Prof. Ing. Rocco La Vecchia Docente di Meccanica e Macchine. Appunti di Scienza delle costruzioni

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1 Prof. Ing. Rocco La Vecchia Docente di Meccanica e Macchine Appunti di Scienza delle costruzioni

2 ANALISI DELLE ORZE La Scienza delle costruzioni si occupa dello studio dei materiali che sottoposti alle forze esterne producono deformazioni (elastiche e/o permanenti). I materiali di cui è fatta un costruzione non devono subire spostamenti e non devono rompersi, devono resistere a tali cimenti esterni per il tempo in cui è richiesta la loro prestazione. Questi ultimi adoperati frequentemente nelle costruzioni sono: l acciaio, il cemento armato, il legno, l alluminio, il rame, la pietra, i mattoni, le leghe in genere e altri materiali da strutture. Attualmente lo studio sui materiali è effettuato sperimentalmente nei laboratori, attraverso macchine idonee a fornirci risultati estremamente precisi. Il progettista delle strutture oltre ad essere in possesso di una cultura teorica -scientifica si avvale di risultati sperimentali che lo confortano nella fase di calcolo e gli conferiscono sicurezza e decisione. Con le conoscenze acquisite sui fenomeni sismici, si è in grado, oggi, di progettare strutture antisismiche con minimi rischi di crolli e di danni sia alle cose che alle persone. I carichi che agiscono sulle varie parti delle strutture possono essere classificati: -Carichi permanenti: dovuti principalmente al peso proprio delle strutture, e al peso di varia natura, pavimenti, tramezzi, solai, ecc. -Carichi accidentali: sono quelli per cui la costruzione è stata destinata a sostenere macchine, mobili, persone e tutti i fenomeni naturali come la neve, il vento, la pioggia, i terremoti, gli uragani, i tornadi, nelle condizioni più sfavorevoli. Le costruzioni sono inoltre interessate a fenomeni termici e a cedimenti delle fondazioni, nonché ai vari difetti di realizzazione. Per poter studiare una costruzione qualsiasi, sia di tipo civile, che di tipo industriale è necessario conoscere tutti i carichi, sia di natura statica, sia di natura dinamica agenti sulla struttura e determinare successivamente le reazioni vincolari. Tipi di carichi: orze concentrate qualsiasi; unità di misura [N] Carichi uniformemente distribuiti (forze di linea) q unità di misura [N/m] q = /l q q Carichi variabili linearmente (forze di linea) q unità di misura [N/m]

3 q = (q max* x)/l q q max Carichi di superficie (forze di superficie) P unità di misura [N/m 2 ] P = /S Carichi di volume (forze di volume); γ = /V γ unità di misura [N/m 3 ] I VINCOLI E LE REAZIONI VINCOLARI Gli elementi di costruzione perché non abbiano alcuna possibilità di moto devono essere vincolati o bloccati con dei dispositivi appositamente costruiti ad hoc. Si definiscono vincoli quegli elementi che collegano una struttura con il suolo (vincoli esterni) o due o più tratti di una stessa struttura tra loro (vincoli interni). I vincoli possono essere spaziali se impediscono sia spostamenti lineari sia rotazioni. Nello spazio i gradi di libertà posseduti da un elemento sono sei, mentre i gradi di libertà per i sistemi piani sono tre. A seconda dei gradi di libertà che i vincoli possono eliminare essi si dicono semplici, doppi, tripli, quadrupli, quintupli e sestupli. Per una trave contenuta nel piano e comunque caricata da forze esterne i gradi di libertà sono rappresentati in una sezione da due spostamenti, u 1, u 2 e da una rotazione φ. Nello spazio i gradi di libertà di una struttura sono sei e sono rappresentati da tre spostamenti u 1, u 2,u 3, lungo gli assi x, y, z, e da tre rotazioni α, β, φ intorno agli stessi assi. Affinché una struttura non abbia alcuna possibilità di movimento bisogna fissare ad essa dei vincoli che siano efficaci e che assicurano l eliminazione dei gradi di libertà (g.d.l.). Nella pratica tecnica si usano i vincoli semplici, doppi e tripli nel piano e i vincoli spaziali atti ad impedire traslazioni e rotazioni dei sei movimenti possibili e delle combinazioni da esse derivate. Per i sistemi piani costituiti da travi, i gradi di libertà posseduti da ogni elemento sono tre e i vincoli possono essere riportati nella seguente tabella:

4 a b CARRELLO PENDOLO PENDOLO IMPROPRIO c CERNIERA DOPPIOPENDOLO CERNIERA IDEALE INCASTRO a) VINCOLI SEMPLICI (eliminano 1 g.d.l.) b) VINCOLI DOPPI (eliminano 2 g.d.l.) c) VINCOLI TRIPLI (eliminano 3 g.d.l.) Il carrello o appoggio scorrevole è un vincolo semplice e impedisce traslazioni ortogonali al piano di appoggio, per cui la sua reazione è diretta normalmente a questo piano. Il pendolo impedisce traslazioni lungo il suo asse e come tale si comporta come se fosse un carrello. Il pendolo improprio o doppio doppio pendolo è un vincolo semplice costituito da due bipendoli messi insiemi, non consente rotazioni, ma solo traslazioni, quindi reagisce con un momento. La cerniera è un vincolo doppio,consente solo rotazioni intorno al punto di attacco, impedendo le due traslazioni. Reagisce con una reazione comunque ubicata nel centro del fulcro di attacco.

5 Il doppio pendolo è un vincolo doppio, costituito da due pendoli paralleli, impedisce sia la rotazione, che le traslazioni parallela al suo asse e consente le traslazioni ortogonali al suo asse. Pertanto reagisce con una coppia ed una reazione parallela al suo asse. Dato che questo vincolo consente rotazioni nel suo punto improprio nella direzione dei pendoli esso reagisce con una forza comunque ubicata nel piano, La cerniera ideale è un vincolo doppio e si comporta come una cerniera, prolungando l asse dei pendoli fino alla loro intersezione. L incastro è un vincolo triplo ed elimina tutti i possibili movimenti, quindi reagisce con una coppia e due reazioni paralleli agli assi ortogonali. STRUTTURE LABILI, ISOSTATICHE,IPERSTATICHE. Una struttura si definisce labile quando il numero dei vincoli è insufficiente ad eliminare i gradi libertà e dunque le incognite delle reazioni sono in numero minore delle equazioni di equilibrio fornite dalla statica. Una struttura si definisce isostatica se i vincoli sono in numero strettamente necessario ad eliminare i gradi di libertà e sono ben disposti. Le equazioni della statica applicabili alle varie parti della struttura sono uguali al numero delle componenti delle reazioni incognite. Per una struttura composta da una sola trave si scrivono tre equazioni in tre incognite. Per una struttura composta da due tratti di travi si scrivono sei equazioni i sei incognite,per una struttura composta di tre tratti di trave si scrivono nove equazioni in nove incognite e così via. Nei sistemi iperstatici il numero dei vincoli è maggiore di quelli strettamente necessari affinché la struttura non abbia nessun grado di libertà. Le equazioni della statica sono in numero minore delle incognite reazioni vincolari per cui il problema non è risolubile e per determinarlo occorre introdurre altre equazioni che richiedono lo studio dell elasticità dei materiali. Esempi di strutture labili:

6 Il numero dei vincoli non è in grado di eliminare i g.d.l. e le strutture sono soggette a moti rigidi. Esempi di strutture isostatiche: I vincoli sono strettamente sufficienti e ben disposti. M M Esempi di strutture iperstatiche: I vincoli sono sovrabbondanti e ben disposti.

7 M Esempi di calcolo analitico delle reazioni vincolari. Consideriamo una struttura isostatica in cui l elemento strutturale sia una trave e siano applicati su di essa dei carichi concentrati. Il calcolo delle reazioni vincolari in questo caso si ottengono applicando le equazioni cardinali della statica perché in questo caso il numero delle equazioni uguglia il numero delle incognite reazioni vincolari. Esempio N 1 Determinare le reazioni vincolari degli appoggi della trave essendo noti i seguenti dati: 1 =200N; 2 = 150N; ϕ=30 ; l 1 = 2m ; l 2 = 1m ; l 3 = 2m; A 30 1 =200NN NN 2 =150N B l 1 l 2 l 3 Soluzione Analitica

8 La struttura è isostatica. Infatti abbiamo un unico tratto e i gradi di libertà soppressi dai vincoli, sono due per la cerniera e uno per il carrello ed essendo i vincoli ben disposti possiamo affermare che la struttura è effettivamente isostatica. Dopo esserci accertati che la struttura è isostatica, si può procedere alla determinazione delle reazioni vincolari. Si riferisce la struttura ad una coppia di assi cartesiani ortogonali X,Y avente origine in uno dei vincoli nel piano della struttura stessa. Si costruisce il sistema isostatico equivalente in modo da omettere i vincoli e si applicano in corrispondenza dei vincoli soppressi, le loro reazioni, secondo l asse X, Y e le forze esterni agenti eventualmente decomposte secondo gli stessi assi nei punti sui quali sono applicate. Nel nostro problema le incognite sono: a)le componenti R AX e R Ay della reazione della cerniera A. b)la reazione R By del carrello B. La trave in queste condizioni ha tre possibilità di movimento, quindi ha tre g.d.l. se il sistema di forze è in equilibrio il corpo rimane fermo e si avrà: R=0 M R = 0 queste sono le equazioni cardinali della statica. Queste equazioni sono in forma vettoriale che esplicitate per la nostra struttura risultano: R x = ix = 0 Equazione di equilibrio alla traslazione secondo X R Ax + 1 * cosβ = 0 Ry = iy = 0 Equazione di equilibrio alla traslazione secondo Y R Axy - 1 * senβ 2 + R By = 0 M R = ix * y i + iy * x i = 0 Equazione di equilibrio alla rotazione intorno ad A 1 * senβ * l * ( l 1 +l 2 ) - R By * (l 1 + l 2 + l 3 ) = 0 Sostituendo i valori numerici alle tre equazioni di cui sopra otteniamo il sistema risolvente. R Ax + 1 * cosβ = 0 R Ay - 1 * senβ 2 + R By = 0 1 * senβ * l * ( l 1 +l 2 ) - R By * (l 1 + l 2 + l 3 ) = 0 R Ax + 200* cos30 = 0 R Ay 200* sen R By = 0 200* sen30 * * ( ) - R By * ( ) = 0 R Ax = - 200* cos30 = * = N R Ay + R By = 200* sen = 200 * = 250N 200* 0.5 * * 3 = 5 * R By R Ax = N

9 R Ay + R By = 250N 5 * R By = 200* 0.5 * * 3 = = 650 R Ax = N R Ay + R By = 250N R By = 130 N Da cui infine le tre soluzioni R Ax = N R Ay = 120 N R By = 130 N Il segno meno che precede la reazione R Ax, significa che avendo fatto una scelta arbitraria, va cambiata di segno, per equilibrare la componente della forza nella direzione dell asse X. Il sistema scritto si presta anche ad una trattazione matematica con le matrici in caso di molte incognite reazioni vincolari. Il sistema può essere scritto nella forma sintetica. A*X = B Dove A rappresenta la matrice dei coefficienti, X la matrice delle incognite e B la matrice dei termini noti. In forma esplicita si ha: R Ax + 1 * cosβ = 0 R Ay - 1 * senβ 2 + R By = 0 1 * senβ * l * ( l 1 +l 2 ) - R By * (l 1 + l 2 + l 3 ) = R Ax - 1 * cosβ * R Ay = 1 * senβ (l 1 + l 2 + l 3 ) R By 1 * senβ * l *( l 1 +l 2 ) R Ax * R Ay = R By + 650

10 Da cui eseguendo la matrice inversa A -1 e poi facendo il prodotto della due matrici si ottengono le soluzioni. X = A -1 *B R Ax = N R Ay = 120 N R By = 130 N Si indica di seguito il procedimento per calcolare l inversa della nostra matrice. Assegnata la matrice A A = essa possiede una inversa solo se il suo determinante è diverso da zero Det(A) Det(A) = = 1 = 1[1*5-0*1] Det(A) = 5 0 Sviluppando con MATLAB si ottiene: inv(a) ans = Inv(A) = A -1 = agg A/ Det(A) = >> B=[ ;250;650]

11 B = >> X=inv(A)*B X = N N N N.B. Gli appunti sono in fase di prima stesura,chi riscontrasse errori ed imperfezioni, segnalandoli tempestivamente, concorrerebbe a migliorarli e a perfezionarli. Buon lavoro!!!!!!