La cinematica Inversa ed il Jacobiano
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- Simona Venturi
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1 La cinematica Inversa ed i Jacobiano ro. Aberto Borghese N.B.: I diritto di scaricare questo ie è riservato soamente agi studenti regoarmente iscritti a corso di Robotica ed Animaione Digitae. A.A. 8-9 /36 Riassunto I Jacobiano I sistemi ineari Determinaione dei parametri iberi A.A. 8-9 /36
2 e Souione diereniae Consideriamo a trasormaione joint -> end_point. Abs e e (t ((t, (t, Τ (t, Τ (t, e e e (t O Δ e ABS_ABS (t Abs A(t cos( ( t ( t cos ( t ( t sin ( ( t ( t sin ( t ( t Dobbiamo trovare i proii temporai dei parametri iberi: (t *(,, e (t E una orma compessa, non ineare. Non è possibie invertire a reaione utiiando agebra matriciae o orme anaitiche. Cosa si può are? Lineariare! A.A /36 Cinematica inversa e O Δ e Viene deinita a traiettoria de end-point. Occorre cacoare e rotaioni (i movimenti dei joint. Lo spostamento viene suddiviso in tanti piccoi spostamenti, per ogni spostamento eementare si cacoa a variaione angoare richiesta per tutti i joint. A.A /36
3 Lineariaione variabie ( d d d d d d d d Δ d (, Sviuppo di aor arrestato a primo ordine ineariaione Lo sviuppo di aor vae ne intorno di (o,o. Si ottiene un approssimaione a meno di ininitesimi de secondo ordine. Cosa succede per unioni di più variabii ( (t ((t, (t, Τ (t, Τ (t,? A.A /36 Sviuppo in serie di aor di unioni di più variabii (, o d d d d arte ineare A.A /37 3
4 4 Sistema di equaioni ineari Consideriamo a trasormaione diretta joint -> end_point. (t ((t, (t, Τ (t, Τ (t,. (t ((t, (t, Τ (t, Τ (t,. (t ((t, (t, Τ (t, Τ (t,. (t ( (t (t Τ (t Τ (t Chiamiamo [ κ, κ, Τ, Τ ] i vaore dei parametri ib i i t t t (t ((t, (t, Τ (t, Τ (t,. iberi a istante t. ( ( ( ( ( ( ( ( A.A /36 ( ( ( ( I Jacobiano Consideriamo a trasormaione diretta joint -> end_point. (t ((t, (t, Τ (t, Τ (t,. (t ((t, (t, Τ (t, Τ (t,. (t ((t, (t, Τ (t, Τ (t,. J (t ((t, (t, Τ (t, Τ (t,. Chiamiamo [ κ, κ, Τ, Τ ] i vaore dei parametri iberi a istante t. J A.A /36
5 5 Caratteristiche de Jacobiano ( ( ( ( A.A /36 Contiene e derivate pariai di rispetto a tutti i parametri iberi. Le derivate sono cacoate ne punto di avoro. L espressione anaitica di J vae vaore dei parametri iberi, ma i vaore assunto da J varia in unione dei parametri iberi. Come vengono trattate e veocità V J Θ & Dividendo entrambi i membri per Δt si ottiene: Cinematica de End-eector V J Θ Cinematica dei Joint A.A. 8-9 /36 Eemento chiave è i Jacobiano, J. Contiene e derivate pariai di rispetto a tutti i parametri iberi. Le derivate sono cacoate ne punto di avoro. L espressione anaitica di J vae vaore dei parametri iberi, ma i vaore assunto da J varia in unione dei parametri iberi.
6 6 Jacobiano e veocità d e (t J((t, L d(t d e (t / dt J((t, L d(t / dt Chiamiamo (t [A((t (t (t (t ] i aore dei Chiamiamo (t [A((t, (t, (t, (t ] i vaore dei parametri iberi a istante t. (t, ( ( J t V & L e (t A.A. 8-9 /36 arametri iberi arametri geometrici, cambia i vaore di J, espressione anaitica rimane vaida. Osservaioni su Jacobiano Δ e (t J((t, LΔ(t Chiamiamo (t [A((t (t (t (t ] i vaore dei /37 A.A. 8-9 Chiamiamo (t [A((t, (t, (t, (t ] i vaore dei parametri iberi a istante di tempo E un equaione ae dierene (matriciae ineare dao spaio dei parmetri iberi a queo de end-point: Δ(t -> Δ e (t Siamo ancora ne dominio dea cinematica diretta!
7 Riassunto I Jacobiano I sistemi ineari Determinaione dei parametri iberi A.A /37 Esempio di determinaione de Jacobiano v (9-θ.(, θ V ωλr Sono due espressioni equivaenti r cos(θ r sin(θ & ϑ v & ϑ r sinϑ & r ϑ cos ϑ ϑ V J θθ Θ & ϑ ϑ & ϑ V J Θ & A.A /36 7
8 Esempio di determinaione de Jacobiano ϑ & v (9-θ v.(, & ϑ r sinϑ & r ϑ cos ϑ ϑ ϑ θ & ϑ ϑ & θ V -r sin( ϑ & V r cos( ϑ & r ϑ & i r V ωλr V & ϑ j rϑ & A.A /37 Esempio di determinaione de Jacobiano ϑ & v (9-θ v.(, & ϑ r sinϑ & r ϑ cos ϑ ϑ ϑ & ϑ ϑ & θ V -r sin(θ ϑ & V r cos(θ ϑ & V ωλr V i j & ϑ r cosϑ r sinϑ r sin( ϑ & ϑ r cos( ϑ & ϑ A.A /37 8
9 Cinematica diretta e O _ABS ABS_ABS A _L e ( cos cos sin sin ( cos sin sin cos end eector O X Y Z root A.A /36 ABS_ABS e A I Jacobiano de esempio cos sin ( sin( cos( ( cos( sin( cos sin J(,L sin cos cos sin sin sin cos cos cos sin sin cos sin cos cos sin sin cos sin( sin( sin cos( cos( cos A.A /36 9
10 Esempio di cacoo deo spostamento I J(,L O e e cos cos( cos( sin sin( sin( end eector Caso particoare: [,, o, o ] A.A /36 root o J(,L Z X Y Esempio di cacoo deo spostamento II O e e Caso particoare: J(,L end eector J Δ Δ, ( L e (t ( ( A.A. 8-9 /36 root o ( ( ( ( ( Δ Δ ( a Z X Y
11 Caso sempiicato Eimino gradi di ibertà: e. e O _ABS ABS_ABS A _L e ( cos cos sin sin ( cos sin sin cos X Y A.A. 8-9 Z La radice non si sposta rispetto a sistema di rierimento assouto. /37 I Jacobiano de esempio sempiicato ABS_ABS e ( cos cos sin sin ( cos sin sin cos J(,L sin( cos( sin( sin cos( cos A.A. 8-9 /37
12 Non tutti gi spostamenti sono possibii J(,L sin( cos( sin( sin cos( cos Caso particoare: [, ] J(,L ( ( ( ( ( Δa ( Δ ( Δ J ( (t, L Δ e e e o O root Y end eector X Z A.A. 8-9 E possibie spostarsi soamente in direione perpendicoare a braccio (ungo a 3/37 perpendicoare a braccio per Souione diretta oring space 3 Spaio di avoro: A.A. 8-9 L L L L 4/37 ossibii coniguraioni: - nessuna souione. - due souioni. 3 - una souione.
13 Riassunto I Jacobiano I sistemi ineari Determinaione dei parametri iberi A.A /37 I Jacobiano de esempio sempiicato: determinante ABS_ABS e cos( cos sin ( sin Consideriamo i caso piano (, e e coordinate non omogenee. sin( J(,L cos( Oend eector sin( sin cos( cos Determinante J (, L sin( cos( sin( cos( o sin( cos( sin cos( o J (, L o sin( cos( o sin cos( A.A. 8-9 root 6/37 3
14 Condiioni di singoarità J (, L sin( cos( sin( cos( o sin( cos( sin cos( o J (, L o sin( cos( o sin cos( Oend eector J ± 8 ± 8 ± 8 ± 8 Determinante J 9 ± 8 9 ± 8 ± 8 9 ± 8 A.A. 8-9 root In generae, ± 8. Deinisce a rontiera deo spaio di avoro 7/37 Inverso de Jacobiano de esempio sempiicato Caso particoare: 45 - sin( sin( sin J(,L cos( cos( cos Oend eector J, L sin( cos( sin cos( ( o o J - (,L J (, L cos( cos cos( sin( sin sin( A.A. 8-9 root 8/37 4
15 5 I Jacobiano: determinante caso particoare e ABS_ABS sin sin ( cos cos( i Caso particoare: 45 - Consideriamo i caso piano e in 9/37 A.A. 8-9 J(,L J([45,45],[,] det(j cos cos( cos( sin sin( sin( Inverso de Jacobiano: caso particoare Caso particoare: 45 - J - (,L sin( cos( sin sin( cos cos(, ( L J in ( (, ( cos( sin cos( sin(, ( L J o o 3/37 A.A. 8-9 J - ([45, 45],[,]
16 Situaione de movimento [ ( ] osiione iniiae de braccio: ; Angoi iniiai: [45, 45] [ ] osiione inae desiderata de braccio: Spostamento desiderato de braccio: ; ; Angoi inai de braccio: [9, ] [ ] osiione inae raggiunta: Spostamento de braccio:??? A.A /37 Δ Δ Cacoo di [d, d] radianti gradi Caso particoare: 45 - d [-, ] in in [45 8.8; ] [6.8; -.958] osiione iniiae: [ ; ] e osiione inae ottenuta: [.49;.45] cos( cos *(.45 * sin ( sin *.954 *(.3.45 A.A /37 6
17 Situaione de movimento osiione iniiae de braccio: osiione inae desiderata de braccio: osiione i inae desiderata de avambraccio: Spostamento desiderato de braccio: [ ; ( ] [ ; ] [ ;] [ ; ] osiione raggiunta da braccio: osiione raggiunta da avambraccio: [.49;.45] [.954;.459] Spostamento eettuato de braccio: [.49 ;.45 ] A.A /37 Rappresentaione graica Root osiione iniiae osiione inae osiione desiderata end_point A.A /37 7
18 Veriica dea souione ΔX ΔY Δ J Δ J([45,45],[,] radianti in Spostamento desiderato de braccio Caso particoare: 45 - d [-, ] A.A /37 Caso indeterminato J(,L sin( cos( sin( sin cos( cos Caso particoare: [, ] J([,],[,] ( ( J Sistema indeterminato Δ J ( (t, L Δ e e e O root end eector X - o Y Z - - ( - A.A /37 [(- ] / -( 8
19 Riassunto I Jacobiano I sistemi ineari Determinaione dei parametri iberi A.A /37 9
La cinematica Inversa
La cinematica Inversa ro. Alberto Borghese N.B.: Il diritto di scaricare questo ile è riservato solamente agli studenti regolarmente iscritti al corso di Animaione Digitale. A.A. 4-5 /34 Riassunto La cinematica
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