Università di Pisa - Corso di Laurea in Fisica Meccanica Classica a.a. 2013/ Prova Scritta del 18/09/2014

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1 Università di Pisa - Corso di Laurea in Fisia Meania Classia a.a. 013/014 - Prova Sritta del 18/09/014 ISTRUZIONI: LEGGERE ATTENTAMENTE Gli studenti he hanno seguito il orso di Meania Classia dell a.a. 013/014 (M. D Elia, o quelli he deidano di fare l esame on le nuove regole, devono svolgere i problemi A1 e A, oppure i problemi R ed S, oppure l intera prova nel aso deidano di usufruire del tempo aggiuntivo. Gli studenti he hanno seguito il orso di Meania Classia negli a.a. 11/1 e 1/13 (E. D Emilio possono svolgere ome al solito una delle tre parti A1+A, oppure R (prime 3 domande oppure S (prime 3 domande. Gli studenti he devono superare l esame di Meania Classia dell a.a. 010/011 (P. Rossi devono svolgere i problemi A1, S (tutto, R (tutto. Gli studenti he devono superare l esame di Fisia a III A (Meania Relativistia e Analitia, P. Rossi - vehio ordinamento devono svolgere i problemi A1 e R (tutto. Gli studenti he devono superare l esame di Fisia a IV (Meania Statistia, E. Guadagnini - vehio ordinamento devono svolgere il problema S (tutto. DICHIARARE IN UN RIQUADRO ALL INIZIO DEL COMPITO QUALE ESAME E DI QUALE A.A. SI STA SOSTENENDO E QUALI PROVE SONO GIÀ STATE SOSTENUTE. RIPORTARE ANCHE FIRMA ED INDIRIZZO AL QUALE VERRÀ RECAPI- TATO IL RISULTATO DEL COMPITO Problema A1. Un pendolo doppio è fatto di due aste rigide di lunghezza l e massa trasurabile he si possono muovere sul piano vertiale xoz, in presenza della gravità. La prima asta ha un estremo fisso nell origine. Al seondo estremo è attaata la seonda asta e una massa puntiforme m 1. Al seondo estremo della seonda sbarretta è attaata una seonda massa puntiforme m. La massa m 1 è poi ollegata al punto (d,0,0 da una molla di ostante elastia k e lunghezza a riposo trasurabile. Si prenda m 1 = m = m. 1. Srivere la Lagrangiana del problema.. Trovare i punti di equilibrio e determinare quello stabile. 3. Sia da ora in poi kd/(mg = 3. Calolare le frequenze delle piole osillazioni attorno al punto di equilibrio stabile. 4. Trovare i modi normali. Problema A. Si onsideri un sistema hamiltoniano unidimensionale, sia q la oordinata e p il momento oniugato. 1. Si dia la ondizione sulle ostanti A, B, C e D affinhé la trasformazione sia anonia. Q = Aq + Bp P = Cq + Dp. Si sriva la funzione generatrie F 1 (q,q ad essa assoiata 3. Si onsideri ora il aso partiolare di una hamiltoniana H(q,p = p m + mω q + γpq ioè un osillatore armonio di massa m e pulsazione ω on un termine aggiuntivo γpq. Sia dia una ondizione su γ affinhé H sia sempre definita positiva. 1

2 4. Si vuole ora mettere l hamiltoniana del punto 3 nella forma di un puro osillatore armonio utilizzando una trasformazione anonia ome quella nel punto 1. Si trovi la frequenza dell osillatore finale. Problema R. Due astronavi di ugual massa M = 10 4 Kg partono da ferme allo stesso istante e si muovono lungo l asse x in modo he, nel sistema dove sono inizialmente ferme, si abbia dp/dt = F = ostante, dove p è la quantità di moto (relativistia delle astronavi ed F = 10 6 N. Le astronavi sono poste alla partenza a distanza L l una dall altra. 1. Calolare le veloità v 1 (t e v (t e le traiettorie x 1 (t e x (t delle due astronavi ome osservate nel sistema di partenza.. Calolare di quanto differise (in perentuale da la veloità dell astronave dopo he, nel sistema di partenza, è trasorso un anno. 3. Determinare, per ogni istante, l aelerazione perepita da hi è a bordo dell astronave. 4. Calolare, in funzione del tempo, la distanza fra le astronavi nel sistema di partenza e nel sistema istantaneamente solidale on le astronavi stesse. Cosa vi aspettate he sueda se le astronavi sono inizialmente ollegate da un filo inestensibile di lunghezza L? Problema S. Si onsideri un gas perfetto ostituito da idrogeno monoatomio, posto all equilibrio termio a temperatura ambiente. 1. Si sriva la distribuzione di probabilità (orrettamente normalizzata per le omponenti della veloità, v x,v y e v z, di iasuna moleola.. Si sriva la distribuzione di probabilità per il modulo v della veloità di iasuna moleola. e si aloli (anhe numeriamente la veloità quadratia media, v di iasuna moleola. 3. Considerando una oppia qualsiasi di moleole, si sriva la distribuzione di probabilità per le omponenti della veloità del loro entro di massa e della loro veloità relativa. 4. Si aloli (anhe numeriamente il valore quadratio medio sia della veloità del entro di massa delle due moleole, sia della veloità relativa. (Faoltativo: Si aloli il valore quadratio medio della veloità del entro di massa di un numero arbitrario n di moleole del gas. (k B = J/K, N A = , peso atomio dell idrogeno u.m.a.

3 SOLUZIONI Soluzione Problema A1: 1. Segliendo ome oordinate gli angoli θ 1 e θ tra le aste e la vertiale, otteniamo più ostante. L = ml. All equilibrio abbiamo ioè θ = 0,π e ( θ 1 + θ + os(θ 1 θ θ 1 θ + mgl(os θ 1 + os θ + kdlsin θ 1 mglsin θ 1 kdlos θ 1 = 0, mglsin θ = 0. θ1 kd = artan mg. L equilibrio è hiaramente stabile a θ = 0 e segliendo θ 1 ompreso tra 0 e π/, perhé V = ( l 4m g + k d 0 0 ±mgl. 3. A kd/(mg = 3 abbiamo θ 1 = artan 3 = π 3, θ = 0, V = mgl ( , mentre T = ml ( Imponendo det(ω ±T V = 0 abbiamo ω ± = 4g 7l (3 ±. 4. Inserendo questi valori, troviamo he gli autovettori nulli di ω± T V, ioè i modi normali, sono v ± = (1,(1. Soluzione Problema A: 1. Rihiedendo he {Q,P } = 1 si ottiene subito AD BC = 1, ioè la matrie della trasformazione lineare deve avere determinante uguale ad 1. Si può anhe dire he la matrie deve essere simplettia, he per matrii oinide on la ondizione di avere determinante pari ad 1.. Si riava F 1 q = p = Q Aq B F 1 Q = P = Cq Dp = D AD CB Q + B B he si può integrare in modo univoo grazie alla ondizione di anoniità AD CB = 1 portando a F 1 = D B Q A B q + Qq B + ostante q 3

4 3. H è una forma quadratia in q e p, il ui determinante è (ω γ /4. Essendo il primo elemento diagonale sempre positivo, deduiamo he H risulta definita positiva quando γ < ω 4. La trasformazione anonia erata dovrà riportare la forma quadratia in una forma diagonale del tipo P M + MΩ Q notiamo he il determinante di tale forma quadratia è pari a Ω /4. Poihé la trasformazione anonia preserva tale determinante (è una trasformazione lineare on determinante pari a 1 e poihé il determinante della forma quadratia iniziale è (ω γ /4, avremo Soluzione Problema R: Ω = ω γ 1. Usando p = mβγ, ogni astronave si muove seondo l equazione risolta da (poniamo b = F/m dp dt = m d (βγ = F, dt βγ = bt, β = bt + b t. Integrando anora una volta otteniamo, per le due astronavi rispettivamente (β = ẋ z 1 (t = b + b t b z (t = L + b + b t b dove la ostante di integrazione è stata selta supponendo he la prima astronave parta dall origine.. Dopo un anno, ioè per t s, abbiamo bt m/s 10.5, da ui β = /(at 1 (at Calolando la veloità v + dv nel sistema iniziale ad un istante t + dt, potremo risalire alla veloità dv/(1 v / (dalla formula di addizione delle veloità nel sistema S istantaneamente solidale all astronave, da ui dividendo per l intervallo di tempo proprio dτ = dt 1 v / si ottiene l aelerazione a 0 nel sistema S. Usando la soluzione del punto 1 si ottiene da ui dv = adt (1 + a t / 3/ = b(1 v / 3/ dt dv 1 a 0 = (1 v / dt 1 v / == 1 dv (1 v / 3/ dt = b = F m l equazione preedente è più in generale la trasformazione dell aelerazione da un sistema di riferimento all altro. In questo aso partiolare deduiamo he nel sistema dell astronave l aelerazione perepita è ostante. 4. Nel sistema di partenza le astronavi, ome riavato nel punto 1, seguono esattamente la stessa traiettoria traslata di L, dunque la distanza rimane invariata nel tempo. Nel sistema solidale la risposta risulta non banale. Mettiamoi in un sistema S istantaneamente solidale on le astronavi, he segliamo in partiolare in modo he la sua origine oinida on l astronave 1. Immaginiamo di traslare anhe l origine spaziale e temporale del sistema di partenza S in modo he l astronave 1 abbia veloità v quando si trova in x 1 = 0 al tempo zero, allo stesso istante (di S l astronave è nel 4

5 punto x = L. Trasformiamo questi due eventi (x 1 = t 1 = 0 e x = L, t = 0 nel sistema S he ha l origine spazio-temporale oinidente on S e viaggia on veloità v. Avremo x 1 = t 1 = 0 e x = γl, t = βγl. Deduiamo quindi he nel sistema in ui l astronave 1 è ferma nell origine al tempo 0, l astronave è ferma in γl ad un tempo preedente βγl. E neessario sapere dove sarà l astronave al tempo 0 di S. La legge del moto dell astronave in S è esattamente la stessa riavata al punto 1 (l astronave parte da ferma al tempo γβl e si muove on aelerazione ostante nel suo sistema di riferimento. Deduiamo he lo spazio he S vede perorrere dall astronave in tale tempo è pari a b + b (γβl b per ui la distanza totale fra le astronavi al tempo 0 di S sarà γl + ( b + (bγβl 1 tale distanza è siuramente maggiore di γl e quindi di L, per ui se il filo he ollega le due astronavi è inestensibile, esso si rompe. Soluzione Problema S: 1. La distribuzione anonia per iasuna partiella è proporzionale a dxdydzdp x dp y dp z e βe = dxdydzdp x dp y dp z e β(p x+p y+p z/m da ui si riava la distribuzione nelle omponenti delle veloità, v i = p i /m, he opportunamente normalizzata è ( mβ 3/ ( dv x dv y dv z exp mβ(vx + vy + v π z/. Per il modulo, passando in oordinate sferihe, la distribuzione diventa da ui si può riavare v = 0 P(vdv = P(vv dv = ( mβ 3/ 4πv e mβv / dv π ( mβ 3/ 4π v 4 e mβv / dv = 3 π 0 mβ ome si può riavare anhe più failmente dal teorema di equipartizione. Risulta dunque, usando m 1.008/N A g e T 300 K v 3k B T = m m/s 3. La distribuzione anonia per l insieme delle due partielle è proporzionale a (tralasiamo le oordinate spaziali: d 3 p 1 d 3 p e β( p 1 + p /m possiamo ora effettuare un ambio di oordinate passando a quelle del entro di massa e quelle relative (ome noto la trasformazione è anonia e quindi onserva lo spazio delle fasi. Gli impulsi oniugati sono P t = p 1 + p = M v CM e p r = ( p p 1 = µ = µ v r 5

6 dove v r = v v 1 è la veloità relativa, v CM = ( v + v 1 / è la veloità del entro di massa, M = m la massa totale e µ = m/ la massa ridotta. In termini delle nuove oordinate la distribuzione è d 3 P t d 3 p r e β( P t /M+ p r /µ d 3 v CM d 3 v r e β(m v CM /+µ v r / si vede quindi he la veloità del entro di massa e quella relativa sono distribuite rispettivamente ome quelle di un sistema di partielle di massa M e µ all equilibrio alla stessa temperatura. 4. Abbiamo quindi v CM = 3k B T M m/s 3kB vr T = µ m/s 5. Anhe in tal aso si può fare in generale un ambio di variabili anonihe, di ui una è la oordinata del entro di massa. Senza dare i dettagli di tale ambio di variabili, in partiolare riguardo alle oordinate interne, sappiamo he la parte di energia relativa al entro di massa sarà M v CM / dove M = nm e v CM = ( n i=1 v i /n, da ui deduiamo he v CM = 3k B T nm 6