Matematica elementare dell olografia

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1 Edoardo Milotti 6/11/007 Matematica elementare dell olografia Un ologramma codifica l informazione di fase della luce proveniente da un oggetto per mezzo dell interferenza con un fronte d onda di riferimento (questo presuppone naturalmente che i fronti d onda mantengano la coerenza su lunghezze dell ordine della dimensione dell apparato di registrazione in direzione trasversa a quella di propagazione dell onda. Questo requisito significa che non si può utilizzare luce come quella emessa da una lampada ad incandescenza per registrare un ologramma: normalmente vengono utilizzate sorgenti di luce laser). Due configurazioni sperimentali utilizzate per la produzione di ologrammi. Sulla lastra fotografica (PLATE) la luce proveniente dall oggetto interferisce con il fronte d onda di riferimento e in questo modo viene codificata in modo completo l informazione del fronte d onda dell oggetto, compresa l informazione sulla forma spaziale dell oggetto. Utilizzando la matematica spiegata nel seguito si possono anche sintetizzare ologrammi con il computer. Si consideri per esempio la seguente scena sintetica (questa e le immagini successive sono tratte da Huebschmann et al.: Dynamic holographic 3-D image projection, Optics Express 11 (003) 437):

2 L ologramma calcolato per questa scena sintetica è molto simile a quelli che si registrano da scene reali per mezzo di metodi fotografici Infine l immagine seguente mostra fotografie dell ologramma illuminato da un laser in modo da ricostruire le immagini codificate

3 Nei paragrafi seguenti l intensità il campo elettrico dell onda elettromagnetica proveniente dall oggetto nel piano immagine è indicato da o(x, y;t) = o 0 ( x, y)cos( t + ), e analogamente il campo di riferimento è indicato dal simbolo r(x, y;t) = cos( t + r ). Spesso il campo di riferimento è associato ad un onda piana e quindi r = k x = k x x + k y y se si orienta il campo di riferimento in modo opportuno (il vettore d onda giace nel piano xy); allora, se è l angolo di incidenza, r = k x = k x x = kx sin = x sin I( x, y)= 0 ( o(x, y;t) + r(x, y;t) ) ( ) + 0 cos( t + r ) = 0 o 0 ( x, y)cos t o 0 ( x, y)cos( t + ) cos( t + r ) = 0 o 0 x, y o 0 x, y + cos r cos t + + r = 0 o 0 ( x, y) o 0 ( x, y)cos r

4 mentre la trasparenza risultante dell ologramma (in seguito a processi di sviluppo pellicola, etc. ) è T = T 0 + I (questa trasparenza si riferisce al positivo fotografico; la costante regola il contrasto dell immagine e dipende dal modo in cui è realizzato il processo fotografico). Se si illumina l ologramma con un fronte d onda di riferimento come quello utilizzato per la registrazione dell ologramma, si trova allora che il campo elettrico nel piano dell ologramma è u(x, y;t) = T 0 cos t + r 0 + o 0 ( x, y) + 0 r o 0 ( x, y)cos( r ) cos t + r = T o 0 ( x, y) r + 0 o 0 ( x, y)cos( r )cos t + r = T o 0 ( x, y) r + 0 o 0 ( x, y)cos t + + r r + 0 o 0 ( x, y)cos t + r + r Si noti che la parte della fase associata ai campi di riferimento è r r, e poiché entrambe le funzioni di fase sono lineari, la loro somma è ancora lineare e rappresenta la fase di un onda piana con direzione intermedia tra quella dell onda piana di riferimento originale e quella utilizzata per la ricostruzione di immagine. Il primo termine nella somma finale corrisponde all immagine di una sorgente puntiforme all infinito, il secondo termine è proporzionale al campo prodotto dall oggetto originale, e quindi è il termine che ci interessa. Infine il quarto termine è proporzionale al campo originale, ma con fase, e quindi con curvatura dei fronti d onda, invertita, e dunque se il campo originale rappresentava un fronte d onda che divergeva dall oggetto, questo termine rappresenta un fronte d onda convergente e produce un immagine reale. Si noti che ampiezza e fase sono codificate rispettivamente da una modulazione di ampiezza e da una modulazione di fase. Configurazioni utilizzate nella ricostruzione di immagine:

5 1. Ologramma in asse In questo caso = 0 e il campo elettrico nel piano immagine è u(x, y;t) = T o 0 r + 0 o 0 cos( t + ) + 0 o 0 cos( t + r ). Ologramma fuori asse In questo caso il fascio di riferimento è inclinato e dunque u(x, y;t) = T o 0 r + 0 o 0 cos( t + ) + 0 o 0r cos t xsin L immagine che segue mostra un dettaglio di un ologramma ottenuto con metodo fotografico (da D. Gabor: Progress in Holography, Rep. Prog. Phys. 3 (1969) 395). Nelle pagine seguenti è riportato l articolo originale di Gabor del 1948 (nel 1971 D. Gabor ha vinto il premio Nobel per l invenzione dell olografia).

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