Elettromagnetismo. Prof. Francesco Ragusa Università degli Studi di Milano. Lezione n

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1 Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa Università degli Studi di Milano Lezione n Trasformazione dei campi E e B Induzione elettromagnetica Legge di Faraday Anno Accademico 2018/2019

2 Trasformazione dei campi E e B Per trovare le leggi di trasformazioni di B procediamo in modo analogo a quanto fatto per il campo elettrico Consideriamo due piani infiniti di carica paralleli al piano z x I piani si muovono con velocità u lungo l'asse x nel sistema S Nel sistema S la loro densità di carica è ±σ Nel sistema in cui i piani sono a riposo la loro densità di carica è minore ed è σ 0 = σ/γ u Calcoliamo il campo elettrico E e il campo di induzione magnetica B nel sistema S Il campo elettrico fra i piani è (ricordiamo che all'esterno è nullo) I piani costituiscono due densità di corrente superficiale K = ±σu La densità di corrente genera un campo di induzione magnetica B fra i piani (all'esterno è nullo) Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 184

3 Trasformazione dei campi E e B Consideriamo adesso un sistema S che si muove rispetto a S con velocità v lungo l'asse x Per calcolare i campi E e B nel sistema S vediamo innanzitutto come si sono trasformate le sorgenti Calcoliamo la velocità u dei piani di carica in S Usiamo la formula della diapositiva Scambiamo il ruolo di S e S e cambiamo il segno di v In S piani di carica si muovono con velocità u (sempre lungo x) Calcoliamo La densità di carica diventa E infine la densità di corrente Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 185

4 Trasformazione dei campi E e B Riassumendo Troviamo infine il campo elettrico E e il campo di induzione magnetica B Inserendo nella formula per E Analogamente per B Inserendo nella formula per B Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 186

5 Trasformazione dei campi E e B Un modo alternativo di scrivere le formule precedenti è È evidente la somiglianza con Disponiamo i piani di carica paralleli al piano x y Con un calcolo analogo al precedente otteniamo Notare il segni di E z e B y rispetto a E y e B z Rimane da determinare il comportamento delle componenti dei campi lungo la direzione della velocità Per il campo E sappiamo che la componente parallela non cambia Dimostriamo che anche per il campo B si ottiene lo stesso risultato Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 187

6 Trasformazione dei campi E e B Per dimostrare l'ultima legge di trasformazione consideriamo un solenoide a riposo nel sistema S L'asse del solenoide è diretto lungo l'asse x Sappiamo che il campo B è diretto lungo x e vale z S z' S' v Consideriamo adesso il sistema S che si muove verso sinistra con velocità v Nel sistema S il solenoide è in moto Il campo B è comunque diretto lungo x O O' x x' Nel sistema S le lunghezze sono contratte Nel sistema S i tempi sono dilatati Otteniamo pertanto Riassumendo, le leggi di trasformazione di E e B sono Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 188

7 Trasformazione dei campi E e B È utile una forma vettoriale delle leggi di trasformazione Per una velocità in direzione arbitraria Scomponiamo i campi in una componente parallela e in una perpendicolare a v v è la velocità del sistema S rispetto al sistema S I campi nel sistema S sono I casi che abbiamo studiato possono facilmente essere verificati ponendo Osserviamo che le trasformazioni dei campi mescolano le componenti di E e B Analogamente a quanto visto per t e r (o per E e p) E e B devono essere le componenti di un'unica grandezza fisica. Lo vedremo fra poco Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 189

8 Trasformazione dei campi E e B Le relazioni che abbiamo trovato permettono di calcolare la relazione fra campo elettrico e magnetico in alcuni casi semplici ma importanti Consideriamo il caso in cui B sia nullo nel sistema di riferimento S Ad es. il caso che abbiamo visto della carico in moto rettilineo uniforme Dato che B = 0 possiamo dire che B = B Inoltre dato che per definizione v E = 0 Pertanto nel sistema S i campi sono Analogamente se E è nullo in S Pertanto i campi in S sono Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 190

9 Carica in moto rettilineo uniforme Possiamo utilizzare questo risultato per completare il calcolo dei campi per una carica in moto rettilineo uniforme Le linee di campo di B sono delle circonferenze centrate sulla traiettoria Infine calcoliamo il limite per β 1 di B Confrontare con la legge di Biot-Savart Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 191

10 Trasformazione dei campi E e B Le formule di trasformazione trovate mostrano che né E né B possono essere visti come la componente spaziale di quadri-vettore Le leggi di trasformazione mescolano le componenti di E e B Nel caso dei quadri-vettori avevamo 4 componenti che nel passaggio da un sistema S a un sistema S si trasformano con la legge Esistono altre grandezze matematiche con un numero maggiore di componenti Ad esempio i tensori Sia tri-dimensionali che quadri-dimensionali Un tensore quadri-dimensionale è una grandezza che ha 4 4 = 16 componenti Organizzate con due indici di Lorentz La legge di trasformazione di un tensore è Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 192

11 Trasformazione dei campi E e B I tensori possono avere due importanti proprietà Essere simmetrici: T μν = T νμ Le componenti indipendenti sono n = (16 4)/2 + 4 = 10 Essere antisimmetrici: T μν = T νμ Le componenti con indici uguali sono nulle: T μμ = 0 Le componenti indipendenti sono n = (16 4)/2 = 6 Le componenti del campo Elettrico e del campo di Induzione Magnetica sono 6 Costituiscono le componenti di un tensore antisimmetrico Verifichiamo la legge di trasformazione di E x Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 193

12 Trasformazione dei campi E e B Calcoliamo adesso la componente E y La formula tensoriale riproduce le leggi di trasformazione che avevamo trovato Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 194

13 La scoperta di Faraday Ricordiamo la scoperta di Oersted del 1820 sulla generazione di forze magnetiche con le correnti elettriche Dopo questa scoperta parte una intensa attività sperimentale e teorica Fra le altre cose si cercano nelle correnti fenomeni analoghi a quelli classificati come "induzione elettrostatica" Si cerca di capire se le correnti possono "indurre" correnti Pioniere di questi studi fu Michael Faraday, intorno al 1830 Inizialmente gli studi furono poco fruttuosi Una corrente circolante nel solenoide esterno NON induce una corrente in quello interno Tuttavia una VARIAZIONE di corrente induce una corrente Ad esempio all'apertura o alla chiusura dell'interruttore Con questi studi Faraday scopre l'importante fenomeno dell'induzione elettromagnetica Ci permetterà di completare l'equazione del rotore di E Prima di passare alla formulazione definitiva del fenomeno studiamolo alla luce di quanto già conosciamo Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 195

14 Barretta conduttrice in moto (B 0) Consideriamo una regione dello spazio in cui è presente un campo magnetico B, diretto lungo l'asse z Utilizziamo un sistema inerziale S Il campo B è uniforme e non varia nel tempo Non ci sono campi elettrici Consideriamo adesso una barretta conduttrice orientata parallelamente all'asse x La barretta si muove con velocità costante v diretta lungo l'asse y Poiché si tratta di un conduttore al suo interno ci sono portatori di carica che possono muoversi Tutte le cariche della barretta hanno una velocità v Appare una forza di Lorentz La forza è diretta nel senso positivo delle x per le cariche positive Sotto l'azione della forza le cariche si muovono Tuttavia si giunge presto ad una condizione stazionaria Le cariche spostandosi generano un campo elettrico E In ogni punto all'interno della barretta la forza di Lorentz è bilanciata dalla forza elettrica qe Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 196

15 Barretta conduttrice in moto (B 0) Le cariche elettriche si distribuiscono sulla superficie della barretta in modo da generare all'interno un campo elettrico uniforme La forza di Lorentz è uniforme dentro la barretta La forza elettrica bilancia la forza magnetica La carica sulla superficie della barretta genera un campo anche all'esterno della barretta Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 197

16 Barretta conduttrice in moto (B 0) Esaminiamo adesso il fenomeno descritto in un sistema inerziale S in cui la barretta conduttrice è a riposo In questo sistema il campo magnetico è differente Appare anche un campo elettrico Ricordiamo il tensore campo elettromagnetico La trasformazione in S è F = ΛFΛ Τ È facile verificare che La matrice Λ è Nel sistema S il campo magnetico B è ancora diretto lungo l'asse z ed è diventato più intenso per il fattore relativistico γ È comparso un campo elettrico E diretto lungo l'asse x Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 198

17 Barretta conduttrice in moto (B 0) Interpretiamo quello che succede nella barretta conduttrice nel sistema S C'è un campo magnetico B ma la barretta è ferma Non ci sono forze magnetiche sulle cariche all'interno Nel sistema S è presente un campo elettrico E Le cariche si distribuiscono sulla superficie del conduttore in modo da annullare il campo elettrico al suo interno Come abbiamo studiato in elettrostatica In S la situazione è statica Riepiloghiamo le due interpretazioni Nel sistema S la barretta si muove e dentro la barretta c'è una forza magnetica che causa una redistribuzione della carica sulla superficie La distribuzione di carica genera un campo elettrico che bilancia la forza magnetica Nel sistema S c'è un campo elettrico E La carica si redistribuisce sulla superficie del conduttore e genera un campo elettrico che, sommato a E, annulla il campo all'interno del conduttore Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 199

18 Barretta conduttrice in moto (B 0) Nel sistema inerziale S Nel sistema inerziale S Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 200

19 Spira di superfice variabile Consideriamo il sistema in figura immerso in un campo di induzione magnetica B uniforme, perpendicolare al piano Il tratto nero GHKL è un conduttore a riposo I portatori di carica sono a riposo Il campo magnetico non ha alcun effetto: F = 0 Il tratto rosso LG è un conduttore che viene tenuto in moto con velocità v verso destra I portatori di carica nel conduttore LG si muovono con velocità Su di essi agisce la forza di Lorentz Nella spira appare una forza elettromotrice Troviamo adesso una relazione fra la forza elettromotrice e il flusso del campo di induzione magnetica B Se la spira ha una resistenza R viene fatto un lavoro! Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 201

20 Chi fa lavoro? Nell'analisi del sistema precedente abbiamo visto che ai portatori di carica viene trasferita energia Viene compiuto un lavoro A prima vista sembra che siano le forze magnetiche a compiere lavoro Abbiamo detto che le forze magnetiche non fanno lavoro Per approfondire questo punto consideriamo di nuovo il sistema Il sistema è immerso in un campo magnetico uniforme B che entra nel piano Al tempo t il conduttore rosso è ad una distanza vt Il flusso concatenato è la forza elettromotrice è Questa forza elettromotrice mette in moto le cariche Se la resistenza del conduttore è R dissipa una potenza Consideriamo in dettaglio cosa succede al conduttore rosso Le cariche hanno due componenti della velocità La componente u y legata alla corrente La componente u x = v dovuta al moto della barretta La forza magnetica sui portatori di carica è pertanto F m Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 202

21 Chi fa lavoro? Assumiamo di essere in una condizione stazionaria La corrente è costante La velocità dalla barretta è costante Tutte le forze sono in equilibrio Scomponiamo la forza magnetica in una componente verticale e una orizzontale La componente orizzontale bilancia la forza esterna La velocità della barretta è costante La componente verticale mantiene costante la corrente contro l'effetto dissipativo delle collisioni con gli ioni Consideriamo il lavoro fatto dalle forze nell'unità di tempo La componente verticale della forza magnetica effetto Joule contro F R La componente orizzontale della forza magnetica si oppone alla forza esterna Osserviamo che la potenza totale P x + P y della forza F m è nulla La forza magnetica non compie lavoro Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 203

22 Chi fa lavoro? Notiamo infine che le potenze sono tutte uguali in modulo L'agente esterno che applica F ext eroga una potenza qbu x u y = qbvu y La forza magnetica si oppone all'agente esterno e dissipa qbu x u y La forza magnetica converte la potenza meccanica erogata dalla forza esterna in potenza termica dissipata per effetto Joule È necessaria per mantenere la corrente pari a qbu x u y L'effetto Joule dissipa una potenza qbu x u y Abbiamo già notato un sistema meccanico analogo Un piano inclinato senza attrito Il diagramma delle forze è lo stesso di quello della diapositiva precedente La forza normale non compie lavoro La reazione normale si scompone in due componenti La forza esterna orizzontale compie un lavoro aumentando l'altezza e quindi l'energia potenziale gravitazionale della massa Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 204

23 Spira in campo non uniforme Consideriamo adesso una spira conduttrice rigida di lato w che si muove con velocità v lungo l'asse y C'è sempre un campo uniforme B Il campo elettrico è nullo Siamo in una situazione analoga a quanto già visto per la barretta conduttrice (diapositiva ) I due lati della spira si caricano positivamente e negativamente Non succede altro Immaginiamo adesso che il campo magnetico non sia uniforme lungo la direzione y anche se è costante nel tempo Supponiamo la spira vincolata a muoversi parallelamente all'asse y Sulle cariche all'interno dei lati paralleli all'asse y ( lati 2 e 4 ) si esercitano forze perpendicolari al filo Sulle cariche dei lati paralleli all'asse x (1 e 3) le forze sono lungo il filo Calcoliamo la circuitazione della forza magnetica Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 205

24 Spira in campo non uniforme Ancora una volta viene compiuto un lavoro sui portatori di carica del conduttore della spira Il lavoro viene fatto sulla corrente elettrica che è stata provocata dalla forza di Lorentz Nella spira è presente una forza elettromotrice Riscriviamo questa relazione in funzione del flusso del campo magnetico B attraverso la superficie della spira Consideriamo due posizioni a e b della spira a due istanti di tempo t e t + dt Il flusso del campo magnetico è Calcoliamo la variazione del flusso Confrontando con l'espressione per E Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 206

25 Il flusso del campo magnetico Nel calcolo precedente abbiamo utilizzato una spira piana La superfice che abbiamo utilizzato era anch'essa piana Tuttavia si tratta di restrizioni non essenziali La spira potrebbe non essere piana e la superficie utilizzata potrebbe essere una qualunque Ad esempio il flusso attraverso la superficie S 1 delimitata dal cammino C Oppure attraverso la superficie S 2 Dimostriamo che Consideriamo la superficie chiusa formata da S 1 + S 2 Le normali alle superfici sono verso l'esterno Ma si ha da 3 = da 2 Nel sistema MKS il flusso si misura in Weber Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 207

26 Legge di Faraday Consideriamo il circuito in figura, in una regione in cui è presente un campo magnetico B(r) indipendente dal tempo Al tempo t il circuito è definito dal contorno C 1 e dalla superficie S 1 Chiamiamo Φ(t) il flusso di B Il circuito è rigido e si muove con velocità v Al tempo t + dt si sarà spostato Al tempo t + dt il circuito è definito dal contorno C 2 e dalla superficie S 2 I contorni C 1 e C 2 e le superfici S1 e S 2 sono gli stessi ma spostati Chiamiamo Φ(t + dt) il flusso di B nella nuova posizione Il flusso concatenato con C 2 è lo stesso per tutte le superfici delimitate dal contorno C 2 ( N.B.: diverso da C 1 ) In particolare la superficie S 1 + ΔS ΔS è la superficie del "nastro" generato da C 1 nel suo spostamento Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 208

27 Legge di Faraday Riportiamo la relazione cha abbiamo trovato Pertanto il flusso al tempo t + dt è uguale Al flusso al tempo t (concatenato a C 1 ) Al flusso attraverso la superficie ΔS Sviluppando il primo membro Calcoliamo il flusso attraverso ΔS L'elemento di superficie da sulla superficie ΔS è da = vdt dl Il modulo di da è l'area del parallelogramma vdtdlsinα dl è l'elemento di cammino lungo C 1 Il prodotto vettoriale assicura che da sia perpendicolare alla superficie Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 209

28 Legge di Faraday Ricordiamo l'identità Inserendo nella relazione appena trovata Abbiamo ricavato una relazione per la forza elettromotrice per una spira qualunque e un moto arbitrario Osserviamo che v può essere diversa lungo il circuito e dare luogo a deformazioni La formula è valida anche in questo caso La forza elettromotrice che osserviamo è originata dal movimento della spira Parliamo di forza elettromotrice da movimento Vedi diapositiva Ribadiamo che in questa derivazione abbiamo assunto B indipendente dal tempo Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 210

29 Legge di Faraday Immaginiamo adesso che la spira sia ferma e che a muoversi sia la sorgente del campo magnetico È il sistema di prima osservato in un altro sistema di riferimento inerziale Come visto nella diapositiva Compare una forza elettromotrice Tuttavia la forza magnetica sui portatori di carica della spira è nulla Nel sistema S è comparso un campo elettrico indotto Un campo elettrico non conservativo Anche se la spira è ferma il flusso concatenato varia nel tempo Si sposta la sorgente del campo Anche in questo caso gli esperimenti di Faraday mostrano che la forza elettromotrice indotta è Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 211

30 Legge di Faraday Per finire consideriamo un terzo esperimento In questo caso non c'è movimento La corrente nel solenoide viene fatta variare nel tempo Supponiamo che ci sia una tenda fra i due tavoli Uno sperimentatore sul tavolo 2 non può stabilire se il campo magnetico varia per effetto di un movimento o perché varia la corrente ANCHE IN QUESTO CASO si sviluppa una forza elettromotrice nella spira Gli esperimenti di Faraday mostrano che la forza elettromotrice indotta è Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 212

31 Legge di Faraday Riflettiamo sulle differenze dei tre esperimenti descritti Nel primo il campo magnetico non varia nel tempo ma la spira si muove Nel secondo la sorgente del campo magnetico si muove ma la spira è ferma È il primo esperimento visto in un altro sistema inerziale Nel terzo non ci sono moti relativi ma il campo varia nel tempo Un fenomeno fisico apparentemente diverso: non c'è movimento In tutti e tre gli esperimenti si osserva che appare una forza elettromotrice Che tutti e tre gli esperimenti conducano alla stessa legge sulla variazione del flusso è a prima vista sorprendente Nel suo articolo sulla relatività ristretta del 1905 Einstein discute questo aspetto e lo utilizza per mostrare l'esigenza dell'unificazione dei campi E e B in un'unica grandezza fisica Sono la relatività ristretta e il concetto di campo indipendente dai dettagli della sorgente che unificano i tre esperimenti La relatività ristretta non era nota a Faraday Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 213

32 L'equazione del rotore di E Consideriamo adesso una curva chiusa C e stazionaria in un sistema inerziale S In questo sistema consideriamo una superficie A delimitata da C anch'essa stazionaria In S sia presente un campo magnetico B(x,y,z,t) dipendente dal tempo La legge di Faraday ci dice che Utilizziamo il teorema di Stokes per il primo membro Ricordiamo che sia la curva C che la superficie A sono stazionarie La curva C (e quindi la superficie A) sono arbitrarie; pertanto Legge di Faraday (differenziale) È la terza equazione di Maxwell Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 214

33 Potenziale scalare e potenziale vettore Vogliamo adesso trovare la relazione fra il campo elettrico e i potenziali nel caso di campi variabili nel tempo Ricordiamo l equazione di Maxwell appena trovata Ricordiamo inoltre che è sempre vero che È pertanto possibile introdurre il potenziale vettore anche in elettrodinamica Introduciamo questa relazione nella legge di Faraday Abbiamo pertanto trovato una combinazione di campi a rotore nullo È il gradiente di un campo scalare Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 215

34 Variazione del flusso Nella derivazione precedente abbiamo mantenuto costante la superficie A Calcoliamo la variazione del flusso nel caso generale La superficie cambia (ad esempio la curva C si muove) Il campo magnetico dipende dal tempo Estende il calcolo della diapositiva al caso in cui B dipende dal tempo Calcoliamo il rapporto incrementale di secondo ordine in Δt, trascurabile Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 216

35 The picture can't be displayed. Variazione del flusso Abbiamo pertanto Il secondo termine è stato calcolato nella diapositiva Infine Dal confronto con Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 217

36 Variazione del flusso La forza elettromotrice è pertanto Il primo termine dice che un campo magnetico variabile nel tempo induce una forza elettromotrice Un campo magnetico variabile induce un campo elettrico La forza elettromotrice collegata è detta "da induzione" Il secondo termine dice che la forza di Lorentz può generare una forza elettromotrice Una forza elettromotrice "da movimento": campo elettromotore v B Il fatto che la derivata totale del flusso descriva e in qualche modo unifichi due fenomeni fisici tanto diversi è un fatto notevole Va inoltre notato il fatto che la forza di Lorentz e la velocità della luce facevano pensare all'esistenza di un sistema di riferimento assoluto Legato al concetto di etere Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 218

37 Variazione del flusso Facciamo adesso una osservazione interessante Consideriamo l espressione della forza elettromotrice Elaboriamo il primo integrale Utilizziamo il teorema di Stokes Inserendo nella prima equazione fem di movimento fem induttiva: componente induttiva di E Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 219

38 Variazione del flusso Vale la pena notare che il secondo termine della formula permette di risolvere problemi per i quali non è immediato o possibile parlare di variazione di flusso In generale questo diventa difficile se non impossibile quando non esiste un circuito chiaramente definito Si consideri ad esempio il sistema (disco di raggio a) Inventato da Faraday e discusso in molti testi fra i quali Griffiths ex 7.4 e Feynman 17-2 Il circuito in movimento è il disco ed è evidente che il flusso è costante Tuttavia si sviluppa una forza elettromotrice come si può vedere utilizzando il campo elettromotore ( o la forza di Lorentz F m ) Naturalmente questo problema ha un'ambiguità nella definizione della curva C per la definizione del circuito nella parte del disco Occorrerebbe un modello per la conduzione Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 220