizione τ è disgiunta da (1 7 3) e (2 5 4), si ha che τψ = (6 8)(1 7 3)(2 5 4) = (1 7 3)(2 5 4)(6 8) = ψτ Esercizio n.6 (1) Vale αβ = ( ) e βα = ( )) ed inoltre 1αβ 1βα e così αβ βα. (2) Sia τ = (4 5). Allora è un ciclo di lunghezza 7. ατβ = ( ) ALCUNI ESERCIZI PROPOSTI Esercizio 24. Siano ( α := ( β := ), ). 39
42 (1) Si scriva σ := αβ come prodotto di trasposizioni. (2) Se esiste una permutazione τ tale che στ = τσ = id 9, si scriva τ come prodotto di cicli disgiunti. Esercizio 25. (Prova scritta del ) Siano α := ( )(2 8 7)(1 3 4) e β := ( )(2 6 8)(1 3 4) elementi di S 8. (1) Mostrare che α e β hanno la stessa struttura ciclica. (2) Determinare τ S 8 tale che ατ = β 2. Esercizio 26. Sia α := ( ) (1) Scrivere α come prodotto di cicli disgiunti; (2) Determinare la struttura ciclica di α; (3) Si calcoli sgn(α). 40
1 Se X e Y sono equipotenti, Sym(X) e Sym(Y ) sono isomorfi
In ogni esercizio c è la data del giorno in cui l ho proposto. 1 Se X e Y sono equipotenti, Sym(X) e Sym(Y ) sono isomorfi Se X è un insieme indichiamo con Sym(X) l insieme delle biiezioni X X. Si tratta
DettagliProgramma di Algebra 1
Programma di Algebra 1 A. A. 2015/2016 Docenti: Alberto Canonaco e Gian Pietro Pirola Richiami su relazioni di equivalenza: definizione, classe di equivalenza di un elemento, insieme quoziente e proiezione
DettagliESERCIZI DI ALGEBRA 1 GRUPPI Permutazioni
ESERCIZI DI ALGEBRA 1 GRUPPI 8-1-2003 Permutazioni 1 Siano g = ( 1 5 2 6 )( 3 4 7 ) e h = ( 1 5 )( 2 3 7 6 ) due permutazioni su 7 elementi. Calcolare la permutazione h g 1. 2 Siano α = ( 2 3 ) e β = (
DettagliUniversità degli studi di Verona Corso di laurea in Informatica Prova scritta di Algebra 3 settembre 2002
Prova scritta di Algebra settembre 2002 1) Si consideri il sottoinsieme del gruppo Q \{0} dei numeri razionali non nulli rispetto alla moltiplicazione: { m X = n } m 0, n Si dimostri che X è un sottosemigruppo;
DettagliESERCIZI PROPOSTI. Capitolo 5 MCD(15,5) = 15 5 =3. un unico sottogruppo di ordine d, cioè x 20/d = C d. , x 20/10 = x 2 = C 10. , x 20/4 = x 5 = C 4
ESERCIZI PROPOSTI Capitolo 5 511 Determinare il periodo dell elemento x 320 del gruppo ciclico C 15 = x x 15 =1 Indicare tutti i generatori del sottogruppo x 320 Soluzione Dividiamo 320 per 15 Si ha 320
DettagliM.P. Cavaliere ELEMENTI DI MATEMATICA E LOGICA MATEMATICA DISCRETA STRUTTURE ALGEBRICHE
M.P. Cavaliere ELEMENTI DI MATEMATICA E LOGICA MATEMATICA DISCRETA STRUTTURE ALGEBRICHE Operazioni in un insieme Sia A un insieme non vuoto; una funzione f : A A A si dice operazione binaria (o semplicemente
DettagliTEORIA DEI NUMERI. 1. Numeri naturali, interi relativi e principi d induzione
TEORIA DEI NUMERI. Numeri naturali, interi relativi e principi d induzione Le proprietà dell insieme N = {0,, 2, } dei numeri naturali possono essere dedotte dai seguenti assiomi di Peano:. C è un applicazione
DettagliGli insiemi N, Z e Q. I numeri naturali
Università Roma Tre L. Chierchia 1 Gli insiemi N, Z e Q Il sistema dei numeri reali (R, +,, ) può essere definito tramite sedici assiomi: quindici assiomi algebrici (si veda ad esempio 2.3 in [Giusti,
DettagliAppunti su Z n. Alessandro Ghigi. 2 febbraio Operazioni 1. 2 Gruppi 4. 4 Permutazioni 12. Riferimenti bibliografici 19
Appunti su Z n Alessandro Ghigi 2 febbraio 2006 Indice 1 Operazioni 1 2 Gruppi 4 3 La somma su Z n 9 4 Permutazioni 12 5 Il prodotto su Z n 13 Riferimenti bibliografici 19 1 Operazioni Definizione 1 Una
DettagliMatematica Discreta e Logica Matematica ESERCIZI
Matematica Discreta e Logica Matematica ESERCIZI Proff. F. Bottacin e C. Delizia Esercizio 1. Scrivere la tavola di verità della seguente formula ben formata e determinare se essa è una tautologia: A ((A
DettagliALGEBRE DI BOOLE. (d) x, y X x y oppure y x.
ALGEBRE DI BOOLE Un insieme parzialmente ordinato è una coppia ordinata (X, ) dove X è un insieme non vuoto e " " è una relazione binaria definita su X tale che (a) x X x x (riflessività) (b) x, y, X se
DettagliA.A CORSO DI ALGEBRA 1. PROFF. P. PIAZZA, E. SPINELLI. SOLUZIONE ESERCIZI FOGLIO 5.
A.A. 2015-2016. CORSO DI ALGEBRA 1. PROFF. P. PIAZZA, E. SPINELLI. SOLUZIONE ESERCIZI FOGLIO 5. Esercizio 5.1. Determinare le ultime tre cifre di n = 13 1625. (Suggerimento. Sfruttare il Teorema di Eulero-Fermat)
DettagliDispense del corso di Algebra 1. Soluzioni di alcuni esercizi
Dispense del corso di Algebra 1 Soluzioni di alcuni esercizi Esercizio 1.1. 1) Vero; ) Falso; 3) V; 4) F; 5) F; 6) F (infatti: {x x Z,x < 1} {0}); 7) V. Esercizio 1.3. Se A B, allora ogni sottoinsieme
Dettagli4 0 = 4 2 = 4 4 = 4 6 = 0.
Elementi di Algebra e Logica 2008. Esercizi 4. Gruppi, anelli e campi. 1. Determinare la tabella additiva e la tabella moltiplicativa di Z 6. (a) Verificare dalla tabella moltiplicativa di Z 6 che esistono
DettagliRichiami e approfondimenti di Algebra per il Corso ALGEBRA COMPUTAZIONALE
Richiami e approfondimenti di Algebra per il Corso ALGEBRA COMPUTAZIONALE Università degli Studi di Verona Corso di Laurea in Matematica Applicata * * * Prof. Lidia Angeleri Anno accademico 2009-2010 Indice
DettagliSvolgimento del compitino di Algebra 2 del 17/11/2014 (Tema A). 1. (a) Provare che G/Z(G) è isomorfo a un sottogruppo del gruppo degli
Svolgimento del compitino di Algebra 2 del 17/11/2014 (Tema A). 1. (a) Provare che G/Z(G) è isomorfo a un sottogruppo del gruppo degli automorfismi di G. (b) Provare che se G/Z(G) è ciclico allora G è
Dettaglinota 1. Aritmetica sui numeri interi.
nota 1. Aritmetica sui numeri interi. Numeri interi. Numeri primi. L algoritmo di Euclide per il calcolo del mcd. Equazioni diofantee di primo grado. Congruenze. Il Teorema Cinese del Resto. 1 0. Numeri
Dettagli11. Misure con segno.
11. Misure con segno. 11.1. Misure con segno. Sia Ω un insieme non vuoto e sia A una σ-algebra in Ω. Definizione 11.1.1. (Misura con segno). Si chiama misura con segno su A ogni funzione ϕ : A R verificante
DettagliEsercizi di Algebra commutativa e omologica
Esercizi di Algebra commutativa e omologica Esercizio 1. Sia A un anello non nullo. Dimostrare che A è un campo se e solo se ogni omomorfismo di A in un anello non nullo B è iniettivo. Esercizio 2. Sia
DettagliEsercizi di Algebra 2, C.S. in Matematica, a.a
26 Esercizi di Algebra 2, C.S. in Matematica, a.a.2008-09. Parte V. Anelli Nota. Salvo contrario avviso il termine anello sta per anello commutativo con identità. Es. 154. Provare che per ogni intero n
Dettagli1 Proprietà elementari delle congruenze
1 Proprietà elementari delle congruenze Un altro metodo di approccio alla teoria della divisibilità in Z consiste nello studiare le proprietà aritmetiche del resto della divisione euclidea, o, come si
Dettagli1 Soluzione degli esercizi del capitolo 4
"Introduzione alla matematica discreta /ed" - M. G. Bianchi, A. Gillio degli esercizi del capitolo 4 Esercizio 4. (pag. 47) Sia X =,,3,4} e sia R la relazione su X così definita: R = (,),(,),(,),(,),(,4),(3,3),(4,)}.
DettagliNOTE DI ALGEBRA LINEARE v = a 1 v a n v n, w = b 1 v b n v n
NOTE DI ALGEBRA LINEARE 2- MM 9 NOVEMBRE 2 Combinazioni lineari e generatori Sia K un campo e V uno spazio vettoriale su K Siano v,, v n vettori in V Definizione Un vettore v V si dice combinazione lineare
DettagliAPPUNTI DI TEORIA DEGLI INSIEMI. L assioma della scelta e il lemma di Zorn Sia {A i } i I
APPUNTI DI TEORIA DEGLI INSIEMI MAURIZIO CORNALBA L assioma della scelta e il lemma di Zorn Sia {A i } i I un insieme di insiemi. Il prodotto i I A i è l insieme di tutte le applicazioni α : I i I A i
DettagliTutti i numeri qui considerati sono interi. Se si tratta in particolare di numeri Naturali (quindi non negativi) verrà specificato.
LICEO B. RUSSELL A.S. 2010/2011 DALLA TEORIA DEI NUMERI ALLE CONGRUENZE Tutti i numeri qui considerati sono interi. Se si tratta in particolare di numeri Naturali (quindi non negativi) verrà specificato.
Dettagliz =[a 4 a 3 a 2 a 1 a 0 ] 10
Esercizio 1. Sia z =[a 4 a 3 a 2 a 1 a 0 ] 10 un numero intero (la notazione significa che le cifre con cui rappresento z in base 10 sono a 4,..., a 0 {0, 1,..., 9}, ecioè z = a 4 10 4 + a 3 10 3 + a 2
Dettaglinota 1. Aritmetica sui numeri interi.
nota 1. Aritmetica sui numeri interi. Numeri interi. Numeri primi. L algoritmo di Euclide per il calcolo del mcd. Equazioni diofantee di primo grado. Congruenze. Il Teorema Cinese del Resto. 1 0. Numeri
DettagliPresentazione di gruppi
Presentazione di gruppi Sia G un gruppo e X un suo sottoinsieme non vuoto, indichiamo con Gp(X) = {x ɛ 1 1 x ɛ 2 2... x ɛ n n x i X, ɛ i = ±1} dove gli elementi di questo insieme sono da intendersi come
Dettagli1 Relazione di congruenza in Z
1 Relazione di congruenza in Z Diamo ora un esempio importante di relazione di equivalenza: la relazione di congruenza modn in Z. Definizione 1 Sia X = Z, a,b Z ed n un intero n > 1. Si dice a congruo
DettagliPOLINOMI. (p+q)(x) = p(x)+q(x) (p q)(x) = p(x) q(x) x K
POLINOMI 1. Funzioni polinomiali e polinomi Sono noti campi infiniti (es. il campo dei complessi C, quello dei reali R, quello dei razionali Q) e campi finiti (es. Z p la classe dei resti modp con p numero
DettagliProgramma del Corso di Matematica Discreta (Elementi) lettere P-Z anno accademico 2004/2005
Programma del Corso di Matematica Discreta (Elementi) lettere P-Z anno accademico 2004/2005 27 gennaio 2005 1. Logica 2. Insiemi e Funzioni 3. Numeri naturali 4. Numeri interi 5. Relazioni 6. Classi di
Dettagli3/10/ Divisibilità e massimo comun divisore
MCD in N e Polinomi 3/10/2013 1 Divisibilità e massimo comun divisore 1.1 Divisibilità in N In questa sezione introdurremo il concetto di divisibilità e di massimo comun divisore di due numeri naturali
DettagliAPPUNTI DI ALGEBRA PER IL CORSO DI ALGEBRA E GEOMETRIA
APPUNTI DI ALGEBRA PER IL CORSO DI ALGEBRA E GEOMETRIA LUCIA ALESSANDRINI 1. Numeri 1.1 I numeri naturali. Indichiamo con N l insieme dei numeri naturali: N := {0, 1, 2, 3,... }. Questi numeri, le operazioni
DettagliElementi di Algebra e di Matematica Discreta Numeri interi, divisibilità, numerazione in base n
Elementi di Algebra e di Matematica Discreta Numeri interi, divisibilità, numerazione in base n Cristina Turrini UNIMI - 2016/2017 Cristina Turrini (UNIMI - 2016/2017) Elementi di Algebra e di Matematica
DettagliGruppi CAPITOLO 4. Proposizione. Sia G un gruppo e siano a, b G; allora (ab) 1 = b 1 a 1. Dimostrazione. Abbiamo
CAPITOLO 4 Gruppi Il concetto di semigruppo introdotto nel capitolo precedente è, storicamente, successivo a quello di gruppo, che si è evoluto lentamente durante il diciannovesimo secolo ed ha avuto una
Dettagli623 = , 413 = , 210 = , 203 =
Elementi di Algebra e Logica 2008. 3. Aritmetica dei numeri interi. 1. Determinare tutti i numeri primi 100 p 120. Sol. :) :) :) 2. (i) Dimostrare che se n 2 non è primo, allora esiste un primo p che divide
Dettaglim = a k n k + + a 1 n + a 0 Tale scrittura si chiama rappresentazione del numero m in base n e si indica
G. Pareschi COMPLEMENTI ED ESEMPI SUI NUMERI INTERI. 1. Divisione con resto di numeri interi 1.1. Divisione con resto. Per evitare fraintendimenti nel caso in cui il numero a del Teorema 0.4 sia negativo,
DettagliProva scritta di Algebra 9 settembre x 5 mod 7 11x 1 mod 13 x 3 mod 9
Prova scritta di Algebra 9 settembre 2016 1. Si risolva il seguente sistema di congruenze lineari x 5 mod 7 11x 1 mod 13 x 3 mod 9 Si determini la sua minima soluzione positiva. 2. In S 9 sia α = (4, 9)(9,
DettagliPiccolo teorema di Fermat
Piccolo teorema di Fermat Proposizione Siano x, y Z, p N, p primo. Allora (x + y) p x p + y p (mod p). Piccolo teorema di Fermat Proposizione Siano x, y Z, p N, p primo. Allora (x + y) p x p + y p (mod
DettagliAlgebra Lineare ed Elementi di Geometria Corso di Laurea in Matematica Applicata MODULO 1
Algebra Lineare ed Elementi di Geometria Corso di Laurea in Matematica Applicata MODULO 1 Prof. Lidia Angeleri Anno accademico 2015-2016 1 1 appunti aggiornati in data 14 gennaio 2016 Indice I Gruppi 3
Dettagli1 Il Teorema della funzione implicita o del Dini
1 Il Teorema della funzione implicita o del Dini Ricordiamo che dato un punto x R n, un aperto A R n che contiene x si dice intorno (aperto) di x. Teorema 1.1. (I Teorema del Dini) Sia f : A (aperto) R
DettagliIntroduzione alla TEORIA DEI NUMERI
Renato Migliorato Introduzione alla teoria dei numeri Introduzione alla TEORIA DEI NUMERI Avvertenza: questo è l inizio di un testo pensato come supporto al corso di Matematiche Complementari I ed ancora
DettagliPREPARAZIONE ALLE GARE DI MATEMATICA - CORSO BASE
Liceo Scientifico Gullace PREPARAZIONE ALLE GARE DI MATEMATICA - CORSO BASE Aritmetica 014-15 1 Lezione 1 DIVISIBILITÀ, PRIMI E FATTORIZZAZIONE Definizioni DIVISIBILITÀ': dati due interi a e b, diciamo
DettagliDAI NUMERI NATURALI AI NUMERI RAZIONALI
DAI NUMERI NATURALI AI NUMERI RAZIONALI 1. L insieme dei numeri naturali Nel sistema assiomatico ZF, l Assioma dell infinito stabilisce che: Esiste un insieme A, i cui elementi sono insiemi e tale che
DettagliProva scritta di Algebra 4 Luglio Si risolva il seguente sistema di congruenze lineari x 2 mod 3 2x 1 mod 5 x 3 mod 2
Prova scritta di Algebra 4 Luglio 013 1. Si risolva il seguente sistema di congruenze lineari x mod 3 x 1 mod 5 x 3 mod. In S 9 sia α (1, 3(3, 5, 6(5, 3(4,, 7(, 1, 4, 7(8, 9 a Si scriva α come prodotto
DettagliLezione 7. Relazione di coniugio. Equazione delle classi. { x} C( x) { } { }
Lezione 7 Prerequisiti: Lezioni 2, 5. Centro di un gruppo. Struttura ciclica di una permutazione. Riferimenti ai testi: [H] Sezione 2.; [PC] Sezione 5. Relazione di coniugio. Equazione delle classi. Definizione
DettagliALGEBRA 1 Secondo esonero 15 Giugno 2011 soluzioni
ALGEBRA 1 Secondo esonero 15 Giugno 2011 soluzioni (1) Verificare che l anello quoziente Z 5 [x]/(x 3 2) possiede divisori dello zero, e determinare tutti i suoi ideali non banali. Soluzione: Il polinomio
Dettaglinota 2. Gruppi, anelli, campi. Gruppi. Anelli. Campi. Applicazioni: il test di primalità di Miller-Rabin.
nota 2. Gruppi, anelli, campi. Gruppi. Anelli. Campi. Applicazioni: il test di primalità di Miller-Rabin. 1 1. Gruppi. In questo paragrafo introduciamo i gruppi. Diamo diversi esempi importanti di gruppi
Dettaglip-gruppi di ordine piccolo
Alma Mater Studiorum Università di Bologna SCUOLA DI SCIENZE Corso di Laurea in Matematica p-gruppi di ordine piccolo Tesi di Laurea in Algebra Relatore: Chiar.ma Prof. Marta Morigi Correlatore: Chiar.mo
DettagliCONGRUENZE. proprietà delle congruenze: la congruenza è una relazione di equivalenza inoltre: Criteri di divisibilità
CONGRUENZE I) Definizione: due numeri naturali a e b si dicono congrui modulo un numero naturale p se hanno lo stesso resto nella divisione intera per p. Si scrive a b mod p oppure a b (p) proprietà delle
DettagliCAPITOLO 6. Polinomi. (f(0), f(1),..., f(n),... ).
CAPITOLO 6 Polinomi I polinomi compaiono già nella scuola media; tuttavia il modo in cui sono presentati è spesso lacunoso. Cercheremo in questo capitolo di fondare la teoria dei polinomi su basi più solide.
DettagliAlma Mater Studiorum. Il teorema di Lagrange e i suoi inversi parziali
Alma Mater Studiorum Università di Bologna FACOLTÀ DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI Corso di Laurea in Matematica Il teorema di Lagrange e i suoi inversi parziali Tesi di Laurea in Algebra Relatore:
DettagliCONGRUENZE. 2 La formula risulta vera anche per n+1. Per induzione è allora vera per ogni n.
CONGRUENZE 1. Cosa afferma il principio di induzione? Sia P(n) una proposizione definita per ogni n n 0 (n 0 =naturale) e siano dimostrate le seguenti proposizioni: a) P(n 0 ) è vera b) Se P(n) è vera
DettagliScomposizione di un numero primo come somma di due quadrati
Scomposizione di un numero primo come somma di due quadrati M. Alessandra De Angelis Relatore : Prof. Andrea Loi Università degli studi di Cagliari Corso di laurea triennale in Matematica 31 Marzo 2015
Dettagli3. Classi resto modulo un intero
3 Classi resto modulo un intero In questo paragrafo studieremo la struttura algebrica dell insieme quoziente Z /, dove n è n la relazione di congruenza modulo n, introdotta nella Def 4 del Cap 3 Ma prima
DettagliElementi di Algebra e di Matematica Discreta Strutture algebriche: anelli
Elementi di Algebra e di Matematica Discreta Strutture algebriche: anelli Cristina Turrini UNIMI - 2016/2017 Cristina Turrini (UNIMI - 2016/2017) Elementi di Algebra e di Matematica Discreta 1 / 29 index
DettagliUniversità Cattolica del Sacro Cuore. Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali
Università Cattolica del Sacro Cuore Sede di Brescia Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali CORSO DI ISTITUZIONI DI ALGEBRA SUPERIORE I prof. Clara Franchi Esercizi svolti raccolti da Elena
DettagliII Esonero di Matematica Discreta - a.a. 06/07. Versione B
II Esonero di Matematica Discreta - a.a. 06/07 1. Nell anello dei numeri interi Z: Versione B a. Determinare la scrittura posizionale in base 9 del numero che in base 10 si scrive) 5293 e la scrittura
DettagliPresentazioni di gruppi: generatori e relazioni
Presentazioni di gruppi: generatori e relazioni Note per il corso di Geometria 4 (relative alla parte dei 6 crediti) Milano, 2011-2012, M.Dedò N.B. Quanto segue si appoggia fortemente al testo [M] consigliato
DettagliRELAZIONI, FUNZIONI, INSIEMI NUMERICI. 1. Relazioni. Siano X e Y due insiemi non vuoti. Si definisce il prodotto cartesiano
RELAZIONI, FUNZIONI, INSIEMI NUMERICI C. FRANCHI 1. Relazioni Siano X e Y due insiemi non vuoti. Si definisce il prodotto cartesiano X Y := {(x, y) x X, y Y } dove con (x, y) si intende la coppia ordinata
DettagliGiovanna Carnovale. October 18, Divisibilità e massimo comun divisore
MCD in N e Polinomi Giovanna Carnovale October 18, 2011 1 Divisibilità e massimo comun divisore 1.1 Divisibilità in N In questa sezione introdurremo il concetto di divisibilità e di massimo comun divisore
DettagliTemi di Aritmetica Modulare
Temi di Aritmetica Modulare Incontri Olimpici 013 SALVATORE DAMANTINO I.S.I.S. MALIGNANI 000 - CERVIGNANO DEL FRIULI (UD) 15 Ottobre 013 1 Relazione di congruenza modulo un intero Definizione 1.1. Sia
DettagliIntroduciamo ora un altro campo, formato da un numero finito di elementi; il campo delle classi resto modulo n, con n numero primo.
Capitolo 3 Il campo Z n 31 Introduzione Introduciamo ora un altro campo, formato da un numero finito di elementi; il campo delle classi resto modulo n, con n numero primo 32 Le classi resto Definizione
DettagliPolinomi. Docente: Francesca Benanti. 16 Febbraio 2007
Polinomi Docente: Francesca Benanti 16 Febbraio 2007 1 L Anello dei Polinomi Lo studio dei polinomi in una indeterminata a coefficienti in un campo è posto immediatamente dopo lo studio degli interi poichè
Dettagli(b) le operazioni, sono distributive: (c) le operazioni, hanno un elemento neutro: cioè esistono O e I P(X) tali che A P(X) : A O = A, A I = A.
Elementi di Algebra e Logica 2008. 7. Algebre di Boole. 1. Sia X un insieme e sia P(X) l insieme delle parti di X. Indichiamo con, e rispettivamente le operazioni di intersezione, unione e complementare
DettagliNUMERI PRIMI E TEORMA FONDAMENTALE DELL ARITMETICA Definizione 1. Sia p Z, p ±1. Si dice che p è primo se
NUMERI PRIMI E TEORMA FONDAMENTALE DELL ARITMETICA Definizione 1. Sia p Z, p ±1. Si dice che p è primo se ( a, b Z) (p ab = (p a p b). Teorema 1. Sia p Z, p ±1. Allora p è primo se e solo se ( a, b Z)
DettagliPolinomi. 2 febbraio Docente: Francesca Benanti. L Anello dei Polinomi. Divisibilità in K[x] Scomposizione di... Prodotti Notevoli.
Polinomi Docente: Francesca Benanti 2 febbraio 2008 Page 1 of 25 1. L Anello dei Polinomi Lo studio dei polinomi in una indeterminata a coefficienti in un campo è posto immediatamente dopo lo studio degli
DettagliNome. Esercizio 2. Risolvere il seguente sistema di congruenze lineari:
Università degli Studi Roma Tre Corso di Laurea Triennale in Matematica, a.a. 2006/2007 AL1 - Algebra 1, fondamenti Seconda prova di valutazione intermedia 11 Gennaio 2006 Cognome Nome Numero di matricola
DettagliLa definizione di Ultrafiltro e la regolarità per partizioni
La definizione di Ultrafiltro e la regolarità per partizioni Lorenzo Lami Definizione 1 (Filtro). Dato un insieme X, si dice filtro su X una collezione F di sottoinsiemi di X tali che: X F; / F; A F, B
DettagliI teoremi della funzione inversa e della funzione implicita
I teoremi della funzione inversa e della funzione implicita Appunti per il corso di Analisi Matematica 4 G. Mauceri Indice 1 Il teorema della funzione inversa 1 Il teorema della funzione implicita 3 1
DettagliStudieremo le congruenze lineari, cioe le equazioni del tipo
Congruenze lineari 1. Oggetto di studio - Definizione 1. Studieremo le congruenze lineari, cioe le equazioni del tipo dove ax b (mod n) (1) n, il modulo della congruenza, e un intero positivo fissato x,
DettagliSCUOLA GALILEIANA DI STUDI SUPERIORI CLASSE DI SCIENZE NATURALI ESAME DI AMMISSIONE, PROVA DI MATEMATICA 13 SETTEMBRE 2011
1 SCUOLA GALILEIANA DI STUDI SUPERIORI CLASSE DI SCIENZE NATURALI ESAME DI AMMISSIONE, PROVA DI MATEMATICA 13 SETTEMBRE 011 Problema 1. Sia Z l insieme dei numeri interi. a) Sia F 100 l insieme delle funzioni
DettagliALGEBRA I: SOLUZIONI QUINTA ESERCITAZIONE 9 maggio 2011
ALGEBRA I: SOLUZIONI QUINTA ESERCITAZIONE 9 maggio 2011 Esercizio 1. Usando l algoritmo euclideo delle divisioni successive, calcolare massimo comune divisore e identità di Bézout per le seguenti coppie
DettagliLEZIONE 12. Y = f(x) = f( x j,1 f(e j ) = x j,1 A j = AX = µ A (X),
LEZIONE 1 1.1. Matrice di un applicazione lineare. Verifichiamo ora che ogni applicazione lineare f: R n R m è della forma µ A per un unica A R m,n. Definizione 1.1.1. Per ogni j 1,..., n indichiamo con
DettagliESAME DI ALGEBRA 3, 22/02/2017. COGNOME e Nome... MATRICOLA...
ESAME DI ALGEBRA 3, /0/017 COGNOME e Nome... MATRICOLA... Esercizio 1. Sia K il campo di spezzamento di (X 7 11)(X + 7) Q[X]. i. Mostrare che Q K è una estensione finita di Galois. Determinarne il grado.
DettagliCOMPLETAMENTO DI SPAZI METRICI
COMPLETAMENTO DI SPAZI METRICI 1. Successioni di Cauchy e spazi metrici completi Definizione 1.1. Una successione x n n N a valori in uno spazio metrico X, d si dice di Cauchy se, per ogni ε > 0 esiste
DettagliESERCIZI SU GRUPPI E POLINOMI (PARTE 1)
ESERCIZI SU GRUPPI E POLINOMI (PARTE 1 MARTINO GARONZI Indice 0.1. Prerequisiti 1 0.2. Notazioni particolari 2 1. Gruppi 3 1.1. Esercizi di struttura 3 1.2. Gruppi ciclici 29 1.3. Gruppi simmetrici e alterni
Dettaglii) la somma e il prodotto godano delle proprietà associativa, commutativa e distributiva;
1 Spazi vettoriali 11 Definizioni ed assiomi Definizione 11 Un campo è un insieme K dotato di una operazione somma K K K, (x, y) x + y e di una operazione prodotto K K K, (x, y) xy tali che i) la somma
Dettagli1 La corrispondenza di Galois
1 La corrispondenza di Galois Sia K un campo. Un automorfismo di K è un omomorfismo biiettivo α: K K. Ogni campo ha almeno un automorfismo, l identità. Indicheremo con Gal(K) l insieme di tutti gli automorfismi
Dettagli1 Campi di spezzamento
1 Campi di spezzamento In ogni sezione viene dato un polinomio P (X) a coefficienti interi e si discute il grado di un suo campo di spezzamento su Q e sui campi F 2, F 3, F 5. 1.1 X 4 + X 2 + 1 Trovare
DettagliEsercizi di Algebra Commutativa Moduli 1 Tracce delle soluzioni
Esercizi di Algebra Commutativa Moduli 1 Tracce delle soluzioni 1. Sia A un anello A 0. Provare che: A n A m m = n. Soluzione. Sia m A un ideale massimale. Sia m m = ma m e m n = ma n. Se ϕ : A m A n e
DettagliProgramma del Corso di Matematica Discreta (Elementi) anno accademico 2005/2006
Programma del Corso di Matematica Discreta (Elementi) lettere M-Z anno accademico 2005/2006 2 febbraio 2006 1. Logica 2. Insiemi e Funzioni 3. Numeri naturali 4. Numeri interi 5. Relazioni 6. Classi di
DettagliEsercizi e soluzioni relativi al Capitolo 10
Esercizi e soluzioni relativi al Capitolo 1 Esercizio 1.1 Sia (Mat 2 2 (R), +, ) l anello delle matrici quadrate di ordine 2 a coefficienti reali. [ Gli ] elementi unitari sono tutte e sole le matrici
DettagliCorso di Laurea in Matematica Geometria 2. Esercizi di preparazione allo scritto a.a Topologia
Corso di Laurea in Matematica Geometria 2 Esercizi di preparazione allo scritto a.a. 2015-16 Esercizio 1. Dimostrare che Topologia 1. d(x, y) = max 1 i n x i y i definisce una distanza su R n. 2. d(x,
DettagliRichiami e approfondimenti di Algebra per il Corso ALGEBRA COMPUTAZIONALE
Richiami e approfondimenti di Algebra per il Corso ALGEBRA COMPUTAZIONALE Università degli Studi di Verona Corso di Laurea in Matematica Applicata * * * Prof. Lidia Angeleri Anno accademico 2011/12 Indice
DettagliDIARIO DEL CORSO DI TEORIA DEI GRUPPI. Prima settimana. Lezione di mercoledí 27 febbraio 2013 (un ora)
DIARIO DEL CORSO DI TEORIA DEI GRUPPI SANDRO MATTAREI A.A. 2012/13 Prima settimana. Lezione di mercoledí 20 febbraio 2013 (un ora) Monoidi. Gli elementi invertibili di un monoide formano un gruppo. Esempi:
DettagliEsercizi per il corso di Algebra II Teoria dei Gruppi
Corso di Laurea in Matematica Esercizi per il corso di Algebra II Teoria dei Gruppi Per gli esercizi contrassegnati da una stella ( ), la soluzione, o almeno una risposta, si trova in fondo. 1 Operazioni,
DettagliSOLUZIONI ESERCIZI DI IGS. b 0 (mod 3) 1 + 2a + b 0 (mod 3)
SOLUZIONI ESERCIZI DI IGS 1. Il polinomio f(x) è irriducibile su Q per il criterio di Eisenstein (p = 3). 2. Sia f(x) = X 2 +ax +b Z 3 [X]. Poichè f(x) è di secondo grado, è irriducibile se e solo se non
DettagliLezione 3 - Teoria dei Numeri
Lezione 3 - Teoria dei Numeri Problema 1 Trovare il più piccolo multiplo di 15 formato dalle sole cifre 0 e 8 (in base 10). Il numero cercato dev'essere divisibile per 3 e per 5 quindi l'ultima cifra deve
DettagliALGEBRA 2 GRUPPI ALESSANDRO D ANDREA
ALGEBRA 2 GRUPPI ALESSANDRO D ANDREA INDICE 1. Prime proprietà dei gruppi 2 1.1. La nozione di gruppo 2 1.2. Sottogruppi 4 1.3. Congruenze modulo un sottogruppo e classi laterali 4 1.4. Il Teorema di Lagrange
DettagliINSIEMI E RELAZIONI. 1. Insiemi e operazioni su di essi
INSIEMI E RELAZIONI 1. Insiemi e operazioni su di essi Il concetto di insieme è primitivo ed è sinonimo di classe, totalità. Sia A un insieme di elementi qualunque. Per indicare che a è un elemento di
DettagliLaboratorio teorico-pratico per la preparazione alle gare di matematica
Laboratorio teorico-pratico per la preparazione alle gare di matematica Ercole Suppa Liceo Scientifico A. Einstein, Teramo e-mail: ercolesuppa@gmail.com Teramo, 10 dicembre 2014 USR Abruzzo - PLS 2014-2015,
DettagliI Naturali sono un semigruppo. Abbiamo visto che i naturali formano un semigruppo rispetto alla somma e rispetto al prodotto.
I Naturali sono un semigruppo Abbiamo visto che i naturali formano un semigruppo rispetto alla somma e rispetto al prodotto. Nella somma esiste elemento neutro a+0=a 1 Gli Interi Possiamo allargare l anello
Dettagli2 Algoritmo euclideo di divisione
2 Algoritmo euclideo di divisione In questo paragrafo intendiamo mostrare come alcune importanti proprietà dell aritmetica elementare di Z traggano origine dalla validità in N del Principio del Minimo
Dettagli02 - Logica delle dimostrazioni
Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia Dipartimento di Scienze Economiche, Aziendali e Statistiche Appunti del corso di Matematica 0 - Logica delle dimostrazioni Anno Accademico 015/016
Dettagli1 Principio di Induzione
1 Principio di Induzione Per numeri naturali, nel linguaggio comune, si intendono i numeri interi non negativi 0, 1,, 3, Da un punto di vista insiemistico costruttivo, a partire dall esistenza dell insieme
DettagliValutazioni discrete. Capitolo 7
Capitolo 7 Valutazioni discrete Definizione 7.1. Una valutazione si dice discreta se il suo gruppo di valori è un gruppo ciclico infinito (cioè, isomorfo a (Z,+)). Una valutazione discreta si dice normalizzata
DettagliLo stesso procedimento ci permette di trovare due interi x, y tali che M.C.D. = ax + by. Ma quando esistono x, y soluzioni dell equazione diofantea
1. Massimo comun divisore tra due interi; soluzione di alcune equazioni diofantee Definizione Siano a, b Z non entrambi nulli; si dice che d Z è un Massimo Comun Divisore tra a e b se sono verificate le
DettagliM.P. Cavaliere ELEMENTI DI MATEMATICA E LOGICA MATEMATICA DISCRETA INSIEMI
M.P. Cavaliere ELEMENTI DI MATEMATICA E LOGICA MATEMATICA DISCRETA INSIEMI Assumiamo come primitivo il concetto di insieme e quello di appartenenza di un elemento a un insieme. La notazione x A indica
DettagliC.L. Informatica, M-Z Bari, 12 Gennaio 2016 Traccia: 1
Bari, 2 Gennaio 206 Traccia: Esercizio. Scrivere la definizione di funzione suriettiva. Dimostrare che la composizione di due funzioni suriettive è una funzione suriettiva. Esercizio 2. () Stabilire se
Dettagli