La funzione fprintf stampa con formattazione controllata: L interfaccia della funzione è:

Transcript

1

2 fprintf

3 fprintf La funzione fprintf stampa con formattazione controllata: L interfaccia della funzione è: function fprintf(format, E1, E2,...) FORMAT è una stringa da stampare E1, E2 sono espressioni (e.g. nomi di variabile) FORMAT può contenere dei segnaposto, con il carattere % E.g. %f è un segnaposto per un valore reale E.g. %d è un segnaposto per un valore intero Il primo segnaposto è sostituito con il valore di E1 Il secondo segnaposto è sostituito con il valore di E2, etc.

4 fprintf Vediamo un esempio: A = 10.5; B = 2; fprintf('a = %f, B = %f, A*B = %f\n', A, B, A*B) Stampa: A = , B = , A*B = \n è un carattere speciale e serve ad andare a capo I segnaposto cono configurabili Ci interessa un caso solo: %.Nf stampa un reale con N valori decimali E.g. %.3f stampa con 3 cifre decimali E.g. %.1f stampa con 1 cifra decimale

5 while

6 while Il ciclo for non è sempre adeguato ad implementare iterazioni: E.g. quando non è desiderabile limitare il numero di iterazioni a priori Per questi casi, Matlab fornisce il ciclo while La sintassi è: while <espressione> % vera o falsa <corpo> end Il corpo viene ripetuto Fintanto che <espressione> denota true (o )

7 Consideriamo la funzione Zeta di Riemann ed il nostro vecchio codice: z = 0; % val. della somma old_z = -Inf; % vecchio z for n = 1:10000 % 1e5 = iterazioni massime z = z + 1./ n.^s; if abs(z - old_z) < 1e-6 % 1e-6 è la tolleranza break % Interrompe il ciclo end old_z = z; % rimpiazzo il vecchio z end Cosa succede se iterazioni non bastano a convergere?

8 Consideriamo la funzione Zeta di Riemann ed il nostro vecchio codice: z = 0; % val. della somma n = 1; old_z = -Inf; % vecchio z while abs(z - old_z) > 1e-6 % 1e-6 è la tolleranza old_z = z; % memorizzo il vecchio z z = z + 1./ n.^s; n = n + 1; % incremento n end Fintanto che, il ciclo prosegue

9 Consideriamo la funzione Zeta di Riemann ed il nostro vecchio codice: z = 0; % val. della somma n = 1; old_z = -Inf; % vecchio z while abs(z - old_z) > 1e-6 % 1e-6 è la tolleranza old_z = z; % memorizzo il vecchio z z = z + 1./ n.^s; n = n + 1; % incremento n end Dobbiamo però gestire l indice n esplicitamente

10 Il ciclo while non fornisce garanzie di terminazione Per esempio: n = 1; s = 0; while n < 10 s = s + n; end Questo ciclo non termina Perché n non viene incrementato! Se vi capita, niente panico: basta premere [CTRL+C] Capita più spesso di quanto ci si possa aspettare :-)

11

12 Consideriamo un sistema dinamico tempo-discreto In generale è definito da una equazione del tipo: Per questo tipo di sistemi, abbiamo imparato a: Osservare l andamento dello stato del tempo Identificare il tipo di comportamento (convergente, periodico ) Per i sistemi convergenti, individuare uno stato di equilibrio Simulando sufficientemente a lungo e misurando lo stato finale Gli stati di equilibrio, però, si possono determinare a priori!

13 Uno stato è di equilibrio se viene trasformato in se stesso Formalmente, uno stato di equilibrio deve soddisfare: Manca l indice di tempo, perché lo stato a sx e dx è lo stesso Se risolviamo l equazione, determiniamo gli stati di equilibrio In generale è un vettore, quindi è un sistema di equazioni Se è lineare, possiamo usare la forma matriciale: E possiamo risolverlo con i metodi visti in analisi numerica

14 Per l algoritmo pagerank, visto la scorsa lezione L equazione fondamentale è data da: Uguagliando e otteniamo: è quadrata per costruzione (deriva da una transizione di stato) Quindi, in casi normali, la soluzione è data da

15 Supponendo di disporre delle variabili: p, per la probabilità di stancarsi P, per la matrice delle probabilità di click n, per il numero delle pagine Possiamo prima costruire la matrice e la colonna : A = (eye(n) - (1-p)*P) % eye e' la matrice identita' b = (ones(n,1) * p/n) % ones(n,1) per avere una colonna E quindi possiamo calcolare la soluzione con una divisione sinistra: xeq = A \ b

16 L approccio è valido anche per sistemi dinamici non lineari Uno stato, per essere di equilibrio, deve soddisfare: I.e. la relazione che abbiamo già visto! Che corrisponderà però ad un sistema di equazioni non lineari Ce ne occuperemo più avanti nel corso

17 Quando risolvere un sistema di equazioni e quando simulare? Simuliamo se: Ci interessa il comportamento nel tempo Il sistema non ha uno stato di equilibrio (e.g. periodico, caotico) Vogliamo determinare (empiricamente) la stabilità dell equilibrio Risolviamo le equazioni se: Non ci interessa il comportamento nel tempo Non ci interessa la stabilità (basta uno stato di equilibrio) Se dobbiamo calcolare lo stato di equilibrio con alta precisione

18

19 Un sistema dinamico tempo discreto lineare: Ha sempre un solo stato di equilibrio A meno che la matrice dei coefficienti non sia singolare Per esempio, per le previsioni del tempo (scorsa lezione) avevamo: Da cui si ottiene il sistema: Possiamo usare la funzione det per calcolare il determinante: det(eye(2) - A) % e-17 (sarebbe 0)

20 Cosa vuol dire in pratica? Un sistema sotto-determinato ha infinite soluzioni Quindi ci sono infiniti stati di equilibrio Per esempio, supponiamo di avere due vasi comunicanti Il livello finale dipende da quanta acqua c è nel sistema! In questo specifico caso, lo stato raggiunto dipende dallo stato iniziale Altre volte, ci sono dei vincoli sottointesi

21

22 Nel caso delle previsioni del tempo: Il tempo è bello o brutto, quindi la somma delle probabilità deve essere 1 Partiamo dalle equazioni originali per l equilibrio: Una delle due equazioni può essere rimossa Ma possiamo anche aggiungere Nel file es_weather.m: Determinate lo stato di equilibrio risolvendo il sistema lineare Verificate che coincide con lo stato raggiunto dalla simulazione

23

24 Una stanza è ventilata mediante una sola apertura: Sia temperatura esterna, quella dell aria interna Sia la temperatura dei muri Il flusso di calore tra l esterno e l aria è dato da: Dove è la resistenza termica dell apertura Il flusso di calore tra l aria e i muri è dato da: Dove è la resistenza termica tra l aria ed i muri

25 Per quanto riguarda le temperature: La temperatura dell esterno e dei muri si suppone costante La temperatura dell aria varia con i flussi di calore In particolare vale la relazione: Il flusso di calore va dall esterno all aria, mentre va dall aria ai muri è la capacità termica dell aria Per completezza, ricordiamo che:

26 Questo è un primo esempio di sistema dinamico tempo-continuo I sistemi dinamici tempo continui sono descritti mediante equazioni differenziali Tipicamente, queste sono nella forma: Non sappiamo risolvere le equazioni differenziali Vedremo come farlo verso la fine del corso Possiamo però già osservare che: Per definizione all equilibrio lo stato non varia Il che vuol dire che le derivate si annullano Il generale, un sistema tempo continuo all equilibrio deve soddisfare:

27 Nel nostro esempio abbiamo: Quindi, all equilibrio avremo: È un sistema di equazioni lineari in E questo sappiamo come risolverlo!

28

29 Partiamo dal sistema originale: Le variabili sono Ci conviene portarle a sx del segno =

30 Partiamo dal sistema originale: Ora possiamo portarlo in forma matriciale

31 Partiamo dal sistema originale: Ogni riga è la trascrizione di una equazione Ogni colonna della matrice è associata ad una variabile Perché viene moltiplicata per tale variabile Se chiamiamo la matrice ed il termine noto, abbiamo: Possiamo risolverlo con una divisione sinistra!

32 Partite dal file es_temperature.m nello start-kit Impostate la matrice dei coefficienti Impostate la colonna dei termini noti Risolvete il sistema per e per Stampate il valore di all equilibrio

33

34 Si vuole progettare una arcata a ridosso di una parete verticale La curva che descrive l arcata: Deve essere ancorata ad un punto noto sulla parete Deve essere ancorata ad un punto noto a terra Deve raggiungere l altezza massima per (con noto)

35 Un approccio: trattiamo la curva come una funzione In questo modo possiamo tradurre le condizioni in equazioni: Deve essere ancorata ad un punto noto sulla parete Deve essere ancorata ad un punto noto a terra Deve raggiungere l altezza massima per (con noto) Così come sono ci dicono ben poco

36 Ci serve una assunzione sulla classe della funzione Per esempio: è polinomiale. Formalmente: Le nostre condizioni allora diventano:

37 Ci siamo quasi! Guardiamole meglio: Quali sono le incognite? Sono i parametri della funzione e non le! Che grado di polinomio ci serve? Tre condizioni tre variabili, i.e. secondo grado

38 In questo modo otteniamo il sistema: Che è lineare nelle incognite La tecnica vista è un metodo generale per progettare curve: Si ipotizza una struttura per la curva da costruire (e.g. polinomio) Si traducono i vincoli del problema in equazioni Si risolvono le equazioni per determinare i parametri Per ora consideriamo il caso in cui le equazioni sono lineari

39

40 Consideriamo il sistema per il problema di progettazione dell arcata: A partire dal file es_arc.m nello start-kit: Si determinino i coefficienti della curva risolvendo il sistema Si disegni la forma dell arcata Si stampi a video il valore dell altezza massima

41

42 Si vuole progettare lo scavo per il letto di un fiume La sezione dello scavo deve presentarsi come segue: La coordinata rappresenta una posizione orizzontale La coordinata rappresenta la profondità dello scavo Per questa ragione la sezione si presenta al contrario

43 Si vuole progettare lo scavo per il letto di un fiume La sezione deve essere descritta da una curva parabolica Deve passare per i punti noti e L area della sezione determina la portata massima E deve essere pari ad un valore prestabilito Se è la funzione che descrive la curva, l area della sezione è: A partire dal file es_riverbed.m nello start-kit: Si determinino i coefficienti della curva Si disegni la forma della sezione

44

45 Si vuole controllare l accelerazione di un carrello automatico Il profilo di velocità in accelerazione deve presentarsi come segue: La coordinata rappresenta il tempo La coordinata rappresenta la velocità Curve di questo tipo si utilizzano nelle centraline di controllo di auto e moto

46 Si vuole controllare l accelerazione di un carrello automatico Il profilo deve seguire un andamento polinomiale Il grado del polinomio è da determinare Servirà un coefficiente per ogni condizione specificata La velocità iniziale e finale ed il tempo di accelerazione sono noti Perché le variazioni non siano troppo brusca Si richiede che la derivata della velocità in e sia nulla A partire dal file es_acceleration.m nello start-kit: Si determinino i coefficienti della curva Si disegni il profilo della velocità in accelerazione

47

48 Si vuole controllare l arresto di un carrello automatico Il profilo di velocità in frenata deve presentarsi come segue: La coordinata rappresenta il tempo La coordinata rappresenta la velocità Possiamo usare la curva per programmare una centralina di controllo

49 Si vuole controllare l arresto di un carrello automatico Il profilo è dato da un polinomio, di grado da determinare La velocità iniziale e finale ed il tempo di frenata sono noti Si richiede che la derivata della velocità in sia nulla Lo spazio di frenata deve essere pari ad un valore, dove: A partire dal file es_brake.m nello start-kit: Si determinino i coefficienti della curva Si disegni il profilo della velocità in frenata

50

51 Si vuole progettare un telaio per una bicicletta La forma del telaio deve apparire come segue:

52 Si vuole progettare un telaio per una bicicletta La forma del telaio è descritta da due curve paraboliche ed Le due curve originano in un punto comune La curva deve passare per l ancoraggio della sella in La curva deve passare per l ancoraggio dei pedali in Le due curve devono congiungersi in un punto Di cui è nota solo la coordinata Le derivate di in ed in devono essere uguali

53 A partire dal file es_frame.m nello start-kit: Si determinino i coefficienti delle due curve Si disegni il profilo del telaio Attenzione: Ci sono due condizioni che coinvolgono entrambe le curve: Le due curve devono congiungersi in un punto Le derivate di in ed in devono essere uguali Non possono essere formulate separatamente! Occorrerà definire un unico sistema di equazioni in cui compaiono sia che