ESERCIZI DI MECCANICA QUANTISTICA

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1 Escizio ( Modlli atomici: da Thompson a Boh ) ESERCIZI DI MECCANICA QUANTISTICA B.Buonaua : ISIS ALBERTINI NOLA (NA) & GSF-AIF - Com, giustamnt affma Fanco Slli, l atomismo fc il suo o ingsso in fisica quando fuono toat lggi matmatich ch pmiso la compnsion di alcun impotanti popità atomich. Ciò accadd quando la toia dl moto di pianti nn applicata anch al lillo atomico. In ntambi i casi (moto di pianti, moti dgli lttoni atomici) si pat dal moto di un punto matial in un campo cntal dsciibil da una funzion potnzial: quindi dal campo di foz: do: U () F() U ˆ GmM poblma gaitazional Z ltton nl campo dl nuclo : Z paticlla nl campo di un nuclo con ˆ tto ch a dal cnto dll foz al punto matial mobil. Lo studio matmatico dgli fftti gnati da qusta foza ha pmsso di isol i poblmi latii a situazioni fisich molto dis: La spigazion di Nwton dll lggi di Kplo; L intptazion di Ruthfod dll diazioni a gandi angoli dll paticll α con i nucli psanti (la scopta dl nuclo atomico); La spigazion di Boh Sommfld dll igh spttali dll idogno. Dimosta ch, in un campo cntal, una paticlla di massa m: a) Consa il momnto angola: L p con p m b) La taittoia è una conica di quazion: c) Consa l ngia total ch isulta: con ccnticità dlla conica. L m cos m E L, quantità di moto dlla paticlla. Guppo di Stoia dlla Fisica- Associazion p l Insgnamnto dlla Fisica.

2 Risoluzion F() U è una foza cntal si ha la consazion dl momnto angola dlla a) Poiché ˆ paticlla, infatti: F dp F dp F d p d p dt dt dt dt d poiché p= dt, quindi: cioè : d F p dt F dl dt Oa intoducndo l spssion di Ptanto: F() toiamo ch: ˆ F ˆ ˆ dl L costant dt ptanto l obita è in un piano fomato da p d L è ppndicola a tal piano. b) In coodinat polai,, la posizion dlla paticlla di massa m si può sci: p la locità si ha subito: cosxˆ sny ˆ ˆ cos sin x sn cos yˆ L ngia cintica dlla paticlla è: quindi la lagangiana L di m è: L T m m T U m

3 Una pogatia dll quazioni di Lagang è qullo di al p qualunqu sistma di coodinat, ss algono, dunqu, anch in coodinat polai. d L L m m dt d L L d m dt dt La sconda dll quazioni implica ch al aia nl tmpo dlla distanza adial dlla locità angola si consa il momnto angola, com già dimostato al punto a). d m L p m z ˆ dt Il momnto angola si consa pché l ngia potnzial U, dlla paticlla, dipnd solo da non da. Ptanto la sconda quazion di Lagang contibuisc solo all ngia cintica, com s l ngia potnzial non ci foss. P isol, inc, la pima quazion di Lagang bisogna limina, mdiant il momnto angola L: L m 4 d in più fala dinta lina in (infatti contin - ). Qusto si ottin con il cambiamnto di aiabil: u. Tuttaia è util usa la tasfomazion: d d d( u ) du L L du d dt d u d m m d d d d L L d L du L d u u u d dt d m m d m d m d La pima quazion di Lagang si iscià alloa: L d u L du m u u m d m d da cui si ottin un quazion diffnzial, qusta olta lina, in u ch isulta: P isolla pocdiamo in du tmpi. isoliamo l quazion omogna associata: d u m u d L du u d

4 La cui soluzion è: u Asn Bcos Qcos Omog con A B Q A B cos sn. Q Q Toiamo un intgal paticola dll quazion diffnzial L intgal paticola ch cchiamo è: u Patic m L basta sostituilo nll quazion d ch è una soluzion. Ptanto la soluzion gnal dll quazion: è data da: d u m u d L m u uomog upatic cos L do si è posto: aggiungndo. m Q, con ssndo lcito cambia sgno al cosno idfinndo L Scindo la soluzion in u ottniamo: L m cos ch appsnta l quazion di una conica in coodinat polai. P i sono 3 casi: Si distinguono quatto casi fisicamnt significatii: lliss paabola ipbol ) γ < ; ε < (attazion, lliss). Tutti i aloi di sono positii pciò fisicamnt accttabili. La taittoia è chiusa p la piodicità dl cosno. ) γ < ; ε = (attazion, paabola). Tutti i aloi di sono positii tann qullo p cui = + p il qual =. La taittoia è una paabola, caso limit di una llissi con smiass maggio infinito. 3) γ < ; ε > (attazion, ipbol). Poiché d ss positio, sono accttabili tutti i aloi p i quali cos, spaati dai du punti acos( / ), p i quali. La

5 taittoia è un amo d ipbol. La paticlla si aicina al cnto dll foz ponndo dall infinito p poi iallontanasi so l infinito. 4) γ > ; ε > (pulsion, ipbol). Poiché d ss positio, sono accttabili tutti i aloi p i quali cos, spaati dai du punti acos( / ), p i quali. La paticlla si aicina al cnto dll foz ponndo dall infinito aggiungndo la distanza minima min L m (Caso paticlla α-nuclo). In conclusion: ( cos )do p poi iallontanasi so l infinito. Si tatta di un uto. Nl caso pulsio i sono solo taittoi ipbolich; in qullo attattio è possibil a tutt t i tipi di conich. c) L ngia cintica di m è: icodando ch da cui: T m m m L m cos L m, diando isptto al tmpo si ottin: m sin L m 4 m 4 L sn sn sn L L m L p cui l ngia cintica isulta: E anch: L cos m L T L m m m L quindi l ngia total dlla paticlla è data da: isulta: m E L costant E lliss stati lgati E paabola stati non lgati E ipbol stati non lgati B Bibliogafia:

6 F. Slli: Dispns di ISTITUZIONI DI FISICA TEORICA, Unisità di Bai, Laua in Fisica, a.a. /

7 Escizio ( Modlli atomici: da Thompson a Boh ) ESERCIZI DI MECCANICA QUANTISTICA B.Buonaua : ISIS ALBERTINI NOLA (NA) & GSF-AIF - L paticll (nucli di H) mss da un matial adioattio iaggiano ad altissima locità (ad s.. 4 km/s). Quando nno scopt (a caallo ta il 8 9) ano i poittili più loci ch i fisici asso mai auto a disposizion. Quando colpiano una fogliolina d oo di spsso di = -3 mm, a olt, ano diat anch a gandi angoli anch di 9 o 5 (spinza di Gig Masdn 9). Qust gandi diazioni non potano ss spigat dal modllo atomico di Thompson, fomulato dopo il 897, anno in cui a stato scopto l ltton. Il modllo atomico di Thompson considaa l atomo com una sfa di caica lttica positia, distibuita unifommnt, gand com l atomo stsso, in cui ano immsi gli lttoni. Si considi una sfa di aggio R, unifommnt caica, poa ch: a) L ngia potnzial lttica U dlla paticlla è: U Z s R 3Z Z s 3 4 R 4 R R do è la caica lttica dlla paticlla Z la caica positia dll atomo. b) Toa la foza mdia su una paticlla ch passa da una distanza R >R ad una distanza R <R. c) Dimosta ch s Max è l angolo di diazion, isulta: tg Max Z M R do M sono ispttiamnt la massa la locità dlla paticlla d = C N m. Risoluzion a) All stno il campo di una sfa caica si toa applicando il Toma di Gauss: p R si ha: ptanto: S E Qint E ds 4 st Z Guppo di Stoia dlla Fisica- Associazion p l Insgnamnto dlla Fisica.

8 E st Z 4 P R si ha: cioè: E Z 3 3 4/3 R 3 4 int E int Z 4 R 3 Ptanto il potnzial gnato dalla sfa unifommnt caica si calcola: p R si ha: Assumndo il potnzial all infinito nullo, cioè P R si ha: quindi: V V E d 4 st st st V, ottniamo: st Z Z Vst d 4 4 R Z Z Vint Ed d d 3 R 4 4 R Z Z 3Z Z Vint 3 R 3 4 R 8 R 8 R 8 R L ngia potnzial dlla paticlla al: p R P R b) La foza sulla paticlla è data da: Z U V st st 3Z Z U V 4 R 4 R int int 3 Z 3 R F( ) E( ) U ( ) Z R R Sia U ch F sono funzioni continu in = R. La foza mdia ch si scita sulla paticlla ch passa dalla distanza R >R stna al nuclo, alla distanza R <R intna al nuclo è data da:

9 cioè: R R R F F( ) d F ( ) d F ( ) d R R R R st int R R R R R Z Z Z Z F d d 3 3 R R R R R R R R R R R R dopo un po di algba possiamo sci: F Z R Z 3 ( ) ( ) ( ) ( ) R R R R R R R R R R R R c) Ricodando la II lgg dl moto di Nwton il toma dll impulso la aiazion dlla quantità di moto dlla paticlla : do Z R R Z p Ft ( R R ) R R 4 7 km/ s m/ s è la locità dlla paticlla. L angolo Max l angolo di diazion massimo è dato da: Nll spimnto si aa: tg Max p p Z RM m/ s ; Z 79 ; M 6.63 kg ; R.4 cm ;.6 C. Ptanto insndo i dati toiamo: 4 max.5 ad. La sfa di ltticità positia non è dunqu in gado di podu gandi diazioni angolai! B Bibliogafia: F. Slli: Dispns di ISTITUZIONI DI FISICA TEORICA, Unisità di Bai, Laua in Fisica, a.a. /

10 Escizio 3 ( Modlli atomici: da Thompson a Boh ) ESERCIZI DI MECCANICA QUANTISTICA B.Buonaua : ISIS ALBERTINI NOLA (NA) & GSF-AIF 3 - La paticlla, duant il iaggio all intno dll atomo modllo Thompson può uta un ltton. Utilizzando l lgg latiistich di consazion dll impulso dll ngia poa ch l angolo massimo di diazion dll paticll, dopo l uto con l ltton è: m. Max M m do M = kg (massa dlla paticlla ); m = kg (massa dll ltton). Risoluzion L ltton sia inizialmnt in quit nl Sistma di Rifimnto dl laboatoio ( tmica + obital =). L lggi di consazion latiistich dll ngia dlla quantità di moto danno: E m c E ' p p'cos qcos p' sn qsn do (p, E) impulso d ngia inizial dlla paticlla ; (p, E ) impulso d ngia dlla paticlla dopo l uto; (q, ) impulso d ngia dll ltton dopo l uto. Dall du ultim quazioni toiamo: Elando al quadato ntamb: p'cos p qcos ; p'sin qsin p' cos p pq cos q cos ; p' sin q sin Sommando mmbo a mmbo, dopo, moltiplicando p c : Ricaando E dalla pima quazion: p c p c q c c pq ' cos E' E m c 3 Guppo di Stoia dlla Fisica- Associazion p l Insgnamnto dlla Fisica.

11 lando al quadato ntambi i mmbi: E' E m c Em c E m c 4 sottando mmbo a mmbo qusta quazion con la pcdnt ottnuta dalla consazion dlla quantità di moto, toiamo: E p c E p c m c q c Em c E m c pqc 4 ' ' cos Smplifichiamo tal spssion utilizzando gli inaianti latiistici: ottniamo: Qusta si può sci anch: quindi sicuamnt isulta: Ricodando anch ch da: si ottin: E ' p' c M c ; E p c M c ; q c m c c pq m c E m c cos pc cos mc E m c qc qc E m c E E do è la locità dlla paticlla pima dll uto. Sostitundo nlla disuguaglianza ottnuta toiamo: mc mc pc pc M c M ; p c qc quindi utilizzando l inaiant latiistico dll ltton pc / E / c pc E m c c c q c m c toiamo: 4 cioè: mc 4 m c c mc m c Risolndo in la disquazion, icodando ch il suo dnominato è smp positio, si ottin: / c m c / c / c c / c pché, ptanto l ngia cintica dll ltton è più piccola dlla sua ngia di massa. Alloa può scisi anch: mc do è la locità dll ltton dopo l uto, quindi: m

12 Dal sistma inizial di quazioni si ottin anch: quindi ssndo < si può sci: quindi: tg mc c c p'sin qsin q tg p 'cos p qcos p q m m m M -m M -m M -m 37 tg 37 4 max.7 ad. Dunqu l angolo p il qual la paticlla può ss diata nl suo pcoso, nll atomo, modllo Thompson, utando un ltton è molto piccolo; dunqu, nmmno l uto - pooca l diazioni ossat a gandi angoli dll. B Bibliogafia: F. Slli: Dispns di ISTITUZIONI DI FISICA TEORICA, Unisità di Bai, Laua in Fisica, a.a. /

13 Escizio 4 ( Modlli atomici: da Thompson a Boh ) ESERCIZI DI MECCANICA QUANTISTICA B.Buonaua : ISIS ALBERTINI NOLA (NA) & GSF-AIF 4 - Gli scizi pcdnti mostano (Escizio d Escizio 3) mostano ch il modllo atomico di Thompson non è in gado di spiga la diazioni a gandi angoli dll paticll incidnti su una lamina mtallica d oo di spsso -4 cm, contnnt 4 atomi nlla dizion di attasamnto. a) Considando il isultato ottnuto nll Escizio tg Max p Z, ch dà la diazion p RM massima subita dall paticll da pat dlla sfa di ltticità positia, mosta cosa induss Ruthfod a popo il modllo plantaio di atomo: nuclo di caica positia cntal d lttoni uotanti simili a pianti. b) Un nuclo d oo è molto più psant di una paticlla. Si assumà, ptanto, ch il nuclo sia in quit duant l uto. Sia b la distanza ta la dizion dlla paticlla incidnt d una tta paallla passant p il nuclo fmo; tal distanza in chiamata paamto d uto. Sulla paticlla agisc il potnzial coulombiano Z pulsio. L lmnto di supfici bsaglio ch coispond ad un angolo di diffusion ta +d è dfinito dall aa dlla coona cicola compsa ta i paamti d uto b b+db è chiamata szion d uto diffnzial d. Nlla figua d=d Poiché d=bdb mosta ch isulta: dtta szion d uto di Ruthfod. Z sin M 4 d sin 4 Guppo di Stoia dlla Fisica- Associazion p l Insgnamnto dlla Fisica.

14 Risoluzion a) Nll spssion tg Max Z tutti paamti sono noti ( in paticola Z =79 (oo)). L unico RM paamto, non fissato, dipndnt dal modllo toico è R, il aggio dlla sfa di caica positia. Affinché max sia dll odin di gandzza ossato (5 = (5/6) ad ) d ss: sostitundo i aloi: R Z M tg Max m / s ; Z 79 ; M 6.63 kg ; tg.5773;.6 C; / F m si ottin: R= cm bn più piccolo dl aggio atomico di - cm alloa stimato. Qust considazioni indusso Ruthfod ad assum ch gli lttoni fosso attatti da un nuclo di caica positia di dimnsioni molto piccol, ptanto, fosso in quilibio dinamico con il nuclo, com i pianti con il Sol. b) Sulla paticlla agisc il potnzial coulombiano Z ( in unità gaussian) ch è cntal. In un campo cntal sono consati il momnto angola l ngia mccanica. Considiamo l posizioni asintotich dlla paticlla pima dll uto (-) dopo l uto (+) con il nuclo atomico: ssndo U () Z isulta ch 5 6 M d sin M d sin M U M U (- ) (+ ) (- ) (+ ) Z lim p cui: (- ) ( ) b d sin d sin Oa considiamo l quazion dl moto dll scizio 3-: M d L du u con u =/ (distanza - dlla paticlla dal nuclo) ; = Z ; L= M b con b=sin. Sostitundo toiamo ch: con D Z M M Z M Z D L M b M b b quindi l quazion dl moto assum la foma: Il suo intgal gnal è: d u D u d b

15 D u Acos Bsin b do A B sono costanti ch ngono dtminat dall sgunti condizioni iniziali: I. d ss compatibil con u (cioè ) ptanto: D A b II. d ss compatibil con nuclo) quindi: Quindi: (poiché dcsc d d(/ u) L du L L du d d M u d M M d u, fas di aicinamnto al du sostitundo al posto di L : L= M b al posto di du/d: Asin Bcos d ottniamo: b( Asin Bcos ) P = d asi alloa: bb B b D D D cos sin cos sin b b b b b Oa s icodiamo l scizio possiamo sci la soluzion dl moto ottnuta nlla foma: L cos M con: M D D L b b b b ; Q A B D b 4 cos A D b D Q b D b D b B b b sin Q b D b D b QL D b b b M b D D cioè la taittoia dlla paticlla è un ipbol s b (S b = si ha un uto cntal). L angolo, con cui mg la paticlla mg dopo l uto, si può toa com sgu: p : Qusta quazion ha soluzioni: = pima dll uto la sconda dopo l uto data da: D cos ' sin ' b b

16 Poiché + = = - isulta: quindi: Diffnziamo la lazion toata ottniamo: b cos ' ' tg D sn ' ' tg ctg b ctg D db d D sin Qusta lazion pmtt di icondu il poblma di sap quant paticll sono diffus ta + d al poblma di dtmina quant hanno paamto d uto fa b b + db. Si dfinisc szion d uto diffnzial l aa dlla coona cicola compsa ta i paamti d uto b b+db: d bdb Sia h lo spsso dlla lamina sulla qual incidono l paticll. Sia a l aa sulla qual l anno a cad almnt. S n è il numo di nucli p unità di olum, il numo total d nucli N t è N t = n a h. La pobabilità ch una paticlla abbia paamto d uto compso ta b b+db : P() b db cioè: Aa complssia di tutt l coon cicolai cicondanti ogni nuclo Aa total su cui incidono conctamnt l P( b) db nhbdb Quindi la pobabilità ch la paticlla possa ss diata fa + d isulta: Dd sin P d P( b) db nhdctg nhd d 4 sin sin Z D si ottin dfinitiamnt: M icodando ch Z sin M 4 P d nh d sin Nd t a

17 quindi la szion d uto diffnzial d dipnd solo dal nuclo in sam ( non dall aiabili macoscopich n h ) è data da: Z sin M 4 d d sin Essa è chiamata la szion d uto di Ruthfod. E stata ificata spimntalmnt molt olt con poittili disi ( paticll, potoni, lttoni, ) d è stata toata cotta dando fiducia nlla al psnza di un nuclo al cnto di un atomo, ma anch nlla alidità dll solit lggi lttomagntich al suo intno. B Bibliogafia: F. Slli: Dispns di ISTITUZIONI DI FISICA TEORICA, Unisità di Bai, Laua in Fisica, a.a. /

18 Escizio 5 ( Modlli atomici: da Thompson a Boh ) ESERCIZI DI MECCANICA QUANTISTICA B.Buonaua : ISIS ALBERTINI NOLA (NA) & GSF-AIF 5 - L'spimnto di Ruthfod (anch dtto spimnto di Gig Masdn) fu un spimnto ffttuato p sonda la stuttua dll'atomo sguito da Hans Wilhlm Gig Enst Masdn nl 99 sotto la dizion di Enst Ruthfod al laboatoio di fisica dll'unisità di Manchst. Tuttaia qusto spimnto la scopta dl modllo atomico nucla ch n sguì, so dammaticamnt chiaa l impossibilità dlla fisica dl 9 di spiga l popità dgli atomi, anzi, cosa assai anco più ga, la loo stssa stabilità. Infatti, il modllo plantaio di atomo poposto da Ruthfod (atomo costituito da una pat cntal, il nuclo, da lttoni uotanti attono al nuclo) psnta du si poblmi: la stabilità la adiazion ch in mssa psnta uno sptto continuo di fqunz non uno sptto di igh com in spimntalmnt ossato. E noto ch, dall lttomagntismo di Maxwll, una caica acclata (ad s. un ltton) pd ngia mttndo adiazion lttomagntica. Qusta pdita di ngia, nll unità di tmpo, è data dalla lazion: de dt 34 c 3 a con = C; c = m/s; a acclazion dll ltton (o dlla caica considata). Si considi oa l atomo di idogno, H, sso è costituito scondo il modllo Ruthfod da un poton di caica + da un ltton di caica. Considiamo l obit cicolai dll ltton attono al poton ( supposto fmo poiché la sua massa m p m ; m = kg). Dtmina il tmpo di collasso c dll ltton sul nuclo (poton) supponndo ch il aggio atomico mdio sia =.5. - m. Risoluzion L ngia total E dll ltton douta all intszion coulombiana dl nuclo è: E m 4 La locità dll ltton sull obita cicola è data dll quazion dl moto di Nwton: da cui: m 4 m 4 5 Guppo di Stoia dlla Fisica- Associazion p l Insgnamnto dlla Fisica.

19 p cui l ngia total mccanica dll ltton si sci: L acclazion (cntipta) dll ltton è data da: E 4 a 4 m Sostitundo nll spssion ch dà la pdita di ngia de/dt toiamo: de dt mc Diando isptto al tmpo l spssion dll ngia mccanica dll ltton ottniamo: Uguagliando l du spssioni toiamo: da cui smplificando: de d dt 4 dt 6 d 4 dt mc d dt mc Qust ultima è un quazion diffnzial a aiabili spaabili, cioè : d Intgando ta t ta c ottniamo: quindi: mc 4 d mc Insndo i aloi ottniamo p l atomo di H: c =.3. - s. c mc dt 3 4 c dt

20 Gli atomi non dobbo sist noi con loo! La fqunza dll ltton ( obitando attono al nuclo) è: 3 4 m 3/ Ptanto s, dunqu la fqunza dlla adiazion mssa è continua dig. B Bibliogafia: F. Slli: Dispns di ISTITUZIONI DI FISICA TEORICA, Unisità di Bai, Laua in Fisica, a.a. /