La cinematica Inversa

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1 La cinematica Inversa ro. Alberto Borghese N.B.: Il diritto di scaricare questo ile è riservato solamente agli studenti regolarmente iscritti al corso di Animaione Digitale. A.A. 4-5 /34 Riassunto La cinematica inversa La lineariaione Il Jacobiano Esempi ed osservaioni A.A. 4-5 /34

2 Cinematica diretta e inversa Conosco il valore dei joint (angolo o oset) posiione ed orientamento dell end-point. Conosco la posiione e l orientamento dell end-point devo determinare il valore dei joint. La cinematica viene descritta come sequena di posiioni. A.A /34 La cinematica inversa Dalla posiione (e orientamento) di end-point agli angoli. roblema sotto-determinato (over-constrained). Comportamento stereotipato. erché? A.A /34

3 Soluione diretta oring space 3 Spaio di lavoro: L A.A /34 L L L ossibili coniguraioni: - nessuna soluione. - due soluioni. 3 - una soluione. Soluione diretta (calcolo) θ L Dato X,Y devo determinare θ e θ Equaioni non-lineari in [X,Y L L] E un problema di trigonometria! Calcolo L X Y eorema di Carnot per calcolare cosθ : cos( ϑ) (L L L ) /(LL) Calcolo di cosθ : cos( ϑ ) X / X Y eorema di Carnot per calcolare cos(θ θ Τ ): cos( ϑr ) ( L L L ) /(LL) A.A /34 3

4 Cerniere 3D Figura 4.7. soluioni NB: gli umani ne scelgono una sola. Calcolo la cinematica inversa come sequena di posiioni. A.A /34 Caratteristiche della cinematica inversa Soluione di equaioni non-lineari. orspace (spaio nel quale si può posiionare l end-eector). Deterous worspace. Spaio nel quale si può posiionare l endeector con un qualsiasi orientamento. C.N. er potere raggiungere una qualsiasi posiione ed orientamento nello spaio di lavoro, è che il numero di gradi di libertà dei segmenti del braccio robotico sia almeno uguale al numero di gradi di libertà dell end-point. Soluione geometrica od analitica complessa da determinare. A.A /34 4

5 Riassunto La cinematica inversa La lineariaione Il Jacobiano Esempi ed osservaioni A.A /34 e e Soluione diereniale Consideriamo la trasormaione joint -> end_point. (t) ((t), (t), Τ (t), Τ (t) l, l ). O e lin e lin ABS_ABS (t) l cos( ( t) ( t)) l cos ( t) ( t) l sin ( ( t) ( t)) l sin ( t) ( t) E una orma complessa, non lineare. Non è possibile invertire la relaione utiliando algebra matriciale o orme analitiche. Cosa si può are? Lineariare! A.A. 4-5 /34 5

6 Cinematica inversa e e lin O e e Viene deinita la traiettoria dell end-point. Occorre calcolare le rotaioni (i movimenti) dei joint. lin Lo spostamento viene suddiviso in tanti piccoli spostamenti, per ogni spostamento elementare si calcola la variaione angolare richiesta per tutti i joint. A.A. 4-5 /34 Lineariaione: variabile ( ) d d d d d d d d d (, ) Sviluppo di alor arrestato al primo ordine lineariaione Lo sviluppo di alor vale nell intorno di (o,o). Si ottiene un approssimaione a meno di ininitesimi del secondo ordine. A.A. 4-5 /38 6

7 Lineariaione 3 - * - 3* Consideriamo il punto o (8, 36) Supponiamo di conoscere il desiderato per arrivare in : -34, quale devo applicare? o Sviluppo di alor arrestato al primo ordine lineariaione 57 tg(a) Lo sviluppo di alor vale nell intorno di (o,o): - 36 (3 * - 4* 3) 8 ( 8) > * ( 8) otremmo risolvere l equaione lineare in : (-3456)/57 > errato, la soluione sarebbe 6. erchè?. A.A /38 Soluione iterativa mediante lineariaione (primo passo) 3 - * - 3* Consideriamo il punto o (8, 36) Supponiamo di conoscere il desiderato per arrivare in : che ha ordinata , quale devo applicare? o Sviluppo di alor arrestato al primo ordine lineariaione 37 tg(a) Lo sviluppo di alor vale nell intorno di (o,o). Cerco una soluione locale (nell intorno di ). Dò quindi un incremento piccolo a nella direione desiderata: (3 * - 4* 3) 8 ( 8) > * ( 8) * ( 8) > (-5 56)/ Mi sposto quindi ti una piccola quantità ( ) nella direione desiderata. A.A /38 7

8 Soluione iterativa mediante lineariaione (passi ulteriori) 3 - * - 3* Consideriamo il punto attuale: (7.685, ) NB La unione era stata sottostimata per eetto dell approssimaione lineare. o Dò un altro piccolo incremento nella direione desiderata: (3 * - 4* 3) ( 7.685) > * ( 7.685) > (-5.7) / tg(a) Mi sposto quindi ti una piccola quantità ( ) nella direione desiderata. Sono arrivato al punto ( ). Devo arrivare a 7. A.A /38 Si continua così ino a quando Riassunto La cinematica inversa La lineariaione Il Jacobiano Esempi ed osservaioni A.A /38 8

9 Lineariaione variabile ( ) d d d d d d d d d (, ) Sviluppo di alor arrestato al primo ordine lineariaione Lo sviluppo di alor vale nell intorno di (o,o). Si ottiene un approssimaione a meno di ininitesimi del secondo ordine. Cosa succede per unioni di più variabili ( (t) ((t), (t), Τ (t), Τ (t) l, l ))? A.A /38 La unione posiione Consideriamo la trasormaione joint -> end_point. E rappresentata da M (gradi di libertà dell end-point) unioni in N incognite (i parametri liberi). (t) ((t), (t), Τ (t), Τ (t) l, l ). (t) ((t), (t), Τ (t), Τ (t) l, l ). (t) ((t), (t), Τ (t), Τ (t) l, l ). (t) ((t), (t), Τ (t), Τ (t) l, l ). ABS_ABS e (t) A((t), (t), (t), (t) l, l )[ ] ABS_ABS e A(t) l cos( ( t) ( t)) l cos ( t) ( t) l sin ( ( t) ( t)) l sin ( t) ( t) A.A /34 9

10 A.A /34 Sviluppo in serie di alor di unioni di più variabili (,) d d d d o arte lineare A.A. 4-5 /34 Sistema di equaioni lineari Consideriamo la trasormaione diretta joint -> end_point. (t) ((t), (t), Τ (t), Τ (t) l, l ). (t) ((t), (t), Τ (t), Τ (t) l, l ). (t) ((t), (t), Τ (t), Τ (t) l, l ). (t) ((t), (t), Τ (t), Τ (t) l, l ). Chiamiamo [ κ, κ, Τ, Τ ] il valore dei parametri liberi all istante t. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

11 A.A. 4-5 /34 Il Jacobiano Consideriamo la trasormaione diretta joint -> end_point. (t) ((t), (t), Τ (t), Τ (t) l, l ). (t) ((t), (t), Τ (t), Τ (t) l, l ). (t) ((t), (t), Τ (t), Τ (t) l, l ). (t) ((t), (t), Τ (t), Τ (t) l, l ). Chiamiamo [ κ, κ, Τ, Τ ] il valore dei parametri liberi all istante t. J A.A. 4-5 /34 Caratteristiche del Jacobiano Contiene le derivate pariali di rispetto a tutti i parametri liberi. Le derivate sono calcolate nel punto di lavoro. L espressione analitica di J vale valore dei parametri liberi, ma il valore assunto da J varia in unione dei parametri liberi.

12 Come vengono trattate le velocità Dividendo entrambi i membri per t si ottiene: V J Θ & Cinematica dell End-eector Elemento chiave è il Jacobiano, J. A.A /34 Cinematica dei Joint Contiene le derivate pariali di rispetto a tutti i parametri liberi. Le derivate sono calcolate nel punto di lavoro. L espressione analitica di J vale valore dei parametri liberi, ma il valore assunto da J varia in unione dei parametri liberi. Jacobiano e velocità d e (t) J((t), L) d(t) d e (t) / dt J((t), L) d(t) / dt Chiamiamo (t ) [A((t), (t), (t), (t) ] il valore dei parametri liberi all istante t. V e ( t ) J ( (t, L) & (t ) ) arametri liberi arametri geometrici, cambia il valore di J, l espressione analitica rimane valida. A.A /34

13 3 A.A /38 Osservaioni sul Jacobiano e (t) J((t), L) (t) Chiamiamo (t) [A((t), (t), (t), (t) ] il valore dei parametri liberi all istante di tempo E un equaione alle dierene (matriciale) lineare dallo spaio dei parmetri liberi a quello dell end-point: (t) -> e (t) Siamo ancora nel dominio della cinematica diretta! A.A /38 Riassunto La cinematica inversa La lineariaione Il Jacobiano Esempi ed osservaioni

14 Esempio di determinaione del Jacobiano v (9-θ).(,) θ V ωλr Sono due espressioni equivalenti r cos(θ) r sin(θ) & ϑ v & ϑ r sinϑ & r ϑ cos ϑ V J θθ Θ & ϑ ϑ & ϑ V J Θ & A.A /34 Esempio di determinaione del Jacobiano ϑ & v (9-θ) v.(,) & ϑ r sinϑ & r ϑ cos ϑ θ ϑ ϑ & ϑ ϑ & θ V -r sin() & ϑ V r cos() & ϑ r & ϑ V ωλr i j V & ϑ r rϑ & A.A /38 4

15 Esempio di determinaione del Jacobiano ϑ & v (9-θ) v.(,) & ϑ r sinϑ & r ϑ cos ϑ ϑ ϑ & ϑ ϑ & θ V -r sin(θ ) ϑ & V r cos(θ ) ϑ & V ωλr i V & ϑ r cosϑ r sinϑ j r sin( ϑ) & ϑ r cos( ϑ) & ϑ A.A /38 Cinematica diretta e e O e _ABS ABS_ABS A _L e lin lin ( l cos l)cos l sin sin ( l cos l)sin l sin cos lin Oend eector X lin Y Z A.A /34 root 5

16 Il Jacobiano dell esempio ABS_ABS e ( l cos l)cos l sin sin ( l cos l)sin l sin cos J(,L) l sin cos l cos sin l sin sin l cos cos l cos sin l sin cos l sin l cos cos l sin sin l cos l sin( ) l cos( ) l sin( ) l sin l cos( ) l cos A.A /34 Esempio di calcolo dello spostamento I J(,L) J(,L) l sin( ) l cos( ) Caso particolare: [,, o, o ] l l l l sin( ) l sin l cos( ) l cos X e e lin o e lin O root e end eector Y Z A.A /34 6

17 Esempio di calcolo dello spostamento II Caso particolare: J(,L) l l l J ( (t), L) e ( ) ( ) ( ) l A.A /34 l l ( ) ( ) l a ( l l) ( ) Y X Z lin e e e o lin O root e end eector Caso sempliicato Elimino gradi di libertà: e. e e O e _ABS ABS_ABS A _L e lin lin ( l cos l)cos l sin sin ( l cos l)sin l sin cos Y X Z A.A /38 La radice non si sposta rispetto al sistema di rierimento assoluto. 7

18 Il Jacobiano dell esempio sempliicato ABS_ABS e ( l cos l)cos l sin sin ( l cos l)sin l sin cos J(,L) l sin( ) l cos( ) l sin( ) l sin l cos( ) cos l A.A /38 Non tutti gli spostamenti sono possibili J(,L) l sin( ) l cos( ) l sin( ) l sin l cos( ) cos l Caso particolare: [, ] J(,L) l ( ) ( ) ( ) l l l l l ( ) ( ) l a ( l l) ( ) J ( (t), L) e lin e e e o lin O root Y e end eector X Z E possibile spostarsi solamente in direione perpendicolare al braccio (lungo la perpendicolare al braccio) per A.A /38 8

19 Soluione diretta oring space 3 Spaio di lavoro: L A.A /38 L L L ossibili coniguraioni: - nessuna soluione. - due soluioni. 3 - una soluione. Riassunto La cinematica inversa La lineariaione Il Jacobiano Esempi ed osservaioni A.A /38 9