Sull effetto Compton 1. E. Schrödinger

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1 Sull effetto Compton 1 E. Shrödinger È noto he seondo la teoria ondulatoria della lue tutte le variazioni della frequenza e della normale d onda si possono prevedere in base a onsiderazioni assai semplii e generali sulla fase, senza introdurre un qualsivoglia dettaglio del proesso. Penso a onsiderazioni del tipo seguente: un onda luminosa on la fase πν [t n ] (αx + βy + γz) inida dalla direzione degli z positivi sul piano x, y, he ostituise la superfiie di separazione di due mezzi on indii di rifrazione n (per z > 0) e n (per z < 0). Si assuma l onda rifratta on la fase [ ] πν t n (α x + β y + γ z) + δ e si rihieda per z = 0 una differenza di fase ostante, ioè indipendente da x, y, t; si ottiene ν = ν, n α = nα, n β = nβ, ossia la legge della rifrazione di Snellius. Il proedimento è osì generale, he per esempio esso vale immutato anhe per i ristalli. Esso si può estendere senz altro a superfii di separazione in moto. Un esame dettagliato del proesso elettromagnetio sarà pur sempre neessario quando i si interessi anhe delle intensità (formule di rifrazione di Fresnel). Poihé ora i si aspetta di trovare nelle onde di de Broglie uno strumento pari all ottia ondulatoria per dominare quei proessi, he prima si erano interpretati e- slusivamente ome moti orpusolari, bisogna aspettarsi e rihiedere he sulla base di onsiderazioni di fase assai semplii del tipo prima introdotto si possano rendere omprensibili le variazioni di direzione e di frequenza delle onde d etere he intervengono nell effetto Compton in onnessione on le variazioni di veloità dell elettrone. Anhe queste ultime, seondo l idea di de Broglie, sono desrivibili ome variazioni di direzione e di frequenza di un onda, ossia dell onda di de Broglie. Un esame più approfondito della meania ondulatoria del proesso, ome reentemente ha ondotto on pieno suesso W. Gordon, è neessario per la determinazione delle intensità. Poihé quest ultimo è onsiderevolmente lungo e intriato, la trattazione semplie ed intuitiva omuniata nel seguito, he dà tutto fuorhé l intensità, può essere in ogni aso assai desiderabile. Partiamo da un risultato dell ottia lassia. Quando in un mezzo trasparente, omogeneo e isotropo, il ui indie di rifrazione dipenda dalla densità, un raggio luminoso di lunghezza d onda λ inroia un onda di ompressione (onda sonora) di lunghezza d onda Λ, ome ha mostrato L. Brillouin 3 on un alolo puramente lassio, il raggio luminoso viene riflesso parzialmente in modo regolare dai piani 1 Über den Comptoneffekt, Annalen der Physik 8, (197). W. Gordon, Zeitshr. f. Phys. 40, 117 (196). Gordon è stato osì gentile, da onsentirmi una visione del suo manosritto, dal quale sono stato portato alla semplie rappresentazione seguente, he in nue sta alla base anhe della trattazione di Gordon. 3 L. Brillouin, Annales de Phys. 17, 88 (193). 1

2 delle onde sonore, purhè tra le due lunghezze d onda e l angolo di illuminazione ϑ sussista la relazione di Bragg ben nota nella teoria della riflessione dei raggi Röntgen (1) Λ sin ϑ = λ per la riflessione al prim ordine (= λ, non = kλ). Questo si trova in approssimazione, quando la veloità della lue può essere onsiderata molto grande rispetto alla veloità del suono. Detto più preisamente, suede ome per uno spehio in moto: l angolo di riflessione non è esattamente uguale all angolo di inidenza, il raggio luminoso subise spostamento Doppler, e anhe la (1) va orretta, ome avverrebbe per un ristallo in moto. Queste leggi sono riavate in un altro lavoro 4 nel quale poi si mostra on soddisfazione he il risultato di Brillouin si può ottenere anhe dall ipotesi di uno sambio quantizzato di energia ed impulso. Si era allora dell opinione, he l intera nostra spiegazione della natura si dovesse ostruire in fin dei onti on siffatti bilani quantii e i si rallegrava ogni volta he un risultato lassio degno di fede si poteva trasferire agevolmente dalla vehia alla nuova base. Prendiamo adesso per osì dire la via opposta. Mostriamo he in stretta analogia on il risultato di Brillouin su riordato si può dare un interpretazione seondo la meania ondulatoria delle relazioni di Compton, he non è per nulla meno semplie della trattazione quantistia dell impulso e dell energia. Un onda piana () ψ e πi h [hνt h ν ν 0 (αx+βy+γz) ], dove α + β + γ = 1, ν 0 = m 0 /h (m 0 =massa a riposo dell elettrone, h=ostante di Plank, =veloità della lue), soddisfa nello spazio privo di ampi l equazione d onda-ψ proposta negli ultimi tempi da molte parti 5 ψ 1 ψ 4π ν0 ψ = 0, e si riferise seondo de Broglie ad un elettrone he si muova on energia hν nella direzione α, β, γ. Da questa si alola in modo noto he hν, h ν ν0 α, h ν ν 0 β, h ν ν 0 γ è il tetravettore energia-impulso del orrispondente elettrone. Dal punto di vista dell onda lo hiameremo tetravettore di propagazione e indiheremo on questa espressione i oeffiienti di t, x, y, z nella fase (tralasiando il fattore π/h) per un onda piana sinusoidale del tutto arbitraria, sia essa un onda ψ, sia un onda 4 E. Shrödinger, Physik. Zeitshr. 5, 89 (194). 5 O. Klein, Zeitshr. f. Phys. 37, 895 (196); E. Shrödinger, Ann. d. Phys. 81, 109 (196); V. Fok, Zeitshr. f. Phys. 38, 4 (196); Th. De Donder e H. van den Dungen, Compt. rend., 5 luglio 196; L. de Broglie, Compt. Rend., 6 luglio 196; J. Kudar, Ann. der Phys. 81, 63 (196); W. Gordon, opera itata.

3 d etere, o qualos altro. Il vettore di propagazione è un onetto puramente della inematia delle onde ed ha le omponenti 3 (3) h frequenza, hα hβ hγ dove α, β, γ sono i oseni direttori della normale d onda. Per un onda d etere queste quantità oinidono pure on i valori dell energia e dell impulso seondo la teoria dei quanti. Tuttavia questi rihiami a grandezze quantistihe servono solo ad agevolare alla fine l identifiazione del nostro risultato on quello di Compton - operiamo on il onetto puramente della inematia delle onde (3) di vettore di propagazione. - Per vettore di propagazione tridimensionale intendiamo naturalmente la proiezione spaziale, ioè il vettore (3) dopo aver tralasiato la prima omponente. Seondo l ipotesi sempre finora onfermata della meania ondulatoria non si assoia signifiato fisio alla funzione ψ stessa, ma al quadrato del suo valore assoluto, e in partiolare il signifiato: densità di elettriità 6. Una sola onda ψ del tipo () genera quindi una distribuzione di densità ostante nello spazio e nel tempo. Se tuttavia ne sovrapponiamo due - le ostanti della seonda siano ν, α, β, γ si rionose failmente he dalla loro azione ongiunta si forma una onda di densità elettria on un vettore di propagazione he è la differenza vettoriale dei vettori di propagazione delle due onde ψ ostituenti. Se hiamiamo simboliamente questi due vettori A, A, quello dell onda di densità è 7 (4) D = A A. Quest onda di densità è ora quella he ompare al posto dell onda sonora di Brillouin. Se faiamo l ipotesi he da essa un onda luminosa sia riflessa ome da uno spehio in moto, purhè sia soddisfatta la legge di Bragg, le nostre quattro onde, ioè le due onde ψ, A ed A, l onda luminosa inidente e l onda luminosa riflessa, ome mostreremo, stanno proprio nel rapporto di Compton. La differenza rispetto al aso di Brillouin della riflessione da un onda sonora è solo quantitativa, perhé in generale la veloità della nostra onda di densità D non è piola rispetto alla veloità della lue; si possono avere valori arbitrari fino alla veloità della lue (ma mai sopra la veloità della lue, ome si verifia failmente). La dimostrazione della nostra affermazione si ottiene failmente. Non oorre infatti trovare davvero la riflessione da uno spehio in moto. Poihé tutte e quattro le onde e naturalmente anhe i loro vettori di propagazione sono invarianti per trasformazioni di Lorentz, possiamo on una di queste trasformare a riposo l onda di densità. La prima omponente (temporale) del suo vettore di propagazione sarà allora nulla. Inoltre allora la frequenza (e la lunghezza d onda) dell onda luminosa non ambiano per riflessione, ioè la omponente temporale del vettore di propagazione di questa risulta invariato per riflessione. In onlusione la relazione di Bragg vale proprio nella forma (1), dove λ è la lunghezza d onda dell onda luminosa, Λ quella dell onda di densità, ϑ l angolo di illuminazione. Essa si può porre nella forma: 6 Il raffinamento relativistio nel nostro aso non ambia questa ipotesi. (W. Gordon, luogo itato). 7 Il segno è di poa importanza, perhé sambia soltanto i ruoli delle due onde ψ.

4 4 (5) h λ sin ϑ = h Λ, he spieghiamo on l adiaente Fig. 1, nella quale va anhe notata l uguaglianza dell angolo di inidenza on l angolo di riflessione. La (5) esprime quindi he il trivettore dell onda luminosa inidente, sommato al trivettore di D, è uguale al trivettore dell onda luminosa riflessa. Ma un rapporto analogo al suddetto vale anhe per le omponenti temporali: queste sono nulla per D e immutata dopo la riflessione per l onda luminosa. Se indihiamo on L e on L i tetravettori di propagazione per l onda luminosa inidente e riflessa, possiamo riassumere tutto questo nella singola equazione tetravettoriale 8 (6) L + D = L, he ora deve valere per un arbitrario sistema di oordinate tetradimensionale. Combinata on la (4) essa dà (7) L + A = L + A. Tenendo onto del signifiato delle omponenti di L, L seondo l ipotesi dei quanti di lue e di quelle di A, A seondo l assoiazione di de Broglie delle onde ψ on l elettrone, l equazione (7) risulta esattamente in aordo on l ipotesi della teoria di Compton dell energia e dell impulso per l effetto Compton. E assai interessante notare la ompleta reiproità tra le onde ψ da un lato e le onde luminose dall altro. Il fenomeno si può interpretare parimenti ome riflessione di Bragg di un onda ψ da parte del sistema di frange d interferenza prodotto da due onde luminose he s inroiano. Nel sistema di oordinate selto, prima utilizzato, esso è a riposo ed è identio al sistema di onde luminose stazionarie di O. Wiener. Le relazioni (4) e (6) diono he il sistema di frange d interferenza e l onda di densità oinidono, hanno entrambe il vettore di propagazione D. Il sistema di oordinate selto è proprio quello he Pauli 9 ha trovato ome il più onveniente nello studio dell effetto Compton. La Fig. era di rappresentare le relazioni tra i quattro fronti d onda he si ompenetrano e le onde ombinate stazionarie (tratteggiate) nel sistema di oordinate spaziotemporale selto. Per non onfondere la figura, i due fronti d onda luminosi sono disegnati solo nella metà sinistra e i due fronti d onda ψ solo nella metà destra. Le free indiano la direzione d avanzamento dei fronti d onda a ui sono perpendiolari. La loro lunghezza non ha signifiato. Si immaginerà di trasportarle parallelamente al entro della figura, in modo he le piume di L ed A oinidano in un solo punto on le punte di L ed A. - Dalla figura si oglie failmente la ondizione di Bragg (1) per iasuna delle oppie di onde (L,L ) e (A,A ) nel loro rapporto on l onda stazionaria ome ristallo. Si può dire quindi: Le leggi sulla direzione e sulla frequenza dell effetto Compton sono ompletamente equivalenti all affermazione he la oppia d onde luminose e la oppia d onde 8 Il segno di D nella (6) è di poa importanza, perhé sambia soltanto i ruoli delle due onde luminose. 9 W. Pauli jr., Zeitshr. f. Phys. 18, 7 (193).

5 ψ he parteipano soddisfino alla ondizione di Bragg per riflessione al prim ordine (generalizzata al ristallo in moto) relativamente ad una ed una stessa shiera di piani retiolari ; ogni shiera di piani retiolari pensabile può avere a priori arbitrarie la giaitura, la spaziatura dei piani e la veloità di traslazione (minore di quella della lue). Potrei ora inontrare un obiezione di prinipio. Si potrebbe dire: sì, ma i dati primari dell effetto Compton sono una onda luminosa ed un elettrone he si muove in un modo determinato, ossia, diiamo, una onda ψ; ome ompare la seonda onda ψ, selta opportunamente, he assieme a quella preesistente ostituise uno spehio di Bragg appropriato per l onda luminosa preesistente? - A iò si deve repliare, he le semplii onsiderazioni di fase he qui abbiamo presentato non possono ertamente raggiungere una risposta a tale domanda. Studiamo on queste per osì dire il fenomeno Compton in regime stazionario, nel quale ostantemente l onda primaria di un tipo per riflessione sul sistema di frange d interferenza dell altro tipo si trasforma in onda seondaria e vie-versa. Proediamo esattamente ome per le analoghe onsiderazioni nell ottia, almeno fin quando non la studiamo molto più preisamente per mezzo di una teoria più dettagliata. Anhe in quel aso non trattiamo in generale il primo apparire per esempio di un onda riflessa e di un onda rifratta in orrispondenza alla testa d onda dell onda primaria, ma faiamo un ipotesi non solo per l onda inidente, ma anhe per tutte le altre onde, la ui omparsa si può prevedere, e erhiamo on questa ipotesi di rappresentare uno stato stazionario, he soddisfi a tutte le ondizioni da imporsi. Zürih, Physikalishe Institut der Universität. 5 (rievuto il 0 novembre 196)