Analisi Matematica I, 2006/2007, L. Vesely Primo compitino del 17 novembre 2006 TEMA I COGNOME:... NOME:...

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1 Analisi Matematica I, 2006/2007, L. Vesely Primo compitino del 17 novembre 2006 TEMA I COGNOME:... NOME:... N. MATR.:... IMMATRICOLAZIONE: [2006] [2005] [altro] [Ricordate che log significa log e. Siete pregati di scrivere in modo leggibile!] 1. Consideriamo i numeri complessi z = 1 + i, w = 6 i 2. (a) In forma trigonometrica: z =..., w =... (b) Re( z w ) =..., Im( z w ) =... (c) Le radici quadrate di z w sono (in forma trigonometrica): lim n + Sh(4n) n n log 2 =... n e4n+3 3. Rappresentare graficamente le seguenti due funzioni: f(x) = x 4/7 1 g(x) = f(x 1) 1

2 4. Sia {x n } una successione in R. L affermazione x n < 1 definitivamente equivale a dire che [barrare tutte le risposte esatte!] : [A] l insieme {n N : x n 1} è finito [B] l insieme {n N : x n 1} è infinito [C] l insieme {n N : x n < 1} è infinito [D] l insieme {n N : x n > 1} è finito 5. La successione x n = na log(7 n + n 3 ) 7 2/n 1 converge se e solo se il parametro reale a appartiene all insieme A = [Scrivere uno svolgimento completo!] Dimostrare che, per ogni a (0, 1) (1, + ), il numero log a 5 log a 3 è irrazionale. 2

3 7. (a) Scrivere l insieme E = {x R : (log x) + 1 > 1 2 log x} come un intervallo o unione di intervalli: E =... (b) sup E =... inf E =... max E =... min E = [4 punti. Scrivere uno svolgimento completo!] ( ) n n + n Calcolare lim n + n n + arctan(4/ n ) 3

4 Analisi Matematica I, 2006/2007, L. Vesely Primo compitino del 17 novembre 2006 TEMA II COGNOME:... NOME:... N. MATR.:... IMMATRICOLAZIONE: [2006] [2005] [altro] [Ricordate che log significa log e. Siete pregati di scrivere in modo leggibile!] 1. Sia {x n } una successione in R. L affermazione x n > 2 definitivamente equivale a dire che [barrare tutte le risposte esatte!] : [A] l insieme {n N : x n 2} è infinito [B] l insieme {n N : x n > 2} è infinito [C] l insieme {n N : x n 2} è finito [D] l insieme {n N : x n < 2} è finito 2. [Scrivere uno svolgimento completo!] Dimostrare che, per ogni a (0, 1) (1, + ), il numero log a 2 log a 5 è irrazionale. 4

5 3. lim n + e 4n 3 16 n + log 3 n n 9 + Sh(4n) = [4 punti. Scrivere uno svolgimento completo!] ( n n Calcolare lim n + n 2 n + arcsin(3/ n ) ) n 5

6 5. Consideriamo i numeri complessi z = 6 + i 2, w = 1 i. (a) In forma trigonometrica: z =..., w =... (b) Re( z w ) =..., Im( z w ) =... (c) Le radici quadrate di z w sono (in forma trigonometrica): La successione x n = log(5n + n 5 ) n a log 5 (1 3 converge se e solo se il parametro reale a n ) appartiene all insieme A = (a) Scrivere l insieme E = {x R : 2 3 log x > 2 + log x} come un intervallo o unione di intervalli: E =... (b) sup E =... inf E =... max E =... min E = Rappresentare graficamente le seguenti due funzioni: f(x) = x 3/7 g(x) = f(x + 1) 1 6

7 Analisi Matematica I, 2006/2007, L. Vesely Primo compitino del 17 novembre 2006 TEMA III COGNOME:... NOME:... N. MATR.:... IMMATRICOLAZIONE: [2006] [2005] [altro] [Ricordate che log significa log e. Siete pregati di scrivere in modo leggibile!] 1. [4 punti. Scrivere uno svolgimento completo!] ( ) n n 2 n Calcolare lim n + n + 3 n + Sh(2/ n ) 7

8 2. Rappresentare graficamente le seguenti due funzioni: f(x) = (x 1) 7/5 g(x) = f(x) 1 3. [Scrivere uno svolgimento completo!] Dimostrare che, per ogni a (0, 1) (1, + ), il numero log a 7 log a 3 è irrazionale. 8

9 4. (a) Scrivere l insieme E = {x R : 3 4 log x > (log x) + 3} come un intervallo o unione di intervalli: E =... (b) sup E =... inf E =... max E =... min E = Sia {x n } una successione in R. L affermazione x n > 3 definitivamente equivale a dire che [barrare tutte le risposte esatte!] : [A] l insieme {n N : x n 3} è infinito [B] l insieme {n N : x n 3} è finito [C] l insieme {n N : x n > 3} è infinito [D] l insieme {n N : x n < 3} è finito 6. lim n + n 12 e 4n 1 log 2 n + 16 n Sh(4n) = La successione x n = cos(n 2 ) 1 n a log(3 n 2) converge se e solo se il parametro reale a appartiene all insieme A = Consideriamo i numeri complessi z = 1 + i, w = 6 + i 2. (a) In forma trigonometrica: z =..., w =... (b) Re( z w ) =..., Im( z w ) =... (c) Le radici quadrate di z w sono (in forma trigonometrica):... 9

10 Analisi Matematica I, 2006/2007, L. Vesely Primo compitino del 17 novembre 2006 TEMA IV COGNOME:... NOME:... N. MATR.:... IMMATRICOLAZIONE: [2006] [2005] [altro] [Ricordate che log significa log e. Siete pregati di scrivere in modo leggibile!] 1. (a) Scrivere l insieme E = {x R : 4 + log x > 4 5 log x} come un intervallo o unione di intervalli: E =... (b) sup E =... inf E =... max E =... min E = Consideriamo i numeri complessi z = 6 i 2, w = 1 i. (a) In forma trigonometrica: z =..., w =... (b) Re( z w ) =..., Im( z w ) =... (c) Le radici quadrate di z w sono (in forma trigonometrica): lim n + e 4n 2 + n n Sh(4n) log 2 n = Sia {x n } una successione in R. L affermazione (x n ) 2 < 4 definitivamente equivale a dire che [barrare tutte le risposte esatte!] : [A] l insieme {n N : (x n ) 2 4} è infinito [B] l insieme {n N : (x n ) 2 > 4} è finito [C] l insieme {n N : (x n ) 2 4} è finito [D] l insieme {n N : (x n ) 2 < 4} è infinito 10

11 5. La successione x n = na arctan( 1 n n ) log(4 n + n n) converge se e solo se il parametro reale a appartiene all insieme A = [4 punti. Scrivere uno svolgimento completo!] ( ) n n + 2 n Calcolare lim n + n n sin(5/ n ) 11

12 7. [Scrivere uno svolgimento completo!] Dimostrare che, per ogni a (0, 1) (1, + ), il numero log a 7 log a 2 è irrazionale. 8. Rappresentare graficamente le seguenti due funzioni: f(x) = x 7/3 g(x) = f(x + 1)