Le trasformazioni geometriche

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1 Le trasformazioni geometrihe Definizione Una trasformazione geometria dei punti del piano è una orrispondenza biunivoa tra i punti del piano: ad ogni punto P del piano orrisponde uno e un solo punto P del piano e vieversa. Studieremo alune importanti trasformazioni geometrihe quali isometrie, similitudini e affinità. ISOMETRIE (o movimenti rigidi) Le isometrie ( ισο uguale, µετρια misura ) sono le trasformazioni geometrihe he onservano la distanza tra i punti ioè se A e B sono una qualunque oppia di punti del piano e A e B sono le loro immagini (i punti trasformati di A e B ) allora si ha he AB A' B' Traslazione E l isometria in ui, fissato un vettore v, tutti i punti del piano si spostano seondo il vettore v (vedi figura). Indiheremo la traslazione di vettore v on il simbolo t ( v). Si può failmente dimostrare he se una retta r si trasforma in r ' si ha he r // r '. 8

2 Fissato un sistema di riferimento artesiano ortogonale, possiamo anhe determinare l equazione v della traslazione di vettore ( a, b) (a e b oordinate di v onsiderando il suo primo estremo P x, y P' x + a, y + b e quindi possiamo srivere nell origine): si osserva he ( ) ( ) x' t ( v) y' x + a y + b Traslazione di una urva di equazione assegnata ome possiamo trovare l equazione di una urva di data equazione traslata seondo una traslazione t ( v)? Esempio onsideriamo per esempio la retta r : y x + e la traslazione t (3, ). Sappiamo quindi he le equazioni della traslazione sono x' x + 3 y' y + Per poter srivere l equazione di r ' oorre riavare x e y dalle equazioni della traslazione e sostituire nell equazione di r. Abbiamo x x' 3 y y' Sostituendo: y ' ( x' 3) ) + y' x' 4 Se poi hiamiamo di nuovo x e y le oordinate abbiamo he l equazione di r risulta y x 4 (ome si può verifiare dal disegno). 9

3 omposizione di traslazioni Appunti di Matematia 4 omporre due trasformazioni signifia farle agire in suessione. In partiolare se P è un punto del piano e t ( v ), t ( v ) sono due traslazioni di vettori v e v, la omposizione t( v ) o t( v ) agirà osì: P P' t( v ) t( v ) P'' Attenzione: quando si srive t( v ) o t( v ) si intende he agisa prima t ( ) : in questo aso però non ambia niente se faio t( v ) o t( v ) e si die he la omposizioni di traslazioni gode della proprietà ommutativa. ome risulta la trasformazione ( v ) t( v ) t o? v (vedi sheda relativa del laboratorio di informatia). 0

4 Rotazione Una rotazione è individuata dal entro di rotazione O e dall ampiezza dell angolo (orientato) α della rotazione: la indiheremo on R ( O, α ). Nel aso della rotazione esiste un punto del piano he viene trasformato in se stesso (il entro di rotazione) e viene detto punto unito. R( O, α ) Osserviamo invee he nella traslazione t ( v) non è nessun punto unito. Si può dimostrare he se (0, ) r R α r' le rette r e r formano un angolo uguale ad α. I) Rotazione on entro oinidente on l origine del sistema di riferimento Riaviamo l equazione della rotazione R ( O, α ) (O origine del sistema di riferimento). Osservando la figura si ha: x' OP' os( y' OP' sen α + β ) OP ( osα os β senα senβ ) ( OP os β ) osα ( OP senβ ) ( α + β ) OP ( senα os β + osα senβ ) ( OP os β ) senα + ( OP senβ ) senα osα Ma x OP os β e quindi y OP senβ x' x osα y senα y' x senα + y osα All equazione della rotazione R ( O, α ) si può quindi assoiare la matrie osα senα senα osα Per esempio le equazioni della rotazione di entro O e angolo α + 45 sono: ( ) x' x y R( O, + 45 ) y' ( x + y)

5 Esempio ome si ottiene l equazione di una urva ruotata seondo una data rotazione R ( O, α )? onsideriamo per esempio l iperbole x y e applihiamo la rotazione R ( O, + 45 ). Abbiamo visto he le equazioni della rotazione sono: x' y' ( x y) ( x + y) Ma per ottenere l equazione dell iperbole ruotata dobbiamo riavare la x e la y (ome avevamo fatto nell esempio della traslazione). Per evitare di fare questi aloli, possiamo pensare he la trasformazione he porta P '( x', y' ) P( x, y) è la trasformazione inversa ioè la rotazione R( O, 45 ) e he ha quindi equazioni: x x' + y' x os( 45 ) x' sen( 45 ) y' y sen( 45 ) x' + os( 45 ) y' y x' + y' x y ( x' + y' ) ( y' x' ) Sostituiamo nell equazione x y ed otteniamo: ( x' + y' ) ( y' x' ) Quindi l equazione dell iperbole ruotata risulta... x' y' x y.

6 II) Rotazione on entro diverso dall origine del sistema di riferimento Se il entro della rotazione è diverso dall origine O del sistema di riferimento, basta onsiderare he rispetto ad un sistema di riferimento di origine le oordinate di P sarebbero x x e y y e le oordinate di P x' x e y' y e quindi avremo: x' x y' y ( x x ) osα ( y y ) ( x x ) senα + ( y y ) senα osα x' y' ( x x ) osα ( y y ) ( x x ) senα + ( y y ) senα + x osα + y Esempio onsideriamo la retta r : y x + ed applihiamo la rotazione R ( ;45 ) on ( 0; ). Riordando he per sostituire x e y dobbiamo srivere la rotazione inversa R (, 45 ) : x x' + ( y' ) x os( 45 ) x' sen( 45 )( y' ) y sen( 45 ) x' + os( 45 )( y' ) y x' + ( y' ) + e sostituendo nell equazione di r otteniamo, dopo diverse semplifiazioni, y '. Infatti ruotando di 45 intorno a si ottiene proprio una retta parallela all asse x (vedi figura). 3

7 omposizione di due rotazioni di entro O In generale se onsideriamo due trasformazioni x' ax + by A y ' x + dy e x' a' x + b' y B y' ' x + d' y a b a' b' ioè A B d ' d' la trasformazione omposta Ao B (si applia prima B e poi A ) risulta B A ( x; y) ( a' x + b' y; ' x + d' y) ( a( a' x + b' y) + b( ' x + d' y) ; ( a' x + b' y) + d( ' x + d' y) ) a a' + b ' a b' + b d' he quindi ha ome matrie assoiata a' + d ' b' + d d' he risulta la matrie prodotto A B definita on la regola del prodotto righe per olonne (*). NOTA Il prodotto tra due matrii si effettua on la osiddetta regola del prodotto righe per olonne : l elemento della matrie prodotto nella posizione riga, olonna si ottiene sommando i prodotti tra gli elementi della riga della prima matrie on gli elementi orrispondenti della olonna della seonda matrie; l elemento riga, olonna si ottiene nello stesso modo onsiderando riga della prima matrie on olonna della seonda matrie e osì via. Il prodotto osì definito non gode della proprietà ommutativa. Per esempio onsideriamo le matrii assoiate alle rotazioni R ( O;α ) e R ( O;β ) la matrie prodotto risulta: osα senα os β senβ A B senα osα senβ os β osα os β senα senβ A B senα os β + osα senβ osα ( senβ ) + ( senα) os β senα ( senβ ) + osα os β e orrisponde alla matrie assoiata alla rotazione dell angolo α + β, poihé osα os β senα senβ os α + β e. ( ) Se per esempio onsideriamo le rotazioni R ( O,30 ) e ( O,60 ) R aventi matrii 3 R e 3 3 R abbiamo R R he infatti orrisponde alla omposizione R R o ioè alla rotazione ( O,90 ) 4 R.

8 Simmetria assiale La simmetria rispetto ad una retta r (asse della simmetria) (e he indiheremo on tutti i punti ome mostrato in figura on PH P' H. S r ) trasforma Tutti i punti della retta r sono fissi (punti uniti ). Osservazione: omponendo una simmetria assiale on se stessa si trova la situazione iniziale (si die he si ottiene la trasformazione identia india on id ): S r o S r id Nota La rotazione di entro O e angolo α 80 viene anhe detta simmetria entrale (di entro O) ed ha la stessa proprietà della simmetria assiale ioè R ( O,80 ) o R( O,80 ) id. 5

9 Nel piano artesiano vediamo ome risulta l equazione della simmetria assiale rispetto alla retta r. Vediamo solo aluni semplii asi. a) Se r oinide on l asse x le equazioni sono hiaramente le seguenti x' x y' y b) Se r oinide on l asse y le equazioni sono hiaramente le seguenti x' x y' y ) Se r oinide on la bisettrie del primo e terzo quadrante le equazioni sono: x' y y' x 6

10 omposizione di due simmetrie assiali Quale trasformazione si ottiene omponendo due simmetrie assiali? E faile verifiare he omponendo due simmetrie assiali on assi paralleli si ottiene una traslazione di vettore perpendiolare alle rette e di modulo doppio della distanza tra le rette, mentre omponendo due simmetrie assiali on assi inidenti si ottiene si ottiene una rotazione intorno al punto di intersezione delle due rette e di angolo doppio dell angolo formato dalle due rette. (Vedi Appunti ). NOTA E importante l ordine in ui si eseguono le trasformazioni: infatti se per esempio S r o S r dà una data traslazione, S r o S r dà la traslazione opposta. Isometrie dirette e inverse La traslazione e la rotazione onservano l orientamento di una figura mentre la simmetria assiale non onserva l orientamento della figura e: se perorriamo la figura F in senso antiorario, la sua trasformata F viene perorsa in senso orario (passando dai punti orrispondenti). Per questo traslazioni e rotazioni vengono dette isometrie dirette e la simmetria assiale viene detta isometria inversa 7

11 Dimostriamo he: Una qualunque isometria si può ottenere omponendo al massimo tre simmetrie assiali onsideriamo due figure F e F (per sempliità prendiamo due triangoli) ongruenti e dimostriamo he è possibile trasformare F F' on al massimo tre simmetrie assiali. Se A A' ominiamo a portare A A' on la simmetria rispetto a r asse del segmento AA : otteniamola figura F. Se B' ' B' allora si esegue la simmetria rispetto a r bisettrie dei lati A B e A B in modo he B' ' B'. Se il terzo vertie del triangolo non oinide anora si esegue l ultima simmetria rispetto alla retta r 3 retta per A e B. 8

12 lassifiazione delle isometrie ome onseguenza della dimostrazione preedente abbiamo he le isometrie possono essere: una simmetria assiale; la omposizione di due simmetrie assiali traslazione o rotazione; la omposizione di tre simmetrie assiali Ma osa si ottiene omponendo tre simmetrie assiali? a) Supponiamo he i tre assi a,b, siano inidenti in O: poihé la omposizione Sb o S a è una rotazione intorno a O di un angolo ab possiamo sostituire alla oppia a,b la oppia r, prendendo r tale he Allora avremo he : r ab (vedi figura). S o ( S o S ) S o ( S o S ) ( S o S ) o S b a r r S r Quindi in questo aso abbiamo una simmetria assiale. b) Se i tre assi a,b, sono paralleli possiamo sostituire la oppia di rette a,b on le rette r, on r retta parallela a e alla stessa distanza di a da b ioè d ( a, b) d( r, ) e abbiamo: S o ( S o S ) S o ( S o S ) ( S o S ) o S b a r r S r Quindi anhe in questo aso abbiamo una simmetria assiale. 9

13 ) Se i tre assi non sono inidenti nelle stesso punto ma neppure paralleli avremo due assi, per esempio a e b, inidenti. Poihé la rotazione he si ottiene omponendo Sb o S a si può ottenere omponendo le simmetrie rispetto ad un altra oppia passante per il loro punto di intersezione e formante lo stesso angolo segliamo la oppia a, b on b perpendiolare a. Possiamo a questo punto sostituire la oppia b, (he dà una rotazione di 80) on un altra oppia di rette perpendiolari b, on b parallela a a e in onlusione abbiamo: S S o ( S o t v b o S a ) S o ( S b o S a ) ( S o S b ) o S a ( S o S b ) o S a S o ( S o S ) b a on v // 30

14 Si ottiene quindi la omposizione di una simmetria assiale on una traslazione di vettore parallelo all asse di simmetria: questa isometria viene hiamata simmetria on sorrimento o glissosimmetria da glisser he in franese signifia sivolare. Osservazioni Osserviamo he l ordine in ui si applia simmetria e traslazione è indifferente e he il punto medio di due punti orrispondenti appartiene all asse di simmetria. In onlusione le isometrie sono traslazioni, rotazioni, simmetrie assiali e glissosimmetrie. Se un isometria è diretta è una traslazione o una rotazione, se è inversa è una simmetria assiale o una glissosimmetria. 3

15 Esempi Esempio Dati i triangoli F e F in figura qual è l isometria he trasforma F F'? Si tratta di un isometria diretta perhé l orientamento della figura è onservato e quindi dal momento he non è hiaramente una traslazione non può he essere una rotazione. Per determinare il entro di rotazione possiamo pensare he i punti A e A hanno la stessa distanza dal entro e lo stesso aade per B e B : il entro O di rotazione è quindi l intersezione degli assi di AA e BB e l angolo di rotazione è α AOA'. 3

16 Esempio Determina l isometria tale he F F' Poihé questa volta si tratta di un isometria inversa si può trattare di una simmetria assiale o di una glisso simmetria e dal momento he l asse di AA non oinide on quella di BB vuol dire he si tratta di una glissosimmetria e quindi si può proedere riordando he il punto medio di punti orrispondenti appartiene all asse di simmetria e quindi l asse di simmetria sarà la retta r passante per i punti medi di oppie di punti orrispondenti, per esempio M(A,A ) e M(B,B ), e si individuerà poi failmente il vettore traslazione parallelo a r. 33

17 Eserizi sulle isometrie ) ome si trasforma la retta di equazione y 3 x + appliando la traslazione t (,4 )? Srivi le equazioni della trasformazione. x' x + [ y 3 x + ] y' y + 4 ) ome si trasforma la parabola di equazione y x appliando la traslazione (, ) t? [ y x x ] π 3) Applia alla urva y senx la traslazione t ;0. ome risulta l equazione della urva traslata? A osa orrisponde? π [ y sen x ; y os x ] 4) ome si trasforma l iperbole di equazione x y 4 appliando R ( O;45 )? Srivi le equazioni della trasformazione. ( ) x' x y [ x y ] y' ( x + y) 5) omponi la rotazione di entro O e angolo 90 on la traslazione di vettore (;): srivi le equazioni della trasformazione omposta. Di quale trasformazione si tratta? Si ottiene la stessa osa appliando prima la traslazione e poi la rotazione ioè eseguendo R( O,90 ) o t(;)? x quindi Dopo aver osservato he deve essere una rotazione poihé risulta un isometria diretta in quanto omposizione di isometrie dirette e non può essere una traslazione, per determinare il entro O della rotazione riordiamo he O è l unio punto unito.. Suggerimento: ( ; y) ( y; x) ( y + ; x + ) [ x' y + y' x + R ( O'(0;),90 ) ; no] 6) omponi la rotazione ( O;90 ) R on la simmetria rispetto alla retta y x : srivi le equazioni della trasformazione omposta. Di osa si tratta? O; 90 o osa ottieni? R S y Se onsideri invee ( ) x [ S assex x' x ; y' y S assey x' x y' y ] 34

18 7) onsidera la omposizione t( ;) o Sassex ome si trasforma la urva e srivi le equazioni della trasformazione omposta. x y appliando questa trasformazione omposta? x' x + [ y' y + x y + ] 8) onsidera l eserizio preedente. Si ottiene lo stesso risultato appliando prima la traslazione e poi la simmetria? ome risulta l equazione della urva trasformata da S assx o t(; )? x [no ; y ] 9) Determina l isometria he trasforma F F'. 0) Determina l isometria he trasforma F F'. [glissosimmetria di asse r : y x + 5 e traslazione di vettore v ( 4; 4) ] [ ( O' ( 3;6) ;90 ) R ] 35

19 SIMILITUDINI Omotetia Si hiama omotetia di entro e rapporto k (on k numero reale diverso da zero) e la ω,k, quella trasformazione geometria tale he se indiheremo on ( ) P P' si ha k P P' Proprietà dell omotetia onsideriamo una semplie figura, per esempio un triangolo, e vediamo ome si trasforma appliando un omotetia: osserviamo he l omotetia ingrandise o ridue il triangolo a seonda he k > o k <, lasiandone inalterata la forma. Naturalmente se k si ha la trasformazione identia. Vediamo aluni esempi. 36

20 Osserviamo he: una retta viene trasformata in una retta ad essa parallela e quindi si onservano le ampiezze degli angoli; il rapporto tra segmenti orrispondenti è uguale a k ioè P' Q' k PQ ; se k > 0 due punti orrispondenti si trovano sulla stessa semiretta di origine mentre se k < 0 punti orrispondenti appartengono a semirette opposte di origine il entro dell omotetia. Le equazioni di un omotetia nel piano artesiano a) Se il entro O (origine del sistema di riferimento), dal momento he se P( x; y) P' ( x'; y' ) si ha OP' k OP, per il teorema di Talete dovrà essere x ' kx e y ' ky e quindi abbiamo: ω ( O, k) x' kx y' ky Nota Se k si ha l identità, mentre se k si ha la simmetria rispetto all origine (o rotazione di 80 rispetto a O ) di equazioni x' x ω ( O, ) y' y 37

21 b) Se il entro dell omotetia non oinide on O (origine del sistema di riferimento) possiamo pensare di traslare il sistema di riferimento portando l origine in : le oordinate di P nel sistema x x ; y x' x ; y' e quindi abbiamo: di riferimento traslato risultano ( ) ω (, k) x' x y' y y ; e quelle di P ( y ) k k ( x x ) ( y y ) x' k y' k ( x x ) ( y y ) + x + y Se sviluppiamo abbiamo x' kx kx y' ky ky + x + y x' kx + p y' ky + q Quindi le equazioni dell omotetia ω(,k ) si presentano in genere nella forma dove k è il rapporto di omotetia, ma ome si determina il entro? x' kx + p y' ky + q Possiamo riavarlo rierando il punto unito della trasformazione (il punto ioè he si trasforma in se stesso). x' x + Esempio: per trovare il entro dell omotetia di equazioni y' y 4 possiamo risolvere x + x x y 4 y y 4 e quindi si tratta dell omotetia di rapporto k e entro ( ;4 ). omposizione di omotetie omponendo due omotetie di rapporti k e k e aventi lo stesso entro si ottiene un omotetia dello stesso entro e di rapporto k k. Infatti se onsideriamo per sempliità O ω ω ( x; y) ( k x, k y) k( kx), k( k y) k k x, k k ( ) ( y) omponendo due omotetie di rapporti k e k ma aventi entri diversi si ottiene un omotetia (rispetto ad un altro entro) quando k k o una traslazione se k k. Prova a fare degli esempi. 38

22 Similitudine Si hiama similitudine la trasformazione ottenuta omponendo un omotetia on una isometria. Se A A' e B B' si ha A ' B' k AB on k > 0. k è hiamato rapporto di similitudine ( orrisponde al valore assoluto del rapporto di omotetia dell omotetia assoiata). ome l omotetia anhe la similitudine onserva il rapporto tra le lunghezze, onserva l ampiezza degli angoli. Osservazioni Le omotetie sono quindi partiolari similitudini. Le isometrie possono essere onsiderate partiolari similitudini ( k ). Esempio onsideriamo la similitudine ottenuta omponendo un omotetia di entro O(0;0) e rapporto k on la simmetria rispetto all asse x. Avremo: s assex ( x; y) ( x;y) ( x; y) ω In onlusione le equazioni di questa similitudine saranno: x' x y' y Vediamo per esempio ome viene trasformato il triangolo in figura. 39

23 AFFINITA Fissato un sistema di riferimento le equazioni di un affinità sono del tipo: Nota: x' ax + by + on a b' a' b 0 y' a' x + b' y + ' a b a b' a' b viene hiamato determinante della matrie M. a' b' Quando il determinante della matrie M è diverso da zero, onsiderando le equazioni dell affinità ome un sistema in x e y, possiamo riavare x e y in funzione di x e y ioè esiste anhe la P ' x'; y' P x; y e quindi si tratta di una orrispondenza biunivoa. trasformazione inversa ( ) ( ) Si può dimostrare he rette parallele vengono trasformate in rette parallele e he inoltre k ab' a' b orrisponde al rapporto tra le aree di figure orrispondenti ioè se areaf' F F' k areaf Infatti se onsideriamo per sempliità x' ax + by ( le equazioni generali si ottengono y' a' x + b' y omponendo questa trasformazione on una traslazione (; ) he non ambierà l area) osserviamo he il quadrato di lati OA e OB on O(0;0) A(;0) B(0;) viene trasformato nel parallelogramma di lati O ' A', O' B' on O (0;0) A (a;a ) B (b;b ) he ha area proprio (prova a dimostrarlo ). ab ' a' b Si può osservare inoltre he la ondizione he il determinante della matrie assoiata sia diverso da zero orrisponde alla ondizione ab ' a' b a a' a ; a' ), b b' ( b; b' ) non siano paralleli. Se a b' a' b > 0 viene onservato l orientamento della figura e l affinità si die diretta, mentre se a b' a' b < 0 viene invertito l orientamento della figura e l affinità si die inversa. 40

24 Esempio onsideriamo l affinità di equazioni x' x y y' x + y La matrie assoiata è e il suo determinante ab ' a' b + 0. Se trasformiamo il quadrato ABD on l affinità si ottiene il parallelogramma A B D in figura. Osserviamo he si tratta di una affinità diretta poihé ab ' a' b 3 > 0 (infatti l orientamento della figura viene onservato) e he il rapporto tra le aree delle due figure è uguale a ab ' a' b 3. 4

25 Eserizi Similitudini e affinità ) onsidera la similitudine ottenuta omponendo l omotetia ω ( O,), on Oorigine del sistema di riferimento, on la traslazione v ( ; ) a) Srivi le equazioni della similitudine b) Trasforma il triangolo rispetto a quella di AB? v. t traslazione di vettore ( ; ) AB on A ( ;) B ( 6;4) ( ;4 ). ome risulta l area di A B [ x' x + y' y + A '( 5;6) B '( 3;0 ) '( 3;0 ) ; area (A B ) 4 area (AB) ] ) a) Determina le equazioni dell omotetia di entro O (;) e rapporto. b) omponi l omotetia preedente on ω O,. ome risulta la trasformazione omposta? x' x [ ; t traslazione di vettore v y' y v ( ; ) ] 3) onsidera l omotetia di equazioni x' 3x 4 y' 3y. Qual è il suo entro? [ (;) ] 4) onsidera la similitudine ottenuta omponendo l omotetia di entro O e rapporto 3 on la simmetria rispetto alla retta y x. a) Determina le equazioni della similitudine. b) Trasforma il quadrato ABD on A(;) B(3;) (4;0) D(;-). ome risulta l area di A B D rispetto a quella di ABD? L orientamento della figura viene onservato? x' 3y [ y' 3x ; area(a B D ) 9 area (ABD) ; no ] 5) onsidera la similitudine ottenuta omponendo R( O; 90 ) o ω( O,). a) Determina le equazioni della similitudine. b) Trasforma il triangolo AB on A(3;) B(3;3) (;). L orientamento della figura viene onservato? [ x' y y' x ; A (-;6) B (-6;6) (-;4) ; sì ] 4

26 6) onsidera l affinità di equazioni x' x + y y' 3x + y. Determina ome si trasforma il quadrato ABD on A(;) B(;) (;) D(;) appliando l affinità. ome risulta l area di A B D rispetto all area di ABD? Si onserva l orientamento? [ A (3;4) B (4;7) (6;8) D (5;5) ; area(a B D ) 5 area(abd) ; no ] x' x 7) onsidera l affinità di equazioni. ome si trasforma la ironferenza di equazione y' y x + y? 8) onsidera l affinità di equazioni y x? x [ ellisse + y ] 4 x' x +. ome si trasforma la parabola di equazione y' y 7 [ y x x ] 4 4 x' x 9) onsidera la omposizione tra l affinità di equazioni on la simmetria rispetto y' 3y all asse x. a) Srivi le equazioni della trasformazione omposta. Di quale trasformazione si tratta? b) Trasforma il triangolo AB on A(;) B(;) (;3) on la trasformazione onsiderata. ome risulta l area di A B rispetto a quella di AB? L orientamento della figura viene onservato? [ x' x y' 3y ; area(a B ) 6 area(ab) ; no ] 0) omponi l affinità dell eserizio preedente on la rotazione R ( O,90 ). a) Srivi le equazioni della trasformazione omposta. b) Trasforma il triangolo dell eserizio preedente. L orientamento della figura viene onservato? [ x' 3y y' x ; sì ] 43

27 Eserizi di riapitolazione Trasformazioni geometrihe ) onsidera la traslazione di vettore ( ; ) a) ome si trasforma la retta r : y x + 3? b) ome si trasforma la ironferenza : x + y? v, Srivi le equazioni della traslazione t. v x' x + [ ; r': y x ; ': x + y 4x + y + 4 0] y' y ) onsidera la traslazione di vettore v ( ; ) e la traslazione di vettore ( ) v 3;0. a) Determina le equazioni della trasformazione omposta t o t. Se omponiamo in ordine inverso la trasformazione omposta ambia? b) A quale trasformazione orrisponde? v v x' x [ y' y + ; no ; t v v + v v ] π R 0;0 ;. 3 a) Srivi le equazioni della rotazione. b) ome si trasforma la retta r : y x? 3 3) onsidera la rotazione ( ) x' [ y' x 3 x + 3 y ; r ': x 0 ] y 4) onsidera la rotazione di equazioni: x' x y + y' x + y + Di quale rotazione si tratta? [ (( ; );45 ) R ] 44

28 5) ome si trasforma l iperbole di equazione le equazioni della trasformazione. xy appliando la rotazione (( 0;0) ;45 ) R? Srivi x [ y' ( x y) ' ; ( x + y) y 4 x 4 ] 6) Trasforma la parabola Ρ : y x 4x + 5 : a) on la simmetria rispetto all asse x; b) on la simmetria rispetto all asse y. [ y x + 4x 5; y x + 4x + 5 ] 7) onsidera il triangolo AB avente ( 0;), B( ;4), ( ;6 ) A '( 6;), B' ( 8;0), ' ( 7; ) A e il triangolo A B on. Determina l isometria he trasforma AB in A B. [glissosimmetria di asse : y 8) onsidera la traslazione di vettore v ( ; ) e la rotazione (( 0;0) ;90 ) R. Srivi le equazioni della trasformazione he si ottiene omponendo : a) t o R. A osa orrisponde? v b) Ro t.a osa orrisponde? v v ] r e traslazione di vettore ( 6 : 0) x' y + 3 x' y 3 [, R ; ;90 ;, R ; ;90 ] y' x + y' x + 9) osa si ottiene omponendo la simmetria S asse on S x assey? R 0;0 ;80 ] [ (( ) ) 0) Determina le equazioni della simmetria rispetto ad una retta r : x k. [ x' k x y' y ] ) onsidera r : x e r : x 4. a) ome risulta S r o S r? b) ome risulta S r o S r? [ ( 4;0) t ; t ( 4;0) ] 45

29 ) Srivi le equazioni della trasformazione S assey o S y x. A osa orrisponde? [ x' y y' x (( 0;0) ;90 ) R ] 3) ome risultano le equazioni della trasformazione S assey o S y x o S assex. A osa orrisponde? x' y, y' x [ S y x ] 4) a) Srivi le equazioni della glisso simmetria di asse r y x x b) ome si trasforma l ellisse Ε : + y? 4 v. : e vettore ( 3;3) x' y + 3 y + y' x + 3 [, Ε' : ( x 3) ( 3) 4 ] 5) Determina ome si trasforma la retta : y x + r appliando l omotetia (( 0;0) ;) ω. [ r ': y x + ] 6) a) Determina le equazioni di (( ; );3 ) ω( ( 0;0) ;) b) Determina le equazioni di (( ;0); ) (( ; );3 ) ω o. A osa orrisponde? ω o. A osa orrisponde? 0 ω x' 6x 4 [, ω ; ;6 y' 6y x' 6x 4, y' 6y ω ; ;6 5 5 ] 7) a) Srivi le equazioni della similitudine (( ; );90 ) o ω( ( 0;0) ;) R. b) Trasforma la ironferenza : x + y. Disegna. 8) onsidera le affinità di equazioni [ x' x Α y' 3y x' y + 3 ; ': x + y 6x y ] y' x + x' x y A. y' 3x + y a) Determina A o A e A o A. b) Verifia he la matrie assoiata alla trasformazione omposta si ottiene moltipliando (on la regola righe per olonne) le matrii delle due trasformazioni. [ x' x 3y, y' 6x + 3y x' x y ] y' 9x + 3y 46

30 9) Srivi l equazione della urva he si ottiene appliando l affinità di equazioni alla ironferenza : x + y + x y + 0. Disegna. x' x + y' 3y [ 9x + y 8x 6y ] x' 4x 3y *0) onsidera la trasformazione di equazioni. Dimostra he si tratta di una y' 3x + 4y similitudine di rapporto 5. Suggerimento: onsidera ome si trasforma il triangolo OAB on O(0;0) A(;0) B(0;). *) onsidera l affinità di equazioni x' ax + by y' a' x + b' y ( ab ' a' b 0 ). Quali sono le ondizioni he devono verifiare i oeffiienti a, a, b,b perhé si tratti di una similitudine? Suggerimento: onsidera ome si trasformano O(0;0) A(;0) B(0;).perhé si tratti di una similitudine AOB A' O' B' e O ' A' O' B' [ ab + + a' b' 0, a + a' b b' ] *) In riferimento all eserizio preedente quali sono le ondizioni perhé si tratti di un isometria? [ ab + a' b' 0, a + a', b + b' ] *3) Determina le equazioni della trasformazione he trasforma il triangolo OAB on O(0;0) A(4:0) B(4;-) nel triangolo O A B on O (0;0) A (;4) e B (3;). Verifia he si tratta di un affinità he onserva l area ma he non è un isometria. [ x' x y' x + y y ] *4) Srivi le equazioni della simmetria rispetto alla retta r : y mx tenendo onto he m tgα. Suggerimento: proedi in modo analogo a quando sono state riavate le equazioni della rotazione rispetto all origine. [ x' x os α + y senα ] y' x senα y os α 47