Cinematica degli scheletri

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Leone Marrone
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1 Cinmatica dgi schti Coso di Ratà Vitua Laua Magista in Infomatica Univsità dgi Studi di Miano Pof. Abto Boghs Laboatoio di Appid Intignt Sstms (Ais-Lab) Dipatimnto di Infomatica A.A /38 Riassunto Da nd-ffcto aa bas. ssvazioni su matici di tasfomazion. La cinmatica ditta. Intoduzion aa cinmatica invsa. A.A /38

2 Cinmatica di uno schto Cuv di animazion associat ai gadi di ibtà. A.A /38 Cinmatica ditta Conosco i vao di joint (angoo o offst) posizion d ointamnto d nd-point. La cinmatica vin dscitta com squnza di posizioni. A.A /38 2

3 Convnzioni P P P = z P P P nd ffcto P = A P Fam di ifimnto d punto asfomazion d fam n fam Spsso si numa da - A.A /38 Posizion di sgmnti (I) P =[ ] Punto spsso n fam d nd-ffcto. nd ffcto asfomiamo P fino ad spimo n sistma di ifimnto assouto : abs P. A.A /38 3

4 Posizion di sgmnti (II) P =[ ] P_L P= P_ A P = [,,, ] P nd ffcto A.A P_ A = 7/38 Posizion di sgmnti (III) P =[ ] P P_L P_ P= A P_L P_ P = cos sin nd ffcto A.A P_ P_ A = cos sin 8/38 sin cos 4

5 Posizion di sgmnti (IV) P =[ ] P P_L P= A P_L P = P_L P = P_ P_ cos sin cos sin nd ffcto P A.A P_ P_ A = 9/38 Posizion di sgmnti (V) P = [ ] P_ABS P_ABS P= P_A P_L P = ( cos ( cos )cos sin sin )sin sin cos P cos ( ) cos sin ( ) sin nd ffcto A.A P_ABS P_ P A= cos( ) sin( ) /38 sin( ) cos( ) cos sin P_L P = 5

6 6 /38 A.A Posizion di sgmnti (VI) A = P P =[ ] nd ffcto P P_ABS P = P= A P_ABS P = P_ABS P_ABS sin ) sin ( cos ) cos ( sin ) sin ( cos ) cos ( 2/38 A.A Posizion di sgmnti: fattoizzazion A = sin sin cos sin cos cos sin cos P P =[ ] P P= A P = sin ) sin ( cos ) cos (

7 Esmpio di cacoo da posizion nd ffcto = = cos ( ) cos P= sin ( ) sin A.A /38 Riassunto Da nd-ffcto aa bas. ssvazioni su matici di tasfomazion. La cinmatica ditta. Intoduzion aa cinmatica invsa. A.A /38 7

8 Da nd-ffcto aa bas I movimnto d nd ffcto vin spsso in funzion da gomtia (unghzz di sgmnti) di paamti ibi (otazion di vai sgmnti posizion da adic). L otazioni vngono dfinit in un sistma di ifimnto oca. P ottn a tasfomazion d coodinat d nd-ffcto da sistma oca a sistma goba occo. P = [ P_ABSA A A A A ] P P_ABS P_ P_ P_ P_ P_ P_ fattoizza matici di tasfomazion. A = P_ABSA P_ABS A P_ P_ A P_ P_ P_ P_ A A 5/38 A.A ssvazioni su matici di tasfomazion, A I numo di matici di tasfomazion concatnat csc spostandosi da nd-ffcto aa bas. A è funzion di: Gomtia Paamti ibi P = [ P_ABSA P_ABS A P_ A P_ P_ A P_ P_ P_ A ] P Ciascuna tasfomazion è funzion o di un paamto gomtico o di un paamto cinmatico. P = [ P_ABS A() P_ABS P_A( ) P_ P_ P_ P_ A( ) A() A( ) ] P_ P A.A cos sin cos cos sin sin 6/38 cos sin P P o P nd ffcto 8

9 Quant matici di tasfomazion? Ad ogni gado di ibtà è associata una tasfomazion. Ad ogni ink saà associata una tasfomazion. Ci saanno tant matici quanti sono i gadi di ibtà ink. Notazion moto gna (appoccio costuttivo). Notazion poissa. A.A /38 Riassunto Da nd-ffcto aa bas. ssvazioni su matici di tasfomazion. La cinmatica ditta. Intoduzion aa cinmatica invsa. A.A /38 9

10 La cinmatica ditta Data una squnza tmpoa di angoi, è univocamnt dtminato o spostamnto ci ciascun punto do schto. La pocdua di cacoo è squnzia scondo a gachia di joint, daa bas a nd-ffcto. P P nd ffcto A.A /38 P o Com anima uno schto Data a squnza di angoi (ativi) è possibi dtmina istant p istant a posizion d baccio obotico. Basta appica matici di tasfomazion a pati daa adic con i paamti aggionati. Concatnazion di tasfomazioni (stack). La notazion obotica di Dnavit-Hatnbg è concisa pciò paticoamnt appzzabi. Pché non si utiizzano gi angoi di otazion assouti? Si potbbo utiizza? A.A /38

11 Joint spac (pso di joint) P P P A.A zs P o Rotazion attono a P o (angoo ) La posizion d nd ffcto è divsa a paità di otazion. 2/38 Rotazion attono a P (angoo ) Dscizion cinmatica ditta (foma maticia) P P nd ffcto cos ( ) cos P= sin ( ) sin P(t) = A(t) P P o P (t) = f ((t), (t), (t), (t), ) P (t) = f ((t), (t), (t), (t), ) P z (t) = f z ((t), (t), (t), (t), ) A.A /38

12 Dscizion cinmatica ditta A.A P P o cos ( ) cos P= sin ( ) sin nd ffcto P cos ( ( t) ( t)) cos ( t) ( t) P(t) = sin ( ( t) ( t)) sin ( t) ( t) P(t) = f((t), (t), (t), (t), ) Squnza tmpoa di [(t), (t), (t), (t) ] squnza tmpoa 23/38 di P(t). Riassunto Da nd-ffcto aa bas. ssvazioni su matici di tasfomazion. La cinmatica ditta. Intoduzion aa cinmatica invsa. A.A /38 2

La cinmatica invsa Daa posizion ( ointamnto) di nd-point agi angoi. A.A. 27-28 Pobma sotto-dtminato (ov-constaind). Compotamnto stotipato.

13 La cinmatica invsa Daa posizion ( ointamnto) di nd-point agi angoi. A.A Pobma sotto-dtminato (ov-constaind). Compotamnto stotipato. Pché? 25/38 Cni 3D Figua 4.7. souzioni NB: gi umani n scgono una soa. A.A Cacoo a cinmatica invsa com squnza di posizioni. 26/38 3

14 Souzion diffnzia Considiamo a tasfomazion joint -> nd_point. P(t) = f((t), (t), (t), (t), ). DP P P cos ( ( t) ( t)) cos ( t) ( t) P(t) = sin ( ( t) ( t)) sin ( t) ( t) A.A /38 Dscizion cinmatica ditta (foma maticia) P(t) = A(t) P P (t) = f ((t), (t), (t), (t), ) P (t) = f ((t), (t), (t), (t), ) P z (t) = f z ((t), (t), (t), (t), ) Ciascuna di qust funzioni è appsntata com podotto di una iga da matic A p P. A.A /38 4

15 Souzion diffnzia Considiamo a tasfomazion joint -> nd_point. Abs P (t) = f((t), (t), (t), (t), ) = P (t) Abs A(t) P DP P(t) = Dobbiamo tova i pofii tmpoai di paamti ibi: (t) = f*(,,p (t)) cos ( ( t) ( t)) cos ( t) ( t) sin ( ( t) ( t)) sin ( t) ( t) P E una foma compssa, non ina. Non è possibi invti a azion utiizzando agba maticia o fom anaitich. Cosa si può fa? Linaizza! A.A /38 Cinmatica invsa DP Vin dfinita a taittoia d nd-point. cco cacoa otazioni (i movimnti) di joint. P P Lo spostamnto vin suddiviso in tanti piccoi spostamnti, p ogni spostamnto mnta si cacoa a vaiazion angoa ichista p tutti i joint. A.A /38 5

16 Linaizzazion vaiabi = f( ) d d d d d 2 d d 2 2 d D d 2... P(, ) Sviuppo di ao astato a pimo odin = inaizzazion Lo sviuppo di ao va n intono di P(o,o). Si ottin un appossimazion a mno di infinitsimi d scondo odin. Cosa succd p funzioni di più vaiabii ( P(t) = f((t), (t), (t), (t), ))? 3/38 A.A Sviuppo in si di ao di funzioni di più vaiabii z = f(,) z z o z PP z d PP 2 z d z z d 2 d 2 2 PP PP PP... Pat ina A.A /38 6

17 Sistma di quazioni inai Considiamo a tasfomazion ditta joint -> nd_point. P(t) = f((t), (t), (t), (t), ). P (t) = f ((t), (t), (t), (t), ). P (t) = f ((t), (t), (t), (t), ). P z (t) = f z ((t), (t), (t), (t), ). Chiamiamo W k = [ k, k, k, k ] i vao di paamti ibi a istant t k. P P z k P P k P P zk f (.) f (.) f z (.) f (.) f (.) f (.) k f (.) f (.) f (.) k f z (.) f z (.) f z (.) k k k k k k k k k k A.A /38 Caattistich da cinmatica invsa Souzion di quazioni non-inai. Wokspac (spazio n qua si può posiziona nd-ffcto). Dtous wokspac. Spazio n qua si può posiziona ndffcto con un quasiasi ointamnto. C.N. P pot aggiung una quasiasi posizion d ointamnto no spazio di avoo, è ch i numo di gadi di ibtà di sgmnti d baccio obotico sia amno ugua a numo di gadi di ibtà d nd-point. Souzion gomtica od anaitica compssa da dtmina. A.A /38 7

18 Souzion ditta Woking spac P P 3 P 2 Spazio di avoo: A.A L L2 P 35/38 L L 2 Possibii configuazioni: P - nssuna souzion. P 2 - du souzioni. P 3 - una souzion. Souzion ditta (cacoo) - I q 2 L= Dato, dvo dtmina q q2 Equazioni non-inai in [, L L2] E un pobma di tigonomtia! 2 2 Cacoo L = oma di Canot p cacoa cos(8-q 2) : cos( 8 2) ( L L2 L ) /(2L L2 ) A.A /38 8

19 Souzion ditta (cacoo) - II q 2 L= Dato, dvo dtmina q q2 Equazioni non-inai in [, L L2] Cacoo di cosq : 2 2 oma di Canot p cacoa cos(q q : L cos( ) / R ) ( L L L2 ) /(2L L) cos( q qr q A.A /38 Riassunto Da nd-ffcto aa bas. ssvazioni su matici di tasfomazion. La cinmatica ditta. Intoduzion aa cinmatica invsa. A.A /38 9

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