ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2009

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1 Sssion odinaia 8 9 lico di odinamnto ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 9 Il candidato isolva uno di du poblmi 5 di qusiti sclti nl qustionaio. PROBLEMA E assnato il stto cicola AOB di aio ampizza sono misuati ispttivamnt in mti adianti.. Si povi ch l aa S compsa fa l aco la coda AB è con spssa in funzion di da S sin [ π ]. Si studi com vaia S s n disni il afico avndo posto.. Si fissi l aa dl stto AOB pai a m. Si tovi il valo di p il qual è minimo il pimto di AOB si spima il coispondnt valo di in adi sssasimali è sufficint l appossimazion al ado. π 4. Sia. Il stto AOB è la bas di un solido W l cui szioni ottnut con piani otoonali ad OB sono tutt quadati. Si calcoli il volum di W. PROBLEMA Nl piano ifito a coodinat catsian otoonali monomtich si tacci il afico Gf dlla funzion f lo loaitmo natual.. Sia A il punto d'intszion con l ass y dlla tannt a Gf in un suo punto P. Sia B il punto d intszion con l ass y dlla paallla p P all ass. Si dimosti ch qualsiasi sia P il smnto AB ha lunhzza costant. Val la stssa popità p il afico G dlla funzion lo con a al positivo divso da? a. Sia δ l inclinazion sull ass dlla tta tannt a G nl suo punto di ascissa. P qual valo dlla bas a è δ 45? E p qual valo di a è δ 5?. Sia D la ion dl pimo quadant ditata dali assi coodinati da Gf dalla tta d quazion y. Si calcoli l aa di D. 4. Si calcoli il volum dl solido nato da D nlla otazion complta attono alla tta di quazion.

2 Sssion odinaia 8 9 lico di odinamnto QUESTIONARIO. Si tovi la funzion f la cui divata è sin il cui afico passa p il punto.. Sono dati li insimi A { 4 } B { a b c} B c n sono di suittiv? Di inittiv? Di biittiv? Ta l possibili applicazioni o funzioni di A in. P qual o quali valoi di k la cuva d quazion y k 4 ha una sola tannt oizzontal? 4. Esist solo un polido ola l cui facc sono saoni. Si dica s qusta affmazion è va o falsa si fonisca una sauint spiazion dlla isposta. 5. Si considino l sunti spssioni: ; ; ; A quali di ss è possibil attibui un valo numico? Si motivi la isposta. 6. Si calcoli: n n n k 7. Si dimosti l idntità con n k natuali n > k. k k k 8. Si povi ch l quazion: ha una sola adic compsa fa Ni Discosi dimostazioni matmatich intono a du nuov scinz Galilo Galili dsciv la costuzion di un solido ch chiama scodlla considando una smisfa di aio il cilindo ad ssa cicoscitto. La scodlla si ottin tolindo la smisfa dal cilindo. Si dimosti utilizzando il pincipio di Cavalii ch la scodlla ha volum pai al cono di vtic V in fiua.. Si dtmini il piodo dlla funzion f cos5 Duata massima dlla pova: 6 o. È consntito l uso dlla calcolatic non poammabil. Non è consntito lascia l Istituto pima ch siano tascos o dalla dttatua dl tma.

3 Sssion odinaia 8 9 lico di odinamnto PROBLEMA E assnato il stto cicola AOB di aio ampizza sono misuati ispttivamnt in mti adianti. Punto Si povi ch l aa S compsa fa l aco la coda AB è con spssa in funzion di da S sin [ π ] Indichiamo con: S AOB l aa dl stto cicola AO B di aio d ampizza ;.. AOB S l aa dl tianolo isoscl AOB di lati AO OB d anolo ta ssi Diffnziamo i casi in cui l ampizza dl stto cicola è un anolo concavo o convsso. a. Anolo convsso π : in tal caso l aa S S AOB S AOB ; π π S S AOB S AOB. b. Anolo concavo : in tal caso l aa L aa di un stto cicola di aio d ampizza è S AOB mnt l aa dl tianolo AOB conoscndo du lati l anolo compso è pai a sin s π S AOB. sin π sin s π π Quindi S S S S AOB S AOB S AOB con [ π ]. sin sin s π S s π π s π S s π π sin sin sin s π s π π sin

4 Sssion odinaia 8 9 lico di odinamnto Punto Si studi com vaia S s n disni il afico avndo posto. La funzion da studia è S sin in [ π ] Dominio: [ π ]. Intszion ass dll asciss: l quazion sin funzion S [ sin ] è stttamnt cscnt in π S'. [ cos ] Intszion ass dll odinat: ha un unica soluzion. Infatti la in quanto la sua divata è Positività: la funzion è positiva in tutto il dominio in quanto la funzion è stttamnt cscnt S S π π > ; in alto modo la bisttic dl pimo tzo quadant di quazion y sta smp al di sopa dlla funzion y sin Asintoti vticali: non sistono visto il dominio dlla funzion Asintoti oizzontal: non ha snso calcolali in quanto il dominio di studio è itato Asintoti obliqui: non ha snso calcolali in quanto il dominio di studio è itato Cscnza dcscnza: S' [ cos ] π si annulla in π assoluto. p cui la funzion è stttamnt cscnt in. Inolt è un minimo assoluto π π è un massimo sin Flssi: S '' p cui in π la funzion vol la concavità vso l alto in π π il basso p cui π π è flsso a tannt obliqua. Il afico è sotto psntato: vso 4

5 Sssion odinaia 8 9 lico di odinamnto Punto Si fissi l aa dl stto AOB pai a m. Si tovi il valo di p il qual è minimo il pimto di AOB si spima il coispondnt valo di in adi sssasimali è sufficint l appossimazion al ado. L aa dl stto AO B è S AOB. Il pimto dl stto OB p cui imponndo S AOB A è p. Poiché [ π ] si icava si ha ch. Cchmo il pimto minimo mdiant lo studio dlla divata. La divata pima di π p è p' ch è stttamnt dcscnt in π 4 cscnt in. Inolt la divata sconda è p '' '' > stttamnt p p cui si ha il 5 pimto minimo p. Altnativamnt il pimto p è spsso com somma di du numi positivi a podotto costant 4 p cui sso è minimo quando i du addndi coincidono quindi quando da cui ± scatando la soluzion nativa si itova ch il pimto è minimo p π 8 In coispondnza si ha [ ad ] da cui [ ad] π [ ad ] Punto 4 π Sia. Il stto AOB è la bas di un solido W l cui szioni ottnut con piani otoonali ad OB sono tutt quadati. Si calcoli il volum di W. Rappsntiamo il stto cicola in un sistma di ifimnto con oiin coincidnt con O π aio OB sull ass dll asciss. In qusto caso la tta OA ha quazion y tan p [ ] ; l aco di stto cicola saà appsntato da il lato dl quadato szion è y 4 p [ ]. In qusto modo s L cui coispond l aa dl quadato 4 s 5

6 Sssion odinaia 8 9 lico di odinamnto 6 s 4 s L A. Il volum saà alloa pai alla somma di du volumtti componnti cioè [ ] d d V PROBLEMA Nl piano ifito a coodinat catsian otoonali monomtich si tacci il afico Gf dlla funzion f lo loaitmo natual Punto Sia A il punto d'intszion con l ass y dlla tannt a Gf in un suo punto P. Sia B il punto d intszion con l ass y dlla paallla p P all ass. Si dimosti ch qualsiasi sia P il

7 Sssion odinaia 8 9 lico di odinamnto smnto AB ha lunhzza costant. Val la stssa popità p il afico G dlla funzion lo con a al positivo divso da? a Un nico punto P appatnnt alla cuva di quazion f lo ha coodinat P t ln t tannt a f in P t ln t ha quazion y m t ln t t. La con m f ' t p cui l quazion t dlla tannt è y t ln t. Di consunza l coodinat di A sono ln t A mnt l coodinat di B sono B ln t. Il smnto AB ha lunhzza AB ln ln t costant al vaia di P t ln t S lo. ln t a il punto P ha coodinat P t ln a m ' t ln at ln t ln t A B ln a ln a da cui y t p cui ln t ln t ln a ln a la tannt è y m t t d è ln t con ln a ln t. Quindi i punti A B avanno coodinat ln a t ln a AB : anch in tal caso al vaia di ln a a > a il smnto AB ha lunhzza costant ch dipnd da a. Punto Sia δ l inclinazion sull ass dlla tta tannt a G nl suo punto di ascissa. P qual valo dlla bas a è δ 45? E p qual valo di a è δ 5? La tta tannt a G nl suo punto di ascissa ha quazion anola è y p cui il cofficint ln a m. Il valo di a > a p cui la tta tannt ha inclinazion δ 45 si ln a icava imponndo ch il cofficint anola ln a a. m ln a sia pai a tan 45 cioè Il valo di a > a p cui la tta tannt ha inclinazion δ 5 si icava imponndo ch il cofficint anola m sia pai a tan 5 cioè ln a a. ln a Punto Sia D la ion dl pimo quadant ditata dali assi coodinati da Gf dalla tta d quazion y. Si calcoli l aa di D. 7

8 Sssion odinaia 8 9 lico di odinamnto La tta di quazion y intsca la cuva loaitmica f lo in è appsntata in iio chiao nlla fiua sunt:. L aa da calcola Tal aa è calcolabil com diffnza ta l aa dl ttanolo di altzza unitaia bas l aa in iio scuo sottsa dalla cuva loaitmica in [ ] l intazion p pati si ha S [ ln ] [ ]. Cioè S ln d. Attavso Altnativamnt si puo calcola l aa ichista utilizzando l invsa dlla f lo y y y y p cui S dy [ ].. cioè Punto 4 Si calcoli il volum dl solido nato da D nlla otazion complta attono alla tta d quazion. X in Y y in X. Il tal modo nl nuovo sistma di ifimnto Effttuiamo innanzitutto una taslazion di vtto v cioè una tasfomazion modo da pota la tta di quazion X Y la cuva loaitmica avà quazion Y lo X sunt:. Di consunza la ion D divnta la 8

9 Sssion odinaia 8 9 lico di odinamnto Il volum ch scatuisc dalla otazion dlla ion D intono all ass dll odinat di quazion X è data dalla otazion di D R cui va sottatto il volum dovuto alla otazion dl ttanolo R. La otazion dl ttanolo R poduc un cilindo di altzza aio di bas unitaio cui coispond un volum pai a π. La funzion lo X Y ha com invsa la funzion X Y p cui il volum ottnuto uotando la ion di piano D R intono all ass dll Y Y Y Y Y 4 odinat è V D R π dy π dy π Y π p cui D D R R V V V π π π. QUESTIONARIO Qusito Si tovi la funzion f la cui divata è sin il cui afico passa p il punto. La funzion f è la pimitiva di sin passant p. In paticola d cos c f sin d imponndo il passaio p si icava c da cui f cos Qusito Sono dati li insimi A { 4 } B { a b c} Ta l possibili applicazioni o funzioni di A in B c n sono di suittiv? Di inittiv? Di biittiv? Pché una lazion binaia da A a B sia una funzion è ncssaio sufficint ch ad oni lmnto di A coisponda uno d un solo lmnto di B. Una funzion f : A B si dic suittiva quando oni lmnto dl codominio B è immain di almno un lmnto di A. Una funzion f : A B si dic inittiva quando oni lmnto di B è immain al più di un lmnto di A. Una funzion f : A B si dic biittiva quando è sia inittiva ch suittiva cioè quando ciascun lmnto di B è immain di sattamnt un lmnto di A. Poiché A ha 4 lmnti B ha lmnti cioè CadA>CadB non possono sist funzioni inittiv da A a B quindi nppu biittiv. Invc sistono funzioni suittiv da A a B: basta patiziona l insim A in pati qusto lo si può fa solo s uno di t sottoinsimi ch costituiscono la patizion ha lmnti ciascuno 9

10 Sssion odinaia 8 9 lico di odinamnto dli alti du ha lmnto associa li lmnti in mania tal ch qulli appatnnti allo stsso sottoinsim dlla patizion abbiano la stssa immain. Ad smpio s scliamo la sunt patizion di A: A {} A {} A {4} possiamo dfini una funzion f : A B nl modo sunt: ffa fb f4c ma potvamo falo anch in alto modo pcisamnt in!6 modi pmutando li lmnti dll insim B lasciando pò la condizion ch ff. Qusto sinifica ch ci sono 6 funzioni suittiv p oni patizion dll insim A in pati. P chi conosc i numi di Stilin di sconda spci il numo dll patizioni di un insim di 4 lmnti in t pati è S46 da cui si dduc ch tutt l possibili funzioni suittiv da A a B distint sono in total 6. Pò anch p chi non conoscss i numi di Stilin di sconda spci è facil convincsi ch l patizioni di A in t pati sono popio 6 basta lncal o anch più smplicmnt ossvando ch onuna di ss si può tova individuando i du lmnti da abbina in modo ch ssi appatnano allo stsso sottoinsim dlla patizion li alti du siano lasciati da soli quindi il numo ichisto non è alto ch il numo di combinazioni C 4 cioè il numo di sottoinsimi di du lmnti 4 appatnnti ad un insim di quatto lmnti cioè il cofficint binomial 6. Ecco p stso l si patizioni dll insim A: { 4} { 4} { 4 } { 4} { 4 } { 4 }. Poiché non sistono funzioni inittiv alloa non sistono nmmno funzioni biittiv. Qusito P qual o quali valoi di k la cuva d quazion y k 4 ha una sola tannt oizzontal? I punti a tannt oizzontal sono i cosiddtti punti stazionai cioè i punti ch annullano la divata pima. La divata pima dlla cubica y k 4 è y ' k tal quazion ha un unica soluzion s il suo dlta si annulla cioè s Δ k 9 da cui k ±. L du cubich 4 coispondnti saanno y 4 y 4; in paticola y 4 psntà un flsso a tannt oizzontal in 5 mnt y 4 psntà un flsso a tannt oizzontal in. Qusito 4

11 Sssion odinaia 8 9 lico di odinamnto Esist solo un polido ola l cui facc sono saoni. Si dica s qusta affmazion è va o falsa si fonisca una sauint spiazion dlla isposta. L affmazion è falsa nl snso ch non sist alcun polido ola con facc saonali. La motivazion sulla impossibilità è la sunt: affinché un polido sia ola l facc dvono ss tutt conunti fa loo dvono ss polioni olai. Natualmnt anch i didi li anoloidi dvono ss tutti conunti ta loo. In paticola: dvono sist almno t facc ch confluiscono in ciascun vtic ch costituiscono un tido ma affinché l anoloid sia bn dfinito la somma dli anoli dll facc ch confluiscono nllo stsso vtic dv ss mino di un anolo io a mno ch il polido non sia concavo ma in tal caso non potà ss ola. Un anolo di un saono ola misua il tiplo di tal misua è popio 6 cioè l anolo io. P qusto motivo non possono sist polidi olai a facc saonali ovvo a facc polionali con più di si lati. Qusito 5 Si considino l sunti spssioni: ; ; ; A quali di ss è possibil attibui un valo numico? Si motivi la isposta. L unica spssion a cui è attibuibil un valo numico è L alt spssioni hanno sinificato solo nlla toia di iti. Sono fom indtminat possono assum valoi divsi a sconda dl tipo di funzion. La sconda può assum qualsiasi valo o può anch non sist la tza può assum valo smp com it di o infinito ma può anch non sist la quata è spsso otto di discussion ta i matmatici ma anch ssa può assum qualsiasi valo anch s itatamnt al campo di dfinizion dunqu dovbb ss assunta com positiva. Riccondo alla dfinizion di division com opazion invsa dlla moltiplicazion si ha: pché ; non ha un valo dfinito infatti p un qualsiasi numo k si ha k ; non ha un valo numico pché nssun numo moltiplicato p può da. Dal momnto ch abbiamo palato di iti diamo alcuni smpi di funzion con lativi iti ch si psntano nll fom dat:

12 Sssion odinaia 8 9 lico di odinamnto [ ] [ ]. lo lo lo u t s z h f Si ha f ma anch f f mnt pché it non sist pcisamnt il più ma mnt pché it non sist pcisamnt il più ma. sinisto dsto iti du i sistono mnt sist non u u u t s z h Qusito 6 Si calcoli: Il it ichisto si può calcola nl sunt modo. Ossviamo ch siamo in un intno di p cui icodando ch < s s sn il it ichisto è dato da Qusito 7

13 Sssion odinaia 8 9 lico di odinamnto n n n k Si dimosti l idntità con n k natuali n > k. k k k Il pimo mmbo dll uualianza val n k n! k! n k! dov n k n - k - sono numi natuali: infatti p l ipotsi n k. Vifichiamo ch anch l spssion a scondo n n k n! n k n! n k mmbo si può sciv nllo stsso modo. Infatti k k k! n k! k k! k n k n k n k! n k Oa k! k k! mnt! p cui l uualianza è dimostata.! n n k n! p cui k k k! n k!. Qusito 8 Si povi ch l quazion: ha una sola adic compsa fa. 9 La funzion f è un polinomio di ado dispai ch ha quindi almno una soluzion al. Dunqu possiamo dimosta facilmnt attavso lo studio dl sno dlla divata pima f ' ch ssa è stttamnt cscnt dunqu inittiva p cui l quazion data ha un unica soluzion al. Si ossva poi ch f 9 < f > p cui p il toma dli zi la funzion psnta un unico zo in. Qusito 9 Ni Discosi dimostazioni matmatich intono a du nuov scinz Galilo Galili dsciv la costuzion di un solido ch chiama scodlla considando una smisfa di aio il cilindo ad ssa cicoscitto. La scodlla si ottin tolindo la smisfa dal cilindo. Si dimosti utilizzando il pincipio di Cavalii ch la scodlla ha volum pai al cono di vtic V in fiua. Utilizziamo la fiua dl tsto considiamo l szioni di vai solidi con piani paallli all basi dl cilindo: alla bas di diamto AB la ciconfnza di diamto AB appatin intamnt sia al cono sia alla scodlla mnt la szion piana ch contin la bas dl cilindo di diamto CD ha in comun il punto V con il cono la ciconfnza con la scodlla d ntamb l fiu pian

14 Sssion odinaia 8 9 lico di odinamnto hanno aa nulla. Qusto ci aantisc ch il cono la scodlla sono bn posizionati com in fiua. Dimostiamo scondo Cavalii ch ad una nica altzza l szioni con lo stsso piano dlla scodlla dl cono sono quivalnti: chiamiamo R la misua dl aio dl cilindo dlla sfa. Chiamiamo O il cnto dl cchio di diamto AB. Ad una cta altzza h pndiamo il punto P intszion dl piano szion con il smnto VO con PO di lunhzza h considando una szion vtical dlla fiua chiamiamo Q l intszion con una natic dl cono T l intszion con un punto dlla sfa. In suito utilizzmo non h ma R-h. La szion dl cono isulta ss un cchio di aio PQ VP R h mnt la szion dlla scodlla isulta ss una coona cicola di aio maio R di aio mino ' R. L aa dlla szion dl cono è dunqu π mnt l aa dlla szion dlla scodlla è R ' π π R π' π. Qusito Si dtmini il piodo dlla funzion f cos5 Una funzion è piodica di piodo T s f f kt icodando ch il cosno è piodico di π π cioè 5 hπ 5 5kT. P h k si icava T. 5 Hanno collaboato Nicola D Rosa Luca Lussadi Anla D Amato Antonio Bnado con k Z. Nl caso in sam dv avsi cos 5 cos 5 h cos 5 5kT π 4