Enrico Borghi RELATIVIZZAZIONE DELL EQUAZIONE FONDAMENTALE DELLA MECCANICA NEWTONIANA PER UNA PARTICELLA

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1 Enrio Borghi RELATIVIZZAZIONE DELL EQUAZIONE FONDAMENTALE DELLA MECCANICA NEWTONIANA PER UNA PARTICELLA Consideriamo l equazione fondamentale della Meania newtoniana per una partiella di massa m 0 nelle sue varie formulazioni d R du F m 0 dt ; F m 0 dt ; F m 0 A ; F dp dt () Nella () F è il vettore forza agente sulla partiella, R è il vettore posizione della partiella, U dr/dt è la sua veloità, A è l aelerazione e P m 0 U è la sua quantità di moto osì ome sono definiti in Meania newtoniana; t è il tempo assoluto newtoniano. Le (), ome è noto, sono espressioni equivalenti di leggi fisihe Galileo-ovarianti, ioè invarianti in forma per trasformazioni di oordinate di Galileo. Relativizzarle signifia renderle Lorentz-ovarianti, ioè invarianti in forma per trasformazioni di oordinate di Lorentz. Poihé le trasformazioni di oordinate di Lorentz riguardano lo spazio 4-dimensionale pseudoeulideo t, x, y, z oorre ridefinire ome grandezze relativistihe a 4 omponenti le R, F, U, A, P he in Meania newtoniana sono a 3 omponenti perhé sono definite nello spazio eulideo a 3 dimensioni (in Meania di Newton il tempo è onsiderato un parametro, non una oordinata). Notiamo, per iniso, he il termine ovarianza viene usato per indiare l invarianza in forma di una legge fisia a seguito di una trasformazione di oordinate (ome si è assunto più sopra), ma si parla di ovarianza anhe on riferimento a un possibile modo di trasformarsi di un vettore (o più in generale di un tensore) a seguito di una trasformazione di oordinate. Dunque ovarianza ha un duplie signifiato. A quale i si riferisa di volta in volta (ioè se sia ovarianza invarianza in forma di una legge fisia oppure ovarianza possibile modo di trasformarsi di un tensore ) è deduibile, di solito, dal ontesto in ui questo termine viene usato. Indihiamo on R la grandezza pseudoeulidea a 4 omponenti orrispondente alla grandezza eulidea R a 3 omponenti e hiediamoi: si tratta di un vettore, ioè di un tensore di primo ordine? Assumiamo he lo sia e he questa R 0 R α R R ; α 0,,,3 R 3 sia la sua rappresentazione ontrovariante.

2 E. Borghi - Relativizzazione della Meania newtoniana Se R α è un vettore ontrovariante sappiamo he deve trasformarsi, a seguito di una trasformazione di oordinate, nel modo seguente (somma sugli indii ripetuti): R α x α x β Rβ ; α,β 0,,,3 Nel aso he stiamo esaminando le trasformazioni di oordinate alle quali siamo interessati sono quelle di Lorentz e in partiolare quelle osiddette speiali espresse da t γt γβx x γβt + γx y y z z ; β v ; γ / β () desrittive delle relazioni esistenti fra due sistemi di oordinate on assi paralleli in moto relativo rettilineo e uniforme lungo l asse x on veloità v. Si ha allora (x 0 t,x x,x y,x 3 z) R 0 x 0 x 0 R0 + x 0 x R γr 0 γβr R x x 0 R0 + x x R γβr 0 + γr R x x R R R 3 x 3 x 3 R3 R 3 Queste oinidono on le () se R 0 t,r x,r y,r 3 z. Dunque le () sono non solo leggi di trasformazione delle oordinate di Lorentz, ma possono essere onsiderate anhe le equazioni di trasformazione di un vettore ontrovariante avente omponenti t, x, y, z, periò possiamo affermare he è la rappresentazione ontrovariante di R. t R α x y z La rappresentazione ovariante si ottiene da quella ontrovariante servendosi del tensore metrio dello spazio pseudoeulideo η αβ : R α η αβ R β ; (somma sugli indii ripetuti) (3) on η αβ (4)

3 osihé E. Borghi - Relativizzazione della Meania newtoniana t x R α y z ; α 0,,,3 (5) Il tensore metrio η αβ viene definito osservando he quadrando le () e sottraendo dalla prima le altre tre si ottiene (t ) x y z (t) x y z espressione he riorda quella della distanza fra due punti in uno spazio eulideo, salvo il fatto he non è definita positiva ed è per questo he viene detta distanza pseudoeulidea. Dunque la quantità (t) x y z è un invariante per trasformazioni di oordinate di Lorentz. Possiamo esprimere questo fatto introduendo il tensore di seondo ordine η αβ (detto tensore metrio perhé permette di misurare la distanza pseudoeulidea del punto R dall origine) in modo da formare l invariante η αβ x α x β η 00 x 0 x 0 + η 0 x 0 x + + η 0 x x 0 + η x x + + η 33 x 3 x 3 η 00 (t) + η 0 tx + + η 0 xt + η x + + η 33 z (t) x y z e quindi η 00,η,η,η 33 mentre tutti gli altri η αβ sono nulli, da ui la (4), he aratterizza lo spazio pseudoeulideo. In onlusione R può essere onsiderato un 4-vettore dello spazio pseudoeulideo ed è detto 4-vettore punto-evento. La (3) è la sua rappresentazione ontrovariante e la (5) è la sua rappresentazione ovariante. Esso ostituise la relativizzazione del 3-vettore posizione della Meania newtoniana x R k y ; k,,3 z per il quale non oorre speifiare il tipo della rappresentazione perhé, ome è ben noto, nello spazio eulideo, he è quello della Meania newtoniana, la rappresentazione ovariante oinide on la rappresentazione ontrovariante e il tensore metrio è 0 0 g αβ In una partiolare notazione simbolia he può essere talvolta utile, e he onsiste nell evidenziare le omponenti spaziali on un unio simbolo, il vettore R è espresso da: R t ; R x,y,z ±R dove vale il segno + nella rappresentazione ontrovariante di R e il segno - nella rappresentazione ovariante. 3

4 E. Borghi - Relativizzazione della Meania newtoniana Esempio di uso di questa notazione (Ttrasposto): R R T R t +R t t R R t R R Altri esempi si trovano nell Appendie A. Proediamo nelle operazioni di preparazione alla relativizzazione. Abbiamo finora onsiderato le equazioni di trasformazione delle oordinate di Lorentz intendendole riferite a sistemi di oordinate in moto relativo inerziale, ioè abbiamo onsiderato le oordinate t,x,y,z del sistema S espresse in funzione delle oordinate t,x,y,z del sistema S, essendo S in movimento rettilineo e uniforme on veloità v rispetto a S. Se S non è inerziale e sta quindi aelerando, si può fare anora riferimento alle equazioni di trasformazione di Lorentz purhé si inserisa in esse, al posto di v (ostante), la veloità istantaneamente variabile U di S rispetto a S. Si usa dire he il sistema S è istantaneamente inerziale. A onferma della validità di questo onetto esiste una vasta evidenza sperimentale (ome quella fornita dal moto delle partielle negli aeleratori) he mostra he gli intervalli x e t misurati da diversi osservatori dipendono dalle veloità relative di questi, ma non dalle loro aelerazioni. Condurremo il proesso di relativizzazione delle () faendo riferimento all Elettromagnetismo maxwelliano e più preisamente alla espressione relativistia della densità di forza quadrimensionale di Lorentz f L he qui risriviamo in forma simbolia f L ı F e he speifihiamo anhe nelle sue omponenti ontrovarianti e ovarianti (α,β 0,,,3) f L U fl α i β F βα ρe x + (ı B) x ρe y + (ı B) y ρe z + (ı B) z f L U ; f Lα i β ρe F βα x (ı B) x ρe y (ı B) y ρe z (ı B) z dove f L ρe + ı B e dove il ampo elettromagnetio F e la densità di 4-orrente ı sono definiti nella Appendie A (eq. (A8), (A9), (A6)) e f L è la densità di forza tridimensionale di Lorentz he è dunque anhe la omponente spaziale della densità di forza quadrimensionale f L. Ciò posto, è data una distribuzione di materia in movimento su ui agise un sistema di forze F aventi densità f df dτ 4

5 E. Borghi - Relativizzazione della Meania newtoniana dove fdτ rappresenta la forza agente sulla porzione dτ di materia riferita a un sistema S he sta osservando la materia in movimento. La medesima porzione di materia, riferita a un sistema solidale on essa e quindi istantaneamente inerziale, ha volume dτ 0 e in aordo on la legge relativistia di ontrazione dei volumi si ha dτ dτ 0 osihé si può srivere f k df k dτ 0 d dτ 0 F k ; k,,3 (6) A questo punto assumiamo he il 3-vettore f k,k,,3 sia la parte spaziale di un 4- vettore f osì ome f L è la parte spaziale del 4-vettore f L : f f0 ; f L f L U (7) ±f ±f L Questa assunzione si basa sul fatto he tutte le forze, elettromagnetihe o non elettromagnetihe, devono trasformarsi nel medesimo modo a seguito di una trasformazione di oordinate di Lorentz: se non fosse osì una partiella in equilibrio in un sistema inerziale S sotto l azione di forze diverse, fra ui anhe forze elettromagnetihe, potrebbe non esserlo più se osservata da un sistema S in moto relativo rispetto a S. Torniamo alla (6). Poihé f k è la parte spaziale del 4-vettore f e dτ 0 è un invariante, anhe F k / U / è la parte spaziale di un 4-vettore he indihiamo on F. Possiamo osì srivere F k F k ; k,,3 (8) Per iò he riguarda la omponente temporale F 0, tenendo onto della similitudine fra f e f L si ha dalla (7) periò si può srivere f 0 f U df dτ 0 F 0 F U/ U d F U/ dτ 0 Il 4-vettore forza F ompleto delle omponenti temporale e spaziali è espresso dalla F U F U F α F x F ; F α x F y F z Notiamo he F non è la parte spaziale di F. 5 F y F z (9)

6 E. Borghi - Relativizzazione della Meania newtoniana A questo punto, avendo a disposizione le definizioni di R e F R t ±R ; F F U ±F siamo in grado di rendere Lorentz-ovariante l equazione fondamentale della meania newtoniana per una partiella di massa m 0, equazione he è Galileo-ovariante e he è espressa, in varie formulazioni, dalla (). Iniziamo ad oupari della relativizzazione della F m 0 d R dt (0) Per risolvere questo problema i atterremo alle seguenti ipotesi di base: ) t sia il tempo proprio t 0 segnato da un orologio solidale on la partiella e faente parte di un sistema di riferimento S 0 fissato ad essa osihé la veloità U della partiella rispetto a S è anhe la veloità on ui S 0 si muove rispetto a S. Notiamo he S 0 non potrà, in generale, essere onsiderato inerziale, tuttavia in ogni istante t è possibile far riferimento alle trasformazioni di oordinate di Lorentz purhé si inserisa in esse, al posto di v, la veloità U di S 0 in quell istante. In altre parole S 0 può essere onsiderato, ai fini delle trasformazioni di Lorentz, istantaneamente inerziale. ) m 0 indihi la massa a riposo della partiella, ioè la massa misurata dal sistema S 0 fissato ad essa. 3) F k sia la forza misurata da S 0, osihé la forza misurata da S è espressa dalla parte spaziale della F α ioè dalla (8): F k F k ; k,,3 () 4) i riserviamo di onsiderare valido il proedimento di relativizzazione purhé le nuove leggi della meania si riduano a quelle newtoniane quando in esse si ponga U. Tenendo onto di quanto si è detto risriviamo la (0) nel modo seguente: F k m 0 d dt 0 dr k dt 0 ; k,,3 () Relativizzare questa equazione signifia introdurre in essa, al posto delle grandezze 3- dimensionali F k, R k e del tempo t 0 riferiti a S 0, le orrispondenti 4-dimensionali F k, R k e il tempo t riferiti a S, e definire inoltre la sua parte temporale. Cominiamo on l introdurre l espressione dell intervallo di tempo proprio dt 0 osì ome lo misura S. Dall espressione relativistia della dilatazione degli intervalli temporali dt dt 0 / 6

7 E. Borghi - Relativizzazione della Meania newtoniana riaviamo l invariante dt 0 dt dove U U dr/dt è la veloità newtoniana di S 0 misurata da S. Sostituiamo dt 0 nella (), nella quale introduiamo anhe F k in luogo di F k (v. eq. ()) e dt in luogo di dt, e teniamo onto del fatto he dr k oinide on dr k osihé la () diviene: F k m 0 d dt dr k dt ; k,,3 (3) La (3) rappresenta la parte spaziale della orrispondente relativistia della (0). Infatti in essa ompaiono le parti spaziali dei 4-vettori F e dr e gli invarianti m 0 e / dt (he è invariante perhé è proporzionale all invariante dt 0 ) e per U/ approssima la (0). La parte temporale si ottiene osservando he R 0 t e periò F 0 m 0 d dt essendo F 0 definito nella (9). L espressione 4-vettoriale F m 0 d dt dr dt (4) omprende tutte le omponenti di F. È importante notare he dalla parte spaziale della (4) si passa alla (0) se U, ioè a seguito di una approssimazione matematiamente semplie e ben definita, ma il passaggio dalla (0) alla parte spaziale della (4) avviene sulla base di assunzioni ad ho, ioè sulla base dei punti ), ) e 3) he omprendono una definizione relativistia di forza ottenuta dall elettromagnetismo. Dunque la proedura di relativizzazione deve essere onsiderata una operazione di tentativo he viene assunta valida perhé fornise risultati ampiamente verifiati in sede sperimentale e perhé soddisfa il punto 4). Consideriamo ora l equazione fondamentale della dinamia newtoniana espressa dalla () nella formulazione F k du k m 0 (5) dt e riprendiamo in esame la (3). Poihé in essa dt U / è un invariante e poihé F k è la parte spaziale di un 4-vettore, anhe la quantità /dt U /drk deve essere la parte 7

8 E. Borghi - Relativizzazione della Meania newtoniana spaziale di un 4-vettore he indihiamo on U U 0,U,U,U 3. Possiamo quindi porre: La (3) diviene quindi U k dr k dt F k m 0 ; k,,3 (6) Questa è la parte spaziale della orrispondente relativistia della (5). Infatti in essa ompaiono le parti spaziali dei 4-vettori U e F e per U/ si ottiene la (5). Oupiamoi ora della omponente temporale del 4-vettore U he si riava ponendo nella (6), al posto di dr k, la omponente temporale di dr, ioè dt: U 3 U 0 dt dt du k dt Le rappresentazioni ontrovariante e ovariante di U sono quindi U 0 dr U 0 U dt U α U U dr ; U α U dt dr 3 dt U 3 Poihé dr k dr k e dr k dr k,k,,3 è possibile dare alle (8) anhe la presentazione (A5) (v. Appendie A) he si può srivere anhe osì U ±U e si vede osì he U non è la parte spaziale di U. Osserviamo he il arattere 4-vettoriale di U è garantito dal fatto he esso è espresso dal rapporto fra dr, he è un 4-vettore, e l invariante dt U /. D altra parte le omponenti spaziali di U si riduono a U se U/, periò U possiede tutti i requisiti neessari per ostituire il quadrivettore veloità di un punto. Riprendiamo la (7). La sua parte temporale è dr dt dr dt dr 3 dt (7) (8) F 0 m 0 du 0 dt 8

9 E. Borghi - Relativizzazione della Meania newtoniana dove F 0 è espressa dalla (9), he è stata riavata per analogia on l elettromagnetismo. L espressione 4-vettoriale du F m 0 (9) dt omprende tutte le omponenti di F. Consideriamo l equazione fondamentale della Meania newtoniana espressa dalla () nella formulazione F m 0 A (0) e riprendiamo in esame la (7). Poihé in essa dt U / è un invariante e poihé F k è la parte spaziale di un 4- vettore, anhe la quantità /dt U / duk deve essere la parte spaziale di un 4-vettore he indihiamo on A A 0,A,A,A 3. Possiamo quindi porre A k du k dt () La (7) diviene quindi F k m 0 A k () Questa è la parte spaziale della orrispondente relativistia della (0). Infatti in essa ompaiono le parti spaziali dei 4-vettori A e F e per U/ la () approssima la (0). La omponente temporale di A si riava ponendo nella (), al posto di U k, la omponente temporale di U, ioè U 0 : A 0 du 0 dt Le rappresentazioni ontrovariante e ovariante di A sono quindi A α A 0 A A A 3 du 0 dt du dt du dt du 3 dt ; A α Riprendiamo la (). La sua parte temporale è F 0 m 0 A 0 9 A 0 A A A 3 du 0 dt du dt du dt du 3 dt (3)

10 E. Borghi - Relativizzazione della Meania newtoniana L espressione 4-vettoriale F m 0 A (4) omprende tutte le omponenti di F. Se on ds indihiamo l intervallo infinitesimo otteniamo dalle (4), (9) e (4) ds dt (5) F m 0 d ds dr ds m 0 du ds m 0A ; U dr ds ; A du ds (6) Le (6), oppure le (4), (9) e (4), sono le versioni Lorentz-ovarianti dell equazione fondamentale della Meania newtoniana. Per piole veloità U diventano equazioni Galileo-ovarianti. In partiolare la (5) mostra he per piole veloità ds/ è uguale all intervallo temporale newtoniano dt. Integrando la (5) si ottiene: s t 0 dt Questa equazione mostra he, osì ome t è assunto in meania newtoniana ome parametro orrente sulla traiettoria tridimensionale di un punto, analogamente s può essere assunto in meania einsteiniana ome parametro orrente sulla traiettoria quadrimensionale (linea d universo) di un punto nello spaziotempo. Segue he le equazioni parametrihe della linea d universo di un punto in moto nello spaziotempo sono: R R(s) ovvero t t(s) ; x x(s) ; y y(s) ; z z(s) Per quanto si è detto, se U, queste equazioni diventano t t ; x x(t) ; y y(t) ; z z(t) Osserviamo, a ompletamento del parallelismo he abbiamo stabilito fra s e t, he il parametro s è invariante per ogni osservatore inerziale osì ome lo è t in meania newtoniana. Riprendiamo il problema della relativizzazione della meania newtoniana. Per relativizzare la grandezza newtoniana quantità di moto P m 0 U poniamo P m 0 U (7) 0

11 E. Borghi - Relativizzazione della Meania newtoniana P è il 4-vettore quantità di moto relativistia e ha le seguenti omponenti ontrovariante e ovariante: m 0 m 0 P α P x P x ; P α ; P m 0 P y P y ±P P z P z Notiamo he P non è la parte spaziale di P. Ora onsideriamo la omponente temporale di P: P 0 P 0 m 0 ( ) (8) Sviluppiamo in serie questa relazione nell intorno di U 0: ) / P 0 m 0 ( { ( ) ) 0 ( m 0 ( U + 0 ) ( U ) ( ) + ( U ) + } I oeffiienti binomiali hanno espressioni ottenibili da ( ) ; 0 ( ) n ( 0)( )( ) ( (n )) n! per n > 0 Si ha osì ( ) 0! ; ( ) ( 0)( )! 3 8 periò, moltipliando per P 0 m 0 { ( U ) ( U ) + } da ui P 0 m 0 + m 0U + 3 8m 0U 4 + Rionosiamo nel seondo termine a membro destro l energia inetia T della partiella di massa m 0, mentre i termini suessivi sono trasurabili se U. Infatti si può srivere: P 0 m 0 + ( m 0U + 3 U ) 4 + m 0 + m 0U m 0 + T La quantità m 0 è un termine puramente relativistio ed è detto energia di riposo della partiella: dunque una partiella ha energia per il fatto he ha massa, o anhe si può dire he la massa è un modo di manifestarsi dell energia.

12 E. Borghi - Relativizzazione della Meania newtoniana Notiamo he P 0, he ha le dimensioni di un energia, è una quantità he non si annulla per U 0 periò non può essere onsiderata un energia inetia. Essa viene hiamata sempliemente energia relativistia E della partiella e, in aordo on la (8), è definita da E P 0 P 0 m 0 (9) Notiamo anhe he il onetto di energia viene introdotto, in meania newtoniana, ome una grandezza salare a sé stante he, pur essendo utile nell analisi di numerosi problemi, non è parte integrante della teoria newtoniana. Ora invee onstatiamo he P 0 E/, il he signifia he l energia non è uno salare, ma è la omponente temporale (a meno di /) del 4-vettore P, osihé, operando su questo una trasformazione speiale di Lorentz, si ottiene (β v/ ; γ / β ): E γ(e βp ) ; P γ(p β E ) ; P P ; P 3 P 3 Si vede quindi he passando da un osservatore inerziale a un altro si ha la trasformazione di energia in quantità di moto e vieversa. È talvolta onveniente riferirsi alla seguente notazione: P α P 0 P P P 3 E P x P y P z ; P α P 0 P P P 3 E P x P y P z E ; P ±P (30) (3) avendo posto Ora osserviamo he (v. eq. (A5)) P P P x,p y,p z periò ovvero da ui P α P α m 0 Uα U α m 0 ( U x U y U z ) m 0 ( U ) m 0 P α P α ( E E +P) m 0 (3) P E P m 0 E m 0 + P (33)

13 E. Borghi - Relativizzazione della Meania newtoniana Questo è un altro modo di esprimere l energia E di una partiella di massa m 0, un modo in ui ompare la parte spaziale di P. La (33) è ovviamente equivalente alla (9). Infatti: E m 0 + P m 0 + m 0 U m 0 + U U m 0 (34) U e infine E m 0 Esistono altri modi di relativizzare l equazione fondamentale della Meania newtoniana: uno onsiste nel passare dallo spazio eulideo 3-dimensionale allo spazio eulideo omplesso 4-dimensionale on oordinate x, y, z, it. L idea su ui questo proedimento di relativizzazione si basa è he in luogo dell espressione si può onsiderare la e questa può essere sritta anhe osì R α R α t x y z R α R α x + y + z t R α R α x + y + z + (it) Questo modo può essere vantaggioso se non si desidera introdurre, nel proesso di relativizzazione, i onetti di ovarianza e ontrovarianza, he nello spazio omplesso 4-dimensionale eulideo sono oinidenti (v. eq. dalla (A4) alla (A7) dell Appendie A). Non i soffermeremo su questo aspetto del problema della relativizzazione della Meania newtoniana e prenderemo invee in onsiderazione un modo di relativizzare he non omporta l abbandono dell ordinario spazio 3-dimensionale eulideo. Consideriamo la (7) e moltiplihiamola per U /. Tenendo onto della () si può srivere F k d U k m 0 dt ovvero Ponendo F d m 0 dt m 3 m 0 U (35) (36)

14 E. Borghi - Relativizzazione della Meania newtoniana si può srivere F d(mu) dt Questa equazione è espressa in funzione di F e U he sono grandezze newtoniane e quindi non relativistihe, tuttavia l introduzione di una massa m dipendente dalla veloità rende la (37) relativistiamente orretta, ioè la rende equivalente alla parte spaziale della (9). Ci proponiamo ora di determinare l espressione dell energia di una partiella di massa m 0 avente veloità U e posizione R su ui agise una forza F he la sposta di dr osihé il lavoro infinitesimo eseguito sulla partiella dalla forza F è Tenendo onto della (37) si ottiene (37) dw F dr (38) dw d(mu) dt dr d(mu) dt Udt ( ) dm dt U + mdu Udt dt dm du du U Udt + mdu dt dt Udt dm du U U du du dt + mu dt dt dt dm du U du + mu du Riordando la (36) si può srivere: dw d du m 0 U du + m 0 U du da ui dw m 0 U ( ) 3 U du + m 0 U du Ora osserviamo he U du d(u U) du UdU e quindi segue dw U m 0 UdU ( ) 3 + ( ) m 0 UdU ( )3 m 0U du ( )3 m 0 d In definitiva tenendo onto della (36) si può srivere: dw d(m ) (39) 4

15 E. Borghi - Relativizzazione della Meania newtoniana Questa equazione mostra he il lavoro dw eseguito sulla partiella produe l inremento della quantità m, la quale deve quindi essere interpretata ome un energia, he indihiamo on E: E m 0 m (40) Abbiamo osì ritrovato la (9) servendoi eslusivamente delle grandezze newtoniane F, U e del onetto di massa variabile on la veloità. È dunque possibile tener onto degli sviluppi relativistii einsteiniani senza usire dallo senario della Meania newtoniana, salvo il fatto he oorre rendere la massa di una partiella dipendente dalla veloità della partiella. Tuttavia si tratta solo di una possibile alternativa, he può essere ignorata se si introdue un appropriato spazio 4-dimensionale pseudoeulideo e se in esso vengono definite le grandezze R, F, U e il parametro s ome mostrano le (6) nelle quali ompare la massa ostante m 0. 5

16 E. Borghi - Relativizzazione della Meania newtoniana Appendie A Tensore metrio η η αβ ηαβ ; α,β 0,,,3 (A) ηα β η αγ η γβ ηα β η αγ η γβ (A) Tensore di Levi-Civita ε 0 se almeno due indii sono uguali ε αβγδ ± se gli indii sono tutti diversi η e 0 se almeno due indii sono uguali ε αβγδ ± g se gli indii sono tutti diversi η dove il segno + vale se αβγδ è una permutazione pari e il segno se è dispari e dove η è il determinante del tensore metrio pseudoeulideo. Si ha osì: ε 03 ε 03 ε 30 ε 30 ε 30 ε 03 ε 30 ε 30 ε 03 ε 03 ε 03 ε 30 e anhe ε 03 ε 30 ε 30 ε 30 ε 30 ε 03 ε 30 ε 30 ε 03 ε 03 ε 03 ε 03 mentre le omponenti ovarianti hanno segno opposto. Coordinate di un evento R dello spaziotempo t t x α R α x y ; x x α R α y z z x α α / t / x / y / z ; x α α / t / x / y / z (A3) (A4) 6

17 E. Borghi - Relativizzazione della Meania newtoniana Quadriveloità U (U veloità newtoniana) U α U x U y ; U α U z U x U y U z (A5) Densità di quadriorrente ı ρ ρ i α i x i y ; i i α x i y i z i z (A6) Quadripotenziale elettromagnetio Φ ϕ ϕ Φ α A x A y ; Φ A α x A y A z A z (A7) Campo elettromagnetio F 0 E x E y E z 0 E x E y E z E F αβ x 0 B z B y E y B z 0 B x E z B y B x 0 E x 0 B z B y ; F αβ E y B z 0 B x E z B y B x 0 0 E x E y E z (A8) F β α η νβ F αν η αν F νβ E x 0 B z B y E y B z 0 B x E z B y B x 0 (A9) Campo e.m. espresso in funzione del 4-potenziale Φ F ( Φ Φ ) (A0) Quadriforza F (F forza newtoniana) F U F α F x F y F z ; F α F U F x F y F z (A) 7

18 E. Borghi - Relativizzazione della Meania newtoniana Riese omodo esprimere le grandezze 4-dimensionali he ompaiono ome fattori nei prodotti ontratti di tensori in funzione di grandezze 3-dimensionali usando una notazione he omprende sia le omponenti ontrovarianti (segno superiore) he le omponenti ovarianti (segno inferiore): Esempi d uso: R R α R α (t, R) t R R t ±R t ı ρ ±ı Φ ϕ ±A F ±E B ω k ±k t R x α x α ( t, ) t (t) ı Φ i α Φ α (ρ,ı) ϕ ρϕ ı A A ı α i α ( t, ) ρ ρ ı t + ı k R k α R α ( ω,k) t ω t k R ωt k R R (A) F : F F αβ F αβ (E,B) : ( E,B) (E,B) E B + (E,B) E B (A) (A3) (A4) (A5) (A6) (A7) (A8) (A9) (A0) (A) E ( E) + B B + E ( E) + B B (B E ) (A3) Nello spazio R,it si ha: x y R α z it ; P α 8 P P P 3 ie (A4)

19 E. Borghi - Relativizzazione della Meania newtoniana 0 B z B y ie x B z 0 B x ie y F αβ B y B x 0 ie z ie x ie y ie z 0 Φ α i x i y i α i z iρ A x A y A z iϕ (A5) (A6) (A7) 9