Laboratorio di Programmazione Esercitazione 4

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1 Laboratorio di Programmazione Esercitazione 4 Prof. Michele Scarpiniti Prof. Danilo Comminiello Dipartimento di Ingegneria dell Informazione, Elettronica e Telecomunicazioni Sapienza Università di Roma michele.scarpiniti@uniroma1.it danilo.comminiello@uniroma1.it M. Scarpiniti Laboratorio di Programmazione Esercitazione 4 1 / 12

2 Problema 1 Un sistema di controllo fornisce una risposta y per ogni ingresso x di tipo polinomiale: y p(x) = x 3 + ax 2 + 2x 5 + n, in cui a è un parametro variabile e n è un rumore additivo, ottenuto come 1/10 di un numero casuale con distribuzione Gaussiana. Dopo aver scritto una funzione che implementa la precedente relazione, si produca uno script suddiviso in celle (una per ogni sotto-problema) per risolvere i seguenti quesiti: 1 Supposto a = 4, si tabulino i valori di y per x nell intervallo [ 10, 10] con passo = 2. 2 Supposto a = 4, si disegni il grafico di y per x nell intervallo [ 10, 10]. 3 Graficare sulla stessa figura e con colori diversi nell intervallo [ 10, 10] i tre grafici di y per il parametro a = { 2, 0, 2}. 4 Graficare sulla stessa figura nell intervallo [ 10, 10] i sette grafici di y per il parametro a nell intervallo [ 6, 6] a passo a = 2. 5 Nel caso di rumore additivo nullo n = 0, determinare le radici del polinomio p(x) per il parametro a nell intervallo [ 6, 6] a passo a = 2. Per quali valori di a il polinomio ammettete radici reali? 6 Mostrare l andamento della risposta y come funzione delle due variabili x [ 10, 10] e a [ 6, 6], entrambi con passo unitario. M. Scarpiniti Laboratorio di Programmazione Esercitazione 4 2 / 12

3 Problema 2 La dimensione d di un grano di metallo è legata, secondo lo standard ASTM, al numero medio N di grani per pollici quadrati a 100 ingrandimenti dalla seguente relazione: ln N + ln 2 d =, ln 2 mentre la resistenza σ del metallo è legata alla dimensione del grano dalla formula: in cui σ 0 e K sono opportune costanti. σ = σ 0 + Kd 1 2, Supponendo σ 0 = e K = 9600, dopo aver scritto due funzioni che implementano le relazioni precedenti, sviluppare uno script suddiviso in celle per la risoluzione dei seguenti quesiti: 1 Si disegni il grafico della dimensione d al variare del numero medio N di grani nell intervallo [1, 100]. Si fornisca anche la versione logaritmica del grafico. 2 Si disegni il grafico della resistenza σ al variare della dimensione d di grani nell intervallo [0, 10]. Si fornisca anche la versione logaritmica del grafico. 3 Si disegni il grafico della resistenza σ al variare del numero medio N di grani nell intervallo [1, 100]. Si fornisca anche la versione logaritmica del grafico. 4 In relazione al punto precedente, determinare i valori del numero medio N dei grani per cui la resistenza è compresa nel seguente intervallo [16800, 16000]. M. Scarpiniti Laboratorio di Programmazione Esercitazione 4 3 / 12

4 Problema 3 L energia meccanica E si un oggetto di massa m, velocità v e altezza h è la somma della sua energia potenziale e di quella cinetica: E = mgh mv 2, in cui g = 9.81 m/s 2 è l accelerazione di gravità. In un sistema non conservativo l energia meccanica non è costante. Dopo aver scritto una funzione che implementa la relazione precedente, sviluppare uno script suddiviso in celle per la risoluzione dei seguenti quesiti: 1 Supposto un oggetto volante di massa m = 100 kg e velocità v = 30 m/s, tabulare il valore dell energia meccanica per altezze h nell intervallo [10, 100] m a passo di 10 m. 2 Graficare la precedente energia meccanica per altezze h nell intervallo [0, 1000] m. 3 Fissato m = 100 kg e h = 30 m, disegnare il grafico dell energia meccanica E al variare della velocità v nell intervallo [0, 100] m/s. 4 Con riferimento al punto precedente, determinare l intervallo di velocità per cui l energia meccanica E è compresa nel seguente intervallo [10 5, ]. 5 Mostrare l andamento dell energia meccanica E come funzione delle due variabili h [0, 100] m e h [0, 100] m/s. M. Scarpiniti Laboratorio di Programmazione Esercitazione 4 4 / 12

5 Problema 4 Risolvere i seguenti sistemi lineari: 1 x + y + z = 3 2x y + z = 2 4x + 2y z = 5 2 2x + y 3z = 1 x + y + 4z = 4 x + 2y = x + 3y z = 0 x y + z = 1 3x + 2y + 4z = 3 4 3x + y + z = 3 6x 2y + z = 1 3x + 3y + 3z = 7 Si mostri il risultato anche sotto forma di frazioni. M. Scarpiniti Laboratorio di Programmazione Esercitazione 4 5 / 12

6 Problema 5 Effettuare la suddivisione in frazioni parziali delle seguenti funzioni: F 1(x) = x + 7 x 2 x 2 F 2(x) = F 3(x) = F 4(x) = x x 2 + 2x x x 2 + 2x + 5 x x 2 + x + 1 F 5(x) = x 5 x + 1 x 4 + x 2 F 6(x) = x 2 + 2x + 3 x (1 + x 2 ) F 7(x) = x 5 + 3x 3 + x (1 + x 2 ) 2 M. Scarpiniti Laboratorio di Programmazione Esercitazione 4 6 / 12

7 Problema 6 Generare i grafici delle seguenti funzioni per x che va da 0 a 10: 1 y = e x ; 2 y = sin (x); 3 y = ax 2 + bx + c, dove a = 5, b = 2 e c = 4; 4 y = (x); 5 un grafico sovrapposto con le curve precedenti. Inserire in ciascun grafico un titolo, le label degli assi e la griglia, e la legenda nell ultimo grafico. Utilizzare un colore diverso per ciascuna curva. M. Scarpiniti Laboratorio di Programmazione Esercitazione 4 7 / 12

8 Problema 7 Generare un vettore y di N = 8 valori interi casualmente scelti nell intervallo [50, 100] e graficarne il risultato utilizzando una tipologia di plot bidimensionale. Disegnare un altra tipologia di plot bidimensionale per graficare il vettore z i cui elementi, per i = 1,..., N, sono dati da: y 3 (i) 2y(i) z(i) = 3y(1)y(3) Suggerimento: per l asse x, lasciare che MATLAB utilizzi il vettore degli indici dei rispettivi valori di y e z. M. Scarpiniti Laboratorio di Programmazione Esercitazione 4 8 / 12

9 Problema 8 Graficare sulla stessa figura le seguenti curve per π x π, selezionando il passo in modo da ottenere una curva abbastanza smussata: y 1 = sin (x) y 2 = sin (2x) y 3 = sin (3x) Disegnare la curva y 1 con linea tratteggiata in rosso di dimensione 2, la curva y 2 con la linea solida in ciano di dimensione 3, e la curva y 3 con la linea punteggiata in nero di dimensione 2. Aggiungere la legenda. Ripetere la stessa figura utilizzando colori casuali (colori di default di MATLAB) per 6 x 6. Aggiungere una textbox che descriva le tre curve. M. Scarpiniti Laboratorio di Programmazione Esercitazione 4 9 / 12

10 Problema 9 Scrivere una funzione che, dato un numero N di vertici, generi il grafico di un poligono irregolare i cui vertici siano casualmente generati nel piano x, y [0, 20]. Si usino dei marcatori per evidenziare i vertici del poligono. Suggerimenti: Per generare i vertici si possono creare due vettori contenenti rispettivamente le ascisse e le ordinate dei vertici. Il vettore delle ascisse può essere generato con ordine crescente. Tuttavia, l ultimo vertice può avere un ascissa inferiore rispetto al penultimo vertice se si vogliono evitare poligoni troppo schiacciati. Il vettore delle ordinate può essere invece generato con ordine crescente-descrescente (o contrario). Per ottenere il grafico, bisogna congiungere il vertice N con il primo vertice, per cui bisogna aggiungere una replica delle coordinate del primo vertice nell ultima posizione dei vettori. M. Scarpiniti Laboratorio di Programmazione Esercitazione 4 10 / 12

11 Problema 10 I La distanza percorsa da un proiettile sparato con angolo θ è funzione del tempo e può essere divisa in una componente orizzontale e una verticale in base alle seguenti formule: h (t) = tv 0 cos (θ) v (t) = tv 0 sin (θ) 1 2 gt2 dove h è la distanza percorsa nella direzione x e v è la distanza percorsa nella direzione y, V 0 è la velocità iniziale, g = 9.8 m/s 2 è l accelerazione dovuta alla gravità, t è il tempo in secondi. 1 Supponendo che il proiettile sia sparato ad una velocità iniziale di 100 m/s e con un angolo di lancio di π/4, trovare la distanza percorsa nelle direzioni x e y nell intervallo da 0 a 20 s con passo 0.01 s. M. Scarpiniti Laboratorio di Programmazione Esercitazione 4 11 / 12

12 Problema 10 II 2 Graficare in due figure diverse la distanza orizzontale e quella verticale entrambe in funzione del tempo. Inserire titolo e label per ciascuna figura. 3 Graficare la distanza orizzontale in funzione di quella verticale. 4 Graficare nuovamente le distanze in funzione del tempo con grafico animato (sugg: comet). Se il grafico è troppo veloce o troppo lento, modificare il passo temporale. 5 Disegnare una figura che abbia due assi y con le due distanze, entrambe in funzione del tempo. 6 Calcolare tre nuovi vettori per ciascuna delle componenti orizzontale (h 1, h 2, h 3 ) e verticale (v 1, v 2, h 3 ) delle distanze percorse assumendo angoli di lancio pari a π/2, π/4, e π/6. 7 Graficare in due figure diverse le distanze orizzontali e le distanze verticali in funzione del tempo, indicando in modo opportuno le diverse curve (utilizzare legenda o textbox). M. Scarpiniti Laboratorio di Programmazione Esercitazione 4 12 / 12