Problemi: forza di Coulomb

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1 Poblmi: oza di Coulomb. Du paticll iss di caica 8 - sono post ispttivamnt nll oigin dll ass d in un punto di coodinata L. In ch punto, a distanza inita, si può colloca un poton p in modo ch sti in uilibio? Ida chiav: P av uilibio, la oza ntta sul poton dv ss nulla, cioè F con F oza scitata da su p F oza scitata da su p da cui F F F F F Il punto di uilibio può ss solo sull ass. N dtmino la posizion con il sgunt agionamnto: il punto di uilibio NON può tovasi ta l caich, dato ch F d F avbbo vsi concodi (vdi igua b; NON può tovasi a sinista di : sbbn in tal zona F d F abbiano vsi discodi, F è smp maggio di F, ssndo gnata da caica maggio posta a distanza mino alla dsta di l oz hanno ancoa vsi opposti posso uindi cca in tal gion una posizion di uilibio, ssndo la caica maggio più lontana: F F 4π 8 p 4π p ( L N.B. l caich appaiono ui in modulo L L 4 L

2 . T caich puntiomi sono post ai vtici di un tiangolo uilato, com mostato in igua. Calcola la oza lttica isultant sulla caica di 7. µc La oza ntta sulla caica di 7. µc è data dalla somma vttoial dll oz F d F dovut ispttivamnt all caich di. µc -4. µc. Tali oz valgono in modulo: Poitto tali oz su d : La oza total è uindi: F F F (.755i.46 j N Posso anch scivla com: F F F (.755N φ tg F F tg (.46N sotto.87n ass

3 . Du piccol s di massa m sono apps a dll unicll di lunghzza l ch sono collgat in un punto comun, com mostato in igua. Una sa ha caica Q l alta ha caica Q. Si assuma ch gli angoli θ θ ch l unicll omano con la vtical siano piccoli. a com sono colati θ θ? b dimosta ch la distanza a l s è data da: 4kQ mg l / c uanto val Q s l cm, m g 5. cm? a L s hanno caich divs, ma ciascuna scita una oza ugual contaia sull alta di modulo: F k Q Q ov è la distanza a ss. Dato ch l mass sono uguali dv ss Q θ θ Q T Tcosθ F θ θ Tsinθ mg b Pché ci sia uilibio p ogni sa il bilancio dll oz dv ss nullo: F F F T F F T cosθ mg F T sinθ a piccoli angoli g F tgθ sin θ F mg sinθ mg k l d c splicito Q: Q T mg / cosθ sinθ mg mg tgθ cosθ uindi l 4k Q l mg 4kQ mg l / 4k Q l mg mg Q 4kl / ( kg(9.8m / s (5. m 9 4(9 Nm / C ( m /.68 8 C

4 Poblmi: campi lttici 4. Un dipolo lttico è costituito da una caica puntiom positiva d una ngativa spaat da una distanza a. a tova il campo lttico docuto al dipolo lungo l ass nl punto P a distanza dall oigin. b tova il campo ni punti >> a lontani dal dipolo. a In P i campi d gnati dall caich hanno ugual intnsità, ssndo l caich post alla stssa distanza da P: k il campo total k a ha componnt nulla, dato ch i campi dovuti all du caich hanno componnti uguali d oppost. La componnt dl campo total è invc pai al doppio dlla componnt di ciascun campo: k cosθ a cosθ a / a / k a a cosθ k a a a k a ( a / b A gandi distanz dal dipolo posso tascua il tmin a nl dnominato, ottnndo: a k a gandi distanz il campo dl dipolo va ha zo più vlocmnt dl campo podotto da una caica puntiom ( /, dato ch i campi podotti dall singol caich (positiva ngativa tndono ad lidsi N.B. molt molcol, com HCl, possono ss dscitt com dipoli pmannti: uno ion positivo (H è inatti combinato con uno ion ngativo (Cl -. Inolt atomi molcol, uando posti in campi lttici, si compotano com dipoli.

5 5. Un anllo di aggio a ha una dnsità lina di caica positiva uniom, con caica total Q. Calcola il campo lttico lungo l ass dll anllo, in un punto P posto a distanza dal cnto dll anllo stsso. Ida chiav: calcolo il campo d podotto da un lmnto ininitsimo di caica d, ch posso suppo puntiom sommo i contibuti dovut all caich d distibuit sull anllo d k d Tal campo ha componnti d d d cosθ d sinθ dll uali la componnt si canclla con la componnt dll lmnto di caica d posta sul lato opposto dll anllo. Il campo in P avà uindi solo componnt. Sapndo ch ( d a / d cosθ k cosθ d Intgo oa su tutto l anllo:, k / ( a / k ( a Q d d k d k d / / ( a ( a / N.B. A gandi distanz / (caica puntiom

6 6. Una bacchtta di lunghzza l 4. cm, uniommnt caica, è pigata a oma di smicchio, com mostato in igua. S la bacchtta possid una caica total Q.7.5 µc, tova modilo, dizion vso dl campo lttico nl cnto dl smicchio. Ida chiav: calcolo il campo d podotto da un lmnto ininitsimo di caica d, ch posso suppo puntiom d sommo i contibuti dovut all caich d distibuit sull anllo d k ov d d λds λ dθ dθ L componnti dl campo podotto da lmnti di caica d simmtici isptto all ass si annullano, mnt l componnti si sommano: d d cosθ Intgo oa su tutto la bacchtta: k λ cosθ λ d k dθ cosθ dθ π Sapndo ch: Q λl, l / π Vttoialmnt: π kλ 9 6 πk Q π (8.99 Nm / C ( 7.5 C 7 (.6 N / C l (.4m (.6 7 N / C i

7 7. Un disco di aggio R possid una dnsità di caica positiva uniom σ. Qual è il campo lttico nl punto P a distanza dal disco lungo il suo ass? Ida chiav: scompongo il disco in sottili anlli concntici calcolo il campo d podotto da ciascun anllo sommo i contibuti dovuti a tutti gli anlli Su un anllo di aggio spsso adial d è dpositata una caica d σ da σ ( π d la ual gna un campo sull ass dl disco pai a d k d k σ (π d σ d / / ( ( 4 ( / Intgo oa su tutto l anllo: d σ 4 Tal intgal è dlla oma X m dx X m m, R ( con X ( / ( d, m da cui: / R σ ( σ 4 / R, dx ( d N.B. A gandi dimnsioni (R>>, il disco tnd ad un piano ininito il cui campo è pai a σ

8 8. Du stati ininiti, non conduttoi, sono paallli a loo, com in igua. Calcola il campo a dsta, al cnto d a sinista di du piani nl caso in cui: a i du piani possggano distibuzioni di caica supicial uniomi di sgno opposto; b i du piani possggano distibuzioni di caica supicial uniomi di ugual sgno. Ida chiav: il campo podotto da un piano ininito val σ ± i a sconda ch la caica su di sso sia positiva o ngativa. calcolo il campo total com somma vttoial dl campi d, podotti dall singol distibuzioni ±σ a Distibuzioni di sgno opposto: nlla gion i campi podotti dal piano con dnsità di caica σ σ sono ditti in dizioni oppost, uindi i contibuti si cancllano. Nlla gion i campi sono invc di vso concod (lungo ass così ch si ottin un campo di intnsità total σ σ i i b Distibuzioni di sgno ugual: gion i campi podotti dal piano con dnsità di caica σ σ sono ditti in dizioni oppost, uindi i contibuti si cancllano. Nll gioni i campi sono invc di vso concod così ch si ottin un campo di intnsità total: σ σ i i, σ σ i i

9 Poblmi: moto di caich in campi lttici 9. In una stampant a gtto d inchiosto una goccia di massa m. - kg con caica ngativa di modulo Q.5 - C pnta ta i piatti di dlssion, com mostato in igua. Inizialmnt la goccia si muov lungo l ass, con vlocità v 8 m/s. La lunghzza di piatti è L.6 cm. I piatti sono caichi poducono un campo lttico uniom di intnsità.4 6 N/C, ditto vso il basso. Qual è la dlssion vtical dlla goccia in coispondnza dll stmo di dsta di piatti? Si tascui la oza di gavità. Ida chiav: Dato ch la goccia è caica ngativamnt d il campo è ditto vso il basso, sulla goccia agisc una oza lttostatica Q ditta vso l alto. La goccia accla vso l alto con acclazion costant F Q a m m L uazioni di moto, lungo d sono: v v o o t at t at v o t a t Dtto t il tmpo di tansito dlla goccia ta i piatti, gli spostamnti vticali d Oizzontali in tal intvallo di tmpo sono: v o t' L a t' Ricavando t dalla sconda uazion sostitundoli in si ottin: t' L v o a t' Q m L v o ( C(.4 N / C(.6 (. kg(8m / s m m.64mm

10 . Una stta caica positivamnt di massa m. g cad da ma, nl vuoto, da una altzza h 5. m, in un campo lttico uniom vtical, di intnsità. 4 N/C. La stta colpisc il suolo ad una vlocità v. m/s. Dtmina: a il vso dl campo lttico; b la caica sulla stta. Ida chiav: La stta isnt di una acclazion vtical costant, data dalla combinazion dlla acclazion di gavità dalla acclazion lativa al campo lttico. Il moto dlla stta è uindi uniommnt acclato. P la vlocità dlla stta val la lazion: v v v i a( a( h da cui si icava l acclazion: v a h i Qusta è l acclazion complssiva dlla stta, ch insita nlla sconda lgg di Nwton pmtt di calcola il campo : mv Fnt ma Fg F mg j j j h mv ( mg j h a Sapndo ch la sola acclazion di gavità onibb una vlocità inal v v i g( i h 5 m F g v gh (9.8m / s (5.m 9.9m / s p aggiung la vlocità di. m/s è ncssaio ch il campo sia vtical ditto vso il basso, dato ch la caica è di sgno positivo. b La caica dlla stta val uindi: m v. kg (.m / s ( g h. N / C (5.m 9.8m / s.4 6 C.4µ C

11 Poblmi: toma di Gauss. Una sa isolant di aggio a possid una dnsità volumtica uniom ρ d una caica total Q positiva. Si calcoli: a intnsità dl campo uoi dalla sa; b intnsità di all intno dlla sa Ida chiav: applico il toma di Gauss, suttando la simmtia sica dlla distibuzion di caica. Utilizzo una supici sica di aggio concntica con la caica, sulla cui supici è costant ppndicola in ogni punto. a Calcolo il lusso di attavso una supici sica concntica con la caica d stna ad ssa: Q da da da (4π in Φ T. di Gauss Q ( p > a il campo stno è uivalnt 4 π a ullo di caica puntiom b Calcolo il lusso di attavso una supici sica di aggio concntica con la caica d intna ad ssa. P applica il T. di Gauss dvo calcola la caica in contnuta all intno di tal sa di volum V : 4 in ρ V ' ρ( π in Φ da da da (4π in 4π ρ 4 ρ( π 4π Q 4π a ( p < a T. di Gauss

12 . Calcola il campo lttico a distanza gnato da un ilo uniommnt caico positivo di lunghzza ininita la cui dnsità lina di caica è λ. Ida chiav: applico il toma di Gauss, suttando la simmtia cilindica dlla distibuzion di caica. Utilizzo una supici cilindica di aggio lunghzza l, coassial con il ilo caico P simmtia dlla distibuzion di caica, il campo dv ss ppndicola al ilo ditto nl vso uscnt. Sui punti dlla supici latal dl cilindo, è costant in modulo d è ppndicola alla supici in ogni punto. Sull basi è paalllo uindi ppndicola a da, dando così lusso nullo. Il lusso di è divso da solo attavso la supici latal, di aa A: Φ da da da A in A (πl λ π λl T. di Gauss λl il campo stno vaia più lntamnt ( / ch non n caso di una distibuzion sica ( /

13 . Tova il campo lttico cato da un piano isolant ininito con dnsità di caica supicial σ. Ida chiav: applico il toma di Gauss, suttando la simmtia dlla distibuzion di caica. Utilizzo una supici cilindica con ass ppndicola al piano ch attavsa simmticamnt la distibuzion piana. P simmtia dlla distibuzion di caica, il campo dv ss ppndicola al piano con vso uscnt Sui punti dlla basi dl cilindo, è costant in modulo d è ppndicola alla supici dll basi in ogni punto. Sulla supici latal è paalllo uindi ppndicola a da, dando così lusso nullo. Il lusso di è divso da solo attavso l basi dl cilindo, ciascuna di aa A: in Φ da da da A A σa σ bas bas T. di Gauss σa il campo stno è costant in ogni punto, indipndntmnt dalla distanza dal piano è uniom

14 Poblmi: potnzial lttico 4. Si calcoli il potnzial nl punto P, al cnto dl uadato di caich puntiomi mostat in igua. Si assuma d. m, nc, -4 nc, nc, 4 7 nc. Ida chiav: calcolo il potnzial lttostatico in P com somma algbica di potnziali cati dall uatto caich. V V n i i 4 4 π ssndo la distanza a l caich, pai a si ottin: / d d d d V m C C Nm d V 5 /. 7 4 ( / (8.99 / ( π

15 5. L t caich in igua sono ai vtici di un tiangolo isoscl di bas. cm lati uguali di 4. cm. a Calcola il potnzial al cnto dlla bas, assumndo 7. µc. b Calcola il campo lttico nllo stsso punto. Ida chiav: calcolo il potnzial lttostatico in P com somma algbica di potnziali cati dall uatto caich. calcolo com somma di campi podotti dall singol caich a Il potnzial in P è dato da: n V Vi i 4π 4π ov l distanz dlla caich da P sono: (4. da cui si ottin: V 4 π. ( Nm V m m / C (. (7. 6 m C m m m m b L caich ngativ poducono in P campi di vso opposto ch uindi si annullano. Il campo in P è dato solo dalla caica : P j 4π 9 6 (8.99 Nm / C (7. C j m ( 6 N C j