PREVISIONE DELLA VITA A TERMINE CON IL METODO DEL GRADIENTE IMPLICITO

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1 AIAS ASSOCIAZIONE ITALIANA PER L ANALISI DELLE SOLLECITAZIONI 42 CONVEGNO NAZIONALE, SETTEMBRE 2013, UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI SALERNO AIAS PREVISIONE DELLA VITA A TERMINE CON IL METODO DEL GRADIENTE IMPLICITO R. Tovo, P. Livieri, E. Salvati Università degli Studi di Ferrara - Dipartimento di Ingegneria, Via Saragat, 1, Ferrara, roberto.tovo@unife.it, paolo.livieri@unife.it, enrico.salvati@unife.it Sommario La memoria prende in considerazione il problema della valutazione della vita a termine in provini intagliati sollecitati a fatica. Con l ausilio del metodo del gradiente implicito si correggono le pendenze delle curve di Woehler a basso e medio numero di cicli. Il materiale è pensato a comportamento nonlineare ed i risultati numerici presentati in questo lavoro fanno riferimento ad analisi FEM eseguite su modelli tridimensionali. Il metodo viene applicato per analizzare la resistenza a fatica di nuove serie di dati sperimentali relativi a provini assialsimmetrici sollecitati con ciclo simmetrico o dallo zero. In termini di tensione efficace, ottenuta con il metodo del gradiente implicito, si riescono a prevedere le diverse curve di Woehler sia a basso che ad alto numero di cicli tenendo in considerazione le equazioni della fatica oligociclica. Abstract This work takes into account the fatigue life assessment for stresses greater than the fatigue limit. Material behaviour has been considered as non-linear and the numerical results shown in this paper are related to three-dimensional FEM analysis. By using the implicit gradient method, the slopes of the Wöhler curves at low- and medium-cycle fatigue life have been corrected. New experimental data, obtained with an axisymmetric notched specimen loaded with nominal stress ratio R=-1 and R=0, have been proposed. In terms of effective stress, obtained by means of the implicit gradient approach, the different Woehler curves of the notched specimens can be predicted by means of the classic equations of the strain-based approach to fatigue. Parole chiave: fatigue, implicit gradient, non-linear material, low cycle fatigue 1. INTRODUZIONE Il metodo del gradiente implicito si è dimostrato uno strumento molto versatile per quanto riguarda lo studio della vita a termine di strutture saldate ad alto e medio numero di cicli; indipendentemente dalla forma della saldatura e dallo spessore delle giunzioni l effetto gradiente può essere affrontato con la stessa metodologia definendo una tensione efficace, responsabile del danneggiamento a fatica [1-3]. Centinaia di dati sperimentali studiati con il metodo del gradiente hanno permesso di definire, per le saldature in acciaio, un unica banda di dispersione [1] caratterizzata da una pendenza pari a 3 ed un valore di riferimento a cicli pari a 151 MPa. Inoltre, come recentemente mostrato nel riferimento bibliografico [4], la tensione efficace, ottenuta con il metodo del gradiente implicito, è capace di interpretare la vita a fatica di giunti saldati per punti nell ordine del millimetro senza modificare l approccio proposto in [1]. La banda di dispersione appena citata è stata ottenuta ipotizzando un comportamento lineare elastico del materiale per sollecitazioni prevalentemente di modo I. Per quanto concerne lo studio della vita a termine, un approccio al problema di tipo lineare elastico, non è in grado

2 di esprimere in modo corretto la variazione di pendenza delle curve di Woehler al variare del raggio di raccordo [5-7]. Uno studio preliminare di tipo non lineare ha evidenziato come la tensione efficace massima subisca una diminuzione rispetto alla corrispondente tensione valutata con modello lineare elastico [8]. La vita a termine, su provini piani intagliati, è stata valutata in precedenza utilizzando il metodo del gradiente implicito con l approccio non lineare del materiale [9]. Le analisi elastoplastiche hanno messo in evidenza come la pendenza delle curve di Woehler, delle singole serie di provini intagliati, possa essere corretta ottenendo valori prossimi a quelli ottenuti per provini lisci per rapporti di sollecitazione R=-1. Anche la dispersione dei dati sperimentali, in termini di tensione efficace, è relativamente contenuta e confrontabile con quella delle singole serie. In questo lavoro vengono analizzati, con modelli non-lineari, nuove serie di dati sperimentali a fatica relative a provini assialsimmetrici. In primo luogo, sono state ottenute le curve di Woehler di sei nuove serie di provini sollecitati a fatica assiale. Successivamente, poiché il modello non-lineare dipende anche dalla legge costitutiva del materiale, sono state ricavate sperimentalmente tutte le informazioni necessarie per una corretta schematizzazione del materiale in condizioni statiche e cicliche. Il lavoro prenderà in considerazione provini lisci e provini aventi due differenti tipologie di intagli assialsimmetrici: V e semicircolare. Le analisi si basano su prove a fatica con rapporto di ciclo nominale R pari a -1 e 0. Per ottenere una buona stima sia ad alto che a basso numero di cicli, verranno prese in considerazione le equazioni classiche della fatica oligociclica. 2. IL METODO DEL GRADIENTE IMPLICITO 2.1. Materiale lineare elastico La tensione efficace, ottenuta applicando il metodo del gradiente implicito, risulta essere un parametro efficiente per la valutazione del danneggiamento a fatica del materiale. Il calcolo della tensione efficace viene svolto mediante una singola elaborazione numerica eseguita sull intero modello del componente, ovvero, su tutti i nodi del modello FEM utilizzato per calcolare il tensore di Cauchy (vedere figura 1). Utilizzando un programma agli elementi finiti capace di risolvere l equazione di Helmholtz con condizioni al bordo di Neumann ( = 0 su tutto il bordo ), l equazione (1) viene risolta nel volume V del componente sul quale è stata eseguita in precedenza, la classica analisi strutturale FEM [1, 10]: = (1) Il parametro c, legato al materiale [11], ha dimensioni fisiche di una lunghezza e caratterizza la sensibilità all intaglio. La tensione ritenuta responsabile del danneggiamento del materiale viene indicata nella (1) con. Nel caso delle saldature sollecitate principalmente da modo I, si è visto, che la tensione principale massima è la scelta più efficiente nel definire la tensione responsabile del danneggiamento. Dal punto di vista fisico, di fatto, la tensione efficace rappresenta la media tensionale di nell intorno del punto P pesata con una funzione peso che dipende dalla sola distanza (Q rappresenta il generico punto del volume V). Nel caso in cui si presentino sollecitazioni di tipo multiassiale si può far ricorso a criteri più complessi che pesino in modo opportuno le componenti idrostatiche e deviatoriche del tensore di Cauchy [3, 12] Materiale non-lineare L obiettivo di questo lavoro è quello di estendere la validità del metodo del gradiente implicito alla vita a termine di provini assialsimmetrici intagliati. In questo caso, come visto in precedenza [9], la nonlinearità del materiale è fatta intervenire in modo da modificare la pendenza delle curve di Woehler. Analisi di tipo lineari sono state utilizzate con successo per le saldature sollecitate da carichi affaticanti perchè la pendenza della curva di Woehler si mantiene sostanzialmente costante indipendentemente dalla gravosità dell intaglio [13]. Rimanendo nell ipotesi esemplificativa che la tensione ritenuta responsabile del danneggiamento sia la tensione principale massima, in questa memoria si vuole affrontare il problema della vita a

3 termine in provini che presentino intagli acuti sollecitati a trazione. Nel riferimento bibliografico [9], utilizzando un modello di calcolo basato sull ipotesi di non linearità del materiale, è stato mostrato come sia possibile stimare la vita a termine di provini intagliati sollecitati a fatica con rapporto di ciclo simmetrico. Indipendentemente dalla scelta dello schema - utilizzato per descrivere il materiale, l equazione (1) continua ad essere valida in quanto basterà sostituire alla tensione lineare elastica quella valutata in ipotesi non linearità del materiale (1). Lavori svolti in passato [8] hanno mostrato come sia possibile utilizzare i Notch Stress Intensity Factors, per calcolare le soluzioni asintotiche di tipo non-lineare con il metodo del gradiente implicito. La differenza sostanziale di questo nuovo approccio rispetto a quello lineare è l andamento delle tensioni in prossimità dell apice dell intaglio. Infatti, è solo in quella zona che si hanno delle divergenze fra i due schemi adottati. Inoltre, in prima battuta, anche con ipotesi di materiale non-lineare, il valore di c viene ricavato facendo riferimento ad un comportamento elastico mantenendo c costante e pensato come caratteristica del materiale. Per calcolare il valore di c si deve conoscere il limite di fatica del materiale liscio σ 0 e lo stress intensity factor di soglia del materiale. Il valore di c è ricavabile dalla relazione (2), che lo lega in modo univoco alla lunghezza intrinseca a 0 di El Haddad et al. [14]. dove il parametro è dato da: = (2) = 1! (3) 0 P Q a) b) Figura 1: a) Modello geometrico tridimensionale di volume V e condizione al contorno di Neumann; b) discretizzazione del modello usata per l analisi FEM 3. PROVE SPERIMENTALI DI CARATTERIZZZAZIONE DEL MATERIALE Nuove prove sperimentali sono state condotte su provini assialsimmetrici realizzati in acciaio con caratteristiche meccaniche simili all acciaio S275JR: provini lisci, provini con intagli semicircolari ed intagli a V. Le Figure 2-4 mostrano le geometrie delle tre serie di provini impiegati nelle prove. In primo luogo sono state caratterizzate le proprietà statiche del materiale per poi procedere con le prove di fatica oligociclica e di fatica ad alto numero di cicli. I rapporti di ciclo presi in considerazione sono R=-1 ed R=0. Le prove statiche e a fatica sono state condotte utilizzando una macchina a controllo idraulico MTS con fondo scala di 250 kn. La tabella 1, riporta i valori del coefficiente di concentrazione delle tensioni, valutato rispetto alla tensione nominale netta, ottenuto con modelli FEM tridimensionali realizzati in materiale a comportamento lineare elastico.

4 Figura 2: Geometria provino liscio Figura 3: Geometria provino con intaglio a V Dettaglio A Figura 4: Geometria provino con intaglio semicircolare Tabella 1: Coefficiente di concentrazione delle tensioni riferito alla tensione nominale netta Provino Kt Liscio 1.02 Intaglio semicircolare 1.55 Intaglio a V Caratteristiche σ ε del materiale base Per poter eseguire le analisi numeriche, in grado di simulare correttamente il campo di tensione, risulta necessario avere a disposizione le caratteristiche meccaniche del materiale. Su diversi provini lisci sono state eseguite le prove di trazione per il calcolo della tensione di snervamento (Rp 0,2%) ed il carico di rottura (Ru). La tabella 2 riporta i valori caratteristici calcolati per il materiale usato. Tabella 2: Caratteristiche del materiale E Rp 0,2% Ru K n [MPa] [MPa] [MPa] [MPa] Un approccio di tipo non-lineare a basso numero di cicli (fatica oligociclica) richiede informazioni riguardanti il comportamento ciclico del materiale. È ben noto in letteratura che la curva caratteristica del materiale, sollecitato da carichi elevati rispetto allo snervamento, cambi gradualmente fino a stabilizzazione dando luogo alla curva ciclica stabilizzata. Ai fini di un calcolo non-lineare la conoscenza di tale curva è ritenuta di fondamentale importanza. La figura 5 riporta la curva ciclica

5 stabilizzata e la curva monotona del materiale in questione; evidente il comportamento di tipo softening mostrato dal materiale. Interpolando i vertici, dei cicli di isteresi stabilizzati, con una curva del tipo Ramberg-Osgood (4) si ottiene l equazione che descrive la curva ciclica stabilizzata: " = " # $% " &' ( ) (4) La tabella 2 riporta i valori numerici calcolati per i coefficiente di resistenza K ed il coefficiente di incrudimenti n. Come verifica, la curva stabilizzata è stata messa a confronto con quella ricavata con la tecnica Multiple Step Test (MST). Ipotizzando che la storia di carico precedente non influenzi quella successiva, il metodo MST prevede l utilizzo di un singolo provino sollecitato a livelli crescenti di ". Prima di passare al livello di sollecitazione successivo si attende che la risposta del materiale si sia stabilizzata. Ad ogni blocco, si regista il ciclo di isteresi nella condizione di stabilizzazione. La figura 5, mette in luce che i cicli di isteresi stabilizzati ottenuti con un singolo provino, tendono a seguire la curva ciclica stabilizzata del materiale. Ciclica Stabilizzata Monotona σ [MPa] Deformazione ε[%] Figura 5: Curve caratteristiche del materiale 3.2. Curve di fatica del materiale base Le prove condotte con carico alterno a ciclo simmetrico (R=-1) con durate superiori a 10 4 cicli e con ciclo dallo zero (R=0) vengono condotte unicamente in controllo di forza con frequenze variabili da 5 ad 10 Hz. La figura 6 sintetizza le prove sperimentali eseguite sul provino di figura 2 in termini di ampiezza nominale σ a.

6 700 R=-1 R=0 σ a nom [MPa] A ;,5<=/<3,>?@ A ;,5<=/<3,>? 211 B 182 B E E+05 n cicli 1.00E E+07 Figura 6: Curve di Woehler per provini sollecitati a trazione/compressione con rapporto di ciclo R=-1 ed R=0 Per descrivere il comportamento a fatica a basso ed alto numero di cicli, è necessario disporre della curva di resistenza a fatica di Manson-Coffin che assume come parametro di danneggiamento l ampiezza di deformazione ε a. Basandosi sulla formulazione proposta da Manson-Coffin (5) è evidente che si richiede la conoscenza di alcune caratteristiche del materiale che possono essere ricavate, con precisione, solamente con prove in controllo di deformazione ad R=-1: " = & # *2, -.) $ & *2, - /) (5) I parametri da determinare risultano i coefficienti &, &, b e c. Con l obiettivo di utilizzare tali coefficienti anche per descrivere il comportamento a fatica di provini sollecitati con rapporto di ciclo R=0, sono state eseguite prove a fatica in controllo di deformazione a basso numero di cicli con rapporto di ciclo R=-1. Mediante un processo di calcolo iterativo che minimizzi gli scarti dalle prove sperimentali, sono stati ottenuti i parametri che meglio descrivono il comportamento del materiale sollecitato a fatica con R=-1 (Tabella 3). Tabella 3: Coefficienti Curva di Manson-Coffin b & & 0 1 & 2 1 [MPa] [mm/mm] Dal grafico in figura 7 è possibile notare la buona approssimazione raggiunta dalla curva di Manson- Coffin nell interpolare le prove sperimentali. In particolare, tale curva descrive in maniera molto accurata anche le prove effettuate in controllo di tensione. Il passaggio dalle tensioni di figura 6 alle deformazioni di figura 7 è avvenuto tramite la curva ciclica stabilizzata (4). Per correggere la posizione della curva di Manson-Coffin, nel caso di rapporto di ciclo R=0, viene utilizzata la formulazione di Morrow (6) in funzione della tensione media σ m dei cicli di isteresi: ",/344 = ",5. /344 $ ",7 = & # 81 9 & :*2, -.) + & *2, - /) (6) Nella figura 8, viene tracciata la curva di Morrow del provino liscio per R=0 (σ m=σ a). I punti sperimentali delle curve in controllo di tensione sono, sostanzialmente, interpolabili con il modello di Morrow.

7 1000 ε a X 10 5 [mm/mm] Curva Manson-Coffin Regressione prove in controllo di tensione Prove sperimentali controllo di Forza Prove sperimentali in controllo di Deformazione E E E+05 n cicli 1.00E E+07 Figura 7: Prove sperimentali e confronto con curva di Mason-Coffin per rapporto R= Prove sperimentali ε a X 10 5 [mm/mm] Regressione prove in controllo di tensione Curva di Morrow E E+05 n cicli 1.00E E+07 Figura 8: Prove sperimentali e confronto con curva di Morrow per rapporto di sollecitazione R=0 Per caratterizzare a pieno il comportamento a fatica del materiale base, dobbiamo conoscere anche l entità del parametro c. Il limite a fatica del materiale base per R=-1 a cicli si ricava dalla figura 6, mentre, anziché stimare il valore dello stress intensity factor di soglia, in questa sede, si farà riferimento al limite di fatica del provino intagliato a V di figura 3 (vedere i risultati delle prove sperimentali riportate nei paragrafi successivi). Infatti, prendendo in considerazione i dati a fatica derivanti dalle prove sperimentali, è possibile calcolare il valore della tensione efficace per il provino intagliato a V e compararlo con quello del provino liscio. Al variare del valore del parametro c, presente nell equazione (1) di Helmoltz, si può far variare la tensione efficace del provino intagliato fino a farla coincidente con il limite a fatica del provino liscio. Con la metodologia appena descritta si è calcolato per c un valore pari a 0.15 EE Curve di fatica dei provini intagliati Le figure 9 e 10 riassumono il comportamento a fatica dei provini di figura 2-4 sollecitati a fatica a medio ed alto numero di cicli condotte in controllo di tensione per rapporto nominale di ciclo rispettivamente pari a -1 e 0. I limiti di fatica riportati nelle figure fanno riferimento ad una vita di cicli. La pendenze delle curve di Woehler è diversa in funzione della gravosità dell intaglio. La figura (11) mette in evidenza le modalità di frattura tipiche dei tre differenti provini analizzati.

8 700 Liscio Intagliato a V σ a nom [MPa] Intaglio semicircolare A ;,5<=/<3 A ;,=9</<4/35"4 211 B 175 B A ;,G 81 B E E+05 n cicli 1.00E E+07 Figura 9: Curve di Woehler per provini lisci ed intagliati sollecitati a trazione/compressione con rapporto di ciclo R= Intagliato a V Liscio σ a nom [MPa] Intaglio circolare A ;,5<=/<3 A ;,=9</<4/35"4 182 B 138 B A ;,G 72 B E E E E+07 n cicli Figura 10: Curve di Woehler per provini lisci ed intagliati sollecitati a trazione alterna con rapporto di ciclo R=0 a) b) c) Figura 11: Esempi di superfici di frattura sui provini testati: a) Provino con intaglio a V; b) Provino con intaglio semicircolare; c) Provino liscio

9 4. STIMA DELLA VITA A FATICA A TERMINE DI PROVINI INTAGLIATI CON IL METODO DEL GRADIENTE IMPLICITO Per i provini intagliati, per la stima della vita a fatica del componente, è necessario il calcolo della tensione equivalente dato dalla (1) ottenuto con ipotesi di comportamento non-lineare del materiale. Rispetto ad una analisi lineare elastica cambia solamente il modo in cui si calcola, con il FEM, la tensione principale massima. L equazione (6) continua ad essere valida previa sostituzione di " con l ampiezza della deformazione efficace ", e della tensione media 9 con la tensione media efficace 9,. Dunque: ", & # 81 9, & :*2, -.) $ & *2, - /) (7) Stimare la vita a fatica significa risolvere la (7) in,. La valutazione dei parametri incogniti ", e 9, viene effettuata con l ausilio del metodo del gradiente implicito che prevede due differenti analisi agli elementi finiti. Una prima analisi simula la prima rampa di carico, seguendo la curva di trazione monotona in modo da ottenere la tensione efficace massima 9"I, del ciclo di fatica. La seconda analisi, invece, mira alla valutazione della variazione massima di tensione efficace durante il carico ciclico. Tale analisi impone una curva caratteristica non più relativa alla trazione monotona ma alla curva ciclica stabilizzata ricavata dall equazione (4) con l ipotesi di Masing (raddoppio della curva ciclica stabilizzata). La figura 12, mostra la mesh del provino semicircolare e la tensione efficace calcolata con ipotesi nonlineari del materiale a) b) c) Figura 12: a) Esempio di modello FEM utilizzato per l analisi non-lineare relativa all intaglio semicircolare b) Visualizzazione grafica della tensione principale c) Visualizzazione grafica della tensione efficace

10 Infine, sfruttando le tensioni calcolate con il metodo del gradiente implicito, l ampiezza di tensione e la tensione media efficace risultano così definite: ", = 2 9, 9"I, 2 (7) (8) ", ", # +% ", ( & ' ) (9) Una volta calcolate le grandezze efficaci, oltre a prevedere la vita a fatica con la (7) è possibile calcolare, in alternativa, il parametro di Smith, Watson e Topper (SWT) [15] capace anch esso di prevedere la vita a fatica in presenza di tensioni medie diverse da zero: ", 9"I, J*2, - (10) dove ", e ", rappresentano l ampiezza di deformazione e la tensione massima raggiunte durante i cicli di carico. 4.1 Provini sollecitati con rapporto di ciclo R=-1 I risultati sperimentali in termini di ampiezza di tensione efficace massima vengono mostrati sul diagramma di Woehler in figura 13 per tutti i provini testati con rapporto nominale R=-1. La banda di dispersione di figura 13 ha un valore di T σ=1.44 (ovvero l indice di dispersione riferito ad un percentile di sopravvivenza a fatica rispettivamente del 10% e del 90%) confrontabile con la dispersione che hanno mostrato le singole serie sperimentali. Il confronto fra la vita stimata e quella sperimentale viene riportato in figura K L 1.44 σ a eff, max [MPa] Regressione Limite con probabilità di sopravvivenza al 10% Limite con probabilità di sopravvivenza al 90% Prove sperimentali (provino liscio, intaglio semicircolare e intagliato a V) E E+05 n cicli 1.00E E+07 Figura 13: Curva di Woehler complessiva in termini di tensione efficace per la totalità dei provini sollecitati a trazione/compressione con rapporto di ciclo R=-1

11 1.E+07 1.E+06 Cicli previsti dal modello 1.E+05 1.E+04 Gradiente Implicito con 1.E+03 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 Cicli sperimentali Figura 14: Confronto della vita a fatica per provini sollecitati a trazione/compressione con rapporto di ciclo R=-1 (Banda di dispersione relativa a due deviazioni standard 2σ) 1.0E E E E+06 Cicli previsti dal modello 1.0E E+04 Gradiente Implicito con Morrow Curva ideale 1.0E E E E E E+07 Cicli previsti dal modello 1.0E E+04 Gradiente Implicito con SWT Curva ideale 1.0E E E E E E+07 Cicli sperimentali Cicli sperimentali Figura 15: Confronto della vita a fatica per provini sollecitati a trazione alterna con rapporto di ciclo R=0. La figura a fa riferimento al modello di correzione della tensione media di Morrow. La figura b fa riferimento alla correzione della tensione media SWT (Banda di dispersione relativa a ± due deviazioni standard) 1.0E+07 a) b) 1.0E+06 Cicli previsti dai modelli 1.0E E+04 Gradiente Implicito (Provino liscio, intaglio semicircolare e intagliato a V) Curva ideale 1.0E E E E E E+07 Cicli sperimentali Figura 16: Confronto della vita a fatica per provini sollecitati con rapporto di ciclo R=-1 ed R=0. Nel caso dei provini sollecitati con R=0 si fa riferimento alla correzione di Morrow (Banda di dispersione relativa a ± due deviazioni standard)

12 4.2 Provini sollecitati con rapporto di ciclo R=0 Analogamente a quanto visto per i provini sollecitati ad R=-1, si sono eseguite le simulazioni numeriche in controllo di tensione per R=0. Ora viene applicato il metodo del gradiente implicito per valutare, in termini di tensioni efficaci, le grandezze responsabili del danneggiamento: ampiezza di tensione e valore della tensione efficace massima. Passando alle ampiezze di deformazione efficaci tramite la (5), è possibile risolvere in N f l equazione (7) proposta da Morrow e l equazione (10) del parametro SWT. In Figura 15 vengono riportate le previsioni di vita a fatica ottenute. Infine, la figura 16 riporta la dispersione complessiva delle previsioni numeriche che considera tutti i provini indipendentemente dal rapporto di sollecitazione considerando la correzione di Morrow. 5 CONCLUSIONI Il lavoro presentato in questa memoria ha messo in evidenza la capacità, da parte del metodo del gradiente implicito, di prevedere la resistenza a fatica, nel campo della vita a termine, di provini intagliati e realizzati in materiale duttile. La tensione efficace, derivante dalla omogeneizzazione della tensione principale massima, ha permesso di interpretare la resistenza a fatica in modo analogo a quanto fatto in passato per le saldature. L adozione di uno schema di calcolo basato sulla correzione della tensione media proposto da Morrow ha mostrato una dispersione minore rispetto al modello di calcolo che si sarebbe ottenuto con il parametro di Smith Watson e Topper (SWT). Ringraziamenti: lavoro ottenuto con il finanziamento del MIUR Anno prot. 009Z55NWC_002 BIBLIOGRAFIA [1] R. Tovo, P. Livieri. An implicit gradient application to fatigue of sharp notches and weldments. Engineering Fracture Mechanics, 74, 2007, [2] Tovo R., Livieri P. An implicit gradient application to fatigue of complex structures, Engineering Fracture Mechanics, 75 (7), 2008, [3] Cristofori A., Livieri P., R. Tovo, An Application of the Implicit Gradient Method to welded structures under multiaxial fatigue loadings. International Journal of Fatigue, Volume 31, Issue 1, pp , 2009 [4] R. Tovo, P. Livieri, A numerical approach to fatigue assessment of spot weld joints. Fatigue and Fracture of Engineering Materials and Structures, Volume 34, Issue 1, 2011, Pages [5] Lazzarin, P., Tovo, R., Meneghetti, G. (1997) Fatigue crack initiation and propagation phases near notches in metals with low notch sensitivity. International Journal of Fatigue 19, [6] S Bentachfine, G Pluvinage, J Gilgert, Z Azari, D Bouami, Notch effect in low cycle fatigue, International Journal of Fatigue, Volume 21, Issue 5, May 1999, Pages [7] G. Qylafku, Z. Azari, N. Kadi, M. Gjonaj, G. Pluvinage. Application of a new model proposal for fatigue life prediction on notches and key-seats, International Journal of Fatigue, Volume 21, Issue 8, September 1999, Pages [8] R. Tovo, P. Livieri, S. Capetta, Gradiente implicito e non linearita del materiale, XXXVII Convegno Nazionale AIAS, Roma Settembre 2008, pp (testo completo nel CD- ROM) [9] R. Tovo, P. Livieri, E. Salvati, Vita a termine in provini raccordati con il metodo del gradiente implicito. 41 Convegno Nazionale AIAS, Vicenza 5-8 Settembre 2012 (testo completo nella chiavetta USB) [10] R.H.J. Peerlings, R. de Borst, W.A.M. Brekelmans, J.H.P. de Vree, Gradient enhanced damage for quasi-brittle material. International Journal of Numerical Methods in Engineering 39, 1996, [11] Tovo R, Livieri P, Benvenuti E. An implicit gradient type of static failure criterion for mixed-mode loading. International Journal of Fracture 141, pp , 2006.

13 [12] S. Capetta, R. Tovo, D. Taylor, P. Livieri. Numerical evaluation of fatigue strength on mechanical notched components under multiaxial loadings, International Journal of Fatigue 33 (2011) [13] Radaj D, Sonsino CM, Fricke W. Fatigue assessment of welded joints by local, approaches. 2nd ed. Cambridge: Woodhead Publishing and Boca Raton Fla: CRC Press; 2006 [14] M. H. El Haddad, T.H. Topper, K. N. Smith, Fatigue crack propagation of short cracks. ASME, Journal of engineering Material and Technology 101, 1979, [15] T.H.Topper, R.M.Wetzel, J. Morrow. Neuber's Rule Applied to Fatigue of Notched Specimens, Journal of Materials, JMLSA, Vol.4, No.1, March 1969, pp