Problemi di ottimizzazione di forma. su classi di insiemi convessi

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1 Università degli Studi di Pisa Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali Corso di Laurea in Matematica Anno Accademico 995/996 Tesi di Laurea Problemi di ottimizzazione di forma su classi di insiemi convessi Candidato Paolo Guasoni Relatore Chiar. mo Prof. Giuseppe Buttazzo Controrelatore Chiar. mo Prof. Franco Flandoli

2 Typeset in L A TEX 2ε, versione /2/995, con estensioni AMS-L A TEX, versione.2 e packages babel, graphicx Bibliografia generata con BibTEX Calcoli e grafici elaborati con Mathematica tm, versione 2.2 Figure ottenute con XFIG 2. Stampato con una Apple LaserPro

3 Indice Introduzione 5 Preliminari 9. Spazi di Sobolev Funzioni convesse e concave Metodi diretti Rilassamento Γ-convergenza Teoria della misura Misure di Young Misure di Hausdorff Funzioni BV ed insiemi di perimetro finito Il problema in forma cartesiana Il modello Il problema asintotico Il teorema di esistenza Varianti del problema Il problema in forma parametrica Il modello Un teorema di Reshetnyak Il teorema di esistenza Ottimizzazione rispetto alla sezione Proprietà dei profili ottimali Il caso radiale La pendenza La zona piatta Il comportamento su Questioni di unicità e radialità Il problema asintotico Problemi aperti Bibliografia 89 3

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5 Introduzione Il problema di trovare il profilo di sezione fissata che oppone la minima resistenza al movimento in un fluido può forse essere considerato il primo del Calcolo delle Variazioni, dall introduzione del calcolo differenziale. Fu infatti pubblicato per la prima volta nel 685 da Newton, parecchi anni prima che Johann Bernoulli risolvesse il classico problema della brachistocrona, nel 696. Nei Principia Mathematica Newton scriveva: Se in un mezzo rarefatto, costituito da eguali particelle disposte liberamente a eguali distanze l una dall altra, si muovono un globo e un cilindro, di egual diametro e con egual velocità nella direzione dell asse del cilindro, allora la resistenza del globo sarà la metà di quella del cilindro. [...] Riconosco che questa proposizione non sarà senza applicazione nella costruzione di navi. Il modello di Newton consisteva sostanzialmente nel supporre che la resistenza al moto fosse dovuta alla somma degli impulsi ceduti dalle particelle al solido nella direzione di scorrimento (vedere la figura 2.). Supponendo che il profilo sia descritto da una funzione u : R 2 R, che lo scorrimento sia verticale, e che ogni particella urti al più una sola volta, il problema si riduce a minimizzare l integrale: F (u) = dx. () + u 2 Nei casi citati da Newton si vede facilmente che, se ha area, la sfera ha una resistenza relativa (detta CX in gergo automobilistico) di, mentre il 2 cilindro di. Altri profili di resistenza relativa sono illustrati nelle figure 2 e 2. Per quanto il modello di Newton non tenga conto di tutti gli effetti determinati dalla viscosità, dalla turbolenza e dall interazione tra le particelle del fluido, si è visto che descrive abbastanza bene i risultati sperimentali in alcuni casi specifici (vedere Funk [3], Miele [25] o Hayes & Probstein [7]), come ad esempio nel caso di profili affusolati, di moto in un fluido a bassa viscosità, nei casi di velocità basse o, per ragioni completamente diverse, nel caso di velocità molto elevate. 5

6 6 INTRODUZIONE Figura : Finora la maggior parte della letteratura su questo argomento ha preso in considerazione il caso radiale del problema, in cui si suppone che sia un cerchio e si restringe la ricerca del minimo alle sole funzioni a simmetria cilindrica e radialmente decrescenti. In questo caso, il funzionale () diventa, in coordinate polari: R r F (u) = 2π dr, (2) + u (r) 2 0 e, una volta fissata l altezza massima del profilo, è possibile trovare la soluzione esplicitamente in forma parametrica (vedi figura 3). Contrariamente a ciò che suggerirebbe il senso comune, si vede che tale soluzione, descritta da una funzione concava, presenta sempre una zona piatta, sulla quale la pendenza è sempre uguale a, mentre nei pressi della base la pendenza resta sempre limitata. Recentemente, nei lavori di Buttazzo & Kawohl [8] e Buttazzo, Ferone & Kawohl [7] è stato affrontato il caso generale, in cui può essere un convesso qualsiasi ed i profili in competizione non devono rispettare vincoli di simmetria. In questo contesto non è comunque ancora chiaro quale sia la classe di funzioni più opportuna su cui studiare il problema. Infatti, se in [7] si trovano teoremi di esistenza nelle classi di funzioni concave e subarmoniche, è pur vero che il problema sarebbe ben posto su una classe più ampia di profili, che comprende tutti quelli per cui ogni particella può compiere al massimo un solo urto. In questo caso, tuttavia, si vede facilmente che il funzionale non gode di buone proprietà di compattezza e semicontinuità, nemmeno prendendo in considerazione le sole funzioni radiali, per cui in questo ambiente più generale il problema dell esistenza rimane aperto.

7 7 Figura 2: Noi concentreremo l attenzione sul caso di corpi convessi, che ci consentirà di generalizzare l esistenza del minimo e di determinare alcune caratteristiche dei profili ottimali. Nel capitolo richiamiamo brevemente i risultati di analisi funzionale e teoria della misura utilizzati nel seguito, rimandando alla bibliografia per le dimostrazioni. Nel capitolo 2 esponiamo dettagliatamente il problema di Newton nella sua forma originale, per profili cartesiani, ottenendo un teorema di esistenza per sezioni di base di forma non necessariamente convessa. Il capitolo 3 affronta il problema dell esistenza del minimo nella classe dei corpi convessi qualsiasi, non necessariamente esprimibili come grafici cartesiani di funzioni (come ad esempio una sfera). Anche se continueremo ad utilizzare il metodo diretto del calcolo delle variazioni, l ambientazione del problema cambierà nettamente, in quanto sfrutteremo alcuni strumenti di teoria geometrica della misura ed un risultato di continuità sullo spazio delle misure, dimostrato per la prima volta da Reshetnyak. Insieme al teorema di esistenza viene presentata una dimostrazione semplificata del teorema di Reshetnyak, che rappresenta l elemento cruciale per ottenere l esistenza del minimo. Al termine del capitolo si vedrà inoltre che l impostazione parametrica consente anche di ottenere sotto opportuni vincoli l esistenza di una sezione ottimale per il problema in forma cartesiane descritto precedentemente. Nel capitolo 4 studiamo le caratteristiche dei profili di resistenza minima di cui si è stabilita l esistenza. In particolare, vedremo che molte caratteristiche osservate nel caso radiale continueranno a rimanere valide, benchè nel caso generale il minimo radiale non sarà più ottimale: più precisamente, si vedrà con un controesempio costruito con profili a cacciavite (vedi figura 4) che la

8 8 INTRODUZIONE figura con sezione di base circolare che offre resistenza minima non è tra quelle a simmetria cilindrica. La tesi si conclude con alcune congetture sulle proprietà dei profili, accompagnate dalle ragioni euristiche che le rendono plausibili. Figura 3: Profilo radiale ottimale 2 Figura 4: Profilo a cacciavite, di resistenza inferiore 2 0

9 Capitolo Preliminari Richiamiamo in questo capitolo alcuni concetti di analisi funzionale e di teoria della misura utilizzati nel seguito. Per brevità ci limiteremo a dare le definizioni e a citare gli enunciati, mentre le dimostrazioni saranno rimandate alla bibliografia.. Spazi di Sobolev Definizioni... Sia R n un aperto, m N, con m, p, p R, p e p + p =. Definiamo lo spazio di Sobolev W m,p () {u L p () : α u L p () per 0 α m}, dove α è un multi indice e le derivate α u vanno intese nel senso delle distribuzioni. Allo spazio W m,p () è associata la norma u m,p = ( 0 α m α u L p ) p se p u m, = sup { α u L } se p =. 0 α m Si definisce H m,p () come la chiusura di {u C m (), u m,p < + } rispetto alla norma m,p. W m,p 0 () indica la chiusura di C 0 in W m,p (). W m,p () sarà il duale di W m,p 0 (). W m,p loc () W m,p (K). K 9

10 0 CAPITOLO. PRELIMINARI Valgono le seguenti proprietà: Teorema..2 W m,p () è uno spazio di Banach, separabile per p < e riflessivo per < p <. Dalla definizione precedente risulta immediatamente che per ogni p, m si ha H m, () W m, (). L uguaglianza è stabilita dal seguente risultato fondamentale: Teorema..3 (Meyers e Serrin) Sia p <. Allora H m,p () = W m,p (). Osservazione..4. Il teorema precedente non vale nel caso p =, per cui si ha l inclusione stretta H m, () W m, (), poichè le funzioni di H m, () sono di classe C m (). Dal momento che i teoremi di immersione dipendono fortemente dalla regolarità di, diamo le seguenti Definizioni..5. Diremo che un aperto R n ha la proprietà del cono se esiste un cono finito C tale che ogni punto x è il vertice di un cono finito C x congruente a C. ha la proprietà di Lipschitz locale forte se esistono δ, M > 0, un ricoprimento aperto localmente finito {U i } di, e per ogni U j una funzione f j di n variabili, in modo che valgano le seguenti condizioni. Esiste R N per cui ogni famiglia di R+ insiemi U j ha intersezione vuota. 2. Per ogni coppia di punti x, y {x : dist(x, ) < δ} tale che x y < δ esiste j tale che: x, y {x U j : dist(x, U j ) > δ}. 3. Ogni funzione f j è M-lipschitziana, cioè f(ξ,..., ξ n ) f(η,..., η n ) M (ξ η,..., ξ n η n ). 4. Esiste un sistema di coordinate cartesiane (ξ,..., ξ n ) in U j per cui l insieme U j è rappresentato della disuguaglianza ξ j,n < f j (ξ j,,..., ξ j,n ). Osservazione..6. Se è limitato, le condizioni sopra equivalgono alla locale lipschitzianità di.

11 .. SPAZI DI SOBOLEV Definizioni..7. Per ogni intero positivo j e per ogni λ (0, ] poniamo C j B () ={u Cj () : sup α u(x) < per α j} x C j,λ () ={u C j α u(x) α u(y) λ () : sup < per α j}. x,y x y Si pone inoltre per convenzione C j,0 () = C j (). Enunciamo ora i teoremi di immersione e di immersione compatta (per le dimostrazioni vedere Adams []): Teorema..8 (Sobolev) Siano m, j N e sia k = m n. Se ha la p proprietà del cono, allora si hanno le seguenti immersioni: ( W j+m,p () W j,q () p q p + m ) se k < 0 k W j+m,p () W j,q () p q < se k = 0 W j+m,p () C j B () se k > 0, Inoltre, se ha la proprietà di Lipschitz locale forte, W j+m,p () C j,λ () 0 < λ k se 0 < k < W j+m,p () C j,λ () 0 < λ < se k = W j+m,p () C j,λ () 0 < λ se k = e p =. Teorema..9 (Rellich-Kondrachov) Siano m, j N, con m e sia k = m n. Se ha la proprietà del cono e p 0 è un aperto limitato, allora si hanno le seguenti immersioni compatte: ( W j+m,p () W j,q ( 0 ) q p + m ) se k < 0 k W j+m,p () W j,q ( 0 ) q < se k = 0 W j+m,p () C j B ( 0) se k > 0 W j+m,p () W j,q ( 0 ) q se k > 0. Inoltre, se ha la proprietà di Lipschitz locale forte, W j+m,p () C j ( 0 ) se k > 0 W j+m,p () C j,λ ( 0 ) 0 < λ < k se 0 < k <. Citiamo infine il celebre risultato di Rademacher sulla differenziabilità delle funzioni lipschitziane: Teorema..0 (Rademacher) Sia f : D R n R m una funzione lipschitziana. Allora f è differenziabile in quasi ogni x D.

12 2 CAPITOLO. PRELIMINARI.2 Funzioni convesse e concave In questa sezione richiamiamo alcuni risultati fondamentali sulle funzioni convesse. Per le dimostrazioni vedere Dacorogna [9] Definizioni.2.. Sia X uno spazio topologico. Una funzione F : X R è detta Semicontinua inferiormente (s.c.i.) se per ogni x X si ha F (x) lim inf y x F (y), Semicontinua inferiormente per successioni se per ogni x X e per ogni successione x k x si ha F (x) lim inf x k x F (x k). Definizioni.2.2. Sia X uno spazio vettoriale su R, E X e f : X R. E si dice convesso se λx + ( λ)y E x, y E, λ [0, ]. Un insieme convesso E sarà inoltre strettamente convesso in un punto x E se esiste un intorno U di x tale che, se λ [0, ] λx + ( λ)y E = y {0, } λ E U, con un abuso di linguaggio, diremo invece che uno spazio vettoriale V è strettamente convesso se il disco unitario {x V : x } è strettamente convesso in ogni punto della frontiera. Dato un insieme E, si dice involucro convesso di E il più piccolo convesso che contiene E. f si dice convessa se f(λx + ( λ)y) λf(x) + ( λ)f(y) x, y X, λ [0, ]. Analogamente, f si dice concava se f(λx + ( λ)y) λf(x) + ( λ)f(y) x, y X, λ [0, ]. Il dominio di f è l insieme dom f {x X : f(x) < + }.

13 .2. FUNZIONI CONVESSE E CONCAVE 3 L epigrafico di f è definito come epi f {(x, α) X R : f(x) α}. Il sottografico o ipografico di f è definito come ipo f {(x, α) X R : f(x) α}. Proposizione.2.3 Le seguenti condizioni sono equivalenti: i) f è convessa (concava) ii) epi f è convesso (ipo f è convesso) iii) Esiste una famiglia di funzioni affini {f i } i I tale che f(x) = sup f i (x) i I ( ) f(x) = inf f i(x) i I. Inoltre, se f è convessa (concava), allora i sottolivelli (sopralivelli) di f sono convessi. In generale non vale il viceversa. Corollario.2.4 Se f e g sono convesse (concave), allora f g è convessa (f g è concava). In generale non è detto che componendo funzioni convesse si ottenga una funzione convessa, tuttavia vale la seguente Proposizione.2.5 Sia f : R R crescente e convessa (concava) e g convessa (concava). Allora f g è convessa (concava). un aperto limi- Teorema.2.6 (Disuguaglianza di Jensen) Sia R n tato, u L () e f : R n R convessa. Allora ( f ) u(x) dx dove indica la misura di Lebesgue di. f(u(x)) dx, Teorema.2.7 Siano X,..., X n spazi di Banach e sia f : X X n R convessa in ogni variabile, con f +. Allora i) Se f è limitata in un intorno di x, allora f è continua in x. ii) Se X,..., X n = R, allora f è localmente lipschitziana nei punti interni del suo dominio.

14 4 CAPITOLO. PRELIMINARI Definizioni.2.8. Sia X uno spazio vettoriale, X il suo duale e, la forma bilineare canonica su X X. Sia f : R R {± }. i) La funzione f : X R {± } definita da è detta coniugata, o polare di f. f (x ) sup{ x, x f(x)} x X ii) La funzione f : X R {± } definita da è detta biconiugata, o bipolare d f. f (x) sup x X { x, x f (x )} iii) La funzione Cf : X R {± } definita da è detta inviluppo convesso della f. Teorema.2.9 Sia f : X R. Allora i) f è convessa e s.c.i. Cf sup{g f : g convessa} ii) Se f è convessa e s.c.i, allora f + iii) In generale e se f è convessa e s.c.i, allora f Cf f, f = Cf = f. In particolare se f assume solo valori finiti allora f = Cf. iv) In generale f = f. Definizione.2.0. Sia X uno spazio di Banach e f : X R. Definiamo la derivata di Gâteaux di f nel punto x e nella direzione y il limite, se esiste f (x, y) lim ε 0 + f(x + εy) f(x) ε Una funzione f è detta differenziabile secondo Gâteaux in x se il limite precedente esiste per ogni y X. Si definisce f (x), y f (x, y)..

15 .3. METODI DIRETTI 5 Teorema.2. Sia f : X R differenziabile secondo Gâteaux. Le seguenti condizioni sono equivalenti: i) f è convessa (concava). ii) Per ogni x, y X f(y) f(x) + y x, f (x) iii) Per ogni x, y X y x, f (y) f (x) 0 ( ) f(y) f(x) + y x, f (x). ( ) y x, f (y) f (x) 0. Teorema.2.2 Sia f : X R differenziabile secondo Gâteaux e convessa. Allora f(x) + f (f (x)) = x, f (x) x X. Terminiamo con il teorema di Carathéodory, che generalizza l ultima parte della proposizione 3: Teorema.2.3 (Carathéodory) Sia M R n. Allora l involucro convesso di M è uguale all insieme { } n+ n+ x R n : x = λ i x i, x i M, λ i 0 con λ i =. i= Corollario.2.4 Sia f : R n R e Cf definita come sopra. Allora { n+ } n+ n+ Cf(x) = inf λ i f(x i ) : x = λ i x i, λ i 0 con λ i =. i=.3 Metodi diretti i= Vediamo acune varianti del medoto diretto del Calcolo delle Variazioni, che consente di dimostrare l esistenza di minimi senza utilizare l equazione di Eulero-Lagrange, ma cercando sull insieme delle funzioni una topologia rispetto alla quale si abbia contemporaneamente la compattezza sequenziale delle successioni minimizzanti e la semicontinuità sequenziale del funzionale. Definizioni.3.. Sia X uno spazio topologico. i) Si dice che una funzione F : X R è coerciva (coerciva per successioni) se per ogni t R esiste un insieme K t compatto (compatto per successioni) tale che {x : F (x) t} K t è compatto (compatto per successioni). i= i=

16 6 CAPITOLO. PRELIMINARI ii) Una famiglia di funzioni F i : X R, con i I, si dice equicoerciva (equicoerciva per successioni) se per ogni t R esiste un insieme K t compatto (compatto per successioni) tale che {x : F i (x) t} K t. i I Proposizione.3.2 Sia X uno spazio topologico e f : X R una funzione. Le seguenti condizioni sono equivalenti: i) f è s.c.i. ii) epi f è chiuso. iii) I sopralivelli {x X : f(x) > t} sono aperti per ogni t R. iv) I sottolivelli {x X : f(x) t} sono chiusi per ogni t R. Per le funzioni s.c.i. vale un risultato analogo al teorema di Weierstraß per le funzioni continue: Teorema.3.3 Sia X uno spazio topologico compatto (compatto per successioni) e sia f : X R una funzione s.c.i. (s.c.i. per successioni). Allora f ha un punto di minimo su X. Il teorema precedente viene spesso usato nella forma seguente: Teorema.3.4 (Metodo Diretto del Calcolo delle Variazioni) Sia X uno spazio topologico e sia f : X R una funzione s.c.i. e coerciva. Allora f ha un punto di minimo su X. Spesso, tuttavia, gli insiemi di definizione sono spazi di Banach, per cui si utilizza il seguente corollario: Corollario.3.5 Sia X uno spazio di Banach riflessivo e sia f : X R funzione tale che: i) f è s.c.i. rispetto alla topologia debole ii) lim f(x) = + x Allora f ammette almeno un punto di minimo su X..4 Rilassamento Nello studio di problemi di minimo accade spesso di non avere la semicontinuità inferiore del funzionale, mentre la coercività è garantita. In questi casi è utile considerare le soluzioni del funzionale rilassato, per poi confrontarle con quelle del problema originale. Qui ci limitiamo a citare alcune proprietà fondamentali. Per le dimostrazioni rimandiamo a [5].

17 .4. RILASSAMENTO 7 Definizione.4.. Sia X uno spazio topologico ed F : X R una funzione. Per ogni F : X R poniamo S F = { } G : G : X R, G s.c.i., G F. Si definisce allora il rilassato di F, e si indica con F, il funzionale F (x) = sup G S F G(x). Osservazione.4.2. Il rilassato di F è sempre s.c.i., visto che F è inviluppo superiore di funzioni s.c.i. Proposizione.4.3 Se per ogni x X esiste un sistema di intorni numerabile ( o assioma di numerabilità), allora F è caratterizzato dalla seguenti proprietà: i) Per ogni successione x h x si ha F (x) lim inf h (x h). ii) Per ogni x X esiste una successione x h x tale che F (x) = lim h F (x h ). Proposizione.4.4 Se F : X R è coerciva, allora: i) F è coerciva e quindi, per l osservazione.4.2 ammette minimo. ii) inf F = min F iii) Se x h x è una successione minimizzante per F, allora x è un punto di minimo per F. Inoltre, se X soddisfa il o assioma di numerabilità, per ogni x punto di minimo di F esiste x h x successione minimizzante per F. Dato un funzionale integrale F, è interessante sapere se F è un funzionale integrale ed eventualmente il suo legame con la formula esplicita di F.

18 8 CAPITOLO. PRELIMINARI Il seguente teorema fornisce la soluzione in un caso particolarmente significativo: Teorema.4.5 Sia R n un aperto limitato, f : R n R n R una funzione boreliana e tale che i) 0 f(x, ξ) a(x) + b ξ p, con a L () e b R. ii) per ogni x la funzione ξ f(x, ξ) è s.c.i. Allora se F : W,p 0 () R è definita da F (u) = f(x, u(x)) dx, il rilassato di F nella topologia debole di W,p 0 () è dato da F (u) = f (x, u(x)) dx, dove f indica l inviluppo convesso di f rispetto a ξ..5 Γ-convergenza Presentiamo ora le definizioni e i principali risultati sulla Γ-convergenza, che consente di stabilire la convergenza dei minimi e dei punti di minimo di una successione di funzionali F h che converge ad un funzionale F. Per le dimostrazioni rimandiamo a [22]. Definizioni.5.. Sia X uno spazio topologico ed F h : X R una successione di funzioni. Definiamo ( ( Γ lim inf h F h ) (x) = sup lim inf inf F h(y) U I(x) h y U Γ lim sup F h )(x) = sup lim sup h U I(x) h inf F h(y), y U dove I(x) è la famiglia degli intorni di x. Diciamo che F h Γ-converge a F in x se si ha ( ) ( Γ lim inf F h (x) = Γ lim sup F h )(x). h h In tal caso il valore comune si indicherà con ( ) Γ lim F h (x). h

19 .5. Γ-CONVERGENZA 9 Proposizione.5.2 Valgono le seguenti proprietà: i) Se F h Γ-converge a F, allora F è s.c.i. ii) Se per ogni h, F h = F, allora Γ lim h F h = F. iii) Se F h G h per ogni h, allora Γ lim inf h Γ lim inf h h Γ lim sup F h Γ lim sup h h G h G h. iv) Se F h F uniformemente su X, allora Γ lim h F h = F. v) Se F h è crescente in h, allora Γ lim F h = sup F h. h vi) Se F h F, allora Γ lim h F h = F. vii) Se F h Γ-converge a F e G h Γ-converge a G, allora Γ lim inf h Γ lim sup h (F h + G h ) Γ lim inf h (F h + G h ) Γ lim sup h h F h + Γ lim inf h F h + Γ lim sup h Spesso risulta utile la seguente caratterizzazione sequenziale: G h G h. Proposizione.5.3 Se X verifica il o assioma di numerabilità, allora: ( ) { } Γ lim inf F h (x) = min lim inf F h(x h ) : x h x h h ( { } Γ lim sup F h )(x) = min lim sup F h (x h ) : x h x. h h Il seguenti teoremi stabiliscono la convergenza dei minimi e dei punti di minimo di una successione di funzionali Γ-convergenti: Teorema.5.4 Supponiamo che esista un insieme σ-compatto K X tale che per ogni h Allora Γ lim inf h inf F h(x) = inf F h(x). x X x K F h ammette minimo in X e si ha min x X ( ) Γ lim inf F h (x) = lim inf h h inf x X F h(x). Se inoltre F h Γ-converge ad F, allora anche F ammette minimo e si ha min x X F = lim h inf x X F h(x).

20 20 CAPITOLO. PRELIMINARI Teorema.5.5 Supponiamo che F h Γ-converga ad F. Per ogni h sia x h un punto di minimo di F h in X. Se x è un punto di accumulazione per {x h }, allora x è un punto di minimo di F in X e si ha F (x) = lim sup F h (x h ). h Se inoltre {x h } converge a x in X, allora x è un punto di minimo di F in X e si ha F (x) = lim h F h (x h ). Quando {F h } è equicoerciva e si ha l unicità del punto di minimo, il teorema precedente ammette una forma più forte: Teorema.5.6 Supponiamo che {F h } sia equicoerciva e Γ-converga ad una funzione F avente in X un unico punto di minimo x 0. Per ogni h sia x h un punto di minimo di F h in X. Allora x h x e F h (x h ) F (x 0 )..6 Teoria della misura Richiamiamo alcuni strumenti di teoria della misura utili in seguito nello studio del problema in forma parametrica. Definizioni.6.. Sia un insieme non vuoto e E uno spazio vettoriale normato di dimensione finita. Diremo che una famiglia F di parti di è una σ-algebra se gode delle seguenti proprietà: i) F. ii) B F = \ B F. iii) {B h } h N F = h N B h F. Si dice misura una funzione µ : F E numerabilmente additiva, cioè tale che per ogni famiglia numerable di insiemi disgiunti {B h } F si abbia ( ) µ B h = µ(b h ). h h Se E = R n, con n >, µ si dirà misura vettoriale, mentre se E = R e µ(b) > 0 per ogni B, µ si dirà misura positiva.

21 .6. TEORIA DELLA MISURA 2 Una misura positiva µ si dice limitata se µ() <. Una misura positiva µ : R si dice probabilità se µ() =, sottoprobabilità se µ(). Denoteremo con P() e SP() rispettivamente gli insiemi delle probabilità e delle sottoprobabilità su. Si indica con δ x la misura positiva definita per ogni B da { se x B δ x (B) = 0 se x / B. δ x è detta delta di Dirac concentrata nel punto x. La terna (, F, µ) di un insieme, di una σ-algebra F su e di una misura µ : F E si dice spazio misurabile o spazio di misura. Osservazione.6.2. Se {F i } i I è una famiglia di σ-algebre su, allora anche i I F i è una σ-algebra su, quindi ha senso parlare della più piccola σ- algebra che contiene una famiglia di parti di. Definizioni.6.3. Sia uno spazio metrico localmente compatto e separabile, Indichiamo con B() la σ-algebra dei Boreliani di, vale a dire la più piccola σ-algebra che contiene tutti gli aperti di. Una misura definita su un σ-algebra F si dice di Borel se B() F. Una misura µ si dice regolare internamente se per ogni B B(S) e per ogni ε > 0 esiste un compatto K ε B tale che µ(b \ K ε ) < ε. Indichiamo con M(, E) l insieme delle le misure di Borel su a valori in E e con M + () l insieme delle misure di Borel positive su. Per ogni µ M(, E) ed ogni boreliano B B() si definisce la variazione di µ come µ (B) = µ(b n ), sup {B n } P(B) dove P(B) rappresenta la famiglia delle partizioni numerabili di B. Poniamo inoltre n µ = µ (). Osservazione.6.4. È facile vedere che µ è una misura di Borel positiva e che µ () = µ induce su M(, E) una struttura di spazio di Banach.

22 22 CAPITOLO. PRELIMINARI Definizioni.6.5. Sia λ una misura e µ una misura positiva. Si dice che λ è assolutamente continua rispetto a µ, scrivendo λ << µ, se per ogni ε > 0 esiste un δ > 0 tale che µ(b) < δ = λ (B) < ε. Si dice che λ è singolare rispetto a µ, scrivendo λ µ, se esiste B B() tale che µ(b) = 0 e λ( \ B) = 0. Si ha il seguente teorema di rappresentazione: Teorema.6.6 (di Radon-Nikodym) Sia λ una misura e µ una misura positiva. Allora esistono una funzione f L (, µ, E) ed una misura λ s tali che λ = fµ + λ s e λ s µ. Se λ << µ, f si indica con dλ e si chiama la derivata di Radon-Nikodym di λ dµ rispetto a µ. Osservazione.6.7. In particolare, si avrà sempre che µ << µ e quindi il teorema.6.6 implica che µ = ν µ µ, per una opportuna funzione di Borel ν µ. Dal momento che ν µ µ = ν µ µ, per µ -q.o. x si ha ν µ (x) S E, dove S E indica la sfera unitaria di E, cioè l insieme {x E : x = }. Definizione.6.8. Per ogni φ : E, dove E è il duale di E, definiamo l integrale rispetto a µ come φ dµ φ(x), ν µ (x) d µ (x). Se E = R p, si ha inoltre φ dµ = p i= φ i (x) dµ i. Indicando con C 0 (, R) la chiusura di C c (, R) rispetto alla norma L, ad ogni misura µ M(, E) associamo il funzionale lineare L µ : C 0 (, E) R definito dall applicazione: φ φ dµ.

23 .6. TEORIA DELLA MISURA 23 Questa funzione risulta essere un isometria surgettiva di M(, E) nel duale di C 0 (, E) grazie al seguente Teorema.6.9 (Riesz) Per ogni funzionale L nel duale di C 0 (, E) esiste unica una misura µ M(, E) tale che inoltre L = µ (). L(φ) = p i= φ i (x) dµ i, Identificando M(, E) con il duale di C 0 (, E) abbiamo dunque una naturale topologia debole. Definizione.6.0. Sia µ h una successione di misure in M(, E). Si dirà che µ h µ se i funzionali indotti L µh convergono a L µ nella topologia debole, cioè p p φ i (x) dµ h,i = φ i (x) dµ h φ C 0 (, E). lim h i= i= Se µ h µ, per il teorema di Banach-Steinhaus si ha che sup h µ h () <. Il viceversa è vero a meno di sottosuccessioni per il teorema di Banach-Alaoglu. Abbiamo inoltre la semicontinuità inferiore della funzione µ µ (). Teorema.6. Siano µ h M(, E) tali che la successione µ h () è limitata. Allora i) A meno di sottosuccessioni, si ha µ h µ per qualche µ. ii) Se µ h µ e µ h σ, si ha µ σ e lim µ h(e) = µ(e), h per ogni insieme di Borel E tale che σ ( E) = 0. iii) Se le misure sono positive, allora µ h µ implica lim inf h(a) µ(a) h aperto A lim sup µ h (K) µ(k) compatto K. h Definizione.6.2. Sia µ h una successione di misure in M(, E). Si dice che µ h converge in variazione a µ se µ h µ e lim h µ h = µ. Osservazione.6.3. Poichè in dimensione finita tutte le norme sono topologicamente equivalenti, la convergenza debole o la convergenza forte di misure non dipendono dalla norma di E. La convergenza in variazione invece dipende dalla norma scelta su E.

24 24 CAPITOLO. PRELIMINARI.7 Misure di Young Definizioni.7.. In questa sezione (, F, µ) sarà uno spazio misurabile e S uno spazio metrizzabile σ-compatto (cioè unione numerabile di compatti) e localmente compatto. Data una funzione f : S, si ha su S la σ-algebra canonica S = {B S : f (B) F}, su cui è definita la misura immagine ν ν(b) = µ(f (B)) B S. Questa definizione è inoltre valida anche quando S sia una σ-algebra generica su S rispetto alla quale f risulti misurabile. Indichiamo con Y(, µ, S) l insieme delle misure positive su S le cui immagini mediante la proiezione su sono uguali a µ. In altre parole, ν Y(, µ, S) ν(b S) = µ(b) B F. SY(, µ, S) denoterà invece l insieme delle misure positive su S le cui proiezioni su sono minori o uguali a µ, cioè ν SY(, µ, S) ν(b S) µ(b) B F. Sia u : S una funzione misurabile. La misura di Young associata a u è la misura immagine di µ rispetto all immersione di in S data da x (x, u(x)). Una famiglia (λ x ) x, con λ x SP(S), si dice misurabile se le applicazioni x λ x (B) sono misurabili per ogni B B(S). Enunciamo ora i due risultati fondamentali che, nel caso = R n, S = R m e µ e ν siano assolutamente continue rispetto alla misura di Lebesgue, si riducono al teorema di Fubini-Tonelli: Teorema.7.2 (Fubini generalizzato) Se (λ x ) x è una famiglia misurabile di SP(S) e µ è una misura positiva limitata su (, F), allora è definita su ( S, F B(S)) la misura ν, tale che ( ) ν(b) = χ B (x, ξ)λ x (dξ) µ(dx). S Inoltre, per ogni funzione F B(S)-misurabile e positiva o ν-integrabile ψ : S R, si ha ( ) ψ dν = ψ(x, ξ)λ x (dξ) µ(dx). S S

25 .8. MISURE DI HAUSDORFF 25 Teorema.7.3 (di disintegrazione delle misure) Sia S uno spazio metrizzabile separabile, ν SY(, µ, S) una misura limitata e la cui proiezione su S è di Radon. Allora esiste ed è unica (a meno di uguaglianza µ-q.o.) una famiglia misurabile di sottoprobabilità di Radon (λ x ) x tale che ν(b) = ( S ) χ B (x, ξ)λ x (dξ) µ(dx) B F B(S)..8 Misure di Hausdorff Le misure di Hausdorff consentono di precisare e generalizzare le nozioni intuitive di lunghezza, area e volume per sottoinsiemi di R n. L utilità di queste misure dipende dal fatto che la loro definizione è del tutto indipendente da parametrizzazioni locali e da ipotesi di regolarità sui bordi degli insiemi. Definizioni.8.. Per ogni k 0, ε > 0, e E R n, poniamo H k ε(e) = inf { ω k 2 k diam(b i ) k : E i= i= } B i, diam(b i ) < ε, dove la quantità ω k è definita tramite la funzione Γ di Eulero: ω k = (Γ(/2))k Γ( + k/2) e Γ(t) = s t e s ds. 0 Per la non decrescenza di H k ε(e) rispetto ad ε, possiamo quindi definire la misura di Hausdorff k-dimensionale di E come: H k (E) = lim ε 0 H k ε(e). Si noti che per k intero ω k coincide con la misura di Lebesgue della palla unitaria di R k, e che E può essere un sottoinsieme qualsiasi di R n, non necessariamente Boreliano e nemmeno misurabile secondo Lebesgue.

26 26 CAPITOLO. PRELIMINARI Proposizione.8.2 Valgono le seguenti proprietà: i) Le H k sono misure di Borel, e funzioni subadditive sulle parti di R n. ii) H k è identicamente nulla per k > n e coincide con la misura che conta i punti per k = 0. iii) Se k > k 0, allora H k (B) > 0 = H k (B) = +. iv) Se f : R n R p è una funzione lipschitziana, si ha H k (f(b)) M k H k (B), ove M è la costante di Lipschitz di f. v) Per ogni insieme B R n ed ogni ε > 0 si ha B = H k ε(b) = H k (B). Definizione.8.3. Si definisce dimensione di Hausdorff di A R n il numero dim H (A) = inf{k 0 : H k (A) = 0}..9 Funzioni BV ed insiemi di perimetro finito Definizione.9.. Sai R n un aperto e sia u L loc. Poniamo { } Du = sup u divg dx : g C0(, R n ), g. Definiamo lo spazio delle funzioni a variazione limitata in come dotato della norma Analogamente, poniamo BV () = { u L loc() : Du () < + }, u BV = u L + Du. BV loc () = { u L loc() : Du (K) < + K }. Proposizione.9.2 BV () è uno spazio di Banach, nè riflessivo, nè separabile.

27 .9. FUNZIONI BV ED INSIEMI DI PERIMETRO FINITO 27 Vediamo ora alcune utili caratterizzazioni delle funzioni BV. Proposizione.9.3 Sia u L. Le seguenti condizioni sono equivalenti: i) u BV () ii) Esiste una misura vettoriale Du, con Du () M, che rappresenti la derivata di u nel senso delle distribuzioni, cioè tale che u φ dx = φ dd i u. x i iii) Esiste una successione u h C () tale che u h u L () tende a zero e lim sup h + u h dx L < +. Inoltre, le più piccole costanti M e L coincidono con Du (). Grazie ai teoremi di immersione siamo in grado di ottenere proprietà di integrabilità per le funzioni BV e per le loro tracce. Teorema.9.4 Valgono le seguenti immersioni continue: BV () L p () BV () L ( ). Inoltre la seguente immersione risulta compatta BV () L n n (). Teorema.9.5 (di compattezza) Per ogni costante C 0 l insieme è compatto nella convergenza L loc (). {u L loc() : Du () C}, Il ruolo delle funzioni BV in Teoria Geometrica della Misura discende dal collegamento che c è tra il perimetro di un insieme e la variazione della sua funzione caratteristica: Definizione.9.6. Sia E R n un insieme misurabile secondo Lebesgue. Il perimetro di E in è definito come P (E, ) = Dχ E (). Diremo che E ha perimetro finito in se P (E, ) < +.

28 28 CAPITOLO. PRELIMINARI Teorema.9.7 (Formula di coarea) Per ogni u L () si ha Du () = + P ({u > t}, ) dt. In particolare, se u BV (), allora {u > t} ha perimetro finito in per quasi ogni t R. Definizioni.9.8. Sie E R n un insieme di perimetro finito in. Si dice frontiera di E in l insieme E = {x : 0 < E B ρ (x) < ω n ρ n ρ > 0}, dove ω n è la misura della palla unitaria di R n. Definiamo la frontiera ridotta di E l insieme Dχ E (B ρ (x)) FE = {x E, ν E (x) = lim ρ 0 + Dχ E (B ρ (x)), ν E(x) = }. La funzione ν E è detta normale interna generalizzata ad E. Definizione.9.9. Sia E R n un insieme di Borel. E si dice numerabilmente H k -rettificabile se esiste una successione Γ h di varietà Lipschitziane di dimensione k tale che H k (E \ ) Γ h = 0. h=0 E sarà H k -rettificabile se è numerabilmente H k -rettificabile e H k (E) < +. Abbiamo il seguente teorema fondamentale, dovuto a De Giorgi []: Teorema.9.0 Sia E un insieme di perimetro finito in. Allora FE è un insieme H k -rettificabile, E = FE e le misure Dχ E e H n FE coincidono.

29 Capitolo 2 Il problema in forma cartesiana In questo capitolo svolgeremo lo studio del problema della resistenza minima nel caso in cui il profilo dell oggetto sia descritto da una funzione u : R n R. Nella sezione 2. verrà descritto nei dettagli il modello utilizzato da Newton e si vedranno le ragioni che portano a cercare il minimo nello spazio delle funzioni concave. La sezione successiva è invece dedicata al teorema di esistenza, e alle possibili estensioni della classe delle funzioni concave. 2. Il modello Il modello usato da Newton per definire la resistenza può essere descritto come segue: sia un aperto di R n e supponiamo che il profilo dell oggetto sia descritto da una funzione u : R. Immaginiamo che il fluido sia composto da tante particelle che si muovono ortogonalmente a con la stessa velocità, e che ogni particella urti elasticamente ed una sola volta contro il profilo, trascurando gli effetti dovuti all attrito e alla turbolenza. Come si vede dalla figura 2., l impulso che ogni particella cede al corpo è proporzionale a sin 2 θ, dove θ è l angolo di incidenza della particella. Scrivendo sin 2 θ come ed integrando su tutto, si ottiene per la resistenza la + u 2 seguente espressione, valida a meno di costanti di proporzionalità dipendenti dalla velocità del fluido e dalla sua densità: F (u) = dx. (2.) + u 2 Vediamo ora in quale classe di funzioni è ragionevole cercare il minimo del funzionale F. Chiaramente sarà necessaria l equilimitatezza dellla classe, altrimenti, ponendo u h = hu 0, si otterrebbe lim h F (u h ) = 0 per ogni funzione u 0 non costante, mentre è evidente che il funzionale F non si annulla per nessuna funzione u. Tuttavia 29

30 30 CAPITOLO 2. IL PROBLEMA IN FORMA CARTESIANA Figura 2.: Il modello di Newton P θ θ 2 P sin θ P sin θ anche un vincolo del tipo 0 u M non darebbe l esistenza del minimo, in quanto, presa una funzione w definita su R n e tale che 0 w M e posto (vedi figura 2.2) u h (x) = w(hx), si avrebbe F (u h ) = h n + h 2 w dx, 2 h e dunque, se ad esempio w è periodica e non costante, lim h F (u h ) = 0. Si noti inoltre che per funzioni qualsiasi il numero di urti delle particelle può essere maggiore di uno, mentre nel modello abbiamo preso in considerazione solo un urto tra la particella di fluido ed il corpo. Un modo possibile di risolvere questi problemi, come vedremo nella prossima sezione, è quello di imporre la condizione di concavità dei profili, cercando il minimo nella classe C M = {u : 0 u M, u concava}. Le funzioni concave, infatti, godono della proprietà che ogni particella urta il profilo una sola volta. Per ogni M > 0 otterremo così almeno una soluzione u M per il problema: min + u dx : u C 2 M. (2.2)

31 2.2. IL PROBLEMA ASINTOTICO 3 Figura 2.2: Successione minimizzante un vn In [7] si possono vedere le estensioni del teorema di esistenza alle classi delle funzioni subarmoniche e quasiconcave. Noi preferiremo concentrarci sul caso convesso, che ci consentirà di di ottenere informazioni supplementari sulle propritetà del minimo. 2.2 Il problema asintotico Dal momento che il modello di Newton è adatto a studiare profili molto allungati, può essere interessante chiedersi quale sia il comportamento asintotico dei profili ottimali u M per M. Un procedimento possibile consiste nel normalizzare le funzioni u, ponendo v = u per ogni u C M M. La resistenza viene allora definita dal funzionale dipendente da M F M (v) = + M 2 v 2 dx. Dal momento che minimizzare F M equivale a minimizzare M 2 F M, consideriamo i funzionali M 2 G M (v) = F M (v) = + M 2 v dx = 2 + v dx, M 2 2 Per M otteniamo il funzionale limite G (v) = v dx, 2

32 32 CAPITOLO 2. IL PROBLEMA IN FORMA CARTESIANA che, come verrà dimostrato nel teorema 2.3., avrà almeno una soluzione concava u. I funzionali G M formano una famiglia crescente in M (vedi figura 2.3) quindi Γ-convergono a G per la proposizione.5.2. Dal teorema.5.4 segue che i punti di minimo v M di F M, che coincidono con quelli di G M, convergono a punti di minimo v di G nella topologia forte di W,p loc (). 9-4 Figura 2.3: Nello studio delle soluzioni, sarà inoltre opportuno considerare i seguenti parametri: per ogni u, definiamo la resistenza relativa (detta CX in gergo automobilistico) C 0 (u) + u dx, 2 per ogni famiglia {u M }, dette {v M } le corrispondenti normalizzate definiamo la resistenza asintotica M 2 D 0 {u M } lim M F M(u M ) = lim M G M(v M ). In particolare, se u M u in W,p loc (), allora D 0 {u M } = G (u), e F (u M ) M 2 G (u).

33 2.3. IL TEOREMA DI ESISTENZA Il teorema di esistenza Sia un convesso aperto e limitato di R n, e sia M > 0. Consideriamo funzionali F del tipo: F (u) = f(x, u, u) dx, (2.3) dove f : R R n [0, + ] è una funzione boreliana non negativa. La buona definizione dei funzionali segue dalla locale lipschitzianità delle funzioni concave e dal teorema..0. Per dimostrare il teorema di esistenza seguiremo Buttazzo e Kawohl [7] Teorema 2.3. Sia f(x,, ) semicontinua inferiormente su R R n per q.o. x. Allora per ogni M > 0 il problema: ammette almeno una soluzione. min F (u), (2.4) u C M L esistenza del minimo dipende dal seguente risultato di compattezza (vedere Marcellini [2]): Lemma Per ogni M > 0 e ogni p < + la classe C M è compatta nella topologia forte di W,p loc (). Dimostrazione. Sia u h una successione di elementi di C M. Dimostriamo che si può estrarre una sottosuccessione u hk tale che u hk u in L p () e u hk u in L p ( ) per ogni. Per la locale lipschitzianità delle u h si ha che: h C h, x, y u h (x) u h (y) C h, x y. Grazie alla concavità e alla equilimitatezza di u h, la scelta delle costanti di lipschitzianità può essere fatta indipendentemente da h: infatti C h,. dist(, ) M Su ogni, dunque, la successione u h è equilipschitziana ed equilimitata, e quindi compatta uniformemente per il teorema di Ascoli-Arzelà, e per diagonalizzazione si può estrarre una sottosuccessione (che per brevità denoteremo ancora con u h ) che converge puntualmente a una certa u C M. Con il teorema di Lebesgue della convergenza dominata si conclude che u h u in L p (). Resta ora da dimostrare che u h (x) u(x) in L p (K) per ogni K. Ancora una volta, grazie alla equilimitatezza dei gradienti u h sarà sufficiente dimostrare la convergenza quasi ovunque. Sia x un punto in cui u e tutte le u h sono differenziabili. Per la concavità delle funzioni t u h (x + te k ) si ha per ogni k {... n} e per ogni ε > 0 u h (x + εe k ) u h (x) ε k u h (x) u h(x εe k ) u h (x) ε.

34 34 CAPITOLO 2. IL PROBLEMA IN FORMA CARTESIANA Passando al limite per h + si ottiene u(x + εe k ) u(x) ε lim inf h + ku h (x) lim sup k u h (x) u(x εe k) u(x) h + ε. Infine, mandando ε a 0, si ha che u h (x) u(x) e quindi la tesi. Siamo ora in grado di dimostrare l esistenza del minimo in C M : Dimostrazione del teorema 2.3. Per il lemma sarà sufficiente dimostrare la semicontinuità inferiore del funzionale F nella topologia forte di W,p loc (). Questa però segue dal lemma di Fatou, infatti se u h u in W,p loc (), allora si può estrarre una sottosuccessione (denotata ancora con u h ) tale che (u h, u h ) (u, u) q.o. in. Dunque: F (u) lim inf h f(x, u h, u h ) dx lim inf h 2.4 Varianti del problema f(x, u h, u h ) dx = lim inf h F (u h). È possibile studiare il problema di Newton sostituendo il vincolo u M sull altezza del profilo con limitazioni sull area o sul volume. In tal caso si cercherà il minimo nelle classi C A = { u : u concava, u 0, + u 2 dx + u dh n A }, oppure C V = { u : u concava, u 0, u dx V }. Anche in questi casi è possibile ottenere un teorema di esistenza. Corollario 2.4. Sia f(x,, ) semicontinua inferiormente su R R n per q.o. x. Allora per ogni A e V 0 i problemi: ammettono almeno una soluzione. min u C A F (u) e min u C V F (u), (2.5)

35 2.4. VARIANTI DEL PROBLEMA 35 Dimostrazione. Basta far notare che sia C A che C V sono compatti in W,p loc (). In primo luogo notiamo che entrambe le classi sono contenute in un opportuno C M. Infatti, se M = sup u, il sottografico di u, essendo convesso, deve contenere un cono di base e vertice ad altezza M. Per u C A, si ottiene: A + u 2 dx + u dh n + u 2 dx 2 M, e quindi C A C M per M = 2A. Per u C V invece V u dx 3 M, e quindi C V C M per M = 3V. Se u h C M, a meno si sottosuccessioni possiamo supporre che u h u q.o., ma allora i volumi convergono per il teorema di Lebesgue della convergenza dominata u h dx u dx, e quindi C V è compatto. Inoltre, come si vedrà dal lemma 3.3.3, detti E h i sottografici di u h, lim + uh 2 dx + u h dh n = h e quindi anche C A è compatto. = lim H n ( E h ) = H n ( E) = h = + u 2 dx + u dh n, Il teorema 2.3. può essere esteso in modo da comprendere il caso fisicamente rilevante in cui sia un aperto non convesso. Al fine di trovare una nozione analoga a quella di convessità per aperti generici, introduciamo l insieme D M = {u : 0 u M, u convessa su ogni convesso E }. Vale allora il seguente teorema: Teorema Sia f(x,, ) semicontinua inferiormente su R R n per q.o. x. Allora per ogni M > 0 il problema: ammette almeno una soluzione. min u D M F (u), (2.6)

36 36 CAPITOLO 2. IL PROBLEMA IN FORMA CARTESIANA Dimostrazione. La semicontinuità si dimostra come nel teorema 2.3., quindi è sufficiente dimostrare la compattezza. A tale scopo, per ogni, ricopriamo con una famiglia di palle {B x } x di raggio inferiore a dist(, ). Per la compattezza di, estraiamo un ricoprimento finito {B h } h N. Su ogni B h vale la locale lipschitzianità delle u h e indichiamo con L h la relativa costante di Lipschitz. Sarà quindi sufficiente prendere max h L h per ottenere l equilipschitzianità delle u h. La dimostrazione procede quindi esattamente come nel lemma

37 Capitolo 3 Il problema in forma parametrica Vediamo in questo capitolo come sia possibile impostare il problema di Newton in un contesto molto più generale di quello cartesiano, in cui il profilo di ogni oggetto deve essere il grafico di una funzione. Il funzionale che descrive la resistenza, finora definito sullo spazio delle funzioni concave, sarà esteso alla famiglia degli insiemi convessi, su cui otterremo un altro teorema di esistenza. La tecnica usata sarà come prima il metodo diretto, che richiederà un risultato di Reshetnyak di continuità per funzionali definiti sullo spazio delle misure. 3. Il modello Sia E un insieme convesso. Se E è il sottografico di una funzione concava u, abbiamo visto che la resistenza è data da F (u) = dx. (3.) + u 2 Indicando con ν(x) la normale esterna a E nel punto x, si ha che ν = ( u, ) + u 2 e dh n dx = + u 2 = ν n+, e quindi la resistenza diventa F (u) = νn+ 2 dx = νn+ 3 dh n = (ν + n+) 3 dh n, graf u E dove nell ultima uguaglianza la parte positiva consente di trascurare l integrale lungo E \ graf u. Per la locale lipschitzianità dei convessi, la normale esterna 37

38 38 CAPITOLO 3. IL PROBLEMA IN FORMA PARAMETRICA ν è definita per quasi ogni punto della forntiera E, quindi l espressione precedente ha senso per ogni convesso E, e possiamo definire il nuovo funzionale come F (E) = (ν n+) + 3 dh n. E È ora opportuno chiedersi quali vincoli si debbano imporre alla famiglia dei convessi tra cui cercare il minimo, al fine di non banalizzare il problema. Più precisamente, dovremo ottenere l esistenza del minimo evitando che si abbia inf F (E) = 0. A tale scopo, considereremo le seguenti classi: C A,Q ={E convesso: K E Q} (3.2) C V,Q ={E convesso: E Q, E > V }, (3.3) dove K e Q sono sottoinsiemi di R n+ limitati e con misura positiva, V è un numero reale positivo. Il funzionale F allora si può scrivere, grazie al teorema.9.0, nella forma F (E) = (ν n+) + 3 dh n = (ν n+) + 3 d Dχ E, dove E Q ν = ddχ E d Dχ E e Dχ E rappresenta la derivata nel senso delle distribuzioni della funzione caratteristica di E. Pertanto si può pensare che F sia definito, invece che sulla classi C A,Q e C V,Q, sulle seguenti classi di misure: Γ A,Q = { µ M(Q, R n+ ) : µ = Dχ E, E C A,Q } Γ V,Q = { µ M(Q, R n+ ) : µ = Dχ E, E C V,Q }. In questo contesto si potrà applicare il teorema dimostrato nella prossima sezione. 3.2 Un teorema di Reshetnyak In questa sezione verrà dimostrato il teorema di Reshetnyak, che fornisce la semicontinuità nel problema di Newton in forma parametrica. La dimostrazione originale di Reshetnyak richiedeva solo concetti elementari di teoria della misura, tuttavia risulta piuttosto laboriosa. Noi abbiamo preferito seguire un altro approccio, più semplice, ma che utilizza il teorema di disintegrazione e le idee che stanno alla base delle misure di Young. La dimostrazione verrà spezzata in vari lemmi, alcuni dei quali sono semplici proposizioni di teoria della misura che in questo contesto vale la pena dimostrare.

39 3.2. UN TEOREMA DI RESHETNYAK 39 Teorema 3.2. (Reshetnyak) Sia E uno spazio vettoriale normato strettamente convesso di dimensione finita, f : S E R una funzione continua e limitata. Allora il funzionale F : M(, E) R definito da F (µ) = f(x, ν µ (x)) d µ (x), è continuo rispetto alla convergenza in variazione. Osservazione Il teorema precedente ammette diverse varianti: ad esempio, se si è interessati alla sola semicontinuità inferiore del funzionale F, sarà sufficiente avere f s.c.i. e limitata. Se si ammette invece che le µ n convergano semplicemente nella topologia debole ma non necessariamente in variazione, si dovrà avere f s.c.i., positiva e tale che y f(x, y ) sia convessa su E per ogni x. y Nel primo caso la dimostrazione è del tutto analoga alla seguente, mentre nel secondo cambia completamente. Per dimostrare il teorema avremo bisogno i alcuni lemmi e delle seguenti Definizioni Definiamo le due funzioni canoniche T e U M(, E) T M + U ( S E ) M(, E), ponendo per ogni µ M(, E) T µ(b) = δ νµ (x) d µ B B( S E ), B e per ogni τ M + ( S E ), usando la disintegrazione di τ (vedi teorema.7.3), ( ) Uτ(B) = Π SE dτ x dπ (τ) B B(), B S E dove Π e Π SE rappresentano rispettivamente le proiezioni di S E su e su S E. Si vede facilmente che le definizioni date sopra equivalgono alle seguenti: ( T µ(b) = µ {x X : ( x, ν µ (x) ) ) B} B B( S E ), Uτ(B) = Π SE dτ B B(). B S E Nel linguaggio delle misure di Young (vedere ad esempio [35] e [37]), l applicazione T manda µ nella misura di Young T µ Y(, µ, S E ) associata alla funzione ν µ. Viceversa U manda τ, inteso come elemento di Y(, τ, S E ), nella misura vettoriale Uτ avente come densità la funzione che associa ad x la media di τ sulla fibra di x rispetto alla proiezione Π SE.

40 40 CAPITOLO 3. IL PROBLEMA IN FORMA PARAMETRICA Proposizione Valgono le seguenti proprietà: i) T è un isometria. ii) U T Id M(,E), mentre (T U)(τ) = τ se τ è nell immagine di T. iii) Per ogni ψ : S E R boreliana vale la seguente identità: ψ(x, y) dt µ(x, y) = ψ(x, ν µ (x)) d µ (x). S E Dimostrazione. Si vede subito che T è un isometria, infatti T µ = µ () = µ. Inoltre la iii) segue dalla definizione di T, quindi UT µ(b) = y dt µ(x, y) = ν µ (x) d µ (x) = µ(b), B S E B e dunque U T Id M(,E). Ne segue che se τ = T µ, allora Uτ τ. Dal momento che U è una proiezione, dovrà essere U e quindi U è un isometria ristretta all immagine di T. Osservazione Si noti che T è iniettiva ma non surgettiva, mentre U è surgettiva ma non iniettiva, quindi U T Id M(,E) ma T U Id M + ( S E ). Lemma Sia µ n una successione di misure in M(, E) che converge in variazione a µ. Allora le misure positive µ n convergono in variazione a µ. Dimostrazione. Le misure µ n formano evidentemente una successione limitata, quindi a meno di sottosuccessioni si ha che µ n λ, per qualche misura positiva λ. Sarà sufficiente dimostrare che λ = µ. Presa φ C 0 (, R) positiva, e ψ C 0 (, E ) tale che φ(x) ψ(x) si ha φ dλ = lim φ d µ n lim ψ dµ n = ψ dµ, n n ma allora, fissata φ, si ha che φ dλ sup ψ C 0 (,E ) ψ φ ψ dµ = φ d µ, e pertanto si ottiene che λ(b) µ (B) per ogni B aperto e quindi per ogni B boreliano, ma per ipotesi abbiamo che λ lim inf n µ n = µ, dunque λ = µ.

41 3.2. UN TEOREMA DI RESHETNYAK 4 Lemma Supponiamo che µ n µ e che T µ n τ. Allora µ τ e, se E è strettamente convesso, l uguaglianza vale se e solo se τ = T µ. Dimostrazione. Si ha che: µ = τ = sup φ C 0 (,R) φ sup ψ C 0 ( S E,R) ψ φ(x) d µ, S E ψ(x, y) d τ. Dal momento che per ogni φ C 0 ( S E, R) si può ottenere una ψ C 0 (, R) tale che ψ(x, y) = φ(x), si ha una naturale inclusione delle funzioni test di µ in quelle di τ. Ne segue che µ τ. Rimane da dimostrare che se E è strettamente convesso l uguaglianza vale se e solo se τ = T µ. Infatti, supponiamo che ψ(x, y) dτ(x, y) = ψ(x, y) dt µ(x, y) ψ C 0 ( S E, R). S E S E Dal teorema di disintegrazione e dalla definizione di T µ si ottiene che ( ) ψ(x, y) dλ x (y) d µ (x) = ψ(x, ν µ (x)) d µ (x) ψ C 0 ( S E, R), S E dove la famiglia di misure {λ x } è data da dτ(x,y). Dovremo quindi avere che dx S E ψ(x, y) dλ x (y) = ψ(x, ν µ (x)) per µ -q.o. x. In particolare, per ψ(x, y) = y i con i {..k}, dove k è la dimensione di E, si ottiene S E y dλ x (y) = ν µ (x) per µ -q.o. x. (3.4) Se non fosse λ x = δ νµ (x), si avrebbe S E y dλ x (y) = ν µ (x) λ x (ν µ (x)) + S E \{ν µ (x)} y dλ x (y), con λ x (S E \ {ν µ (x)}) > 0. Detto L il funzionale lineare su E che ad ogni y associa la componente del vettore y lungo ν µ (x), per la stretta convessità di E abbiamo che L(y) < y S E \ {ν µ (x)},

42 42 CAPITOLO 3. IL PROBLEMA IN FORMA PARAMETRICA da cui, ricordando che λ x (ν µ (x)) + λ x (S E \ {ν µ (x)}) =, ( ) ( ) L y dλ x (y) =L ν µ (x) λ x (ν µ (x)) + y dλ x (y) = S E = λ x (ν µ (x)) + S E \{ν µ (x)} L(y) dλ x (y) < S E \{ν µ(x)} < λ x (ν µ (x)) + λ x (S E \ {ν µ (x)}) =. Ma per la (3.4) deve essere ( L ) y dλ x (y) =, S E quindi λ x = δ νµ (x) per µ -q.o. x. Lemma Sia E strettamente convesso. Se µ n µ in variazione, allora T µ n T µ in variazione. Dimostrazione. A meno di sottosuccessioni si ha che T µ n proposizione τ, quindi per la µ = lim inf n µ n = lim inf n T µ n τ, Sempre per il lem- ma per il lemma µ τ, quindi µ = τ. ma 3.2.7, τ = T µ e T µ n T µ in variazione. Lemma Sia µ n una successione di misure in M(, E) che converge in variazione a µ. Allora si ha lim φ dµ n = φ dµ, n per ogni funzione φ : E continua e limitata. Dimostrazione. Per ogni ε, sia K ε un compatto tale che µ( \ K ε ) < ε e ψ ε C 0 (, E ) una funzione a valori in [0, ] e uguale a su K ε. Di conseguenza si avrà ψ ε d µ > µ ε. Allora, se C è una costante tale che φ < C, abbiamo che ( ) ( ψ ε )φ dµ n < C µ n ψ ε dµ n,

43 3.3. IL TEOREMA DI ESISTENZA 43 e quindi φ dµ n lim sup n φ dµ ψ ε φ dµ n φ dµ n ψ ε φ dµ + ( ψ ε )φ dµ n ( ψ ε )φ dµ, φ dµ ( µ 2C Facendo tendere ε a zero si ottiene la tesi. ) ψ ε dµ < 2Cε. Dimostrazione del teorema Per i lemmi e 3.2.8, se µ n µ in variazione, anche T µ n T µ in variazione. Inoltre, per il lemma lim f(x, y) dt µ n (x, y) = f(x, y) dt µ(x, y). n S E S E In definitiva lim F (µ n) = lim n n f(x, ν µn (x)) d µ n (x) = lim = f(x, y) dt µ(x, y) = S E n S E f(x, y) dt µ n (x, y) = f(x, ν µ (x)) d µ (x) = F (µ), ed il teorema è dimostrato. 3.3 Il teorema di esistenza Vediamo ora come dal teorema 3.2. è possibile ottenere un risultato di esistenza per il problema di Newton in forma parametrica nella classe (3.2) e nella classe (3.3). Come già anticipato, anche qui useremo il metodo diretto del Calcolo delle Variazioni, quindi abbiamo bisogno del seguente lemma di compattezza: Lemma 3.3. Le classi Γ A,Q e Γ V,Q sono compatte nella convergenza in variazione. La dimostrazione richiede, a sua volta, alcuni lemmi: Lemma Siano A, B R n due convessi n-dimensionali, con A B. Allora H n ( A) H n ( B) e l uguaglianza vale se e solo se A = B.

44 44 CAPITOLO 3. IL PROBLEMA IN FORMA PARAMETRICA Dimostrazione. Sia P : B A la proiezione sul convesso A, che manda ogni punto di B nel punto di A di minima distanza. É noto che (vedere ad esempio Brezis [3], proposizione V.3), che P è lipschitziana di costante. Per le proprietà delle misure di Hausdorff (vedere ad esempio Rogers [3], teorema 29), ottteniamo la disuguaglianza H n ( A) = H n (P ( B)) H n ( B). Infine, se per assurdo fosse H n ( A) = H n ( B) e A B, si potrebbe trovare un iperpiano S tangente ad A tale che, indicando con S + il semispazio delimitato da S e contenente A, si avrebbe B \ S +. É facile vedere che B \ S contiene un aperto, così che H n ( A) H n ( (B S + ) ) = =H n ( B) H n ( B \ S +) + H n (S B) < H n ( B), mentre si era supposto H n ( A) = H n ( B). Lemma Siano E h, E R n convessi limitati, con E h E in L (). Allora si ha che H n ( E h ) H n ( E). Dimostrazione. La tesi è banalmente verificata nel caso che E sia di dimensione inferiore a n, quindi basta esaminare il caso dim H E = n. Dalla convergenza in L () di E h ad E segue che ε > 0 h ε : h > h ε = E h E + B(0, ε). Quindi, dal lemma 3.3.2, otteniamo, per h > h ε, passando al limite lim sup h H n ( E h ) H n ( (E + B(0, ε))), H n ( E h ) lim sup H n ( (E + B(0, ε))) = H n ( E), h ma, per il lemma di Fatou, e la dimostrazione è completa. lim inf h Hn ( E h ) H n ( E),

45 3.3. IL TEOREMA DI ESISTENZA 45 Dimostrazione del lemma Poniamo C Q = {E convesso : E Q}, e analogamente Γ Q = {µ M(Q, R n+ ) : µ = Dχ E, E C Q }, Sia E un generico elemento di C Q. Abbiamo, per la formula di coarea (.9.7) e per il lemma 3.3.2, Dχ E (Q) = P ({χ E > t}, Q) dt = H n ( E) dt = 0 0 =H n ( E) H n ( Q), e quindi la classe C Q forma un insieme limitato di BV (Q), mentre Γ Q è limitata in M(Q, R n+ ). Presa una successione E n di convessi contenuti in Q, possiamo dunque supporre a meno di sottosuccessioni che Dχ En Dχ E e, grazie al teorema di compattezza per funzioni BV.9.5, che E n E in L loc (Q). Visto che Q è limitato, ne segue la convergenza L (Q). Ma per il lemma e la formula di coarea, lim Dχ E n () = lim H n ( E n ) = H n ( E) = Dχ E (), h h e quindi abbiamo la compattezza rispetto alla convergenza in variazione per la classe Γ Q. Dal momento che le classi Γ A,Q e Γ V,Q sono chiuse rispetto alla convergenza in variazione, ne segue che anch esse sono compatte. Siamo ora pronti a dimostrare il teorema di esistenza: Teorema Sia f : S n+ R una funzione continua e limitata. Per ogni convesso E R n+ poniamo F (E) = f(x, ν(x)) dh n. Allora i problemi di minimo E ammettono almeno una soluzione. min E C A,Q F (E) e min E C V,Q F (E), (3.5) Dimostrazione. Segue direttamente dal lemma 3.3., che fornisce la compattezza delle classi Γ A,Q e Γ V,Q, e dal teorema 3.2., che assicura la continuità del funzionale. Si ha inoltre che F (E) > 0 per ogni E Γ A,Q e ogni E Γ V,Q, quindi i minimi sono non banali.

46 46 CAPITOLO 3. IL PROBLEMA IN FORMA PARAMETRICA 3.4 Ottimizzazione rispetto alla sezione In questa sezione ci occupiamo di trovare, sotto opportuni vincoli, la forma ottimale dell aperto per cui la corrispondente soluzione del problema di Newton nella classe C M offra la minima resistenza. Vedremo che per dimostrare il teorema di esistenza sarà conveniente utilizzare l impostazione parametrica vista nelle sezioni precedenti. Per ogni aperto R n convesso possiamo risolvere il problema di Newton associato a nella classe C M. Per quanto dimostrato nel capitolo 2 sappiamo che questo problema ammette almeno una soluzione in questa classe. Indichiamo con R il minimo del funzionale in questa classe. Ci chiediamo ora se abbia senso cercare di minimizzare R in funzione di. È chiaro che il problema, così come è stato enunciato finora, è banalmente risolto dall insieme vuoto, che fornisce resistenza nulla. Per dare un senso al discorso imponiamo dunque che gli insiemi ammissibili soddisfino il vincolo di area A. Questa condizione, tuttavia, si vede che non è sufficiente a garantire l esistenza del minimo, in quanto è possibile costruire successioni minimizzanti nel seguente modo: su una successione di rettangoli h, di area A fissata e aventi un lato di lunghezza h, si costruiscono delle funzioni a cuneo u h, in modo che la lama sia disposta lungo il lato maggiore (figura 3.). Per ogni h la resistenza vale e quindi, per h F (u h ) = A + ( 2Mh A Figura 3.: ) 2,

47 3.4. OTTIMIZZAZIONE RISPETTO ALLA SEZIONE 47 lim F (u h) = 0, h il che prova che non esiste, senza imporre ulteriori vincoli, la sezione di base ottimale. Sia dunque Q R n un insieme limitato che contenga almeno un convesso di misura positiva. Consideriamo la classe S A = { Q : convesso, A}. Vediamo che in questa classe abbiamo l esistenza di un ottimale. Teorema 3.4. Il problema min R, S A ammette almeno una soluzione. Inoltre, se opt è una soluzione, opt = A. Dimostrazione. Per ogni S A sia u una soluzione del problema di Newton nella classe C M, e indichiamo con E il sottografico di u. La classe di convessi {E : S A } è chiusa e contenuta in {(x, y) R n+ : x Q, y [0, M]} quindi, per il lemma 3.3., è compatto rispetto alla convergenza in variazione. Presa una successione minimizzante u h, possiamo supporre, a meno di sottosuccessioni, che E h E opt e quindi che h opt. Per ogni aperto opt, le restrizioni a delle u h formeranno definitivamente una successione di funzioni concave, quindi per il lemma a meno di sottosuccessioni possiamo supporre che u h u in W,p loc (). L esistenza del minimo segue dal teorema Inoltre, se si avesse opt > A, allora si potrebbe trovare un profilo di resistenza inferiore considerando la restrizione del profilo ottimale su ad un qualsiasi convesso opt, con A < < opt. Osservazione Nella proposizione 3.4. l ipotesi di convessità delle sezioni di base non è facilmente eliminabile come nel teorema 2.3., in quanto si sfrutta la compattezza della classe dei convessi, che non si ha per insiemi generici. Osservazione Si può restringere ulteriormente S A, aggiungendo il vincolo che tutti i convessi della classe contengano un insieme fissato C, con C A. In tal caso si ottiene un risultato analogo al teorema 3.4. per la classe S A,C = { S A : C}.

48

49 Capitolo 4 Proprietà dei profili ottimali In questo capitolo studieremo la forma delle soluzioni del problema di Newton nella classe C M. La discussione partirà dal caso radiale, storicamente risolto per primo. Vedremo poi che alcune proprietà del profilo radiale ottimale si generalizzano del tutto o parzialmente a domini qualsiasi. Infine si vedrà che se è un cerchio allora la soluzione radiale non coincide con quella nella classe C M : un esempio di funzione concava di resistenza inferiore al minimo radiale fornirà la dimostrazione di questo fatto. Da questo seguirà immediatamente anche la non unicità del minimo. 4. Il caso radiale Consideriamo ora il caso in cui sia la palla unitaria B(0, R) e cerchiamo il minimo del funzionale (2.) tra le funzioni della forma u( x ) con u decrescente come funzione di x. L esistenza del minimo in questa classe è stata dimostrata per la prima volta da Kneser [9], anche se la formula esplicita della soluzione era già stata congetturata dallo stesso Newton (vedere ad esempio Goldstine [5] o Tonelli [34]). Noi seguiremo la dimostrazione di Marcellini [2], che ha il vantaggio di garantire la concavità del minimo e la validità dell equazione di Eulero. Si procede scrivendo il funzionale in coordinate polari: R r F (u) = 2π + u (r) dr, 2 0 il problema allora diventa: R r min dr : u decrescente, 0 u M + u (r) 2. (4.) 0 49

50 50 CAPITOLO 4. PROPRIETÀ DEI PROFILI OTTIMALI Utilizzando le funzioni v(t) = u (M t), il problema (4.) può essere riscritto nella forma classica: M vv 3 min + v 2 dr : v crescente, v(0) = 0, v(m) = R. (4.2) 0 Osserviamo inoltre che il funzionale (4.) è definito per qualsiasi funzione decrescente, anche se discontinua, come R 0 r + u 2 a dr, dove u a è la parte assolutamente continua della misura u, rispetto alla misura di Lebesgue; analogamente, in (4.2) una generica funzione crescente v dà il valore M 0 vv 3 a + v 2 a dr + [0,M] v dv s (4.3) dove v s è la parte singolare della misura v rispetto alla misura di Lebesgue e il secondo integrale del primo membro va interpretato nel senso di BV. Si vede facilmente che per ogni v crescente la funzione ṽ(r) = v s + r 0 v a dr (4.4) offre una resistenza inferiore, quindi è sufficiente restringere la ricerca del minimo allo spazio delle funzioni crescenti aventi al più un salto nell origine. In tal caso, posto r 0 = lim inf r 0 + v(r) = v s, la 4.4 vale In generale, dato un funzionale definito sullo spazio r0 2 M 2 vv a + v 2 dr. a F (v) = 0 b a f(x, u, u ) dx, W p = { u W,p (a, b) : u(a) A, u(b) B, u 0 q.o. }, stabiliremo l esistenza del minimo per il funzionale { } F (u) = inf lim inf F (u k) : {u k } W p, u k u in W,p loc {u k } k definito sulla chiusura di W p (nella topologia forte o debole indifferentemente),

51 4.. IL CASO RADIALE 5 W p = { u W,p loc (a, b) : u(a) A, u(b) B, u 0 q.o. }. A tale scopo, citiamo il seguente teorema di rappresentazione (si veda [2], teorema 2.4): Teorema 4.. Sia f(x, s, ξ) una funzione di Carathéodory, convessa in ξ 0 e tale che soddisfi le seguenti ipotesi: Esistono K 0, funzioni convesse h(ξ), a(x, s) e b(x, s) tali che, per ogni x [a, b], s R e ξ 0 a(x, s)h(ξ) K f(x, s, ξ) a(x, s)h(ξ) + b(x, s) h(ξ) 0 a(x, s) 0. (4.5a) (4.5b) (4.5c) Allora, per ogni u W p, b F (u) = f(x, u, u ) dx + h a u(a) A a(a, s) ds + B u(b) dove h(ξ) = lim ξ h(ξ) ξ. Diamo ora un risultato di esistenza per il problema a(b, s) ds, (4.6) min { F (u) : u W p }. (4.7) Sottolineiamo che non ci sono ipotesi di convessità o coercività su f. Teorema 4..2 Sia f(x, s, ξ) una funzione che soddisfa le (4.5) e tale che: i) f ammetta derivate parziali continue fs, fξx, f ξs. ii) La funzione convessa h(ξ) in (4.5) sia definita per ogni ξ R. iii) Esista un esponente p, una funzione M : R + R + R + e una costante positiva L tale che, per ogni δ, r > 0: f s (x, s, ξ) M(δ, r)( + ξ p ) (x, s, ξ) [a + δ, b δ] [ r, r] R (4.8a) h(ξ) L( + ξ p ). Supponiamo inoltre che per ogni (x, s) (a, b) R e ξ 0 la funzione ϕ(x, s, ξ) = f s (4.8b) f ξx ξf ξs, (4.9) abbia un segno ben definito (ϕ 0 o ϕ 0). Allora il problema (4.7) ha una soluzione u 0 che appartiene a W,p loc (a, b) e soddisfa la stima u 0(x) 2 ( δ max{ A, B } x [a + δ, b δ] δ 0, b a ). (4.0) 2

52 52 CAPITOLO 4. PROPRIETÀ DEI PROFILI OTTIMALI Inoltre, se ϕ 0, allora u 0 assume il valore al contorno u 0 (a) = A mentre se ϕ 0, allora u 0 (b) = B. Infine, se h(ξ) h(ξ) = lim ξ = + (e a(x, ) è positiva q.o. per x = a e ξ x = b) allora si ha contemporaneamente u 0 (a) = A, u 0 (b) = B e u 0 minimizza anche F. Osservazione Se f é della forma f(x, s) = a(x, s)g(ξ) + b(x, s), (4.) (o, nel caso di f generale, se ξ 0 definito sotto non dipende da x,s) allora l ipotesi che ϕ in (4.9) abbia un segno ben definito può essere sostituita dalla condizione che ϕ 0 (x, s, ξ) = f s f ξx ξf ξs, abbia un segno ben definito. In effetti, se f(x, s, ξ) > f (x, s, ξ), poichè f è lineare in ξ in un intorno U di (x, s, ξ), esiste ξ 0 tale che f (x, s, ξ) = f(x, s, ξ) + f ξ (x, s, ξ)(ξ ξ 0 ) (x, s, ξ) U. In U allora abbiamo ϕ(x, s, ξ) =fs fξx ξfξs = =f s (x, s, ξ 0 ) + f ξs (x, s, ξ 0 )(ξ ξ 0 ) f ξx (x, s, ξ 0 ) ξf ξs (x, s, ξ 0 ) = =ϕ 0 (x, s, ξ 0 ). Notiamo inoltre che se f(x, s, ξ) è della forma (4.) allora nel teorema 4..2 è sufficiente supporre che g(ξ), a(x, s), b(x, s) siano funzioni di classe C. Per dimostrare il teorema 4..2 utilizzeremo un metodo sviluppato da Botteron & Marcellini [2] per il caso convesso. La condizione in (4.9) che ϕ abbia un segno ben definito é simile all ipotesi considerata per la prima volta da Raymond (si vedano i teoremi 3.3 e 6. in [26]). Dimostrazione del teorema In primo luogo estendiamo f per ξ < 0 con f (x, s, ξ) = f (x, s, 0) + f (x, s, 0)ξ ξ < 0. In questo modo, come nell osservazione 4..3 (sostituendo f a f), possiamo vedere che la condizione che ϕ(x, s, ξ) in (4.9) abbia un segno definito è soddisfatta anche per ξ < 0 e quindi per ogni (x, s, ξ). Per ogni ε (0, ] e k > 0 introduciamo le notazioni g ε,k (x, s, ξ) = α k f (x, s, ξ) + k(ξ ) q + ε( + ε 2 ) q 2, (4.2)

53 4.. IL CASO RADIALE 53 dove q = max{p, 3}, ξ = min{ξ, 0}, α(ξ) è un mollificatore positivo a supporto compatto in [, ] e infine α k (ξ) = kα(kξ). Il problema min Gε,k (u) = b a g ε,k (x, u, u ) dx : u W,q (a, b), u(a) = A, u(b) = B, ha una soluzione u ε,k W,q (a, b). Usando le proprietà di regolarità di u ε,k del lemma 4.5, poichè u ε,k C 2, posiamo scrivere l equazione di Eulero nella forma ( ) g ε,k ξξ u ε,k = gs ε,k g ε,k ξx + gε,k ξs u ε,k = α k fs (α k fξx + u ε,kα k fξs ). Se poniamo L(r) = sup { f ξs (x, s, ξ) : x [a, b], s r, ξ r }, allora, per tali valori di x, s, ξ abbiamo ξα k fξs α k (ξfξs ) = = ξ α k (t)fξs (x, s, ξ t) dt α k (t)(ξ t)fξs (x, s, ξ t) dt R R L(r + ) L(r + ) α k (t) t dt = α(t) t dt k R R L(r + ) L(r + ) α(t) dt =. k k R { Per r sup u L, } ε,k uε,k L k>0 (a,b) (a,b) otteniamo g ε,k ξξ u ε,k α k ( ) fs fξx u ε,kfξs L(r + ) k. (4.3) Introduciamo per ora l ulteriore ipotesi che ϕ(x, s, ξ) in (4.9) abbia un segno strettamente definito per ogni x, s, ξ. Per l addendo ε( + ξ 2 ) q 2 abbiamo g ε,k ξξ > 0. Poichè α k è un mollificatore positivo e u ε,k L (a,b), u ε,k sono limitate uniformemente in k, per k sufficientemente grande il segno di u ε,k in (4.3) è lo stesso di ϕ(x, u ε,k, u ε,k ) = f s fξx u ε,k f ξs. Quindi u ε,k è o convessa o concava in [a, b].

54 54 CAPITOLO 4. PROPRIETÀ DEI PROFILI OTTIMALI Consideriamo il caso ϕ > 0, che corrisponde a u ε,k convessa. Poichè il rapporto incrementale di u ε,k è crescente, per ogni x (a, b) abbiamo u ε,k (a) u ε,k (x) a x u ε,k(x) u ε,k(b) u ε,k (x) b x. Ora, se a + δ x b δ, con δ ( ) 0, b a 2 otteniamo u ε,k(x) 2 δ u ε,k L (a,b) x [a + δ, b δ]. (4.4) Per ε (0, ] fissato u ε,k è limitato in W, (a, b) uniformemente in k (si veda lemma 4..4, qui è sufficiente sapere che u ε,k è limitato in W,q (a, b); per k, a meno di sottosuccessioni u ε,k converge ad una funzione u ε nella topologia debole di W, (a, b) e nella topologia forte di L (a, b). Quindi, per la (4.4) e per la semicontinuità inferiore di k u ε,k L a+δ,b δ u ε,k (x) 2 uε,k L x [a + δ, b δ] δ δ (a,b) ( 0, b a ) 2. (4.5) Poichè, come risulterà da (4.22), k [u ε,k ] q L q (a,b) è limitato, u ε,k 0 fortemente in L q (a, b) e quindi u ε 0 q.o. in [a, b]. Ne segue che u ε è crescente in [a, b] e limitata in L (a, b) indipendentemente da ε, in quanto A = u ε (a) u ε (x) u ε (b) = B per ogni x [a, b]. Per la (4.5), per ε 0, a meno di sottosuccessioni u ε u 0 in W, loc (a, b) per qualche u 0 W, loc (a, b) che soddisfa la stima (4.0). Dimostriamo che u 0 è il punto di minimo che stiamo cercando, prima facendo vedere che u ε è soluzione del problema min dove b a g ε (x, u, u ) dx : u W,q (a, b), u(a) = A, u(b) = B, u 0 q.o., g ε (x, s, ξ) = f (x, s, ξ) + ε( + ξ 2 ) q 2. (4.6) In effetti, visto che u ε,k è limitata in L (a + δ, b δ) uniformemente in k e che α k f converge a f uniformemente sui compatti di [a, b] R R, abbiamo lim b δ k a+δ { αk f (x, u ε,k, u ε,k) f (x, u ε,k, u ε,k) } dx = 0.

55 4.. IL CASO RADIALE 55 Quindi, per semicontinuità inferiore dell integrale, per ogni v W,q (a, b) tale che v(a) = A, v(b) = B e v 0 q.o. in [a, b], otteniamo b δ a+δ g ε (x, u ε, u ε) dx lim inf k b δ a+δ = lim inf k lim inf k = lim k b = b a b δ a+δ g ε (x, u ε,k, u ε,k) dx = ( ) α k f (x, u ε,k, u ε,k) + ε( + u ε,k2 ) q 2 Gε,k (u ε,k ) lim inf k Gε,k (v) = ( ) α k f (x, v, v ) + ε( + v 2 ) q 2 g ε (x, v, v ) dx. dx = dx a Per δ 0, dal teorema della convergenza monotona vediamo che u ε è una soluzione di (4.6). Per ogni u W p, analogamente a (4..3) definiamo G(u) = inf lim inf {u k } k b f (x, u, u ) dx : {u k } W p, u k u in W,p loc. a Per il teorema 4.. possiamo rappresentare G(u) nella forma: b u(a) B G(u) = f (x, u, u ) dx + h a(a, s) ds + a(b, s) ds. (4.7) a Per la definizione di G, per ogni v W p = W p W,q (a, b) abbiamo G(u 0 ) lim inf ε 0 lim inf ε 0 b a b a f (x, u ε, u ε) dx lim inf ε 0 A g ε (x, v, v ) dx = b a b a u(b) g ε (x, u ε, u ε) dx f (x, v, v ) dx = G(v). Quindi G(u 0 ) G(v) per ogni v W q. Di nuovo dalla definizione di G e dalla sua continuità in W,p (a, b) otteniamo anche G(u 0 ) G(v) per ogni v W p,

56 56 CAPITOLO 4. PROPRIETÀ DEI PROFILI OTTIMALI quindi u 0 minimizza (4.7). Per avere che u 0 minimizza anche (4.6), basta mostrare che f(x, u 0 (x), u 0(x)) = f (x, u 0 (x), u 0(x)) q.o. in [a, b]. (4.8) Poichè u 0 è o convessa o concava in [a, b], l insieme I = {x [a, b] : u 0(x) = 0} è un intervallo, su cui vale la (4.8), poichè f(x, s, 0) = f (x, s, 0). Se, ad esempio, u 0 è concava in [a, b] e I = [a, b] per qualche x 0 [a, b], allora u 0(x) u 0(x ) > 0 per ogni x x < x 0 e nell insieme u 0 risolve l equazione di Eulero in (a, x ) nella forma debole e anche (si veda [26] teorema.0.) nella forma: x fξ (x, u 0 (x), u 0(x)) = a f s (t, u 0 (t), u 0(t)) dt + cost. (4.9) Essendo u 0(x) monotona, è anche continua q.o. in (a, x ). Supponiamo che in un punto x (a, x ) di continuità di u 0(x), si abbia f(x, u 0 (x), u 0(x)) f (x, u 0 (x), u 0(x)). Usando il fatto che f è lineare in un intorno di ξ = u 0(x), e quindi fξ indipendente da ξ, derivando in x entrambi i membri di (4.9) si ottiene è f ξx(x, u 0 (x), u 0(x)) + u 0(x)f ξs (x, u 0 (x), u 0(x)) = f s (x, u 0 (x), u 0(x)), ma questo contrasta con l ipotesi che in (4.9) ϕ 0 per ξ > 0, quindi vale la (4.8) e u 0 minimizza (4.6). Per quanto riguarda i valori al contorno di u 0, se il problema è coercivo, nel senso che h(ξ) = lim ξ = + e a(x, s) è positivo q.o. in x = a e x = b, allora F (u 0 ) < + implica che u(a) = A e u(b) = B. Infine, se ϕ > 0 (ϕ < 0), u ε è crescente e convessa (concava) in [a, b] per ogni ε > 0, allora u ε assume i valori al contorno u ε (a) = A, u ε (b) = B e converge puntualmente a u 0 in (a, b). Allora u 0 assume almeno un valore al contorno grazie al lemma La dimostrazione del teorema 4..2 è così completa sotto l ipotesi supplementare che ϕ(x, s, ξ) abbia un segno strettamente definito. Nel caso generale si procede per approssimazione, ad esempio, attraverso l integrando f ε (x, s, ξ) = f(x, s, ξ) + εe ±s dove ε (0, ] e il segno ± è stato scelto in accordo con il segno di ϕ. Allora ϕ ε (x, s, ξ) = f s f ξx ξf ξs ± εe ±s = ϕ(x, s, ξ) ± εe ±s, ha un segno strettamente definito. Per la parte precedente della dimostrazione, per ogni ε esiste u ε che minimizza il funzionale (4.6) con f sostituito da f ε.

57 4.. IL CASO RADIALE 57 Il punto di minimo u ε, o è convesso in [a, b], se ϕ 0, o è concavo se ϕ 0, inoltre A u ε (x) B per ogni x [a, b]. Grazie al lemma 4..6 possiamo estrarre una sottosuccessione, che indicheremo ancora con u ε, che converge a una funzione u 0 nella topologia forte di W,q loc (a, b). Il funzionale (4.6) è semicontinuo inferiormente nella topologia forte di W,q loc (a, b). Analogamente alla prima parte della dimostrazione, possiamo passare al limite per ε 0, ottenendo che u 0 è una soluzione del problema (4.6). Dimostriamo ora i lemmi utilizzati nel corso della dimostrazione del teorema precedente: Lemma 4..4 Per ogni ε (0, ] e k > 0 la funzione u ε,k è di classe C 2 [a, b] e soddisfa l equazione di Eulero nella forma forte: d ( dx g ε,k ξ ) (x, u ε,k, u ε,k) = gs ε,k (x, u ε,k, u ε,k). (4.20) Inoltre, per ogni ε (0, ] fissato, u ε,k L (a,b) è uniformemente limitata in k. Dimostrazione. Per le ipotesi (4.5a), (4.8b), per s r abbiamo K f (x, s, ξ) f(x, s, ξ) a(x, s)( + ξ p ) + b(x, s) M(r)( + ξ p ), dove M(r) = max { a(x, s) + b(x, s) : x [a, b], s [ r, r] }. Ne segue (vedere la formula 2. in [20]) che per qualche costante c si ha f ε (x, sξ) c M(r)( + ξ p ) (x, s, ξ) s r, (4.2) e quindi g ε,k in (4.2) soddisfa le condizioni naturali di crescita delle derivate g ε,k ξ e gs ε,k (prendendo in considerazione anche l ipotesi (4.8)). Poichè g ε,k C 2, per un argomento classico (vedere Morrey [26], teorema.0.), u ε,k C 2 e risolve l equazione di Eulero (4.20). Per ε > 0 fissato u ε,k è limitata in W,q (a, b) uniformemente in k; infatti, consideriamo la funzione v(x) con pendenza costante v = B A. Poichè b a [v ] = 0 e ε, per (4.5), (4.8), (4.2) esistono costanti c 2, c 3 tali che ε u q ε,k + k [u L q (a,b) ε,k] K(b a) L q (a,b) Gε,k (u ε,k ) G ε,k (v) c 2 b a { + v q} dx = c 3 < +. (4.22) Per il teorema di immersione u ε,k è limitata anche in L (a, b) per ogni ε > 0. Ora possiamo ottenere una limitazione per la norma C di u ε,k uniformemente

58 58 CAPITOLO 4. PROPRIETÀ DEI PROFILI OTTIMALI in k. Integrando ambo i membri della (4.20) e usando la condizione di crescita (4.8a), esistono costanti c 4, c 5 (ε), c 6 (ε) tali che g ε,k ξ (x, u ε,k, u ε,k) = Per il termine ε( + ξ 2 ) q 2 g ε,k ξ c 4 + X a c 5 g ε,k s b a (x, u ε,k (t), u ε,k(t)) dt { + uε,k (t) q + u ε,k(t) q} dt c 6. (4.23) abbiamo g ε,k ξξ > εq. Allora, per ogni ξ, ξ 2 : (x, s, ξ ) g ε,k ξ (x, s, ξ 2 ) εq ξ ξ 2. Quindi, per ξ = u ε,k e ξ 2 = 0 e s = u ε,k, per la (4.23) e la (4.2) esiste una costante c 7 (ε) tale che εq u ε,k g ε,k ξ (x, u ε,k, u ε,k) + g ε,k ξ (x, u ε,k, 0) c7 k > 0. Lemma 4..5 Siano u ε funzioni reali definite in [a, b] tali che, per ε 0, u ε u 0 per ogni x (a, b). Se u ε è crescente e convessa (concava) in [a, b], allora u ε (x) converge anche in x = a (in x = b) per ogni ε e lim u ε(a) = u 0 (a) ε 0 inf u 0 (x) x (a,b) ( lim u ε(b) = u 0 (b) sup u 0 (x) ε 0 x (a,b) Dimostrazione. Consideriamo per semplicità il caso convesso. Prima estendiamo u 0 in x = a definendo u 0 (a) = inf x (a,b) u 0 (x). Per la sua monotonicità, u 0 si scopre essere continua in x = a. Per ogni x (a, b), la convessità di u ε dà: Ne segue che lim inf ε 0 u ε (a) lim inf ε 0 u ε ( a + x 2 ) uε (a) + u ε (x) 2[ ]. [ ( ) ] ( ) a + x a + x 2u ε u ε (x) = 2u 0 u 0 (x), 2 2 ). e, per x a +, lim inf ε 0 abbiamo u ε (a) u 0 (a). Poichè u ε (x) è crescente, per x (a, b) lim sup ε 0 u ε (a) lim sup u ε (x) = u 0 (x), ε 0 e, per x a + si ottiene lim sup ε 0 u ε (a) u 0 (a).

59 4.. IL CASO RADIALE 59 Lemma 4..6 Siano u ε funzioni convesse in un aperto convesso R n, limitate in L () uniformemente in ε. Allora esiste una sottosuccessione di u ε che converge nella topologia forte di W,p loc () per ogni p [, + ). La stessa conclusione vale se u ε (x,..., x n ) è separatamente convessa o concava rispetto a ogni componente x i, per i =,..., n. Dimostrazione. Per non appesantire la notazione consideriamo il caso n =. Nel caso generale si segue lo stesso procedimento separatamente per ogni derivata parziale. Poichè il rapporto incrementale di u ε è crescente, per a < x < x < x 2 < b abbiamo u ε (x ) u ε (x i ) x x u ε,k(x) u ε(x 2 ) u ε (x) x 2 x. (4.24) Quindi, come in (4.4), per ogni δ (0, b a ) otteniamo una limitazione per 2 u ε L (a+δ,b δ) uniforme in ε. Per il teorema di Ascoli-Arzelà abbiamo la relativa compattezza in C 0 (a, b). Indicando con u 0 la funzione limite, per ε 0 dalla (4.24) segue che u 0 (x ) u 0 (x) x x lim inf ε 0 u ε,k(x) lim sup u ε,k(x) u 0(x 2 ) u 0 (x) ε 0 x 2 x. (4.25) La funzione u 0, essendo convessa, è differenziabile q.o. in (a, b). In ogni x (a, b) dove esiste u 0(x), ponendo x = x e x 2 = x + in (4.25), si ottiene u 0(x) = lim ε 0 u ε(x). Poichè la successione u ε(x) è localmente limitata, per il teorema di Lebesgue della convergenza dominata otteniamo la convergenza di u ε in W,p loc () per ogni p < +. Corollario 4..7 Il funzionale di Newton b F (u) = πu(a) 2 + 2π ammette almeno una soluzione u 0 nell insieme a u (u ) 3 dx, (4.26) + (u ) 2 {u W, (a, b) : u(a) 0, u(b) = B, u 0 q.o.}, per B > 0. Tale soluzione è concava e soddisfa la condizione 0 u 0(x) q.o. in [a, b]. Dimostrazione. La dimostrazione si ottiene come conseguenza del teorema generale 4..2, anche se il risultato di questa applicazione è classico (vedere ad esempio Tonelli (47, sezione 40). La funzione f(s, ξ) = 2πs ξ3 +ξ 2 soddisfa la

60 60 CAPITOLO 4. PROPRIETÀ DEI PROFILI OTTIMALI (4.5) con a(x, s) = 2πs, visto che h(ξ) = g (ξ), dove g(ξ) = ξ3 +ξ 2. Inoltre f (s, ξ) = 2πsh(ξ) e la (4.8) vale con p =. Poichè ϕ 0 = f s ξf ξs = 2πξ3 ( + ξ 2 ) < 0 ξ > 0, 2 allora, per ξ > 0, ϕ = fs ξfξs < 0 (vedere osser (4..3), comunque da un calcolo diretto si può vedere che fs ξfξs = π per ogni ξ > ). Per il teorema 4..2 esiste quindi una funzione u 0 W, loc (a, b) (e inoltre u 0 W, (a, b), poichè u 0 (a) 0, u 0 (b) B, u 0 0 q.o.) che minimizza F in (4.6). Che u 0 è inoltre una soluzione di F in (4.26) segue dal fatto che u 0 (b) = B (per il teorema 4..2, poichè ϕ < 0), a(x, s) = 2πs e h =. Infine u 0(x) q.o. in [a, b], poichè u 0 soddisfa (4.8) e f(s, ξ) = f (s, ξ) se e solo se s = 0 o 0 ξ. Abbiamo quindi dimostrato che il problema (4.) ammette una soluzione, che è concava e risolve l equazione di Eulero-Lagrange ru = C( + u 2 ) 2 in {u 0}, (4.27) per un opportuna costante C 0, quindi i problemi di minimizzazione nelle classi di funzioni concave e decrescenti ammettono le stesse soluzioni. Il minimo dovrà inoltre soddisfare le condizioni u(0) = M u(r) = 0, (4.28) infatti, se almeno una di queste fosse violata, la funzione u ε = ( + ε) ( u(r) u(r) ), offrirebbe una resistenza minore, per qualche ε > 0. distinguere due casi u (0) < 0 Per le (4.28) si possono u (0) = 0 Se fosse u < 0 allora dalla (4.27) si otterrebbe C = 0, da cui u (r) = 0 per ogni r [0, R], che è assurdo. Abbiamo dunque u (0) = 0, quindi per le (4.28) dovrà esistere almeno un punto angoloso r 0 (0, R), tale che u (r 0 ) = 0 e u +(r 0 ) < 0. Per la concavità di u, in (r 0, R) dovrà valere l equazione di Eulero che, posto t = du dr, diventa: e dalla relazione du dt r = C ( + t 2 ) 2, 2 t dr = t si ottiene dt ( ) 3 u(t) = C 4 t4 + t 2 log t + K,

61 4.. IL CASO RADIALE 6 per cui l equazione parametrica del profilo ottimale è: r(t) = C ( + t2 ) 2 ( 2t ) 3 u(t) = C 4 t4 + t 2 log t + K. Imponendo le condizioni u(r 0 ) = M e u(r) = 0 si determinano le costanti C e K, ottenendo u M (r) = M r [0, r 0 ], e in forma parametrica r M (t) = r 0 4t ( + t2 ) 2 u M (t) = M r ( ) 4 t4 + t 2 log t t [, T ], dove r 0 e T sono tali che { r M () = r 0 u M () = M { r M (T ) = R u M (T ) = 0, Intuitivamente r 0 rappresenta il raggio della zona piatta del profilo, mentre T è la pendenza nei punti di. Indicando con g la funzione strettamente crescente ( t g(t) = 7 ( + t 2 ) ) 4 t4 + t 2 log t t, si ha T = g ( M R ) r 0 = 4RT ( + T 2 ) 2, È interessante notare che u (r) > per ogni r > r 0 e che u (r 0 + ) =. In effetti, come Newton aveva già osservato, se u 0 in un intervallo [a, b], allora u può essere cambiata in [a, b] in un altra funzione, la cui pendenza è prima 0 poi, che darà una resistenza più bassa. In termini moderni possiamo dire che questo fenomeno dipende dal fatto che il rilassamento convesso f della funzione f(s) = si stacca da f nell intervallo (0, ) (figura 4.), +s 2 per cui la soluzione rimane lontana dalla concavità di f. Vedremo inoltre nella prossima sezione che questo fenomeno si generalizza al caso non radiale. Per M si vede che T 4 3 ( M R ) e quindi r R ( ) 3 M, R

62 62 CAPITOLO 4. PROPRIETÀ DEI PROFILI OTTIMALI Figura 4.: Grafici di f(s) = +s 2 e di f inoltre in u M (t) prevale il termine di quarto grado, e normalizzando, si ottiene la soluzione esplicita in coordinate cilindriche. Ponendo ρ = t T e v M = u M M, le equazioni parametriche della soluzione asintotica diventano { r (ρ) = Rρ 3 v (t) = ρ 4 ρ [0, ], da cui si ottiene, in coordinate cilindriche, v (r) = ( r R)4 3. La resistenza asintotica risulta quindi D 0 {u M } = πr 2 G (u ) = Riassumendo, le soluzioni radiali presentano le seguenti proprietà: u / (0, ) x ; u è concava e lipschitziana; u = 0 su ; la soluzione è unica esiste sempre una zona piatta, cioè un cerchio di raggio r 0 u(r) = M per ogni r [0, r 0 ]. tale che

63 4.. IL CASO RADIALE Osservazione Si noti che la soluzione del problema di Newton che si ottiene nel caso radiale imponendo vincoli di area o volume non coincide con quella precedente, e in generale non è detto che sia concava. Purchè V sia sufficientemente grande, la soluzione del problema min R 0 r dr : u decrescente, + u (r) 2 u V si può infatti descrivere in forma parametrica r V (t) = 4 t λ ( + t 2 ) 2 u V (t) = 2 [ ] 3T 2 + λ ( + T 2 ) (3t2 + ), 2 ( + t 2 ) 2 dove, λ = 4T V R( + T 2 ) 2 πr = 45T 4 + 6T T 3 M R = 3T 2 + 2T, e si vede facilmente (figura 4.2) che il profilo in questione non è convesso, e per r 0 si ha addirittura che u. Nel caso in cui il vincolo sia dato dall area, si può dimostrare che la soluzione è data da un cono.

64 64 CAPITOLO 4. PROPRIETÀ DEI PROFILI OTTIMALI Figura 4.2: Soluzione radiale con vincolo di volume per V = 4 3 πr3

65 4.. IL CASO RADIALE 65 Figura 4.3: Soluzione radiale per M = 2R 2

66 66 CAPITOLO 4. PROPRIETÀ DEI PROFILI OTTIMALI Figura 4.4: Soluzione radiale per M = R Figura 4.5: Soluzione radiale per M = 2 R - 2

67 4.2. LA PENDENZA La pendenza In questa sezione confronteremo le proprietà qualitative delle soluzioni nella classe C M con quelle delle soluzioni radiali. In primo luogo vedremo che si avrà ancora u / (0, ) per quasi ogni x : nel caso radiale questo risultato era già stato visto dallo stesso Newton, che nello Scolio della Proposizione XXXIV (vedi [27]) scriveva Incidentalmente [...] segue che se il solido generato dalla circonvoluzione della figura ABDE intorno all asse AB e la figura generante è toccata dalle tre rette F G, GH, HI così che [...] F G, HI racchiudano insieme a GH gli angoli F GB, BHI di 35 gradi: il solido, generato dalla circonvoluzione della figura ADF GHIE intorno all asse AB, subirà una resistenza minore del primo solido. Figura 4.6: D F G A B H I E Tuttavia, secondo Whiteside ([36], pagina 478), Questa, da parte di Newton, deve essere stata sicuramente una educata congettura. Seguendo Buttazzo, Ferone & Kawohl [7] vediamo la dimostrazione che questa proprietà vale nella classe C M per ogni : Teorema 4.2. Sia u C M una soluzione del problema (2.2). Allora u (x) / (0, ) per q.o. x.

68 68 CAPITOLO 4. PROPRIETÀ DEI PROFILI OTTIMALI Dimostrazione del teorema Sia u C M una soluzione del problema (2.2) e sia v definita come il minimo tra M e tutti i piani tangenti all insieme convesso {(x, y) R : 0 y u(x)} e aventi pendenza fuori da (0, ). È facile vedere che v C M, v u su, v (x) / (0, ) per q.o. x, e che sull insieme v u si ha: v {0, } e u (0, ). Consideriamo ora la funzione f : R + R + data da t/2 se 0 t f(t) = se t > + t 2, ed il funzionale F (u) = f( u ) dx. La funzione f è convessa su R + e abbiamo che f(t) + t 2 t 0. Quindi F (u) F (u) = f( u ) dx + f( u ) dx. {u=v} {u v} Poichè u = v q.o. sull insieme {u = v}, otteniamo F (u) f( v ) dx + f( u ) dx = {u=v} = F (v) + {u v} [ f( u ) f( v ) ] dx, {u v} Visto che v / (0, ) su abbiamo f( v ) = f( v ) q.o. su, inoltre, poichè su {u v} si ha v {0, } e u (0, ), su {u v} abbiamo f( u ) = u 2 e f( v ) = v 2.

69 4.3. LA ZONA PIATTA 69 Quindi F (u) F (v) + 2 [ v u ] dx = F (v) + 2 [ v u ] dx. {u v} Per la formula di coarea otteniamo M [ ] v u dx = [ H n ({v = t}) H n ({u = t}) ] dt, 0 inoltre, per ogni t gli insiemi {u t} e {v t} sono convessi e Allora, per il lemma otteniamo {u t} {v t}. F (v) F (u), e l uguaglianza vale se e solo se u = v. Quindi u deve stare fuori dall intervallo (0, ) e la dimostrazione e conclusa. Osservazione Per il teorema 4.2. otteniamo che i due problemi di minimo min{f (u) : u C M } (P) min{ F (u) : u C M } (P ) ammettono le stesse soluzioni. In effetti, se u risolve (P) e ũ risolve (P ), abbiamo che u / (0, ) su e (ripetendo l argomento del teorema 4.2.), ũ / (0, ). Quindi, per ogni v C M { F (u) = F (u) F (ũ) = F (ũ) F (v) F (ũ) = F (ũ) F, (v) F (v) e quindi u risolve (P ) e ũ risolve (P). 4.3 La zona piatta In questa sezione studiamo il comportamento delle soluzioni in C M nei pressi del livello M = {x : u(x) = M}. Ovviamente M dovrà essere un convesso, quindi si avranno, per n = 2, tre casi:. è un punto 2. è un segmento 3. è un convesso di misura di Lebesgue M > 0.

70 70 CAPITOLO 4. PROPRIETÀ DEI PROFILI OTTIMALI Nel caso radiale si era già visto che si verifica sempre il caso 3 e che sulla frontiera di M si ha sempre u =. Vedremo ora che per M finito possiamo sempre escludere il caso e che per M sufficientemente piccolo si ha il caso 3, come conseguenza del teorema Per valori più alti di M, che rappresentano il caso fisicamente più interessante, il problema rimane aperto. Supponendo che si verifichi il caso 3, tuttavia, si può ottenere una stima dall alto per M e H n ( M ) e concludere che u = su M come nel caso radiale. Proposizione 4.3. Sia u una soluzione del problema (2.2). Se M > 0, allora u = su M. Dimostrazione. Calcoliamo la variazione del funzionale (2.) nei due modi seguenti:. Per ogni ε > 0 sia w ε (x) : [0, M] [0, M] la funzione w ε = v ε u, dove v ε (x) è definita da: M x se x [0, M ε] v ε (x) = M ε M se x (M ε, M] Intuitivamente, si può pensare che le w ε siano allungamenti troncati della funzione u, quindi le w ε sono chiaramente concave.. Figura 4.7: Grafico della funzione v ε 0 ε

71 4.3. LA ZONA PIATTA 7 Ponendo, per non appesantire la notazione, f(x) = +x 2, vediamo come varia il funzionale F : F (w ε ) F (u) ε = \ ε f( M u(x) ) f( u(x) ) M ε ε dx f( u(x) ) dx, ε ε dove ε è il sopralivello {x : u(x) > M ε}. Per ε 0, si ha F (w ε ) F (u) f ( u ) u lim = lim f( u(x) ) = ε 0 ε M ε 0 ε \ M ε = 2 u 2 M ( + u 2 ) + u 2 + u 2 dhn. \ M M La condizione di minimo è 2 u 2 M ( + u 2 ) dx + 2 \ M M u + u 2 dhn 0. (4.29) 2. Consideramo ora le seguenti v ε, che consistono in contrazioni della funzione u, seguiti da prolungamento con u = su M : M ε u(x) se u(x) [0, M) v ε (x) = M min { M, M ε + dist(x, M ) }. se u(x) = M Per la 4.2., v ε è concava per ogni ε. Se M > 0, la variazione vale: F (v ε ) F (u) f ( u ) u lim = lim dx + lim f( u(x) ) dx = ε 0 ε ε 0 M ε 0 ε \ ε ε = 2 u 2 M ( + u 2 ) dx 2 2 Hn ( M ), \ M e dunque dovrà essere: 2 u 2 M ( + u 2 ) dx 2 2 Hn ( M ) 0. (4.30) \ M

72 72 CAPITOLO 4. PROPRIETÀ DEI PROFILI OTTIMALI - 2 Figura 4.8: Grafico della funzione x +x 2 0 Confrontando la (4.29) e la (4.30), otteniamo: u + u 2 dhn 2 Hn ( M ). M D altra parte, u su \ M, quindi u + u 2 dhn 2 Hn ( M ). In definitiva M M u + u 2 dhn = 2 Hn ( M ), x da cui, visto che la funzione è uguale a solo per x = (vedi figura 4.8), +x 2 2 su M si ottiene che u = H n q.o. Corollario Per ogni M > 0 si ha che H n ( M ) 4 u 2 M ( + u 2 ) dx. 2 Inoltre, se M > 0 H n ( M ) = 4 M \ M \ M u 2 ( + u 2 ) 2 dx.

73 4.3. LA ZONA PIATTA 73 Dimostrazione. Si noti che la (4.30) vale solo nel caso che M > 0 mentre la (4.29) vale sempre e fornisce la stima: 0 2 u 2 M ( + u 2 ) dx + u 2 + u 2 dhn 2 M \ M \ M M u 2 ( + u 2 ) 2 dx + 2 Hn ( M ), da cui H n ( M ) 4 M \ M u 2 ( + u 2 ) 2 dx. Analogamente, dalla (4.30) si ottiene l altra disuguaglianza nel caso in cui M > 0. Dal corollario si vede in particolare che per M finito H n ( M ) > 0 quindi, per n 2 M non può essere un punto. Resteranno dunque due possibilità: M > 0, e quindi esiste una zona piatta. M = 0 e H n ( M ) > 0 quindi, nel caso n = 2, M è un segmento. Proposizione Per M sufficientemente piccolo M > 0. Dimostrazione. Per il teorema 4.2. la soluzione è una funzione concava con u su \ M, e quindi si può vedere come inviluppo inferiore di una famiglia di piani di pendenza maggiore di, ed il cui sottografico contiene. Ne segue che M {x : dist(x, ) M}, dal momento che la funzione dist(x, ) è l inviluppo inferiore di tutti i piani di pendenza maggiore di e contenenti nel proprio sottografico. La tesi segue quindi direttamente. Come si è accennato, per M sufficientemente elevato non è ancora chiaro se la misura di M si annulli o se resti sempre positiva. A questo proposito, ricordando la notazione del problema asintotico (vedere la sezione 2.2), si può comunque fare la seguente considerazione. Proposizione Se esiste una successione M h, con M h, per cui Mh > 0 per ogni h, allora H n ( Mh ) 4 M h 3 G (v ). In particolare, H n ( Mh ) sarebbe infinitesima.

74 74 CAPITOLO 4. PROPRIETÀ DEI PROFILI OTTIMALI Dimostrazione. Se M > 0 si è visto che H n ( M ) = 4 M \ M u 2 ( + u 2 ) 2 dx. Osserviamo che il membro destro si può scrivere come 4 M + u dx 2 ( + u 2 ) dx. 2 Indicando con u M la soluzione del problema (2.2) e ponendo u M = Mv M si ottiene, per M H n ( M ) = 4 M 3 = 4 M 3 + v dx M 2 ( + M M 2 v 2 ) dx = 2 2 M G 2 M (v M ) ( + M 2 v 2 ) dx 4 2 M G (v 3 ). Osservazione Visto che le deformazioni della proposizione 4.3. sono valide anche per le soluzioni del caso radiale, usando la stima precedente si può ottenere per altra via il valore di r 0. Infatti da si ottiene 2πr 0 4 M πr2, r R ( ) 3 M. R Inoltre, utilizzando la disuguaglianza isoperimetrica H ( M ) 2 M 4π, si può stimare anche M : lim M M 6 4G (v ) 2 M π,

75 4.4. IL COMPORTAMENTO SU Il comportamento su Studiamo ora l andamento delle soluzioni in C M nei pressi del bordo. Si era visto, nel caso radiale, che il profilo ottimale era lipschitziano per ogni M e si aveva lim x u(x) = 0. Vedremo ora che queste due caratteristiche sono strettamente correlate: infatti, se la soluzione fosse lipschitziana, allora tenderebbe a 0 sul bordo. Nei punti in cui il limite fosse strettamente positivo o non esistesse si avrebbe necessariamente che u. In ogni caso, nei punti x 0 di stretta convessità lim inf x x0 u(x) = 0. Proposizione 4.4. Sia u una soluzione del problema (2.2). Allora, se u è lipschitziana in un intorno di x 0, si ha lim x x 0 x u(x) = 0. Dimostrazione. Indichiamo con D max il sup (essenziale) di u(x) in un intorno di x 0, e con T x 0 () lo spazio tangente a in x 0. Per ipotesi D max <. Sia v(x) una funzione affine il cui grafico è un iperpiano in R n+ contenente T x 0 () e di pendenza E > D max lungo la normale interna ν a in x 0. Se si avesse lim sup u(x) > 0, x x 0 x allora l insieme C = {x : v(x) < u(z)} avrebbe misura di Lebesgue positiva, e la funzione ũ definita da { v(x) se x C ũ(x) = u(x) se x / C, darebbe F (ũ) < F (u), quindi u non sarebbe soluzione. Benchè sembri ragionevole che la soluzione sia lipschitziana, finora non siamo riusciti ad escludere il caso in cui lim x x0 u(x) = +. In assenza di questa informazione, si può ottenere comunque un risultato più debole: Proposizione Sia u una soluzione del problema (2.2). Allora per ogni punto di stretta convessità x 0 si ha che lim inf x x 0 x u(x) = 0. Dimostrazione. Supponiamo, per assurdo, che per ogni intorno U di x 0 si abbia m inf x U u(x) > 0. Per l ipotesi di stretta convessità possiamo trovare un iperpiano S in R n, parallelo a T x 0 (), che divida in due semispazi, S + e S tali che (vedi figura 4.9) S + U e S + > 0.

76 76 CAPITOLO 4. PROPRIETÀ DEI PROFILI OTTIMALI Figura 4.9: U Xo S - S S + S Poniamo ũ(x) = u(x) l x0 (x), dove 0 se x S l x0 (x) = m dist(x 0, S) dist(x, S) se x. S+ Ovviamente ũ M e, per come è stato scelto S, x 0 massimizza in S + la distanza da S, quindi ũ(x) 0 per ogni x. Dal momento che la funzione l x0 è convessa, ũ è concava in quanto somma di concave. Dimostriamo ora che è possibile scegliere U sufficientemente piccolo perchè si abbia F (ũ) < F (u). Poichè u e ũ coincidono su S, basterà ottenere ũ > u su S +. m Indicando con ν la normale esterna a in x 0, e ponendo k = dist(x 0, S), si ha quindi ũ = u kν, ũ 2 = u 2 2k u ν + k 2. La tesi sarà dunque verificata se esiste U tale che u(x) ν k/2 per ogni x U. Poichè S si può avvicinare a piacere ad x 0, k può essere reso arbitrariamente grande, quindi basta dimostrare che u(x) ν è limitato su un intorno di x 0. A tale scopo, scegliamo un altro iperpiano S parallelo a S e tale che, detta P S la proiezione su S, si abbia P S (S). Ora, per la concavità di u, si ha che u(x) ν u(p S (x)) ν x S +,

77 4.5. QUESTIONI DI UNICITÀ E RADIALITÀ 77 quindi, per ogni compatto K tale che P S (S) K sup u(x) ν sup u(x) ν. x S + x K Poichè u è localmente lipschitziana, segue la tesi. Osservazione Nelle dimostrazioni delle proposizioni 4.4. e si suppone solo che il funzionale sia della forma: F (u) = f( u ) dx, dove f : R R è una funzione inferiormente limitata per cui esiste una successione x k tale che x k e f(x k ) inf f. Pertanto le proposizioni sono valide anche per funzionali diversi da (2.), ed in particolare per G. 4.5 Questioni di unicità e radialità Affrontiamo ora i problemi dell unicità e della simmetria nel caso in cui sia un cerchio. Nelle pagine precedenti è stata ricavata la soluzione radiale ottimale, di cui si ottiene una descrizione esplicita in forma parametrica. A questo punto sorge spontaneo chiedersi se il minimo radiale rappresenti il minimo in C M, ossia se le funzioni concave che minimizzano F debbano essere necessariamente radiali. Strettamente legato a questo problema è quello dell unicità: infatti, se il minimo fosse unico, necessariamente dovrebbe essere radiale, viceversa, visto che il minimo radiale è unico, se il minimo in C M fosse radiale, allora sarebbe unico. Vediamo ora che in realtà non si ha ne l una nè l altra proprietà: infatti il minimo non è radiale e quindi non è unico. Una dimostrazione di questo fatto si trova in Brock & Kawohl & Ferone [4], in cui viene mostrato che la variazione seconda del funzionale è negativa sul minimo radiale. Noi useremo un altro approccio, esibendo concretamente per M 2 una famiglia di funzioni a forma di cacciavite, che oppongono una resistenza inferiore a quella del minimo radiale. Proposizione 4.5. Se è un cerchio, le soluzioni del problema di Newton nella classe C M sono non radiali per ogni M 2. Dimostrazione. Usando la stessa notazione della sezione 4., ricordiamo la formula della soluzione radiale: u M (r) = M r [0, r 0 ], e per r > r 0 si utilizza la forma parametrica: r M (t) = r 0 4t ( + t2 ) 2 u M (t) = M r ( ) 4 t4 + t 2 log t t [, T ],

78 78 CAPITOLO 4. PROPRIETÀ DEI PROFILI OTTIMALI Figura 4.0: Funzione cacciavite 2 0 dove r 0 e T sono definiti da: T = f ( M R ) r 0 = 4RT ( + T 2 ) 2, con f(t) = ( t 7 ( + t 2 ) ) 4 t4 + t 2 log t t.

79 4.5. QUESTIONI DI UNICITÀ E RADIALITÀ 79 Il funzionale calcolato su u M vale F (u M ) = =2π R dx = 2π + u M 2 0 R 0 rr + ( u r ) 2 dt = πr π r + ( u r T ) 2 dr = rr + ( ) u 2 dt, r e quindi F (u M ) = 2 R 2 r = 2T 2 ( + T 2 ) 4 = 2T 2 ( + T 2 ) 4 T 8 + rr + ( ) u 2 dt = r T ( + t 2 ) 2 (3t 2 ) t 3 dt = ( 8 + log T T T 2 + 2T ), poichè per M si ha che M 3 T si ottiene R 4 F (u M ) ( ) 2 M 0, 843 R ( ) 2 M. R Consideriamo ora le funzioni cacciavite definite come segue: per ogni a, M > 0 indichiamo con V a,m : R 2 R la funzione il cui sottografico coincide con l inviluppo di tutti i coni di base uguale al cerchio e di vertici appartenenti al segmento di estremi A = ( a, M, 0) e B = (a, 0, M) o, equivalentemente, all intersezione del semispazio {z : z 0} e di tutti i semispazi contenenti il Figura 4.: y C P A P2 B C2 x

80 80 CAPITOLO 4. PROPRIETÀ DEI PROFILI OTTIMALI segmento AB e. In forma cartesiana si ha: M M y se x P, P 2 R V a,m (x) = C A (x) se x C C B (x) se x C2, dove C A e C B indicano le funzioni coniche di base e di vertice rispettivamente A e B (vedi figura 4.). La funzione è quindi composta da quattro parti, di cui due sono piani e due sono parti dei coni aventi vertici A e B. Per ogni M esisterà un a ottimale compreso tra 0 e R, e denotiamo con V M la funzione cacciavite ottimale. Il funzionale, calcolato su V M, vale: F (V M ) = P P 2 + ( M R ) 2 + C A e, per M, si vede facilmente che + C A (x) 2 + C B + C B (x) 2, F (V M ) 0, 77 ( ) 2 M, R e quindi, per M sufficientemente grande le figure cacciavite sono preferibili F (u a quelle radiali. Inoltre, confrontando i grafici delle funzioni M ( ) M ) 2 R e F (V M ) ) 2 (vedi figura 4.2) si vede che la proposizione è verificata almeno ( M R per M 2. Figura 4.2: Grafici delle funzioni F (u M ) ( M R ) 2 e F (V M ) ( M R )

81 4.5. QUESTIONI DI UNICITÀ E RADIALITÀ 8 Osservazione Nel lavoro di Brock, Ferone e Kawohl ([4], osservazione 2.4) viene avanzata l ipotesi che su un poligono regolare di N lati il profilo ottimale sia dato da una funzione w N, simmetrica per rotazioni di ampiezza 2π N e definita su ogni settore S di tale ampiezza come u M (x v), dove v è il versore che biseca S e u M è la soluzione radiale ottimale (vedi figura 4.3 per N = 4). Le funzioni w N infatti hanno la stessa resistenza relativa del minimo radiale e quindi questa ipotesi è molto simile a quella della radialità del minimo sul cerchio. Come è stato suggerito dal Prof. Kawohl, l impiego di funzioni a cacciavite mostra anche in questo caso che il minimo non è simmetrico. Infatti, sempre nel caso N = 4 si vede facilmente che una funzione a tenda (vedi figura 4.4) per M sufficientemente elevato offre una resistenza più bassa di quella di w N. Analogamente si può verificare che la stessa proprietà vale per N qualsiasi. Figura 4.3: Profilo simmetrico sul quadrato 2 Figura 4.4: Profilo a tenda, di resistenza inferiore

82 82 CAPITOLO 4. PROPRIETÀ DEI PROFILI OTTIMALI 4.6 Il problema asintotico In questa sezione presentiamo alcune considerazioni sul comportamento qualitativo della soluzione normalizzata del problema min dx : 0 v, v concava} v 2. (4.3) Come si è visto in 2.2, la soluzione di questo problema rappresenta il comportamento asintotico delle soluzioni del problema di Newton sulla classe C M per M, nel senso che la successione delle soluzioni normalizzate dei problemi per M finito convergeranno in W,p loc () alla soluzione del problema (4.3). L esistenza del minimo segue direttamente dal teorema 2.3., che si applica anche nella variante per non convesso. Come già osservato, anche i risultati sul comportamento qualitativo nei pressi di si generalizzano senza problemi. Tutt altro accade invece per lo studio della pendenza e della zona piatta, dato che i risultati della sezione precedente perdono significato. Infatti, dette v M = u M M le soluzioni del problema di Newton in C M, si ha che v M / (0, ) e M per M la tesi risulta identicamente verificata. Il funzionale G ha inoltre una singolarità per u 0, quindi la zona piatta non può esistere, e per n = 2 rimangono solo i casi in cui l insieme di livello L = {x : v(x) = } sia un punto o un segmento. Non si può tuttavia escludere il caso del punto, in quanto la disuguaglianza (4.29) non dà più informazioni. Vediamo ora alcune considerazioni sul comportamento delle soluzioni del problema asintotico nei pressi di L: in particolare si vedrà che in ogni x 0 L si ha lim x x0 v(x) = 0 e che nel caso n = 2, la funzione non può essere C 2. Proposizione 4.6. Sia v una soluzione del problema (4.3). Allora, per n = 2, la matrice hessiana 2 v non può essere continua in alcun punto dell insieme di livello {x : v(x) = } Dimostrazione. Supponiamo che si abbia v(x) = e 2 v continua in x. Allora, dal momento che è il massimo di v, per la formula di Taylor si ha in un intorno U di x: v(y) = + (y x) 2 v(x)(y x) + o( y x 2 ), e la matrice 2 v è semidefinita negativa. Diagonalizzando 2 v in una base e,..., e n e ponendo per semplicità z k = y k x k, si ottiene con λ,..., λ n 0. Differenziando, v(y) = λ z 2 λ n z 2 n + o( z 2 ), v(y) = 2 ( λ z,..., λ n z n ) + o( z ),

83 4.6. IL PROBLEMA ASINTOTICO 83 e dunque v(y) 2 4λ z 2, dove λ > max k λ k. Detta B(x, r) una palla contenuta in U e ponendo β n = H n (S n ), si ha che G (v) = v 2 dx ma per n = 2 si ottiene che è chiaramente assurdo. B(0,r) = B(0,r) v 2 dx = G (V ) β r n 4λ 0 4λ(z zn) dx β r n 2 4λ 0 ρ dρ = +, ρ 2 ρn dρ, Proposizione Sia v una soluzione del problema (4.3). Allora per n = 2 si ha lim x x 0 v(x) = 0 x 0 L. Lemma Sia v una soluzione normalizzata del problema (2.2) nella classe C M e ε il sopralivello {x : v(x) > ε}. Allora si ha che per ogni ε > 0 v 2 ( + v 2) 2 dx v 2 ( ε + v 2) 2 dx, M 2 M 2 ε in particolare, per M =, si ha v dx 2 ε ε v 2 dx. Dimostrazione. Per ogni ε consideriamo le funzioni v δ = w δ v, dove w δ è definita da (vedere figura 4.5) ( + δ ) x se x [0, ε] w δ (x) = ( ε δ ) x + δ. se x ( ε, ] ε ε Dal momento che le w δ sono crescenti e concave, le v δ sono concave per la

84 84 CAPITOLO 4. PROPRIETÀ DEI PROFILI OTTIMALI Figura 4.5: Grafico della funzione w δ ε+δ ε 0 ε proposizione.2.5. Calcoliamo ora la variazione F M (v δ ) F M (v) [ (( lim = lim f M + δ δ 0 δ δ 0 δ ε) v ) fm ( v ) ] dx + \ ε [ (( + lim f M δ δ 0 δ ε) v fm ( v ) ) ] dx = ε = f ε M( v ) v dx f ε M( v ) v dx 0, ε \ ε da cui si ottiene f M( v ) v dx f ε M( v ) v dx, ε ricordando che f M (x) =, M 2 +x2 v 2 e per M, ( M 2 + v 2) 2 dx ε ε v dx 2 ε ε v 2 ( + v 2) 2 dx, M 2 v 2 dx.

85 4.6. IL PROBLEMA ASINTOTICO 85 Dimostrazione della proposizione Per ogni ε consideriamo la funzione v ε così definita: ε dist(x, ε ) se x ε v ε (x) = r ε, v(x) se x \ ε dove r ε è il massimo della funzione dist(x, ε ) in ε, ossia il massimo dei raggi delle palle n-dimensionali contenute in ε. Si verifica facilmente che v ε è concava in quanto inf di concave. Ne segue che ε se x ε v ε (x) = r ε. v(x) se x \ ε La condizione di minimo diventa ( G (v ε ) G (v) r 2 = ε ε ε ) 3 v 2 cioè dal lemma segue che Ponendo F = si ottiene v 2 ε r 2 ε ε 3 ε ε ε r 2 ε ε ε 3 v 2 dx, v 2 dx. 0 ε > 0, dx ed utilizzando le disuguaglianze diam( ε ) 2r ε e π 4 diam( ε) 2 ε, diam( ε ) ε π F, (4.32) Se esistessero un ε > 0 ed una costante k > 0 per cui v k per ogni x ε, allora si avrebbe per ε 0 che è in contraddizzione con la (4.32). diam( ε ) 2kε. Osservazione La (4.32) ci dice che i diametri dei sopralivelli se convergono a zero lo fanno comunque piuttosto lentamente. In effetti si può verificare che nel caso radiale diam( ε ) = O(ε 3 4 ).

86 86 CAPITOLO 4. PROPRIETÀ DEI PROFILI OTTIMALI 4.7 Problemi aperti Formuliamo qui alcune congetture sulle proprietà qualitative delle soluzioni insieme alle motivazioni euristiche che ci inducono a ritenerle ragionevoli. Come si è visto nella sezione 4.3, non si sa ancora se per M sufficientemente grande la misura della zona piatta M si annulli ovvero se resti positiva per valori di M arbitrariamente elevati. Se si verificasse la seconda ipotesi, tuttavia, dalla proposizione abbiamo visto che H n ( M ) dovrebbe necessariamente convergere a zero per M. Questa eventualità sembra però contrastare con alcuni indizi che si hanno dal caso radiale. Infatti, se si considerano le funzioni cacciavite, e si calcola il limite della lunghezza ottimale della punta, si vede che converge ad un numero positivo (vedi figura 4.6) Figura 4.6: Grafico della lunghezza della punta ottimale, in funzione di M Se le zone piatte delle funzioni cacciavite approssimassero bene quelle dei profili ottimali, allora si dovrebbe ottenere lim inf M H n ( M ) > 0, e quindi la zona piatta dovrebbe sparire da un certo M in poi. Enunciamo dunque la seguente: Congettura 4.7. Per ogni aperto R 2 esiste M tale che per ogni M > M, la soluzione del problema (2.2) associato a nella classe M è una funzione che assume il valore M in un insieme di misura nulla, che per quanto detto nella sezione 4.3 dovrà essere un segmento.

87 4.7. PROBLEMI APERTI 87 Per la proposizione 4.3.4, la congettura sopra sarebbe implicata dalla seguente: Congettura Per ogni aperto, si ha che lim inf M Hn ( M ) > 0. Osservazione Si noti che l implicazione non è reversibile, in quanto la zona piatta potrebbe sparire, ma la lunghezza del segmento residuo potrebbe convergere a zero per M. Osservazione Se lim inf M H n ( M ) > 0, allora H n ( ) > 0, dal momento che lim inf M M. In generale, tuttavia, si ha solo l inclusione stretta, per cui la condizione H n ( ) > 0 non è sufficiente per portare alla sparizione della zona piatta. Osservazione Le funzioni cacciavite, pur furnendo un esempio di profili di resistenza inferiore al minimo sulle radiali, per M 2, non possono essere le soluzioni del problema, in quanto non soddisfano la tesi della R proposizione 4.6.2

88 88 CAPITOLO 4. PROPRIETÀ DEI PROFILI OTTIMALI

89 Bibliografia [] R. Adams. Sobolev Spaces. Academic Press, 975. [2] B. Botteron, P. Marcellini. A general approach to the existence of minimizers of one-dimensional noncoercive integrals of the calculus of variations. Ann. Inst. H. Poincarè Analyse non Linèaire 8 (99), pagine [3] H. Brezis. Analyse Fonctionelle-Théorie et Application. Masson, Paris, 983. [4] F. Brock, B. Kawohl, V. Ferone. A Symmetry Problem in the Calculus of Variations. to appear on: Calculus of Variations. [5] G. Buttazzo. Semicontinuity, Relaxation and integral representation in the Calculus of Variations, volume 207. Longman, Harlow, 989. [6] G. Buttazzo. Semicontinuità inferiore di funzionali definiti su BV. In Equazioni Differenziali e Calcolo delle Variazioni, volume 39, pagine , Bologna, 995. U.M.I., Pitagora Editrice. [7] G. Buttazzo, V. Ferone, B. Kawohl. Minimum problems over sets of concave functions and related questions. Math. Nachr. (995), pagine [8] G. Buttazzo, B. Kawohl. On Newton s problem of minimal resistance. Math. Intelligencer (993), pagine 7 2. [9] B. Dacorogna. Direct Methods in the Calculus of Variations, volume 78. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 989. [0] E. De Giorgi. Su una teoria generale della misura (r )-dimensionale in uno spazio a r dimensioni. Ann. Mat. Pura Appl. Ser IV 36 (954), pagine [] E. De Giorgi. Nuovi teoremi relativi alle misure (r )-dimensionali in uno spazio a r dimensioni. Ric. Mat. 4 (955), pagine [2] H. Federer. Geometric Measure Theory. Springer-Verlag, Berlin,

90 90 BIBLIOGRAFIA [3] P. Funk. Variationsrechnung und ihre Anwendungen in Physik und Technik, volume 94. Springer-Verlag, Heidelberg, 962. [4] E. Giusti. Minimal Surfaces and Functions of Bounded Variation. Birkhäuser, Boston, 984. [5] H. H. Goldstine. A History of the Calculus of Variations fron the 7 th through the 9 th Century. Springer-Verlag, Heidelberg, 985. [6] P.R. Halmos. Measure Theory. Van Nostrand, Princeton, 965. [7] W. D. Hayes, R. F. Probstein. Hypersonic Flow Theory. Academic Press, New York, 966. [8] B. Kawohl, C. Schwab. Convergent Finite Elements for a class of nonconvex variational problems. Maggio 995. [9] A. Kneser. Ein Beitrag zur Frage nach der zweckmäßigsten Gestalt der Geschoßspitzen. Archiv der Mathematik und Physik 2 (902), pagine [20] P. Marcellini. Approximation of quasiconvex funcions and lower semicontinuity of multiple integrals. Manuscripta Mathematica 5 (985), pagine 28. [2] P. Marcellini. Nonconvex integrals of the Calculus of Variations. In A. Cellina, editor, Proceedings of Methods of Nonconvex Analisys, volume 446, pagine 6 57, Heidelberg, 990. CIME, Springer-Verlag. [22] G. Dal Maso. An introduction to Γ-convergence. Birkhäuser, Boston, 993. [23] G. Dal Maso. Problemi di semicontinuità e rilassamento nel Calcolo delle Variazioni. In Equazioni Differenziali e Calcolo delle Variazioni, volume 39, pagine 45 96, Bologna, 995. U.M.I., Pitagora Editrice. [24] V.G. Maz ja. Sobolev Spaces. Springer-Verlag, 985. [25] A. Miele. Theory of Optimum Aerodynamic Shapes. Academic Press, New York, 965. [26] C. B. Morrey. Multiple integrals in the Calculus of Variations, volume 30. Springer-Verlag, Heidelberg, 966. [27] I. Newton. Philosophiae Naturalis Principia Mathematica [28] F. Nicolai. Un Modello Variazionale per l Ottimizzazione di Profili Aerodinamici. Tesi di laurea, Università di Pisa, 994.

91 BIBLIOGRAFIA 9 [29] H. Rademacher. Über partielle und totale Differenzierbarkeit. Math. Ann. 79 (99), no. I, pagine [30] Y.G. Reshetnyak. Weak convergence of completely additive vector measures on a set. Sibirskii Mat. Zh. 9 (968), pagine , [3] C. Rogers. Hausdorff Measures. Cambridge University Press, London, 970. [32] W. Rudin. Real and Complex Analysis. Mc Graw Hill, New York, 966. [33] M. Struwe. Variational Methods. Springer-Verlag, Berlin, 990. [34] L. Tonelli. Fondamenti di Calcolo delle Variazioni. Zanichelli, Bologna, 923. [35] M. Valadier. Young Measures. In A. Cellina, editor, Proceedings of Methods of Nonconvex Analisys, volume 446, pagine 6 57, Heidelberg, 990. CIME, Springer-Verlag. [36] D.T. Whiteside. The Mathematical Papers of Isaac Newton, volume I. Cambridge University Press, London, 974. [37] Young. Lectures on the Calculus of Variations and Optimal Control Theory. Saunders, New York, 969. [38] W.P. Ziemer. Weakly differentiable functions. Springer-Verlag, New York, 989.