Analisi della risposta dinamica

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1 Analisi della risposta dinamica Risposta dinamica del trasduttore: descrive, in termini di un modello matematico basato su equazioni differenziali alle derivate parziali, le relazioni, basate su opportune leggi fisiche, tra il misurando x(t) e l'uscita y(t). x(t) y(t)=f(x(t)) Caso lineare Sensore La risposta del sistema si valuta attraverso lo studio della funzione di trasferimento ingresso-uscita del sistema trasduttore. Modello matematico lineare attraverso equazioni differenziali Trattazioni semplificate Modelli a parametri concentrati Analogie tra sistemi fisici Page 1

2 Risposta dinamica La relazione tra uscita e misurando (modello descrittivo del sensore) può essere espressa da un equazione differenziale nella sola variabile tempo Ipotesi: lineare a coefficienti costanti. Ordine dell'equazione = ordine del sensore stesso cui si riferisce; Parliamo infatti di elementi sensibili del primo ordine, del secondo ordine e di ordine superiore. Soluzione = risposta temporale del sensore al segnale in ingresso. Complessa per ordini superiori al secondo Equazione differenziale lineare del 2 o ordine Page 2

3 Calcolo Risposta dinamica Metodo della trasformata di Laplace Sostituzione delle equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti con equazioni algebriche (la cui soluzione è più agevole) Determinazione della risposta temporale del sensore Implementazione del modello descrittivo in termini di equazioni differenziali a coefficienti costanti che legano il misurando all'uscita e che contengono i parametri del sensore stesso Effettuare la trasformazione di Laplace sulle equazioni differenziali temporali ottenendo delle equazioni algebriche nella variabile s Risolvere le equazioni algebriche in s Effettuare la trasformazione inversa di Laplace per ottenere la risposta temporale del sensore La Funzione di Trasferimento F(s) di un sistema lineare è definita come il rapporto fra la trasformata di Laplace della variabile di uscita e quella della variabile in ingresso Page 3

4 Trasformate e anti-trasformate di Laplace Page 4

5 Risposta in frequenza s è un variabile complessa la cui parte immaginaria è costituita dalla frequenza angolare del segnale in ingresso (pulsazione ω) Risposta a segnali di ingresso sinusoidali (risposta in frequenza) Risposta a sinusoidi di ampiezza unitaria con pulsazione angolare ω ( frequenza f=2π/ω ) Utilizzo delle s-trasformate e sostituzione di s=jω Nota la risposta in frequenza è possibile conoscere la risposta a qualsiasi segnale in ingresso di natura periodico Page 5 Fourier: un qualsiasi segnale periodico può essere scomposto in una serie di sinusoidi di frequenze diverse Diagrammi di Bode rappresentazione grafica della risposta in frequenza di un sistema lineare tempo invariante (LTI) e che consiste in due grafici che rappresentano rispettivamente l'ampiezza (A o /A i ) e la fase della funzione complessa di risposta in frequenza

6 Diagrammi di Bode Esempio: filtro di Butterworth primo ordine Frequenza di taglio (attenuazione 3dB): Banda passante V 0 V i = 1 2 Sfasamento di 90 gradi Page 6

7 Esempio: sistema massa-molla-smorzatore Nella prossima esercitazione andremo a studiare un caso di applicazione del metodo della Trasformata di Laplace a f (t) f e (t) f v (t)= m ẍ(t) Equilibrio forze f e (t)= k x(t) f v (t)= A ẋ(t) f (t)= m ẍ(t)+ a ẋ( t)+ k x(t) ms 2 X ( s)+ asx ( s)+ kx ( s)= F ( s) Trasformata di Laplace X ( s)= F ( s) ms 2 + as+ k Page 7 X ( s)= F ( s) k m k s2 + a = k s+ 1 F ( s) k s 2 ω + 2 ζ s ω 0 Risoluzione diretta

8 Analisi della risposta dinamica Risposta dinamica del trasduttore: descrive, in termini di un modello matematico basato su equazioni differenziali alle derivate parziali, le relazioni, basate su opportune leggi fisiche, tra il misurando x(t) e l'uscita y(t). x(t) y(t)=f(x(t)) Caso lineare Sensore La risposta del sistema si valuta attraverso lo studio della funzione di trasferimento ingresso-uscita del sistema trasduttore. Modello matematico lineare attraverso equazioni differenziali Trattazioni semplificate Modelli a parametri concentrati Analogie tra sistemi fisici Page 8

9 Analogie nei sistemi fisici Nell ambito dello studio di sistemi fisici si presenta spesso il caso in cui due sistemi di natura diversa risultano essere descritti da equazioni formalmente identiche (Nota: utili per ottenere il modello descrittivo di un sensore/ trasduttore). analogia tra sistemi meccanici ed elettrici interpretazione dei fenomeni ele8rici, meno dire8amente intuibili, in termini di fenomeni meccanici Secolo scorso analogia tra sistemi elettrici e meccanici avvalersi di modelli ele8rici, per lo studio di sistemi meccanici (meno maneggevoli sia in costruzione sia in sperimentazione) Più recente Page 9

10 Analogie tra sistemi fisici Come è noto dalla teoria dei sistemi, è possibile istituire analogie tra sistemi elettrici, meccanici, idraulici, fluidodinamici, termici... Fattori della potenza: grandezze caratterizzate dalla proprietà per cui il loro prodotto rappresenta una potenza Esempio: correnti e tensioni nei sistemi elettrici, forza e velocità per i sistemi meccanici. Tra queste grandezze e tra i loro integrali è possibile scrivere relazioni che assumono significati analoghi al concetto elettrico di impedenza. I concetti della teoria classica delle reti di bipoli lineari saranno utilizzati come riferimento per introdurre e spiegare i concetti propri dei sistemi di natura diversa (e.g. Meccanici, fluidodinamici, termici). Questo punto di vista renderà quindi possibile studiare alcune delle proprietà notevoli legate alla struttura dei sistemi fisici prescindendo dalla natura delle variabili in gioco e riferendosi ad esse genericamente con i nomi di corrente, carica, tensione e così via. Page 10

11 Analogie tra sistemi fisici I fattori della potenza nella classe di sistemi studiati vengono associati al concetto di trans-variabile (in inglese acrossvariable o two-point variable) e per-variabile (in inglese through-variable o one-point variable) Trans-variabile: variabile il cui valore si misura "ai capi" Per-variabile: variabile il cui valore si misura su una "sezione'. nei sistemi elettrici è naturale identificare la trans-variabile con la tensione e la per-variabile con la corrente. Il prodotto trans-per dà effettivamente origine ad una potenza V(t)* I(t)= P(t) Page 11

12 ANALOGIE DI MAXWELL e FIRESTONE Maxwell Forze (f) e velocità (v) corrispondono rispehvamente a differenze di potenziale (e) e correnj (i). Forze (f) Tensioni (e) Velocità (v) Correnti (i) Firestone le forze (f) corrispondono alle correnj (i) e le velocità alle differenze di potenziale (e) Forze (f) Correnti (i) Velocità (v) Tensioni (e) Page 12

13 Analogie tra sistemi fisici Il rapporto della trans-variabile e della per-variabile nei sistemi elettrici assume il significato di resistenza Opportune relazioni integro-differenziali introducono i concetti di elemento reattivo: capacità e induttanza. Per omogeneità formale, è quindi consuetudine considerare, accanto alle variabili per- e trans- le grandezze integrali delle stesse. Grandezze intensive: per- e trans- variabile il cui prodotto dà una potenza Grandezze estensive: integrali delle per- e trans- delle variabili intensive. corrente Flusso magnetico carica Tensione Page 13

14 Analogie tra sistemi fisici Caso elettrico la per-variabile intensiva è la corrente la trans-variabile intensiva è la tensione la per-variabile estensiva è la carica la trans-variabile estensiva è il flusso di induzione magnetica da per-intensiva a trans-intensiva si passa moltiplicando per R (resistenza) da per-intensiva a trans-estensiva si passa moltiplicando per L (induttanza) da trans-intensiva a per-estensiva si passa moltiplicando per C (capacità) da estensiva ad intensiva si passa derivando (moltiplicando per s in Laplace). Page 14

15 Analogia elettromeccanica Sistemi elettrici Elementi dissipativi Elementi immagazzinatori di energia potenziale elastica (massa, molle) Simbolismo: F forza v velocità A il coefficiente di attrito, M la massa K il coefficiente di elasticità di una molla. Page 15 Resistori Elementi immagazzinatori di energia Energia elettromagnetica (induttori) Energia elettrostatica (condensatori) Sistemi meccanici Elementi dissipativi (pistone, attrito viscoso)

16 Analogie tra sistemi fisici Caso Meccanico È naturale considerare come variabili intensive la velocità e la forza, il cui prodotto dà una potenza meccanica. Non è univoca l'associazione trans/per a seconda dei metodi utilizzati Maxwell e Firestone, vediamo le caratteristiche nel dettaglio dei singoli metodi Page 16

17 Analogie tra sistemi fisici - Maxwell Analogia di Maxwell La velocità assume il significato di per-variabile intensiva (corrente) e la forza quello di trans-variabile intensiva (tensione). L'attrito gioca il ruolo della resistenza, in quanto costante di proporzionalità tra forza e velocità. (F=K*v) Le variabili estensive sono la posizione (integrale della velocità) e l'impulso della forza (integrale della forza, di dubbia interpretazione). Il passaggio da pervariabile estensiva e trans-variabile intensiva è dato dalla costante elastica. L'elasticità è l'analogo di un fenomeno capacitivo (lineare), mentre il passaggio da trans-variabile estensiva a per-variabile intensiva si ha attraverso la massa e quindi l'inerzia rappresenta l'analogo dei fenomeni induttivi (lineari) Metodo più intuitivo e diffuso Forze (f) Tensioni (e) Velocità (v) Correnti (i) Page 17

18 Analogie tra sistemi fisici - Firestone Analogia di Firestone La velocità assume il ruolo di trans-variabile intensiva e la forza quello di pervariabile intensiva. In questo caso l'attrito gioca il ruolo della conduttanza, mentre il significato di inerzia ed elasticità è scambiato. Il ragionamento che sta dietro questa metodologia è quello di conservare la topologia degli schemi nel passaggio da meccanico a elettrico Forze (f) Correnti (i) Velocità (v) Tensioni (e) Page 18

19 Leggi di Kirchhoff In un circuito la somma delle per-variabili intensive (I nel caso elettrico) che attraversano i rami entranti in un nodo è nulla (legge di Kirchhoff ai nodi). In un circuito la somma delle trans-variabili intensive (V nel caso elettrico) ai capi dei rami costituenti una maglia è nulla (legge di Kirchhoff alle maglie). In particolare, più elementi (bipoli) collegati in modo da essere interessati dalla stessa per-variabile intensiva (I) si diranno in serie, mentre più elementi collegati in modo da essere interessati dalla stessa trans-variabile intensiva (V) si diranno in parallelo. Si osservi che, scambiando il ruolo della per- e trans- variabile, si ottiene il cambio della topologia da serie a parallelo e viceversa. Esempio: due corde collegate ad una massa condividono la stessa velocità (stessa per-variabile intensiva) ma in linea di principio agiscono su di essa con forze differenti (trans-variabili intensive diverse): sono quindi in serie tra loro. Si osservi che se si utilizzasse l'analogia di Firestone, il sistema sarebbe in parallelo. Page 19

20 Analogie Elettrico-meccaniche Elem ento Mec c a nic o Elem ento Elettric o C orrispondente Sim b olo Nom e Equa zione Sim bolo Nom e Equa zione Nom e Equa zione Elem ento d i Attrito F= Av Nell a na logia di Maxwell Resistenza e= Ri Conduttanza i= G e Modelli a parametri concentrati Molla Ma ssa F= Mdv dt df= Kv dt In d u tta n za Capacità e= Ldi de= 1 dt C i Capacità In d u tta n za i= C d e dt di= 1 e dt L Scritti in termini di per/trans variabili intensive Page 20

21 Esempio: sistema catetere trasduttore di pressione Misure di pressione/portata di fluido Ambito cardiovascolare: pressione del sangue e flusso (portata volumetrica) all'interno dei vasi arteriosi Metodi non invasivi (meno precisi) Metodi minimamente invasivi basati sull'introduzione di cateteri Page 21

22 Esempio: sistema catetere trasduttore di pressione Cateteri Tubi lunghi (1.20 m) e flessibili che vengono inseriti attraverso vasi periferici e fatti risalire nelle zone più centrali dell'apparato cardiovascolare (Esempio: cavità cardiache e sistema coronarico). Realizzati con materiali biocompatibili. Prelievo di campioni di sangue, iniezione di sangue o di liquidi di contrasto, interventi terapeutici (Esempio: angioplastica) Cateteri strumentati sono utilizzati per misure a scopo diagnostico: pressione, flusso, saturazione di ossigeno, ph, gas disciolti... Misure di pressione/portata Microtrasduttore in punta o esterno idraulicamente connesso al sangue Modellazione della risposta dinamica: condiziona il progetto dell'intero sistema identificando i parametri sui quali il progettista può agire Page 22

23 Misura di pressione con trasduttore esterno Un catetere viene inserito in un arteria o in una vena. La pressione P presente all estremita del catetere agisce su una colonna di soluzione fisiologica; quest ultima, essendo incomprimibile, trasmette la pressione al trasduttore esterno (diaframma) Il diaframma, in questo caso detto trasduttore primario, è un elemento la cui deformazione dipende dalla pressione applicata La deformazione del diaframma viene misurata tramite un sensore esterno (e.g. ottico, trasformatore differenziale o altri) Vogliamo valutare gli effetti del design meccanico del sistema La domanda a cui si vuole rispondere: in che modo un segnale istantaneo di pressione influenza la conseguente deformazione del diaframma x? Idealmente vorremmo x=kp Page 23

24 Misura di pressione con trasduttore esterno Tre sottosistemi La cavità (lume) piena di liquido all'interno del catetere Il diaframma elastico (trasduttore primario) Il trasduttore di spostamento del centro del diaframma Numerosi parametri fisici che governano la risposta del sistema Il catetere e il fluido contenuto nel lume costituiscono un sistema distribuito di elementi infinitesimi tutti dotati di massa, deformabilità (il diaframma elastico, la parete del catetere) e di elementi dissipativi (viscoelasticità del catetere e viscosità del liquido, sia esso sangue o soluzione fisiologica). Ciò fa si che il sistema sia descrivibile, attraverso una analogia elettromeccanica, con lo stesso formalismo delle linee di trasmissione elettrica conducendo ad una forma propria della cosiddetta "equazione dei telegrafisti". Page 24

25 E' possibile fare delle approssimazioni e identificare nel sistema catetere alcuni parametri concentrati che ne riassumano il comportamento. Dal punto di vista fluidodinamico, infatti, il fluido che scorre all'interno di un catetere presenta un'inerzia idraulica, una resistenza e una deformabilità Page 25 Ci interessa conoscere la relazione tra pressione in ingresso (pressione sanguigna) e pressione misurata sul trasduttore primario (diaframma)

26 Misura di pressione con trasduttore esterno Parametri che influiscono: peso della colonna del fluido (inerzia idraulica), attriti viscosi (µ), lunghezza (L), sezione del tubo (πr2), deformabilita del diaframma Ipotesi: fluido Newtoniano, flusso laminare stazionario E possibile risolvere il problema attraverso un analogia elettrica che dipende da Resistenza idraulica (Rc) dovuta alla viscosita del fluido nel catetere (proporzionale alla lunghezza e all inverso della sezione) Ottenuta attraverso la formula di Poiseuille Inerzia idraulica (Lc) dovuta alla massa del liquido nel catetere (dipende dalla densita del liquido ρ e dal volume V del catetere) Deformabilita del sistema dovuta in gran parte al diaframma Cd Page 26

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28 Misura di pressione con trasduttore esterno Page 28

29 Misura di pressione Analogia Elettrica Analogia fluidodinamica/ elettrica: il sistema può essere rappresentato come un circuito elettrico RLC (sistema secondo ordine) p i (t) v i (t) pressione in ingresso (misurando non noto) p o (t) v o (t) pressione in uscita (variabile da stimare) Transvariabili intensive Page 29

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31 Misura di pressione Analogia Elettrica e) i(t) i(t) =C d dv o (t) dt trasduttore esterno v i (t) =v o (t)+r c i(t)+l c di(t) dt Page 31

32 Misura di pressione Analogia Elettrica Page 32 da cui si ricava la f " = diaframma). Impostando l equazione vi(t) = () LcCd + R! () ccd + vo(t) da cui si ricava la funzione caratteristica di trasfer dei si # H(s) = # # $ % & ' ( ' + $, )$* & )$ Confrontando l equ Frequenza di risonanza # 1 = ; ξ = 4 $5% & 3%.5 $ Sostituendo le espressi 1 = 6 7 './0 ' 0 è possibile ricavare ; ξ = Tali equazioni sono Fattore di smorzamento

33 Misura di pressione Analogia Elettrica esterno Sistema del secondo ordine: Diagramma di Bode del modulo! ωn=ω 0 db G j = 20log 1 2 n 2 2 n 2 ω>>ωn pendenza di -40 db per decade (azione del doppio polo)! ω ωn sovra-elongazioni in dipendenza di ζ! in particolare si ottiene sempre un massimo quando ζ<0.7! il massimo è alla frequenza ωp=ωn(1-2 ζ 2 ) 0.5! ζ= 0.7 passa-basso del secondo ordine con pulsazione di taglio ωn! Page 33

34 Misura di pressione Analogia Elettrica esterno n - arctg 0 = 0 = n 2 - arctg = n -180 Sistema del secondo ordine: diagramma di Bode della fase! ωn=ω 0 G j = - No distorsione di fase 2 arctg 1 n 2 2 n Page 34 Se ζ 0.7 e ω<<ωn il segnale pressorio passa invariato e è possibile seguire la variazione istantanea della pressione da misurare

35 Misura di pressione Analogia Elettrica In sintesi possiamo dire che: Il Sistema è del secondo ordine (Ordine dell'equazione = ordine del sensore ) Le risposte della funzione di trasferimento ci dicono che per ω << ω0 e per ζ = 0.7, il segnale pressorio passa inalterato ed è quindi possibile stimare le variazioni di pressione nel tempo. Visto che il segnale pressorio è legato alla pulsazione cardiaca (e.g 60 battiti al minuto 1Hz ωpc =6,28Hz quindi vorremmo avere almeno ω0 > 20Hz) Su quali parametri possiamo agire per far si che le frequenze di interesse siano all interno della banda passante? ρ, µ dipendono dal fluido (non modificabili) r,l non modificabili per vincoli anatomici L unico parametro rimasto è la deformabilita del diaframma. Per aumentare la frequenza di risonanza dovrei diminuire la deformabilita del diaframma, ma: Per spostamenti non superiori alla metà dello spessore, lo spostamento x del centro della membrana dipende linearmente dalla pressione applicata ridotta sensibilita del trasduttore In generale è difficile avere una riproduzione fedele dell onda pressoria Sono comunque molto usati in ambito clinico (catetere Swann-Ganz) Page 35

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