SULLE SOLUZIONI A SIMMETRIA RADIALE DELLE EQUAZIONI DI TIPO ELLITTICO IN R 3

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1 M. G. BUSATO SULLE SOLUZIONI A SIMMETRIA RADIALE DELLE EQUAZIONI DI TIPO ELLITTICO IN R 3 mgbstudio.et

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3 SOMMARIO I questo scitto viee bevemete affotato il poblema dell e- sisteza di soluzioi a simmetia adiale pe le equazioi alle deivate paziali di tipo ellittico i R 3. Dopo ua beve itoduzioe, viee affotato il caso delle equazioi geealizzate di Helmholtz e delle equazioi geealizzate di Helmholtz Poisso. Viee poi acceato al caso i cui ell equazioe compaioo ache le deivate pime. I Appedice è ifie è bevemete discussa la classificazioe delle equazioi alle deivate paziali del secodo odie i equazioi di tipo ellittico, ipebolico e paabolico.

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5 INDICE GENERALE 1. INTRODUZIONE 1. EQUAZIONE GENERALIZZATA DI HELMHOLTZ 3. EQUAZIONE GENERALIZZATA DI HELMHOLTZ POISSON 4 4. CENNO AL CASO IN CUI COMPAIONO LE DERIVATE PRIME 5 Appedice 1 Equazioi alle deivate paziali di tipo ellittico, ipebolico e paabolico 7 BIBLIOGRAFIA GENERALE 9

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7 1. INTRODUZIONE Cosideiamo l equazioe di tipo ellittico: (1) U +Φ( x, y, z, U, xu, yu, zu) = dove, come di cosuetudie si è posto: x y z = mete co Φ si è idicata u assegata fuzioe delle vaiabili idicate, sulla quale pe il mometo o faemo alcua ipotesi. Diemo che l equazioe 1.1 ammette soluzioi a simmetia adiale se, passado alle coodiate sfeiche, θϕ, legate alle x, y, z pe mezzo delle fomule di tasfomazioe: x= siθcosϕ y = siθsiϕ z = cosθ 1.3 essa si iduce ad u equazioe diffeeziale odiaia i, se cioè diviee u equazioe del tipo: φ (, FF, ', F'') = dove F è ua fuzioe di. Diemo altesì soluzioi a simmetia adiale dell equazioe 1.1 tutte le fuzioi U della foma: U = F () 1.5 dove F () soddisfa all equazioe 1.4. Come è oto, elle coodiate sfeiche, θϕ, si ha: = + + siθ θ θ si θ ϕ si θ 1.6 cosθ cosϕ siϕ = siθ cosϕ + x θ siθ ϕ cosθsiϕ cosϕ = siθsiϕ + y θ siθ ϕ ) Pe maggioi dettagli sulla ozioe di equazioe di tipo ellittico si imada alla Appedice 1. 1

8 siθ = cosθ z θ 1.9 pe cui è facile compedee che le soluzioi a simmetia adiale della 1.1 dovao soddisfae alla seguete equazioe: 1 d d ( F ') +Φ (, θ, ϕ, F, F ') = dove co Φ si è idicata la fuzioe che si ottiee dalla Φ espimedo i essa x, y, z pe mezzo delle 1.3 ed U, U, U pe mezzo delle 1.7, 1.8, 1.9 co U data dalla 1.5. x y z Ma l equazioe 1.10 o può chiaamete essee soddisfatta da ua fuzioe F della sola vaiabile se i Φ compaioo ache le vaiabili θ e ϕ. Si vede quidi che i geeale, cioè pe ua fuzioe Φ abitaia, l equazioe 1.1 o ammette soluzioi a simmetia adiale. Affiché ciò avvega occoe ifatti che la fuzioe Φ abbia foma oppotua. Nel seguito studieemo alcue fome della fuzioe Φ pe le quali l equazioe 1.1 ammette soluzioi a simmetia adiale.. EQUAZIONE GENERALIZZATA DI HELMHOLTZ Suppoiamo che ella 1.1 la fuzioe Φ dipeda uicamete da U : Φ=Φ ( U ).1 Cosideiamo cioè l equazioe di tipo ellittico (ota come equazioe geealizzata di Helmholtz): U +Φ ( U) = 0. Passado alle coodiate, θϕ, e suppoedo U = F (), l equazioe. assume la foma: 1 d d ( F ') +Φ ( F ) = 0.3 Possiamo quidi cocludee che l equazioe. ammette sempe soluzioi a simmetia adiale, qualuque sia la foma della fuzioe Φ. La via più geeale pe studiae l equazioe.3 e quidi pe tovae le soluzioi a simmetia adiale dell equazioe., è quella poe: F ( ) = g( ) f( ).4 co g () ed f () fuzioi icogite. Così facedo si tova, dopo alcui semplici passaggi, che: 1 d g g' F gf g f g f ( ') = '' + ' + ' + '' + d.5 pe cui l equazioe.3 assume la foma seguete:

9 g g' gf '' + g' + f ' + g'' + f +Φ ( gf) = 0.6 Si può oa giocae sull abitaietà di scelta della fuzioe g () pe semplificae l equazioe.6 e a tale poposito giova ossevae che se si sceglie g () affiché isulti: g g ' + = 0.7 alloa isulta ache: () g ' g '' + = 0.8 pe cui i questo caso la.6 assume la foma stadadizzata : g() f '' +Φ [ g( ) f] = 0.9 dove oa, ovviamete, g () è ua fuzioe ota e pecisamete u qualsiasi itegale paticolae dell equazioe.7. L itegale geeale della.7 è: C gc ( ; ) =.10 dove C è ua costate abitaia, quidi come fuzioe g () possiamo pedee la seguete: g () 1 =.11 Co tale scelta, l equazioe.9 assume alloa la foma omalizzata : f '' + Φ ( f / ) = 0.1 Abbiamo così tovato che le soluzioi a simmetia adiale dell equazioe. soo del tipo: f() F () =.13 dove f () soddisfa all equazioe diffeeziale.1. Esempio 1.1 Equazioe di Helmholtz Fa le equazioi del tipo oa cosideato ieta la celebe equazioe (detta di Helmholtz): U + ku= 0.14 dove k è ua costate eale. Nel caso oa i esame l equazioe.1 assume la foma: ) Ifatti, deivado la.7 ed ossevado che pe la.7 stessa si ha g' = g/, si ottiee la.8. 3

10 f '' k f 0 + =.15 L itegale geeale della.15, cosideata i campo complesso, è: ik f ( ; C) = Ce.16 dove C è ua costate abitaia. Possiamo quidi cocludee, i foza della.13, che le soluzioi a simmetia adiale dell equazioe.14 soo del tipo: ik e F () =.17 La.17 è ota ache come soluzioe fodametale dell equazioe di Helmholtz. 3. EQUAZIONE GENERALIZZATA DI HELMHOLTZ POISSON Suppoiamo che ella 1.1 la fuzioe Φ dipeda sia da x, y, z che da U : Φ=Φ ( xyzu,,, ) 3.1 Cosideiamo cioè l equazioe di tipo ellittico (ota come equazioe geealizzata di Helmholtz Poisso): (3) U +Φ ( xyzu,,, ) = 0 3. Passado alle coodiate, θϕ, e suppoedo U = F (), l equazioe 3. assume la foma: 1 d d ( F ') +Φ ( siθcos ϕ, siθ cos ϕ, cos θ, F ) = pe cui possiamo cocludee che l equazioe 3. o ammette i geeale soluzioi a simmetia adiale. L equazioe 3. ammette tuttavia soluzioi a simmetia adiale qualoa sia: Φ=Φ ( x + y + z, U) 3.4 I tal caso ifatti, l equazioe 3.3 assume la foma: 1 d d ( F ') +Φ (, F ) = Poedo: F ( ) = g( ) f( ) 3.6 co g () ed f () fuzioi icogite, la 3.5 diviee: 3) Se la fuzioe Φ dipede uicamete da x, y, z, alloa l equazioe 3. è detta equazioe di Poisso. 4

11 g g' gf '' + g' + f ' + g'' + f +Φ (, gf) = pe cui, pocededo come el caso della., possiamo cocludee che le soluzioi a simmetia adiale dell equazioe: U +Φ ( x + y + z, U) = hao la foma seguete: f() F () = 3.9 dove f () soddisfa l equazioe diffeeziale odiaia: f '' + Φ (, f/ ) = Si oti che fa le equazioi del tipo oa cosideato ieta ache l equazioe di Helmholtz qualoa i essa si suppoga k fuzioe di, cioè k = k (). 4. CENNO AL CASO IN CUI COMPAIONO LE DERIVATE PRIME Limitiamoci a cosideae il caso di equazioi di tipo ellittico della foma seguete: U +Φ ( x + y + z, U, xu, yu, zu) = Pe studiae quali evetuali codizioi sulla dipedeza dalle deivate pime di U debba avee la fuzioe Φ affiché l equazioe 4.1 ammetta soluzioi a simmetia adiale, coviee iscivee le 1.7, 1.8, 1.9 avvaledosi delle fomule di tasfomazioe 1.3. Suppoedo U = F (), è facile vedee, utilizzado le 1.3, che le 1.7, 1.8, 1.9 si possoo appesetae el modo seguete: = x = y x d d y d d z d = z d 4.4 E chiao alloa che passado alle coodiate, θϕ, l equazioe 4.1 ammetteà sez alto soluzioi a simmetia adiale se le deivate di U compaioo i Φ i ua delle segueti te combiazioi: (A) U y x U x y ; U z x U x z ; U z y U y z 4.5 5

12 (B) U U U x + y + z x y z 4.6 (C) U U U + + x y z 4.7 I tutte le situazioi cosideate ifatti, l equazioe 4.1 saà icodotta ad ua equazioe diffeeziale odiaia della foma seguete: 1 d d df +Φ FF = d (,, ') dove co Φ (, FF, ') si è idicata la fuzioe che si ottiee dalla Φ eseguedo i essa le sostituzioi: x + y + z, x / F ', y/ F', z/ F'. Poedo: x U y U F ( ) = g( ) f( ) 4.9 la 4.8 pede la foma: g g ' gf '' + g' + f ' + g'' + f +Φ (, gf, g' f + gf') = e questa equazioe potà essee studiata scegliedo g i modo da aullae il secodo ed il tezo temie (come si è fatto ei casi pecedeti) oppue scegliedo g i modo oppotuo i base alla foma della fuzioe Φ. Olte, su questo agometo o ci dilugheemo. z U 6

13 Appedice 1 Equazioi alle deivate paziali di tipo ellittico, ipebolico e paabolico La classificazioe i tipo ellittico, ipebolico e paabolico delle equazioi alle deivate paziali si applica alle equazioi alle deivate paziali del secodo odie i R della foma seguete, cioè lieai ispetto alle deivate secode: (,..., ) +Φ,...,,,,..., = 0 A1.1 U U U aij x1 x x1 x U i, j= 1 xi xj x1 x Eseguedo i R u cambiameto di vaiabile 1 1 x,..., x y,..., y, l equazioe A1.1 assume chiaamete u espessioe divesa da quella che ha elle coodiate x 1,..., x, ma imae tuttavia della stessa foma. Nelle coodiate y,..., 1 y l equazioe A1.1 potà quidi essee scitta ella foma seguete: (,..., ) +Φ,...,,,,..., = 0 A1. U U U aij y1 y y1 y U i, j= 1 yi yj y1 y Defiizioe A1.1 Si dice che l equazioe A1.1 è di tipo ellittico el puto P di R se esiste i R u sistema di coodiate,..., y1 y pe cui i P la matice fomata dalle fuzioi ã ij è la matice idetità di R. Si dice che l equazioe A1.1 è di tipo ipebolico di gado m el puto P di R se esiste i R u sistema di coodiate y,..., 1 y pe cui i P la matice fomata dalle fuzioi ã ij è la matice idetità di mm, R ( m< ). Se m = 1, l equazioe A1.1 è detta di tipo ipebolico i P. Si dice che l equazioe A1.1 è di tipo paabolico di gado m el puto P di R se esiste i R u sistema di coodiate y,..., 1 y pe cui i P la matice fomata dalle fuzioi ã ij è la matice fomata dalla semisomma della matice idetità di Defiizioe A1. R co la matice idetità di mm, R (m< ). Si dice che l equazioe A1.1 è di tipo ellittico se essa è di tipo ellittico i ogi puto P di cui è defiita. R i Si dice che l equazioe A1.1 è di tipo ipebolico di gado m se essa è di tipo ipebolico di gado m i ogi puto P di R i cui è defiita. Se m = 1 l equazioe A1.1 è detta di tipo ipebolico. Si dice che l equazioe A1.1 è di tipo paabolico di gado m se essa è di tipo paabolico di gado m i ogi puto P di R i cui è defiita. L equazioe A1.1 si dice di tipo misto se essa o è dello stesso tipo i ogi puto P di cui è defiita. Chiaamete, i foza di quato pecede isulta che: (A) u equazioe di tipo ellittico può essee sempe icodotta alla foma omale : R i U U U +Φ y1,..., y, U,,..., = 0 i= 1 yi y1 y A1.3 7

14 (B) u equazioe di tipo ipebolico di gado m può essee sempe icodotta alla foma omale : +Φ,...,,,,..., = 0 m U U U U y1 y U i= 1 yi i= m+ 1 yi y1 y A1.4 (C) u equazioe di tipo paabolico di gado m può essee sempe icodotta alla foma omale : m U U U +Φ y1,..., y, U,,..., = 0 i= 1 yi y1 y A1.5 Pe maggioi dettagli sull agometo tattato si imada alla letteatua specializzata. NOTA Pe la matice idetità di covezioe: mm, R, che qui idicheemo co ( m, ) I, abbiamo assuto la seguete I ( m, ) = diag[1,...,1, 1,..., 1] m A1.6 Chiaamete, la matice idetità di R, cioè la matice I ( ), si idetifica co la matice I (,0). E e- videte che (caso delle equazioi di tipo paabolico di gado m): 1 ( ( ) ( m, ) I + I ) = diag[1,...,1,0,...,0] m A1.7 8

15 BIBLIOGRAFIA GENERALE [1] A. N. Tichoov A. A. Samaskij, Equazioi della Fisica matematica, Edizioi MIR [] F. G. Ticomi, equazioi a Deivate Paziali, Edizioi Cemoese [3] E. De Casto, Complemeti di Aalisi Matematica, Zaichelli [4] L. Basca, Tavole Matematiche, Ghisetti & Covi 9