LA GEOMETRIA CON L EQ PARAMETRICA DI VAG Sp-retta Cap. IV Pag. 1 LA RETTA E IL PIANO

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1 IV. L A R E T T A NELLO SPAZIO

2 Sp-retta Cap. IV Pag. LA RETTA E IL PIANO Nella formulazione del piano generio si aveva he dato un punto X la distanza CX ( os.dir. = α, β, γ veniva ad essere il segmento della relativa retta r di uguale os.dir. E' ome dire he data una retta r di os. dir. = α, β, γ distante OC(a,b,;os.dir.=α ;α ;α dall'origine, il punto X e' un suo punto e sono tutti punti di tale retta quelli he, nell'eq. generale del piano: OX osδ = aosα + bosα + osα = p = OC OX = OC osδ + CX senδ OX sinδ = xosα + y os β + z osγ = CX hanno i oseni direttori ( α, β, γ ostanti. E' evidente he tutti i punti osi' trovati appartengono sia alla retta sia al piano (di distanza OC e he l'espressione di sopra rappresenta sia la retta ( α, β, γ = ostanti sia il piano ( α, β, γ = generii. Il valore di α,β,γ riferiti alla retta ne danno la direzione e il verso (ome indiato in figura.

3 Sp-retta Cap. IV Pag. Sia la retta r di os.dir. ( α, β, γ. Sia un suo punto X ( x, y, z; αα α. Sia OA'=d la ongiungente perpendiolare alla retta dall'origine, di ui A ( a', b', ' ; α' α' '. Sara': ' α osδ = sen ρ = osα osα + osα os β + osα osγ os O Aˆ' X sen δ = os ρ = osα' osα + osα' = 0 = osα' osα + osα' os β + osα' osα + osα' osγ osα OX sen δ = OA' = d Eq.di Vag. OX osδ = A' X OX = A' X osδ + OA' sen δ Il punto A della retta è anhe il punto C del piano le ui distanza è OA = OC. La retta è dunque rappresentata dal partiolare piano in ui ( α, β, γ sono ostanti e d=p. Vediamo il valore di A X segmento della retta r: * A' X = ( x a' osα + ( y b' os β + ( z ' osγ Eq.di Vag Consideriamo: a' osα + b' os β + ' osγ = OA'(osα ' osα + osα' os β + osα' osγ = OA' os 90 = 0 quindi A ' X = x osα + y os β + z osγ ug. tale ug. dà l appartenenza di un qualunque punto X alla retta r(α,β,γ. Per quanto visto del piano si avrà: x os α' + y os α' + z os α' = OA' = a' os α' + b' os α' + ' os α' ** ( x a' os α' + ( y b' os α' + ( z ' os α' = 0 Ug.( gia' nota Dunque per la * il punto A appartiene alla retta r(α,β,γ e per la ** anhe al piano he la ontiene.

4 Sp-retta Cap. IV Pag. La può essere sritta ome Eq. di Vag espliita, e rappresenta un generio Punto X di una retta: OX osδ = A' X = x osα + y os β + z osγ (segmento della retta OX sen δ = OA' = a' osα' + b' osα' + ' osα' = x osα' + y osα' + z osα' OX OX = A' X osδ + OA' sen δ = ( x osα + y os β + z osγ osδ + ( x osα' + y osα' + z osα' sen δ Tale equazione rappresenta in generale un generio punto X appartenente al piano distante OA' dall'origine; ma se ( α, β, γ sono valori ostanti e os α + os β + os γ = sarà anhe generio punto della retta r ( α, β, γ distante OA' dall'origine e giaente sul piano in questione. Già sappiamo he una retta generia r (α,β,γ deve essere definita dalla sua distanza dall origine. Si osservi he in generale per avere i oseni direttori di OA'=d o di una retta r ( α, β, γ per un punto X( x, y,z; α, α, α, tenendo presente he XA vale * Eq.di Vag della pagina preedente avremo i vari legami tra punti: d = x os α' Ug. d = x a' + y b' + z ' + y os α' + z os α' A' X os α = OX os α A' X os β = OX os α A' X os γ = OX os α d os α d os α d os α ' ' ' = x a' = y b' = z ' ed anhe: A' X x a' = os α = y b' os β = z ' os γ

5 Sp-retta Cap. IV Pag. 4 Fino adesso e nel proseguo abbiamo rappresentato la retta per definizione ome giaente nel piano di eguale distanza dall origine. Vediamola ora rispetto ad un piano generio he la ontenga ma on distanza dall origine diversa. Sia la retta r (α,β,γ definita dalla sua distanza OA =d (in oord. e os. dir. dove ogni suo punto è dato da: OX sen δ = d OX osδ = A' X Si onsideri ora il piano distante OC =p (in oord.e os.dir. e ontenente la retta r, potrò srivere: OX osω = p OX senω = C' X I punti della sono punti della on OC X=OC A =90. Comunque dalla abbiamo: C' X = OX p = d + A' X p pertanto la retta rispetto al nuovo piano distante p può essere sritta: OX osω = p a he rappresenta una retta ontenuta in OX sen ω = ± d + A' X p un generio piano distante OC =p. Si osservi he OC = OC' + C' C quindi C' C = C' A' = d p essendo l angolo CC O = 90 se A è punto della retta e quindi del piano distante C, il he vuol dire he tutti i piani ontenenti la retta avranno distanza dall origine O ompresa tra 0 p d. Per p=0 il piano sarà per l origine e nella a OX = d + A' X Per p=d riavremo l eq. della retta ioè del partiolare piano ontenente la retta, di eguale distanza dall origine. Dalla differenza dei quadrati di e si ottiene C ' X A' X = d p = C' C ioè in un qualunque piano è ostante il quadrato della differenza tra la distanza di un qualunque punto X della retta da A e C (estremi delle distanze della retta e del piano in questione dall origine: il he vuole dire he d + A' X p = A' X + CC ' = C' X ome indiato nella

6 Sp-retta Cap. IV Pag. 5 OSSERVAZIONE Data una retta per X distante dall'origine OA': tutti gli infiniti piani he la ontengono hanno la prerogativa he la ongiungente CA'(C estremo della distanza del piano dall'origine e' PERPENDICOLARE alla retta in questione! Infatti dato un qualunque OC=p (vedi figura si avrà he: OC = OA' CA' ma anhe OCX $ = 90 OC = OX CX = OA' CA' (defin.di piano per ui: CX = ( OX OA' + CA' ma dalla retta sappiamo: ( OX OA' = A' X ioè CX = A' X + CA' per ui il triangolo A'CXA' è un triangolo rettangolo e CA$ ' X = 90 qualunque possa essere il valore di OC.

7 Sp-retta Cap. IV Pag. 6 Data una retta r ( α, β, γ e la sua distanza dall'origine in Eq. di Vag: OA ' = d = a' os α' + b' os α' + ' os α' abbiamo visto he un qualunque punto X appartiene alla retta rse: a OX osδ ' = A' X = x osα + y os β + z osγ b OX senδ ' = d = x osα' α α + y os ' + z os ' dove il primo membro sappiamo essere una Eq. di Vag. Se leggiamo i seondi e terzi membri he sono Ug. deduiamo he: la riga a da' il punto X appartenente al piano π'e alla retta r. la riga b da il punto X appartenente al piano π. Evidente he i due piani sono perpendiolari tra loro, essendo perpendiolari le loro distanze dall'origine OA' OX'. Si osservi he e' 0 δ' 90 essendo angolo interno di un triangolo retto.

8 Sp-retta Cap. IV Pag. 7 Sappiamo he due piani non paralleli (figura sotto si interseano in una retta. Siano i due piani di distanza: p = p osα + p osα + p osα Eq.di Vag p' = p' osα' + p' osα' + p' osα' I punti X omuni ad entrambi i piani sono la retta: p = x osα + y osα + z osα Uguag. p' = x os α' + y os α' + z os α' Formeranno una retta anhe i punti dei due piani: p = x osα + z osα perpendiolare ad XOZ on α = 90 p' = y os α' + z os α' " YOZ " α = 90 osα p = m; = n osα osα posto osα p' = p; = q os α' os α' avro' x = mz + n y = pz + q L'ultima espressione è quella generalmente data, tramite due piani, per rappresentare una retta per punti.

9 Sp-retta Cap. IV Pag. 8 ESEMPIO Sia la retta r parallela all'asse z (ome da figura e distante OA'=d dall'origine. Tale distanza ovvio sarà sul piano xoy, pertanto i oseni direttori di OA'=d saranno (osβ,senβ,os90. Se gli angoli direttori del punto X sono (α,α,α ed è α =δ, si avrà: ma ioè OX osδ = OX osα = A' X OX senδ = OX senα = d d os β = x d sen β = y ( OX senαos β = x Eq.di Vag " sen β = y = z Eqdi Vag infine OX osα = OX osδ = z OX osα = ( OX senαsen β = y OX osα = ( OX senαos β = x Eq.di Vag OX = x osα + y osα + z osα = x(senα os β + y(senα sen β + z osα infatti è: Eq.di Vag α = δ; osα = senα os β; osα = senα sen β os α + (sen α os β + (sen α sen β = os α + sen α = OX = x + y + z

10 Sp-retta Cap. IV Pag. 9 ESEMPIO La retta r(α,β,γ intersea l'asse z in C(0,0,p, quindi OC = p, A (a,b, ;α,α,α OCA $ '= γ. posγ = CA' psenγ = OA' = d Eq.di Vag OH os β = ( p sen γ os γ os β = a' " sen β = " sen β = b' d osα = ( psenγ osα = a' d osα = ( psenγ osα = b' d osα = ( psenγ osα = ' Eq.di Vag H OA ˆ ' = γ HAˆ ' O = 90 γ OA'os γ = d os γ = = ( p sen γ os γ = = CA'sen γ = OH Tenuto onto he COA $ ' = γ = α ; quindi osα = sen γ : 90 ( p sen γ osα = p senγ osγ os β = a' osα = osγ osβ ( p sen γ osα = p senγ osγ sen β = b' osα = osγ sen β ( p sen γ osα = p senγ sen γ = ' osα = senγ OA = d = a' osα' + b' osα' + ' osα' = ( a' os β + b' sen β osγ + ' sen γ ' Eq.di Vag Pertanto un qualunque punto X apparterrà alla retta r interseante l'asse z, se, la sua Eq.di Vag già vista è: OX osδ ' = A' X = x osα + y os β + z osγ OX sen δ ' = d = ( x os β + y sen β osγ + z sen γ impliita: OX = A' X os δ' + d sen δ' espliita: OX = ( x osα + y os β + z os γ os δ' + ( x osγ os β + y osγ sen β + z sen γ sen δ'

11 Sp-retta Cap. IV Pag. 0 Le rette r e r' abbiano uguali os.dir. (osα,os β,osγ. Sia il punto A(a,b,, di r e il punto B ( a, b, (os β,os β,os β appartenente alla retta r'. Si avranno le due equazioni: OA = AA'os δ + OA'sen δ OB = BA'os δ + OB'sen δ In quanto i oseni direttori delle rette r e r' sono uguali posso affermare he le due rette sono parallele se distinte, altrimenti oinidenti. Esse sono parallele e distinte se OB' OA' Se supponiamo invee: OB ' = OA' tali rette saranno: PARALLELE E DISTINTE: se i os.dir. di OB' sono diversi dai os.dir di OA' COINCIDENTI: se i os.dir. di OB' sono uguali a quelli di OA'

12 Sp-retta Cap. IV Pag. RIEPILOGO Data una retta r di os.dir. (osα,os β,osδ il punto A(a,b, (osα,osα,osα " A'(a',b',' (osα',osα',osα' " C(,, (os os,os retta per CA=r' di os.dir. (osα,os β,osδ Con A si trova OA'o OC Con OA' o OC possiamo srivere Eq. di Vag generia di un punto X RETTA Distanza dall'origine O: OA'=d PIANO Distanza dall'origine O: OC=p OAos δ = AA' OAsen δ = OA' OAos ρ = OC OAsen ρ = CA OA'os 90 = 0 OA'sen 90 = OA' OA' = d OA'os ρ = OC OA'sen ρ = CA' OC = p OX os δ = XA' OX sen δ = OA' OX os ρ = OC OX sen ρ = CX

13 Sp-retta Cap. IV Pag. Le Eq. di Vag generihe he tramite la loro distanza dall'origine, sia del piano sia della retta, sono simili (e divengono uguali se OA' OC e CA' r e quindi os ρ = sen δ, sen ρ = os δ ove si pensi he iasun punto della retta è punto del piano e he quest'ultimo non è he l'insieme di tali punti. RETTA: AA' = aosα + bos β + osγ ( a'osα + b'os β + 'osγ = 0 OAosδ = AA' osδ = osα osα + osα os β + osα osγ OA' = a'osα' + b'osα' + 'osα' = aosα' + bosα' + osα' OAsenδ = OA' = d sen δ = os(90 δ = osα osα' + osα osα' + osα osα' OA = ( aosα + bos β + osγ osδ + ( aosα' + bosα' + osα' senδ OA = ( aosα + bos β + osγ + ( aosα' + bosα' + osα' = AA'osδ + d senδ PIANO: OC = os + os + os = a os + b os + os OAos ρ = OC = p os ρ = osα os + osα os + osα os CA = a osα + b osβ + osγ ; ( osα + osβ + osγ = 0 OAsen ρ = CA sen ρ = os(90 ρ = osα osα + osα osβ + osα osγ CA = ( a osα + ( b OA = ( aos OA = ( aos + bos + bos + os os β + ( osγ + os os ρ + ( aosα + bos β + osγ sen ρ + ( aosα + bos β + osγ = pos ρ + CAsen ρ

14 Sp-retta Cap. IV Pag. RETTA SU UN PIANO E SUOI PUNTI Sia il piano distante OC=p on C(,, ; σ, σ, σ e ontenente la retta r(α r,β r,γ r di distanza OA =d on A ( a', b', '; α ', α ', ' e un ' α ( x, y, z; ε, ε, ε suo punto X Poihé se la retta giae sul piano, anhe il punto X giae su esso posso srivere l'eq. di Vag: e (vedi Pag. anhe l uguaglianza: A' X = ( xosα + yos β + z osγ r r r CX os β = CA' *] CX sen β = XA' CX = CA' os β + XA' sen β Ug. CA' e' la distanza della retta r (sul piano distante OC dal punto C onsiderato ome origine di un sistema artesiano piano, quindi positivo. r C A' = OA' OC = d p = d d os COA ˆ ' = d sen COA ˆ ' OA' = d = ( a' osα' + b' os' OC = p = ( os COA ˆ ' = osα' osσ + osσ + osα' + ' osα' osσ + = ( x osα' + y os' osσ + osα' osσ = ( x osσ + y osσ + z osσ osσ + z osα' Si riordi inoltre he essendo C O' punto origine, avrò: r CA' os α' = a' r CA' = ( a' + ( b' + ( ' e i suoi os. dir. " os β' = b' " os ' = ' γ

15 Sp-retta Cap. IV Pag. 4 Quello he e' importante notare e' he il segmento CA' nel piano C e' una ostante per quella tale retta e piano. Pertanto al variare opportuno di β in *] avrò tutti i punti della retta r su quel piano, una volta stabilito CA'. Nella pagina preedente abbiamo visto he il punto X da': d = x os α' + y os α' + z os α' p = x os σ + y os σ + z os σ E' ovvio he se il punto C passa per l'origine O sarà p=0; e se e' la retta r a passare per l'origine sarà p=0 d=0; l'uguaglianza tuttavia deve sussistere CX = CA'os β + XA'sen β = d p os β + ( xosα + y os β + z osγ sen β Eq.di Vag. Si osservi he : p = x + y + z d = xa' + yb' + z' d p = CA' = x( a' + y( b' + z( ' Ed inoltre he dei tre dati OA'=d, OC=p, e i os. dir.(α r,β r,γ r ne sono neessari almeno due. Solo nel aso he r passi per C O' (d=p e' neessario onosere (α r,β r,γ r per la eventuale risoluzione del problema.

16 Sp-retta Cap. IV Pag. 5 RETTA PER DUE PUNTI ESEMPIO Siano i due punti A(,,;α, α, α B(,0,0;β, β, β. Avremo he AB (,, AB = ; i oseni direttori di tale segmento della retta r(α,β,γ saranno: AB osα = AB os β = AB os γ = osα = = 0,0544 os β = = 0, osγ = = 0,0544 L angolo tra la retta e la distanza OA sarà osδ A = osα osα + osα os β + osα os γ = + 9 = = 08888; δ A = 44,90988 sin δ A = sin44,90988 = 0, La distanza della retta sarà dunque: d OAsin δ = sin44,90988=, = A + = Allo stesso modo possiamo trovare d- tramite il punto B e la sua distanza OB = OB = : l angolo tra OB e la retta è: os δ B = = 0,0544 δ B = 7, d = sin 7, =, Le oordinate del punto A (a,b, possono essere riavate dalla distanza A' X di un qualunque punto on la formula: a' = x A' X osα b' = y A' X os β ' = z A' X os γ Nel nostro aso fatto AA' = OA d e BA' = OB d e noti os α, os β, os γ si ha la soluzione del sistema.