ossia Φ(x, y, z, t) è una grandezza scalare. Esempi di campi scalari le mappe di temperatura, di pressione, di densità e così via.

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1 PROGRAMMA DEL CORSO DI FENOMENI ONDULATORI STEFANO SIMONUCCI Sommario. Il modulo di 6 rediti ira 52 ore) tratta argomenti dei fenomeni ondulatori di vario tipo: onde meanihe, elettromagnetihe, onde di materia o probabilità. Esso è rivolto agli studenti del Corso di Laurea in Fisia e viene tenuto nel seondo semestre dell' anno aademio 2015/2016. Il testo di riferimento è: Fisia vol. II di P. Mazzoldi, M. Nigro e C. Voi. Gli argomenti itati nel programma non rialano esattamente i paragra del libro di testo. Cenni sugli strumenti matematii neessari Algebra lineare. Numeri omplessi. Derivate, integrali e equazioni dierenziali delle funzioni di una variabile. Funzioni di più variabili. Derivate parziali e integrali multipli. Equazioni dierenziali alle derivate parziali. 1. Onde nei mezzi elastii: equazione delle onde In generale si denise ome onda una qualsiasi perturbazione, impulsiva o periodia, he si propaga on veloità ben denita 1. Ci sono molti tipi di onde: o onde sonore, sismihe, onde sulla superie di un liquido, onde elettromagnetihe, onde gravitazionali e osì via. Formalmente le onde sono perturbazioni dall' equilibrio di un ampo. I ampi possono essere di molti tipi. Il luogo o l' oggetto da ui viene prodotta la perturbazione viene detto sorgente Campi salari e vettoriali. In generale un ampo sarà una funzione he ad ogni punto dello spazio tempo R 3 R ) assoia una grandezza sia Φ : R 3 R G dove G rappresenta l' insieme dei valori he può assumere la grandezza sia in questione. A seonda del tipo di grandezza possiamo avere vari tipi di ampo Campo salare: Φ : R 3 R R ossia Φx, y, z, t) è una grandezza salare. Esempi di ampi salari le mappe di temperatura, di pressione, di densità e osì via. 1 P. Mazzoldi, M. Nigro, C. Voi, Fisia volume II, Elettromagnetismo e onde - Seonda edizione - p.449 1

2 PROGRAMMA DEL CORSO DI FENOMENI ONDULATORI Campo vettoriale. ossia A : R 3 R R 3 A x x, y, z, t), A y x, y, z, t), A z x, y, z, t) Esempi di ampi vettoriali possono essere le mappe della veloità del vento, oppure il ampo elettrio o gravitazionale. Esistono anhe ampi on più omponenti ossia i ampi tensoriali. Il ampo gravitazionale relativistio ad esempio è un ampo a 10 omponenti, mentre il ampo elettromagnetio relativistio è a 6 omponenti 3 per il ampo elettrio e 3 per il ampo magnetio) Equazione delle onde Equazione delle onde in una dimensione. Data una grandezza salare ξ in una dimensione spaziale abbiamo 2 ξ 2 = 1 2 ξ v 2 t 2 dove v è la veloità di propagazione dell' onda. Le soluzioni sono del tipo ξx, t) = fx vt) + gx + vt) on f e g arbitrarie funzioni di una variabile Equazione delle onde in più dimensioni. 1.1) 2 ξ ξ y ξ z 2 = 1 2 ξ v 2 t Onde armonihe. Le soluzioni generali sono più ompliate. Possiamo allora erare soluzioni separabili per la 1.1). Otteniamo osì ξx, y, z, t) = Xx)Y y)zz)t t) X X + Y Y + Z Z = 1 T v 2 T da ui disende he X Y, Z T devono essere ostanti. Nel aso in ui si erhino soluzioni in tutto lo spazio si devono esludere i asi he portano ad onde esplosive, ossia X X, Y Y, Z Z e T T devono essere ostanti negative X X = Y k2 x, Y = Z k2 y, Z = T k2 z, T = ω2 ossia le soluzioni separabili sono del tipo onda piana X, Y Z e T e ±i k r ωt) Una soluzione generale si potrà dunque srivere ome sovrapposizione di onde piane armonihe. Il laplaiano 2 = 2 ξ + 2 ξ 2 y + 2 ξ 2 z può essere sritto anhe in oordinate 2 sferihe 2 = 1 r 2 r r2 r + 1 r 2 sin θ θ sin θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 o ilindrihe 2 = 1 r r r r r 2 φ z 2 per studiare le onde ilindrihe o sferihe.

3 PROGRAMMA DEL CORSO DI FENOMENI ONDULATORI Propagazione di un' onda longitudinale o trasversale in una sbarra elastia. Sia ξ lo spostamento di un punto della sbarra rispetto alla posizione di equilibrio, S la sezione della sbarra e E il modulo di Young ξ = 1 F E S = F x) = ES ξ per la legge di Hooke. Quindi per un tratto di sbarra dx la forza totale agente sul tratto è F x + dx) F x) = ES 2 ξ 2 dx e per la seonda legge della dinamia Abbiamo osì F x + dx) F x) = dm 2 ξ t 2 = ρs 2 ξ t 2 dx E 2 ξ 2 = ξ ρ 2 t 2 E he è un equazione delle onde on v = ρ Propagazione di un' onda trasversale in una orda tesa. In questo aso lo spostamento ξ è trasversale rispetto alla orda. La forza agente su un singolo segmento di lunghezza dx dipende dalla inlinazione piola) he ha il tratto di orda rispetto alla direzione all' equilibrio. La forza F x) dovuta al segmento adiaente è F x) = T ξ. Poihè il segmento è tirato dalle parti di orda adiaenti, la forza totale trasversale) dipende dalla variazione della inlinazione della orda F x + dx) F x) = T 2 ξ 2 dx Come nel aso di un' onda longitudinale dalseondo prinipio riaviamo Denotando on ρ l = dm dx dm 2 ξ t 2 = T 2 ξ 2 dx la massa per unità di lunghezza abbiamo 2 ξ 2 = ρ l 2 ξ T t 2 he oinide on l' equazione delle onde se v = T ρ l 1.6. Energia inetia e potenziale di un' onda in un mezzo elastio. L' energia inetia di un elementino dx è data da ) 2 dm ξ = ρs ) 2 ξ 2 t 2 dx t di modo he l' energia per unità di volume è data da ) 2 ρ ξ 2 t Per quanto riguarda l' energia potenziale riordando he l' energia potenziale di una molla è 1 2 k l2. Riordando he E = F l S l = kl ES S, nel nostro aso abbiamo k = l e

4 PROGRAMMA DEL CORSO DI FENOMENI ONDULATORI 4 quindi l 'energia è ESl 2l l 2 e inne osservando he nel nostro aso l 2 l he l' energia per unità di volume è = ξ abbiamo E 2 ) 2 ξ L' energia totale è quindi ρ 2 ) 2 ξ + E t 2 ) 2 ξ 1.7. Potenza trasmessa e intensità di un' onda Onda in un mezzo elastio. Dato un elemento di lunghezza dx e massa dm la somma delle forze agenti sulla massa dalla parte sinistra è F = ES ξ. La potenza assorbita è F per la veloità ξ t ossia P = ES ξ ξ t La potenza per unità di superie ioè l' intensità sarà Nel aso in ui ξx, t) = fx vt) e quindi e u = ρ 2 I = E ξ ξ t ξ t ) 2 ξ + E t 2 = v ξ I = E ξ ξ t = ve ome se l' energia si muovesse on veloità v. ) 2 ξ = E ) 2 ξ ) 2 ξ = vu Onda in una orda. In questo aso, l 'energia per unità di lunghezza è e la potenza trasmessa u l = ρ l 2 ) 2 ξ + T t 2 ) 2 ξ = T P = T ξ ξ t ) 2 ξ he nel aso in ui la perturbazione sia formata solo da un' onda progressiva o regressiva diventa P = vu l

5 PROGRAMMA DEL CORSO DI FENOMENI ONDULATORI Intensità di onde sonore. Un' onda sonora può essere trattata ome un' onda in un mezzo elastio in ui il modulo di Young e dato dal oeienti di ompressibilità β = V dp dv Nel aso delle onde sonore la ompressione è adiabatia e quindi p = v γ osihé β = γp. Nell' onda sonora si può analizzare la pressione invee he lo spostamento. Data l' intensità di riferimento I 0 = W/m 2 he rappresenta la soglia minima per l' udibilità si denise il livello sonoro ome L' unità di misura di B è il deibel. B = 10 log I I 0 Eserizio 1. Trovare lo spostamento massimo delle moleole d' aria e la variazione massima di pressione rispetto all' equilibrio, dovuti ad un' onda sonora di intensità 0dB Onde stazionarie. Matematiamente sono le onde in ui le soluzioni si possono srivere ome un prodotto di una parte spaziale per una temporale: sono ioè soluzioni separabili. ξ r, t) = f r)gt) Di per sé le onde piane potrebbero onsiderarsi stazionarie, tuttavia esse rappresentano grandezze omplesse. Se si prende solo la parte reale o immaginaria di un' onda piana otteniamo una soluzione non stazionaria he si muove on veloità v nella direzione del vettore k. Sovrapponendo onde piane si possono anhe ottenere onde stazionarie reali Onde in un mezzo semi-innito Onde sferihe. Osservando l' equazione delle onde sritta in oordinate sferihe 1 r 2 r r2 r + 1 r 2 sin θ θ sin θ θ ) r 2 sin 2 θ φ 2 ξ = 1 2 ξ v 2 t 2 si può rierare delle soluzioni separabili Otteniamo 1 r 2 R r r2 R r + 1 ξr, θ, φ, t) = Rr)Θθ)Φφ)T t) r 2 sin θθ θ Θ sin θ θ Φ r 2 sin 2 θφ φ 2 = 1 2 T v 2 T t 2 Poihé il membro di sinistra non ontiene t anhe il membro di destra non può ontenerlo, ossia deve essere ostante. L' unia possibilità è quindi 1 2 T v 2 T t 2 = ω2 dato he se la ostante fosse positiva avremmo delle onde esplosive. Analogamente, poihé i primi due termini del membro di sinistra non ontengono φ neanhe il terzo può ontenerlo, ossia 1 2 Φ Φ φ 2 = m2

6 PROGRAMMA DEL CORSO DI FENOMENI ONDULATORI 6 Infatti la funzione Φ deve essere periodia di periodo 2π e quindi la ostante deve essere negativa; inoltre m deve essere intero. Le soluzioni sono quindi Φφ) = e imφ Analogamente si può vedere he il primo termine del primo membro non ontiene θ e φ e quindi si dedue he 1 Θ sin θ sin θθ θ θ m2 sin 2 = ll + 1) θ Le soluzioni di questa equazione dierenziale sono i polinomi assoiati di Legendre Pl m os θ) e rihiedono he l sia intero perhé la funzione sia regolare in θ = 0 e θ = π e he m = l, l. Il prodotto dei polinomi assoiati di Legendre per e imφ ostituisono le armonihe sferihe 2l + 1)! l m)! Y lm θ, φ) = Pl m os θ)e imφ 4π l + m)! Proseguendo otteniamo 1 r 2 R r r2 R r ll + 1) r 2 = ω2 v 2 = k2 Quest' ultima equazione è ben nota in matematia. Le soluzioni sono le funzioni di Bessel sferihe j l kr). Per l = 0, 1 abbiamo ad esempio j 0 kr) = sinkr) kr, j 1 kr) = sinkr) kr) 2 oskr) kr Per l = 0 l' onda è sferiamente simmetria ossia Y 00 θ, φ) = 1 4π. La soluzione separabile è allora del tipo sinkr) ξ = ξ 0 Y lm θ, φ)e iωt kr Onde ilindrihe. Per studiare le onde ilindrihe, riprendiamo il laplaiano in oordinate ilindrihe 1 r r r r r 2 φ z 2 ) ξ = 1 v 2 2 ξ t 2 Proedendo ome prima otteniamo ξr, θ, z, t) = Rr)Φφ)Zz)T t) e 1 2 T v 2 T t 2 = ω2 1 2 Z Z t 2 = k2 1 2 Φ Φ φ 2 = m2 e 1 rr r r R r m2 r 2 k2 = k 2 ossia, denendo k 2 = k2 k 2, 1 rr r r R r m2 r 2 + k2 = 0

7 PROGRAMMA DEL CORSO DI FENOMENI ONDULATORI 7 Le soluzioni sono le funzioni di Bessel J m k r ). Le soluzioni separabili sono periò del tipo ξ r, φ, z, t) = J m k r ) e imφ e ik z e iωt Come esempio riportiamo l' andamento di J 0 x). J 0 x) x Asintotiamente J m x) 2 πx os x mπ 2 π ) Eetto Doppler. L' eetto Doppler si osserva quando sorgente di onde e osservatore sono in moto relativo: onsiste nell' osservare una frequenza dell' onda diversa da quella emessa dalla sorgente. Un' onda elastia si propaga sempre in un mezzo. Consideriamo un' onda piana nel sistema in ui il mezzo è in quiete: e i k r ωt) Sia ora r s la posizione del punto rispetto alla sorgente: r = r S + V S t e sia r O la posizione del punto rispetto all' osservatore, ossia r = r O + V O t e i k r ωt) = e i k r S + k V S t ωt) = e i k r O + k V O t ωt) ossia ωs = ω k V S e ω O = ω k V O = ω S + k VS V ) O Sorgente ferma e osservatore in moto. V S = 0, V O 0 e v veloità dell' onda rispetto al mezzo k = ω v ω S = ω e ω O = ω ω ˆk v V O = ω 1 V ) O v os θ O = ωs 1 V Ov os θ ) Sorgente in moto e osservatore fermo. V S 0, V O = 0 e v veloità dell' onda rispetto al mezzo ω O = ω e ω S = ω ω ˆk v V S = ω 1 V ) S v os θ S e quindi ω ωo = S ) 1 V S v os θ S

8 PROGRAMMA DEL CORSO DI FENOMENI ONDULATORI 8 2. Onde elettromagnetihe 2.1. Equazioni di Maxwell. Rihiamiamo brevemente le equazioni di Maxwell: E = ρ ɛ 0 B = 0 E = B t B = µ 0 j + ɛ 0 µ 0 E t Le due equazioni omogenee impliano in domini on un opportuno tipo di onnessione) l' esistenza di un potenziale vettore A e un potenziale salare Φ tali he E = Φ A t B = A In tal aso per i due potenziali otteniamo anhe le seguenti equazioni 2.1) 2 Φ + A t = ρ ɛ 0 2 A A ) ɛ 0 µ 0 Φ t ɛ 0 µ 0 2 A t 2 = µ 0 j Gauge di Coulomb. I potenziali elettrodinamii A e Φ non sono univoamente determinati dai ampi elettrii e magnetii. Infatti se la oppia A, Φ orrisponde a erti ampi elettrii e magnetii E e B, detta χ una funzione arbitraria E = Φ A t = Φ χ ) t B = A = ) A + χ A + χ ) ioè anhe i potenziali A = A + χ e Φ = Φ χ t orrispondono al medesimo ampo. Questa invarianza dei ampi al variare dei potenziali è detta invarianza di gauge. Nella gauge di Coulomb si erano i potenziali he soddisfano alla ondizione In tal aso l' eq. 2.1) diviene A = 0 t 2 A ɛ0 µ 0 2 A t 2 2 Φ = ρ ɛ 0 = µ 0 j + ɛ 0 µ 0 Φ t Gauge di Lorentz. Un' altra gauge partiolarmente utile è la gauge di Lorentz nella quale A + ɛ 0 µ 0 Φ t = 0 In tal aso l' eq. 2.1) diviene 2.2) 2 Φ ɛ 0 µ 2 Φ 0 t = ρ 2 ɛ 0 2 A ɛ0 µ 2 A 0 t = µ 2 0 j

9 PROGRAMMA DEL CORSO DI FENOMENI ONDULATORI Equazione delle onde nel vuoto. Nel vuoto ρ = 0 e j = 0 e quindi i potenziali soddisfano all' equazione delle onde 2.2). Poihé i ampi si riavano dai potenziali mediante derivazione, anhe i ampi soddisfano all' equazione delle onde 2.3) 2 E ɛ0 µ 0 2 E t 2 = 0 2 B ɛ0 µ 0 2 B t 2 = 0 e la veloità di propagazione di queste onde è = 1 ɛ 0µ 0. Tuttavia poihé l' equazione delle onde 2.3) deriva dalle equazioni di Maxwell, ma non è equivalente, non tutte le soluzioni della 2.3) sono aettabili: lo sono solo quelle he soddisfano alle equazioni di Maxwell. Per vedere questo onsideriamo una soluzione di onda piana E = E 0 e i k r ωt), B = B0 e i k r ωt) e introduiamola nelle equazioni di Maxwell E = i k E = 0, B = i k B = 0 E + B t = i k E iωb = 0, B E ɛ0 µ 0 t = i k B + iωɛ 0 µ 0E = 0 da ui si dedue k E, k B e B = k E = ω ˆk E, E = 2 k B = ˆk B ω dalle quali si dedue anhe he E = B e E B Equazione delle onde e invarianza di Galileo. Le trasformazioni di Galileo omogenee) sono del tipo r = r V t e t = t. Nelle trasformazioni si può anhe aggiungere una traslazione dell' origine del sistema di riferimento senza alterare la sostanza delle ose he diremo. Supponiamo he una perturbazione ξ r, t) soddis all' equazione delle onde 2 ξ 1 2 ξ v 2 t 2 = 0 nel primo sistema di riferimento. Consideriamo ora la stessa onda nel seondo sistema di riferimento ξ r, t ) = ξ r, t) = ξ r V t, t) ξ = ξ ξ, t = V ξ + ξ t da ui otteniamo ) 2 V ξ 2 ξ V v ξ v 2 t 1 2 ξ v 2 t 2 = 0 he ha una forma diversa dalla equazione delle onde. Per quanto riguarda il ampo elettromagnetio la situazione è anora più ompliata in quanto se in un sistema di riferimento ' è solo un ampo magnetio elettrio) in un altro sistema di riferimento i può essere anhe un ampo elettrio magnetio).

10 PROGRAMMA DEL CORSO DI FENOMENI ONDULATORI Elettromagnetismo e relatività Le equazioni di Maxwell non soddisfano al prinipio di relatività di Galileo: faiamo aluni esempi. 1) Le equazioni delle onde he derivano da quelle di Maxwell) per i ampi elettrii e magnetii non soddisfano al prinipio di relatività galileiana. 2) Se in un sistema di riferimento è presente solo una aria statia e quindi solo un ampo elettrio in uno in moto rispetto al primo deve esseri anhe una orrente e quindi anhe un ampo magnetio Trasformazioni di Lorentz. Dato he le equazioni di Maxwell impliano l' esistenza di onde elettromagnetihe nel vuoto on veloità = 1 ɛ0µ 0 se le equazioni di Maxwell sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali questo signia he la veloità delle onde elettromagnetihe è la stessa in tutti i sistemi di riferimento inerziali, indipendentemente dalla veloità della sorgente. Teorema 2. Le trasformazioni lineari L più generali he onservano la veloità della lue ossia s 2 2 t 2 = 0 = s 2 2 t 2 = 0 sono le quelle he onservano la forma quadratia η = avendo denito le oordinate x 0 = t, x 1 = x, x 2 = y e x 3 = z, L t ηl = η ossia quelle he lasiano invariato l' intervallo spazio temporale s 2 2 t he per due qualsiasi punti evento non è neessariamente uguale a 0. È uguale a zero se i punti eventi sono uniti nel vuoto da un' onda elettromagnetia. Dimostrazione. Supponiamo he una trasformazione lineare L t t L x y = x y z z sia tale he se x 2 + y 2 + z 2 2 t 2 = 0 allora anhe x 2 + y 2 + z 2 2 t 2, allora hiamiamo η = L t ηl e supponiamo he per erti i, j = 0, 1, 2, 3 on i j t si abbia η ij = η ji 0. Prendiamo il quadrivettore ρ = x y e ambiamo z segno alla riga j esima e hiamiamo il vettore σ. Ovviamente risulta essere ρ t η ρ = 0 = σ t η σ. Tuttavia ρ t η ρ σ t η σ = 4 ρ i ρ j η ij Quindi se ρ i e ρ j non sono nulli deve essere nullo η ij e dato he è sempre possibile trovare un ρ on ρ i e ρ j ambedue non nulli tale he ρ t η ρ = 0 abbiamo he tutti i termini fuori diagonale di η ij devono essere nulli. Continuando è possibile dimostrare he η = λη on λ numero reale opportuno.,

11 PROGRAMMA DEL CORSO DI FENOMENI ONDULATORI 11 Per le trasformazioni on moto relativo solo lungo x abbiamo ) ) ) L11 L L11 L 12 L = 2 11 L 2 21 L 11 L 12 L 21 L 22 L 12 L L 21 L 22 L 12 L 11 L 22 L 21 L L 2 22 ) ) Le soluzioni a questo sistema on L 11 e L 22 maggiori di zero) sono del tipo ) γ βγ L = βγ γ 1 on γ = 1 β 2 ossia t = γt γvx 2 x = γvt + γx on β = v. Le trasformazioni di Lorentz preservano l' equazione delle onde, tuttavia in sé non risolvono il problema del fatto he in un sistema i possa essere solo un ampo elettrio magnetio), mentre nell' altro, in moto rispetto al primo, ompaia anhe un ampo magnetio elettrio) Vettori ovarianti e ontrovarianti. I vettori ovarianti sono quegli oggetti le ui omponenti si trasformano seondo la legge on ui si trasformano i dierenziali dx µ = µ ν dxν mentre un vettore ovariante è un oggetto le ui omponenti si trasformano seondo la legge on ui si trasformano le omponenti del gradiente Φ ν Φ = µ µ ν Un tensore ovariante e ontrovariante è una famiglia di omponenti he si trasformano da un sistema all' altro nella seguente maniera T µ ν1ν2 1µ 2 = µ1 µ2 α1 ν1 ν2 α2 β1 T β1β2 β2 α 1α Trasformazioni di Lorentz innitesime. Le trasformazioni di Lorentz ostituisono un gruppo. Infatti L = I + ɛa otteniamo A t η + ηa = 0 ossia A t η è una matrie antisimmetria. Quindi una base per i generatori innitesimi è la seguente

12 PROGRAMMA DEL CORSO DI FENOMENI ONDULATORI 12 Dalla teoria dei gruppi ontinui qual'è il gruppo di Lorentz) si sa he l' appliazione esponenziale mappa lo spazio vettoriale dei generatori innitesimi nel gruppo stesso osihé una matrie di Lorentz L si può srivere ome esponenziale di un operatore Per esempio se A = L = L = e ζa allora osh ζ sinh ζ 0 0 sinh ζ osh ζ Questa può essere identiata on la matrie di Lorentz trovata preedentemente γ γβ 0 0 L = γβ γ di modo he β = sinh ζ osh ζ e γ = osh ζ. Per apire il signiato sio di γ, β e ζ oorre fare una trasformazione x 0 γ γβ 0 0 x 0 x 1 x = γβ γ 0 0 x x 2 x x 3 L'origine delle oordinate spaziali del sistema aentato è aratterizzato dal fatto he x 1 = x 2 = x 3 = 0 e quindi γβx 0 + γx 1 = 0, x 2 = x 3 = 0 Traduendo quese equazioni nella notazione t, x, y, z otteniamo x = βt, y = z = 0 ossia l' orgine del seondo sistema si muove rispetto al primo lungo l' asse x on veloità v = β. Quindi β = v e γ = 1. 1 β Alune onseguenze sihe Dilatazione dei tempi e tempo proprio. Una partiella solidale on il sistema di riferimento in moto misurerà un tempo dt = γdt γβ dx. dx D' altra parte dt risulta anhe essere la veloità della partiella he a sua volta è uguale a quella del sistema di riferimento in moto. Quindi dt = γ1 β 2 )dt = dt γ ossia per la partiella in moto il tempo è rallentato. Il tempo misurato da un orologio solidale on la partiella in moto viene detto tempo proprio e si india on dτ. Nel limite di basse veloità il tempo proprio si identia on il tempo del sistema di laboratorio.

13 PROGRAMMA DEL CORSO DI FENOMENI ONDULATORI Contrazione delle lunghezze. Una sbarra di lunghezza ssa l nel sistema in moto è ontraddistinta dal fatto he le due estremità hanno equazioni x 1 = 0 e x 2 = l. Nel sistema di laboratorio le equazioni dei due estremi sono 0 = γx 1 γβt 1, l = γx 2 γβt 2 Nel sistema di laboratorio le due estremità vanno prese ontemporaneamente, t 1 = t 2 e quindi la dierenza di oordinate ossia la lunghezza) in tale sistema risulta essere x 2 x 1 = l γ Trasformazioni delle veloità. v x = dx dt v y = dy dt = v z = dz dt = γ dx βdt) = ) = v x β γ dt β dx 1 βvx 2 2 dy γ dt β dx 2 dz γ dt β dx 2 ) = ) = v y ) γ 1 βvx 2 v z ) γ 1 βvx Vettori e quadrivettori. I quadrivettori possono essere formati on una parte vettoriale A e una parte salare B. on A µ B, A ), A µ A µ = η µν A ν B, A ) dove si intende sottintesa la sommatoria fra due indii ripetuti Leggi della meania. La seonda e la terza legge di Netwon non sono ompatibili on le trasformazioni di Lorentz. Infatti le aelerazioni non risultano essere le stesse in tutti i sistemi inerziali. Esse vanno dunque risritte in maniera tale da preservare il prinipio di relatività per trasformazioni di Lorentz e da ridursi alle equazioni di Newton per veloità piole rispetto a quelle della lue. Questo suggerise di sostituire i vettori dello spazio tridimensionale on dei quadrivettori dello spazio-tempo. Così le veloità vengono sostituite dalle quadriveloità u µ = dxµ dτ γ u, γ u u) La quantità di moto m u è rimpiazzata dal quadrimpulso m dxµ dτ. Con questa de- nizione di quadrimpulso la onservazione della quantità di moto per es. terza legge di Newton) in un sistema di riferimento inerziale implia la onservazione in qualunque altro sistema di riferimento inerziale. La legge di Newton F = m d v dt diventa F µ = m duµ dτ Tenendo onto del fatto he dt = γ u dτ abbiamo F µ γ u F v, γu F )

14 PROGRAMMA DEL CORSO DI FENOMENI ONDULATORI 14 Dal momento he F v = de dt il quadrimpulso può essere interpretato ome ) E p µ, p p = m u 1 u ) mentre E = m 1 2 u ) 2 2. Tutto iò può essere interpretato ome se la massa inerziale resesse on la veloità e ad un ogni orpo di massa m risultasse assoiata un' energia m Campo elettromagnetio. Per studiare il ampo elettromagnetio, partiamo dalla forza di Lorentz: F = qe + q u B Costruiamo il quadrivettore forza F µ F 0 = γ u q E x u x + E y u y + Eu z ) F 1 = γ u q E x + u y B z u z B y ) F 2 = γ u q E y + u z B x u x B z ) F 3 = γ u q E z + u y B z u z B y ) Riordando la denizione di quadriveloità possiamo osservare he tra la quadriforza e la quadriveloità 'è una relazione lineare he si può esprimere per mezzo di una matrie F µ ν = E x E y E z 0 E x 0 B z B y E y B z 0 B x E z B y B x 0 dove l'indie di ontrovarianza india la riga, mente l' indie di ovarianza la olonna m duµ dτ = qf µ ν u ν Da F µ ν possiamo ottenere, per mezzo del tensore metrio η µν = η µν, il tensore antisimmetrio del ampo elettromagnetio F µν = 0 Ex Ey Ez E x 0 B z B y E y B z 0 B x E z B y B x 0 Eserizio 3. Risolvere le equazioni del moto relativistihe in un ampo magnetio ostante e in un ampo elettrio ostante.

15 PROGRAMMA DEL CORSO DI FENOMENI ONDULATORI Equazioni di Maxwell in forma relativistia. Con la denizione data sopra di tensore del ampo elettromagnetio erhiamo di risrivere le equazioni di Maxwell non omogenee E = ρ ɛ 0, B ɛ0 µ 0 E t = µ 0 j ossia µ0 F µ = ρ F µ1, ɛ 0 µ = µ F µ2 0j x, µ = µ 0j y, ) e denendo il quadrivettore j µ ρ, j otteniamo F µν F µ3 µ = µ 0j z µ = µ 0j ν Per questa via le equazioni omogenee sono più diili da srivere. Si potrebbe far vedere he esse possono essere sritte ome F µν σ + F νσ µ + F σµ ν = 0 al variare degli indii µ, ν, σ. Le 64 equazioni he ne risultano non sono indipendenti. Soltanto 4 sono indipendenti e orrispondono alle quattro omponenti delle equazioni non omogenee. Dal fatto he il tensore F µν è antisimmetrio disende immediatamente l' equazione di ontinuità j µ µ = 0 he orrisponde all' equazione lassia ρ t + j = Teorema di Green. Ψ Φ Φ Ψ ) = Ψ 2 Φ Φ 2 Ψ e quindi Ψ 2 Φ Φ 2 Ψ ) dv = V = V Σ Ψ Φ Φ Ψ ) dv = Ψ Φ ) n Φ Ψ dσ n Σ Ψ Φ Φ Ψ ) ˆndΣ dove Σ = V ossia la superie Σ è la frontiera del volume V ), ˆn è la normale esterna alla superie Σ e n è la derivata normale sulla superie Σ. Nel aso in ui trattiamo un ampo Φ he soddisfa all' equazione delle onde 2 Φ Φ t 2 = 0 potremmo erare delle soluzioni del tipo La Φ r) soddisfa all' equazione Φ r, t) = Φ r)e iωt 2 Φ + ω2 2 Φ = 0

16 PROGRAMMA DEL CORSO DI FENOMENI ONDULATORI 16 Dato un punto R onsideriamo la funzione Ψ r) = eik r R he soddisfa all' equazione 2 Ψ + ω2 2 Ψ = 0 r R on k = ω )quasi ovunque tranne he in r = R. Allora se onsideriamo la superie hiusa Σ he ironda il punto R inluso nel volume V ed esludiamo dal volume V una sferetta R ɛ di raggio ɛ e entro in R Ψ 2 Φ Φ 2 Ψ ) dv = 0 V R ɛ e quindi Σ Ψ Φ ) n Φ Ψ dσ = n R ɛ e ikɛ ɛ Φ n ikφ + 1 ) ɛ Φ dσ D' altra parte lim ɛ 0 R ɛ e ikɛ ɛ Φ n ikφ + 1 ) ɛ Φ ds = 4πΦ R) e quindi 3.1) Φ R) = 1 4π Σ dove s = r R e iks s ) Φ θ ikφ os θ + Φos dσ n s e θ è l' angolo fra r R e la normale esterna) alla superie ˆn. Se invee si utilizza la normale interna il segno del oseno deve essere ambiato Caso di una sorgente puntiforme. Kirhhoff's_diffration_formula ) Nel aso della equazione delle onde per lo spostamento ξ R, t possiamo appliare la formula 3.1) al aso in ui l' onda sia prodotta da una sorgente puntiforme ssa. Per sempliità poniamo l' origine degli assi nella sorgente e prendiamo in questo aso la normale interna. Allora ) ξ R, 1 e iks ) Φ θ t = R + ikφ os θ Φos dσ 4π s n s Σ Inoltre hiamiamo q la posizione dell' elemento dσ a partire dalla sorgente, allora Φ q, t) = ξ0 q oskq ωt). Quindi ) ξ R, t ξ 0 = R 4π Σ e ikq+s) iωt qs ik os θ 0 os θ 0 + ik os θ os θ ) q s dσ

17 PROGRAMMA DEL CORSO DI FENOMENI ONDULATORI 17 dove os θ = ˆn ŝ e os θ 0 = ˆn ˆq. Se faiamo l' approssimazione k = 2π λ 1 q e k = 2π λ 1 s ossia λ q, s otteniamo ) ξ R, iξ 0 e ikq+s) iωt 3.2) t = R os θ 0 + os θ) dσ 4π qs Σ = ξ 0 os ) kq + s) ωt + π 2 3.3) os θ 0 + os θ) dσ 2λ qs Σ L' ultima formula dierise solo per un segno inessenziale da quella del libro di testo 14.1). Eserizio 4. Riessione e rifrazione nel passaggio da due mezzi diversi. Consideriamo un' onda piana he inida su un piano di separazione fra due semispazi ostituiti di materiali diversi ɛ 1, µ 1 e ɛ 2, µ 2. Fissiamo l' asse z ortogonalmente alla superie di separazione ed entrante nel mezzo Interferenza 4.1. Interferenza da due sorgenti. Consideriamo due sorgenti puntiformi oerenti stessa ω) e in fase fra loro e distanti d fra loro. Per sempliità mettiamo le due sorgenti lungo l' asse z e sul piano yz e andiamo a vedere in uno shermo posto a y = D qual' è l' intensità dell' onda [ ξ 0 os k x 2 + y 2 + ] [ ) z d 2 2 ωt ξ 0 os k x 2 + y 2 + ] ) z + d 2 2 ωt ξ r, t) = ) + 2 = x 2 + y 2 + z d 2 ξ 0 [os k D 2 + z 2 ωt kzd ) D2 + z 2 2ξ 0 k D2 + z os ) D 2 + z 2 ωt os 2 2D kzd 2D + os ) ) 2 x 2 + y 2 + z + d 2 k D 2 + z 2 ωt + kzd 2D Per quanto riguarda la intensità, essa è proporzionale al quadrato di questa ampiezza, ossia è proporzionale a ) kzd os 2 2D una volta he si sia fatta la media temporale. Per il os 2 la distanza fra due massimi onseutivi è π e quindi nello shermo la distanza z sarà k zd 2D 4.2. Interferenza da due fenditure. = π = z = λd d )] 5.1. Dirazione di Fraunhofer Dirazione di Fresnel. 5. Diffrazione

18 PROGRAMMA DEL CORSO DI FENOMENI ONDULATORI Ottia geometria Lo studio dell' ottia geometria si fa on l' assunzione he i raggi viaggino in linea retta e he alla superie di separazione fra due mezzi rifrangenti i raggi seguano le usuali leggi della riessione e della rifrazione n 1 sin θ 1 = n 2 sin θ Spehi Spehi sferii onavi Spehi sferii onvessi Diottri Diottro semplie Lenti sottili. 7. Proprietà orpursolari e ondulatorie della materia Appendie A. Eserizi A.1. Campo elettromagnetio relativistio. 1) In un laboratorio una partiella, di aria e e massa a riposo m, si muove in presenza di un ampo magnetio B uniforme, in un piano ortogonale al ampo stesso. Risolvere le equazioni del moto relativistihe e, on le trasformazioni di Lorentz, trovare la legge oraria della partiella in un altro sistema di riferimento in moto rispetto al primo in una direzione ortogonale al ampo e on veloità ostante v. Mostrare he anhe nel seondo sistema la partiella veria le equazioni relativistihe del moto. 2) In un sistema di riferimento inerziale il ampo elettrio è diretto lungo z on intensità 5V/m, mentre il ampo magnetio è diretto lungo l' asse x on intensità di 10 3 T. Esiste un sistema di riferimento inerziale in ui si annulla il ampo elettrio? Ne esiste uno in ui si annulla il ampo magnetio? Eventualmente, qual' è la veloità di questi sistemi? 3) Determinare il moto relativistio di una partiella inizialmente ferma in un ampo elettrio di intensità e direzione ostanti E. A.2. Ottia geometria. φ i r i r 1) Il prisma di vetro riportato in gura viene attraversato da una raggio di lue inidente sulla faia sinistra on angolo di inidenza i. Assumiamo he l' indie di rifrazione dell' aria sia 1 e he l' indie di rifrazione sia n. Trovare la relazione tra r e i he tiene onto dell' angolo φ al vertie superiore del triangolo. a) Quanto vale l' angolo δ di deviazione del raggio usente rispetto al raggio inidente, nel aso i = 45, φ = 45 o e n = 2?

19 PROGRAMMA DEL CORSO DI FENOMENI ONDULATORI 19 b) faoltativo) φ = 60 o, i = 45 o e δ = 70 o quanto vale n alolare in maniera approssimata)? i r i =r r 2) Rifrazione di una goia d' aqua. Trovare la relazione fra r' e i e tra la deviazione totale ossia l' angolo fra il raggio entrante nella goia e il raggio usente dalla goia) δ onosendo l' indie di rifrazione n. A.3. Onde meanihe. 1) Il modulo di Young dell' aiaio è ira E = 200 GP a mentre la densità è kg/m 3. Determinare la veloità del suono nell' aiaio. 2) La 1 a orda di una hitarra lassia è ilindria di raggio 0.65mm, lunga 65m e omposta di nylon densità kg/m 3 ). Trovare la tensione della orda supponendo he la frequenza fondamentale dell' onda stazionaria è il Mi 330Hz). B.1. 5 Luglio Appendie B. Compiti di esame 1) Data una orrente I uniforme in un lo rettilineo innito a riposo, alolare ampi magnetii ed elettrii e poi alolarli in un sistema in moto rispetto al primo lungo la direzione del lo on veloità V a) per mezzo delle leggi di trasformazione del ampo elettromagnetio; b) alolando i ampi dalle orrenti e le arihe nel sistema in movimento. 2) Date due lenti sottili bionvesse di distanza foale 50m poste nel medesimo asse ottio alla distanza di un metro, a) trovare a he distanza dalla seonda lente) si forma l' immagine di un oggetto posto a 5m dalla prima lente b) trovare l' ingrandimento globale del sistema di lenti e dire se l' immagine è diritta o apovolta. B.2. 6 Settembre ) Sia λ la aria per unità di lunghezza di un lo rettilineo innito, a riposo, ario. Calolare ampi magnetii ed elettrii e poi alolarli in un sistema in moto rispetto al primo lungo la direzione del lo on veloità V a) per mezzo delle leggi di trasformazione del ampo elettromagnetio; b) alolando i ampi dalle orrenti e le arihe nel sistema in movimento. 2) Rifrazione di una goia d' aqua sferia a) Trovare la relazione fra r' e i e tra la deviazione totale ossia l' angolo fra il raggio entrante nella goia e il raggio usente dalla goia) δ onosendo l' indie di rifrazione n.

20 PROGRAMMA DEL CORSO DI FENOMENI ONDULATORI 20 b) Faoltativa) Spiegare perhé aluni arobaleni sono arhi di erhio il i r i =r r ui entro è il sole.. B Settembre ) Sia dato un piano ario a riposo e sia σ la aria per unità di superie. Calolare ampi magnetii ed elettrii e poi alolarli in un sistema in moto rispetto al primo lungo una direzione parallela al piano on veloità V a) per mezzo delle leggi di trasformazione del ampo elettromagnetio; b) alolando i ampi dalle orrenti e le arihe nel sistema in movimento. 2) Un' onda sonora piana armonia di pulsazione ω = rad/s e intensità I = 10 6 W/m 2 si può propagare in tre mezzi, aria, aqua e ferro, per i quali densità e veloità di propagazione sono rispettivamente ρ 1 = 1.29kg/m 3, v 1 = 344m/s, ρ 2 = 10 3 kg/m 3, v 2 = 1493m/s,ρ 3 = kg/m 3,v 3 = 5130m/s. Calolare nei tre mezzi i valori a) lunghezza d' onda λ, b) dell' ampiezza ξ dell' onda di spostamento e ) dell' ampiezza p dell' onda di pressione B.4. 2 Febbraio ) Sia dato un lo ario a riposo e sia λ la aria per unità di superie. Calolare ampi magnetii ed elettrii e poi alolarli in un sistema in moto rispetto al primo lungo una direzione parallela al lo on veloità V a) per mezzo delle leggi di trasformazione del ampo elettromagnetio; b) alolando i ampi dalle orrenti e le arihe nel sistema in movimento. 2) Una sbarra d'aiaio ρ = Kg/m 3, E = N/m 2 ) di diametro d = 4mm è utilizzata per trasmettere onde longitudinali generate da un osillatore; tali onde sono armonihe di frequenza ν = 10Hz e ampiezza ξ 0 = 0.2mm. a) Calolare la veloità massima dei singoli punti della sbarra e onfrontarla on la veloità di propagazione dell' onda lungo la sbarra. b) Calolare inoltre la densità di energia della sbarra e la potenza dell' osillatore neessaria per mantenere l' onda in assenza di assorbimento. B Febbraio ) Due sorgenti sonore, di eguale frequenza ν = 680Hz ed uguale potenza W, poste a distanza d = 12.5m, emettono in fase onde sferihe he si propagano nell' aria irostante on veloità v = 340m/s. In un punto P dell' asse, distante r = 5m dal punto di mezzo tra le sorgenti, l' onda di spostamento ha l' ampiezza ξ P = 10 8 m. Calolare a) l' ampiezza ξ 1 dell' onda di spostamento di iasuna sorgente, b) la potenza di iasuna sorgente, ) l' ampiezza dell' onda di pressione.

21 PROGRAMMA DEL CORSO DI FENOMENI ONDULATORI 21 2) Un osservatore posto sul fondo di una pisina profonda h = 3m guarda verso l' alto. Tutti gli oggetti he stanno al di sopra della superie dell' aqua sono visti entro un ono di semiapertura θ on entro nell' ohio dell' osservatore. Anhe gli oggetti posti sul fondo della pisina sono egualmente visibili per riessione, purhé ad un distanza maggiore di d m. a) Calolare i valori di θ e d m. L' indie di rifrazione dell' aqua è n = 1.33.